Автор: Радомир Сиденко

Условия независимости криволинейного интеграла 2-го рода от пути интегрирования

Условия независимости криволинейного интеграла 2-го рода от пути интегрирования

Для того чтобы $ \int\limits_{\left( AB \right)}^{ } Pdx + Qdy $ при любых кривых $\left(AB \right) \subset \left( T \right)$ где $ \left( T \right)$ — это двухмерное пространство, не зависел от пути интегрирования $\left(AB \right)$ , а зависел только от положения начальной и конечной точек $A$ и $B$, необходимo и достаточно, чтобы $\int\limits_{\left( AB \right)}^{ } Pdx + Qdy = 0$ для любого замкнутого контура $\left( L \right) \subset \left( T \right)$

Необходимость

Пусть интеграл не зависит от пути интегрирования. Тогда для произвольного замкнутого контура $\left( L \right) \subset \left( T \right)$ изображенного на рисунке.

Произвольный замкнутый контур

Рисунок: Произвольный замкнутый контур

имеем

$$ \int\limits_{\left( L \right)}^{ } Pdx + Qdy = \int\limits_{\left( ACB \right)}^{ } Pdx + Qdy + \int\limits_{\left( BDA \right)}^{ } Pdx + Qdy = \int\limits_{\left( ACB \right)}^{ } Pdx + $$$+ Qdy — \int\limits_{\left( ADB \right)}^{ } Pdx + Qdy = 0 $

Так как интеграл не зависит от пути интегрирования.

Достаточность

Докажем, что при выполнении условии теоремы

$$ \int\limits_{\left( ACB \right)} Pdx + Qdy = \int\limits_{\left( ADB \right)} Pdx + Qdy $$
Для этого докажем, что разность левой и правой частей этого равенства равнв нулю:

$$ \int\limits_{\left( ACB \right)} Pdx + Qdy — \int\limits_{\left( ADB \right)} Pdx + Qdy = \int\limits_{\left( ACB \right)} Pdx + Qdy + \int\limits_{\left( BDA \right)} Pdx + $$ $ + Qdy = \int\limits_{\left( ACBDA \right)}^{ } Pdx + Qdy = 0$

как интеграл по закнутому контуру.

Пример:

Вычислить криволинейный интеграл при помощи формулы Ньютона-Лейбница.

$$ \int\limits_{\left ( 7 , 3 \right)}^{\left ( 4 , 2 \right)}ydx + xdy $$

Спойлер

$P = y, Q = x$. Так как $\frac{dP}{dy} = 1 = \frac{dQ}{dx}$, так как этот интеграл не зависит от пути интегрирования то

$$ \varphi = \left( x,y \right) = \int\limits_{0}^{x} P \left( t,0 \right)dt + \int\limits_{0}^{y} Q \left( x,u \right)dy = \int\limits_{0}^{1} 0 dt + \int\limits_{0}^{y}xdu = xy \Rightarrow $$

$$ \Rightarrow \int\limits_{\left ( 7 , 3 \right)}^{\left ( 4 , 2 \right)}xdy + ydx = xy \mid_{\left ( 7 , 3 \right)}^{\left ( 4 , 2 \right)} = -13 $$

[свернуть]

Пример:

Вычислить криволинейный интеграл $\int\limits_{\left ( 7 , 3 \right)}^{\left ( 4 , 2 \right)}\left ( x + y \right)dx + xdy$

Спойлер

$$\int\limits_{\left ( 7 , 3 \right)}^{\left ( 4 , 2 \right)}P + \left ( x, y \right) dx + Q \left ( x , y \right)dy = \int\limits_{a}^{b} \left[ P \left ( x, y \right) + Q \left ( x, y \right) \frac {dy}{dx} \right]dx , \Rightarrow $$ $\Rightarrow \int\limits_{\left ( 7 , 3 \right)}^{\left ( 4 , 2 \right)} \left ( x, y \right) dx + xdy = \int\limits_{\left ( 7 , 3 \right)}^{\left ( 4 , 2 \right)} \left ( x + x + x\right) dx = \int\limits_{\left ( 7 , 3 \right)}^{\left ( 4 , 2 \right)} 3xdx = 3\left[ \left( \frac{{x}^{2}}{2} \right)\mid_{\left ( 7 , 3 \right)}^{\left ( 4 , 2 \right)} \right] = $

$$ = 3\left[ \frac{16}{2} — \frac{49}{2} \right] = 3 \left( — \frac{33}{2} \right) = — \frac{49}{2} $$

[свернуть]
Литература
  1. А. Р. Лакерник, «Высшая математика краткий курс», Логос, 2008, стр. 404-414
  2. Тер-Крикоров A.M., Шабунин М.И. Курс Математического анализа стр. 505-508

Проверьте, как вы усвоили предоставленный материал.

Задача о Дроби

Задача M24

Условие:

Докажите, что любую дробь  $\dfrac{m}{n}$, где $ 0<\dfrac{m}{n}<1$, можно представить в виде  
$\dfrac{m}{n}= \dfrac{1}{{q}_{1}} +\dfrac{1}{{q}_{2}} + \dfrac{1}{{q}_{3}} + . . . +\dfrac{1}{{q}_{r}} $ где
$ 0<{q}_{1}<{q}_{2}<{q}_{3}<. . .<{q}_{r}$ — целые числа и каждое $ {q}_{k} \left ( k=2, 3,r \right ) $ делится на $ {q}_{k-1}$

Решение:

Каждую дробь $\dfrac{m}{n}$ можно, разделив ее числитель и знаменатель на их наибольший общий делитель заменить равной ей несокрaтимой дробью. Например $\dfrac{288}{504}=\dfrac{4*72}{7*72}=\dfrac{4}{7}$. В дальнейшем мы будем рассматривать только такие несократимые дроби.

Докажем утверждение задачи индукцией по $ m $ Для $ m=1 $ оно очевидно: сама дробь $ \dfrac{m}{n} $ уже имеет нужный вид. Теперь докажем, что если утверждение задачи верно для всех дrобей с числителями, меньшими чем $ m $, то оно верно и для дробей с числителем, равным $ m $. Пусть $ \dfrac{m}{n} $ такая дробь $ \left( 1 < m < n \right) $. Разделим $ n $ на $ m $ с остатком; получится частное $ \left( {d}_{0}-1 \right) $ и остаток $ \left( m-k \right) $, то есть

$ n = m \left( {d}_{0} — 1 \right) + \left( m — k \right)= m {d}_{0}-k \left( * \right)$

где $ {d}_{0}>1 $ и $ 0 < k < m$. Перепишем $ \left( * \right) $ так:

$ m {d}_{0}=n + k$, или

$ \dfrac {m}{n} = \dfrac {1}{{d}_{0}} \left( 1+\dfrac {k}{n} \right) \left( ** \right)$.

Поскольку
$ \left( 1 < k < m \right) $ дробь $ \dfrac {k}{n} $ mожно представить в нужном виде:

$\dfrac{k}{n} = \dfrac{1}{{d}_{1}} + \dfrac{1}{{d}_{1}{d}_{2}} + . . . + \dfrac{1}{{d}_{1}{d}_{2}. . .{d}_{r}} \left( *** \right) $,

где
$ {d}_{1} , {d}_{2}, . . .{d}_{r} $- некоторые натуральные числа, большие 1. Из $ \left( *** \right) $ и $ \left( ** \right) $ получаем

$ \dfrac {m}{n} = \dfrac {1}{{d}_{0}} + \dfrac {1}{{d}_{0}{d}_{1}}+\dfrac {1}{{d}_{0}{d}_{1}{d}_{2}}+ . . . + \dfrac {1}{{d}_{0}{d}_{1}{d}_{2}. . . {d}_{r}} $.

Dробь $ \dfrac {m}{n}$ представлена в требуемом виде.

Заметим, что из нашего решения задачи нетрудно извлечь простой aлrоритм- правило, как любую данную дробь представить в внде суммы $ \left( *** \right) $. Продемонстрируем его на одном примере. Пусть нам дана дробь $ \dfrac {5}{7} : $

$ 7 = 2 * 5 — 3; \dfrac {5}{7}= \dfrac {1}{2} \left( 1 + \dfrac {3}{7} \right); $

$ 7 = 3 * 3 — 2; \dfrac {3}{7}= \dfrac {1}{3} \left( 1 + \dfrac {2}{7} \right); $

$ 7 = 4 * 2 — 1; \dfrac {2}{7}= \dfrac {1}{4} \left( 1 + \dfrac {1}{7} \right); $

Итак,

$ \dfrac{5}{7} = \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2*3} + \dfrac{1}{2*3*4} + \dfrac{1}{2*3*4*7} = \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{6} + \dfrac{1}{24} + \dfrac{1}{168}$.

Конечно же могут найтись несколько представлений дроби в виде $ \left( *** \right) $, например:

$ \dfrac{3}{8} = \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{8} = \dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{24}$.