Как мы говорили с Вами в прошлой статье, единственность предела следует из определения предела функции по Гейне. Однако давайте сформулируем и докажем теорему о единственности предела.
Теорема о единственности предела
Формулировка:
Если функция [latex]f(x)[/latex] в точке [latex]a[/latex] имеет предел, то этот предел единственный.
Доказательство:
Докажем методом от противного. Предположим, что [latex]\lim\limits_{x\rightarrow a } f(x) = b[/latex], [latex]\lim\limits_{x\rightarrow a } f(x) = c[/latex], [latex]b \neq c[/latex]. Возьмём [latex]\varepsilon = \frac{|b-c|}{2}[/latex], по определению и свойству окрестности найдётся такая проколотая
[latex]\delta[/latex]-окрестность точки [latex]a[/latex] ([latex]\dot{U}_{\delta }(a)[/latex]), в которой одновременно будут выполнятся неравенства [latex]|f(x)-b|<\frac{|b-c|}{2}[/latex], [latex]|f(x)-c|<\frac{|b-c|}{2}[/latex] , тогда в точках этой же окрестности [latex]|b-c|=[/latex][latex]|(b-f(x))+[/latex][latex](f(x)-c)| \leq[/latex][latex] |f(x)-b|+[/latex][latex]|f(x)-c|<[/latex][latex] \frac{|b-c|}{2}+[/latex][latex]\frac{|b-c|}{2}=[/latex][latex]|b-c|.[/latex] Получили противоречие [latex]|b-c| < |b-c|[/latex]. Отсюда, функция [latex]f(x)[/latex] в точке [latex]a[/latex] имеет единственный предел.
Теорема о локальной ограниченности функции, имеющей предел
Формулировка:
Если предел функции [latex]f(x)[/latex] при [latex]x\rightarrow a[/latex] равняется [latex]A[/latex], то найдётся окрестность точки [latex]a[/latex], во всех точках которой функция [latex]f(x)[/latex] ограничена.
Доказательство:
Из определения предела по Коши получим: [latex]\forall \varepsilon >0[/latex] [latex] \exists \delta=\delta(\varepsilon) >0:[/latex][latex]\forall x\in \dot{U}_{\delta }(a)\Rightarrow |f(x)-A|<\varepsilon.[/latex] Возьмём [latex]\varepsilon =1[/latex]. Из условия теоремы следует существование окрестности [latex]\dot{U}_{\delta }(a)[/latex]. Следовательно, [latex]|f(x)-A|<1[/latex]. Перепишем это следующим образом:[latex]A-1<f(x)<A+1[/latex]. Легко видеть, что это и означает ограниченность функции [latex]f(x)[/latex].
Литература
Лысенко З.М. Конспект лекций по математическому анализу. Тема «Предел функции»
Тест по теме Единственность предела, локальная ограниченность функции, имеющей предел.
Вы уже проходили тест ранее. Вы не можете запустить его снова.
Тест загружается...
Вы должны войти или зарегистрироваться для того, чтобы начать тест.
Вы должны закончить следующие тесты, чтобы начать этот:
Результаты
Правильных ответов: 0 из 3
Ваше время:
Время вышло
Вы набрали 0 из 0 баллов (0)
Средний результат
Ваш результат
Рубрики
Математический анализ0%
Спасибо Вам за прохождение данного теста, надеюсь вы узнали для себя что-нибудь новое!
Ваш результат был записан в таблицу лидеров
Загрузка
максимум из 17 баллов
Место
Имя
Записано
Баллы
Результат
Таблица загружается
Нет данных
1
2
3
С ответом
С отметкой о просмотре
Задание 1 из 3
1.
Количество баллов: 5
Если предел функции $$ f(x) $$ при $$ x\rightarrow a $$ равняется $$ A, $$ то найдётся окрестность точки $$ a, $$ во всех точках которой функция $$ f(x) $$
Правильно
Неправильно
Задание 2 из 3
2.
Количество баллов: 5
Последовательность действий при доказательстве теоремы о единственности предела.
Предположим, что
$$ \lim_{x\rightarrow a } f(x) = b, \lim_{x\rightarrow a } f(x) = c, b \neq c $$
Возьмём
$$ \varepsilon = \frac{|b-c|}{2} $$
Тогда будут выполняться неравенства:
$$ |f(x)-b|<\frac{|b-c|}{2}, |f(x)-c|<\frac{|b-c|}{2} $$
Тогда
$$ |b-c| = |(b-f(x))+(f(x)-c)|\leq$$ $$ \leq|f(x)-b|+|f(x)-c|<\frac{|b-c|}{2}+\frac{|b-c|}{2}=$$ $$=|b-c| $$
Правильно
Неправильно
Задание 3 из 3
3.
Количество баллов: 7
Если существует некоторая окрестность точки [latex]a,[/latex] во всех точках которой функция [latex]f(x)[/latex] ограничена, обязательно ли существует предел функции [latex]f(x)[/latex] при [latex]x \rightarrow a [/latex] и притом конечный?
Выясним, в чём заключается геометрический смысл предела функции в точке. Построим график функции $y=f(x)$ и отметим на нём точки $x=a$ и $y=A$.
Предел функции $y=f(x)$ в точке $x\rightarrow a$ существует и равен $A$, если для любой $\varepsilon$-окрестности точки $A$ можно указать такую $\delta$-окрестность точки $a$, что для любого $x$ из этой $\delta$-окрестности значение $y=f(x)$ будет находится в $\varepsilon$-окрестности точки $A$.
Отметим, что по определению предела функции в точке для существования предела при $x\rightarrow a$ не важно, какое значение принимает функция в самой точке $a$. Можно привести примеры, когда функция не определена при $x=a$ или принимает значение, отличное от $A$. Тем не менее, предел может быть равен $A$.
Определение 1.1. (определение по Коши или на языке [latex]\varepsilon — \delta[/latex]):
[latex]A[/latex] — предел функции [latex]f(x)[/latex] в точке [latex]a[/latex] (и пишут \(\lim\limits_{x\rightarrow a } f(x) = A\)), если: [latex]\forall \varepsilon > 0 \exists \delta > 0:\forall x: 0 < |x-a| < \delta \Rightarrow |f(x) — A| < \varepsilon[/latex] В определении допускается, что [latex]x \neq a[/latex], то есть [latex]a[/latex] может не принадлежать области определения функции.
Определение 1.2. (определение по Гейне):
[latex]A[/latex] называется пределом функции [latex]f(x)[/latex] в точке [latex]a[/latex], если [latex]\forall \left \{ x_{n} \right \}\rightarrow a[/latex], [latex]x_n\ne a[/latex] то есть [latex]\lim\limits_{n\rightarrow \infty } x_{n} = a[/latex], соответствующая последовательность значений [latex]{f(x_{n})} \rightarrow A[/latex], то есть [latex]\lim\limits_{n\rightarrow \infty } f(x_{n}) = A[/latex].
Замечание 1.1.
Из определения предела функции по Гейне следует, что функция не может иметь в точке два разные предела.
Замечание 1.2.
Понятие предела функции в точке есть локальное понятие: существование и значение предела полностью определяется значениями функции в как угодно малой окрестности этой точки.
Замечание 1.3.
[latex]\forall x:0<|x-a|<\delta[/latex]
Данную запись в определении можно сформулировать иначе: точка [latex]x[/latex] принадлежит проколотой [latex]\delta[/latex]-окрестности точки [latex]a[/latex]([latex]x\in \dot{U_{\delta }}(a)[/latex])
2. Эквивалентность определений
Пусть число [latex]A[/latex] является пределом функции [latex]f(x)[/latex] в точке [latex]a[/latex] по Коши. Выберем произвольную подходящую последовательность [latex]x_{n}[/latex] , [latex]n \in N[/latex], то есть такую, для которой [latex]\lim\limits_{n\rightarrow \infty } x_{n} = a[/latex]. Покажем, что [latex]A[/latex] является пределом по Гейне.
Зададим произвольное [latex]\varepsilon > 0[/latex] и укажем для него такое [latex]\delta > 0[/latex], что для всех [latex]x[/latex] из условия [latex]0 < |x-a| < \delta[/latex] следует неравенство [latex]|f(x)-A | < \varepsilon[/latex]. В силу того, что [latex]\lim\limits_{n\rightarrow \infty } x_{n} = a[/latex], для [latex]\delta > 0[/latex] найдётся такой номер [latex]n_{\delta }\in N[/latex], что [latex]\forall n\geq n_{\delta }[/latex] будет выполняться неравенство [latex]|f(x_{n})-A| < \varepsilon[/latex], то есть [latex]\lim\limits_{n\rightarrow \infty } f(x_{n}) = A[/latex].
Докажем теперь обратное утверждение: предположим, что [latex]\lim\limits_{x\rightarrow a } f(x) = A[/latex] по Гейне, и покажем, что число [latex]A[/latex] является пределом функции [latex]f(x)[/latex] в точке [latex]a[/latex] по Коши. Предположим, что это неверно, то есть: [latex]\exists \varepsilon_{0} > 0 \forall \delta > 0 :\exists x_{\delta }:0<|x_{\delta }-a|<\delta \Rightarrow |f(x_{\delta })-A|\geq \varepsilon[/latex]. В качестве [latex]\delta[/latex] рассмотрим [latex]\delta = \frac{1}{n}[/latex], а соответствующие значения [latex]x_{\delta }[/latex] будем обозначать [latex]x_{n}[/latex]. Тогда при любом [latex]n\in N[/latex] выполняются условия [latex]|x_{n}-a|<\frac{1}{n}[/latex] и [latex]|f(x_{n})- A | \geq \varepsilon[/latex]. Отсюда следует, что последовательность является подходящей, но число [latex]A[/latex] не является пределом функции [latex]f(x)[/latex] в точке [latex]a[/latex]. Получили противоречие.
Функция [latex]y=C,[/latex] где [latex]C[/latex] — постоянно непрерывна на [latex]R,[/latex] так как [latex]\Delta y=0[/latex]при любом[latex]x.[/latex] Функция [latex]y=x[/latex]непрерывна на [latex]R,[/latex] так как [latex]\Delta y=\Delta x \to 0[/latex]при[latex]\Delta x \to 0.[/latex] Поэтому функция[latex]y=a_{k}x^k,[/latex] где [latex]k\in\mathbb{N},[/latex] непрерывна на [latex]R[/latex] как произведение непрерывных функций. Так как многочлен [latex]P_{n}(x)[/latex]есть сумма непрерывных функций вида [latex]a_{k}x^k\ \ \ \left ( k=\overline{0,n} \right ),[/latex] то он непрерывен на[latex]R.[/latex]
[свернуть]
Рациональная функция, т. е. функция вида [latex]f(x)=\frac{P_{n}(x)}{Q_{m}(x)},[/latex] где [latex]P_{n}(x),Q_{m}(x)[/latex] — многочлены степени [latex]n[/latex] и [latex]m[/latex] соответственно, непрерывна во всех точках, которые не являются нулями многочлена [latex]Q_{m}(x).[/latex]
Спойлер
В самом деле, если [latex]Q_{m}(x)\neq 0,[/latex] то из непрерывности многочленов [latex]P_{n}[/latex] и [latex]Q_{m}[/latex] следует непрерывность функции [latex]f[/latex] в точке [latex]x_{0}.[/latex]
[свернуть]
Утверждение 2
Если [latex] x \in \left ( — \frac{\pi}{2} , \frac{\pi}{2} \right ) [/latex] и [latex] x\neq 0,[/latex] то [latex] \cos{x} <\frac{\sin\ x}{x} < 1 \ \ \ \ \left ( 1 \right ).[/latex]
Спойлер
Рассмотрим в координатной плоскости круг единичного радиуса
с центром в точке [latex] O [/latex] (рис. 12.1). Пусть [latex] \angle AOB=x,[/latex] где [latex]0<x<\frac{\pi}{2} [/latex].
Пусть [latex] C [/latex] — проекция точки [latex] B[/latex] на ось [latex]Ox[/latex], [latex] D [/latex] луча [latex] OB [/latex] и прямой, проведенной через точку [latex] A [/latex] перпендикулярно оси [latex] Ox.[/latex] Тогда [latex]BC=sin x, DA=tgx.[/latex]
Пусть [latex]S_{1}, S_{2}, S_{3}[/latex] — площади треугольника [latex]AOB,[/latex] сектора[latex]AOB[/latex] и треугольника [latex]AOD[/latex] соответственно. Тогда
и тогда функция [latex]y=\log_{a}{x}[/latex] — монотонна и непрерывна(как обратная)
Утверждение 7
Функции, заданные формулами
[latex]sh\ x =\frac{e^x-e^{-x}}{2},\ \ \ \ ch\ x=\frac{e^x+e^{-x}}{2}[/latex]
называют соответственно гиперболическим синусом и гиперболическим косинусом.
Эти функции определены и непрерывны на [latex]\mathbb{R}[/latex], причем [latex]sh\ x[/latex]— нечетная функция, а [latex]ch\ x[/latex] — четная функция.
Спойлер
[свернуть]
Из определения функций [latex]sh\ x[/latex] и [latex]ch\ x[/latex] следует, что
Функция [latex]th\ x[/latex] определена и непрерывна на [latex]\mathbb{R},[/latex] а функция [latex]cth\ x[/latex] определена и непрерывна на множестве [latex]\mathbb{R}[/latex] с выколотой точкой [latex]x= 0.[/latex] Обе функции нечетные.
Спойлер
[свернуть]
Утверждение 8
Пусть функции [latex]u(x)[/latex] и [latex]v(x)[/latex] определены на промежутке[latex]\Delta =\left ( a,b \right ),[/latex] причем для всех[latex]x \in \Delta[/latex] выполняется условие [latex]u(x)>0,[/latex] Тогда функцию [latex]y,[/latex] определяемую формулой
[latex]y=e^{v(x)\ln{u(x)}}[/latex]
будем называть показательно-степенной и обозначать
[latex]y=u(x)^{v(x)}[/latex]
Таким образом, исходя из определения
[latex]u(x)^{v(x)}=e^{v(x)\ln{u(x)}}[/latex]
Если [latex]u,v[/latex] — функции, непрерывные на [latex]\Delta,[/latex] то функция [latex]u^v[/latex] непрерывна на [latex]\Delta[/latex] как суперпозиция непрерывных функций [latex]e^t[/latex] и [latex]t = v(x)\ln{u(x)}[/latex].
Тест
Лимит времени: 0
Навигация (только номера заданий)
0 из 5 заданий окончено
Вопросы:
1
2
3
4
5
Информация
Непрерывность элементарных функций
Вы уже проходили тест ранее. Вы не можете запустить его снова.
Тест загружается...
Вы должны войти или зарегистрироваться для того, чтобы начать тест.
Вы должны закончить следующие тесты, чтобы начать этот:
Результаты
Время вышло
Вы набрали 0 из 0 баллов (0)
Средний результат
Ваш результат
Рубрики
Нет рубрики0%
Математический анализ0%
Ваш результат был записан в таблицу лидеров
Загрузка
максимум из 16 баллов
Место
Имя
Записано
Баллы
Результат
Таблица загружается
Нет данных
1
2
3
4
5
С ответом
С отметкой о просмотре
Задание 1 из 5
1.
Выберите правильные утверждения
Правильно
Неправильно
Задание 2 из 5
2.
Установите соответствие
Элементы сортировки
Нечетная функция
Четная функция
$$sh\ x$$
$$ch\ x$$
Правильно
Неправильно
Задание 3 из 5
3.
Вставьте пропущенное слово в определение
Многочлен является (непрерывной) функцией на всей числовой прямой
Правильно
Неправильно
Задание 4 из 5
4.
Закончите определение: Пусть функции [latex]u(x)[/latex] и [latex]v(x)[/latex] определены на промежутке[latex]\Delta =\left ( a,b \right )[/latex] , причем для всех[latex]x \in \Delta[/latex] выполняется условие [latex]u(x)>0[/latex]. Тогда функцию [latex]y[/latex], определяемую формулой
[latex]y=e^{v(x)\ln{u(x)}}[/latex]
будем называть…
Правильно
Неправильно
Задание 5 из 5
5.
Оцените насколько нравится вам данный тест, где 1 — совсем ненравится,а 5 — очень нравится
$latex \lim_{x\to a}\varphi (x)=b$ и $latex \lim_{y\to b}f(y)=A $
причем для всех х из некоторой проколотой окрестности точки [latex]a[/latex] выполняется условие $latex \varphi (x)\neq b $, то в точке [latex]a[/latex] существует предел сложной функции $latex f(\varphi (x)) $ и справедливо равенство
