Выясним, в чём заключается геометрический смысл предела функции в точке. Построим график функции $y=f(x)$ и отметим на нём точки $x=a$ и $y=A$.

Предел функции $y=f(x)$ в точке $x\rightarrow a$ существует и равен $A$, если для любой $\varepsilon$-окрестности точки $A$ можно указать такую $\delta$-окрестность точки $a$, что для любого $x$ из этой $\delta$-окрестности значение $y=f(x)$ будет находится в $\varepsilon$-окрестности точки $A$.

Отметим, что по определению предела функции в точке для существования предела при $x\rightarrow a$ не важно, какое значение принимает функция в самой точке $a$. Можно привести примеры, когда функция не определена при $x=a$ или принимает значение, отличное от $A$. Тем не менее, предел может быть равен $A$.

Литература:

• Г.М. Фихтенгольц Курс дифференциального и интегрального исчисления. Глава 2. Функции одной переменной. 2.52. Определение предела функции. (с. 115-117)