Условие

На сторонах [latex]a, b, c, d[/latex] вписанного в окружность четырехугольника «наружу» построены прямоугольники размерами [latex]a\times c, b\times d,[/latex][latex]c\times a, d\times b[/latex]. Докажите, что центры этих прямоугольников являются вершинами а)параллелограмма, б)прямоугольника.

Решение

а) Пусть [latex]M, P, N, Q[/latex] — центры прямоугольников, построенных на сторонах [latex]AB, BC, CN, DA[/latex] вписанного четырехугольника [latex]ABCD[/latex] (см. рисунок).
Поскольку в четырехугольнике, вписанном в окружность, суммы противоположных углов равны [latex]180\textdegree[/latex] , а прямоугольники, построенные на противоположных сторонах, конгруэнтны, то [latex]\angle MBP = \angle NDQ[/latex] и [latex]\angle NCP = \angle MAQ[/latex] (мы рассматриваем углы, меньшие [latex]180\textdegree[/latex]). Таким образом, треугольник [latex]MBP[/latex] подобен [latex]NDC[/latex] и треугольник [latex]NCP[/latex] подобен [latex]MAQ[/latex]. Отсюда [latex]\mid MP \mid = \mid NQ \mid[/latex] и [latex]\mid NP \mid = \mid MQ \mid[/latex], а это означает, что четырехугольник [latex]MPNQ[/latex] — параллелограмм.
б) Можно считать, что сторона [latex]MQ[/latex] параллелограмма видна из точки [latex]A[/latex] изнутри параллелограмма, сторона [latex]PN[/latex] видна из точки [latex]C[/latex] снаружи и, аналогично, сторона [latex]MP[/latex] видна из точки [latex]B[/latex] изнутри, а сторона [latex]NQ[/latex] из точки [latex]D[/latex] видна снаружи. Тогда расположение всех отрезков и треугольников будет таким, как показано на рисунке. Докажем, что, [latex]\angle MPN + \angle NQM = 180\textdegree[/latex] (отсюда будет следовать, что [latex]\angle MPN = \angle NQM = 90\textdegree[/latex]). Эта сумма, очевидно, равна [latex]\angle BPC + \angle DQA = 180\textdegree[/latex], поскольку [latex]\angle BPM = \angle DQN[/latex], а [latex]\angle CPN = \angle AQM[/latex].

Задача из журнала “Квант” (1984, №3)

Условие

Все точки, лежащие на сторонах правильного треугольника $ABC$ разбиты на два множества $E_{1}$ и $E_{2}$. Верно ли, что для любого такого разбиения в одном из множеств $E_{1}$ и $E_{2}$ найдется тройка вершин прямоугольного треугольника?

рис. 1

Ответ

Верно.

Доказательство

Доказательство проведем от противного. Пусть точки множества $E_{1}$ окрашены синим цветом, множества $E_{2}$ – красным. Предположим, что не существует прямоугольного треугольника с одноцветными вершинами, и рассмотрим правильный шестиугольник, вписанный в треугольник $ABC$ (см. рисунок 1). Каждые две его противоположные вершины должны быть окрашены по-разному — если, например, противоположные вершины $P$ и $Q$ синие, то любая из остальных четырех вершин должна быть красной, так как образует вместе с $P$ и $Q$ прямоугольный треугольник: но тогда любые три из этих красных точек образуют запрещенный одноцветный прямоугольный треугольник.

рис. 2

Ясно, что в таком случае найдутся две соседние разноцветные вершины шестиугольника. Либо эти две вершины, либо противоположные им (тоже разноцветные!) лежат на одной из сторон треугольника. Пусть для определенности на стороне $AB$ лежат синяя вершина $К$ и красная $L$, тогда противоположные им вершины $K’$ и $L’$ будут красной и синей (см. рисунок 3). Но тогда в какой бы цвет ни была окрашена вершина $А$, один из
прямоугольных треугольников $AKL’$ и $ALK’$ будет одноцветным. Противоречие.

рис. 3

Это рассуждение показывает, что даже множество из восьми точек — вершин шестиугольника и любых двух вершин треугольника — нельзя разбить на подмножества без прямоугольных треугольников.

Н.Б. Васильев, В.Н. Дубровский