M1718. Найдите функции

Задача из журнала «Квант» (2000 год, 1 выпуск)

Условие

Найдите все функции $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ такие, что
$$f \left (x-f \left (y \right ) \right ) =f \left (f \left (y \right ) \right ) +xf \left (y \right ) +f \left (x \right ) -1$$ для всех $x,y \in \mathbb{R}$.

Решение

Пусть $A$ — множество значений функции $f$ и $c=f \left (0 \right ) $. Положив $x=y=0$, мы получим $$f \left (-c \right ) =f \left (c \right ) +c-1,$$ поэтому $c \neq 0$. Легко найти сужение функции $f$ на множество $A$: взяв $x = f \left (y \right ) $, получим $$\begin{equation}\label{eq:first} f \left (x \right ) = \frac{c+1}{2}-\frac{x^2}{2} \end{equation}$$ для всех $x$ из $A$.
Основной шаг доказательства состоит в том, чтобы показать, что множество разностей $x-y$, где $x, y \in A$, есть все множество $\mathbb{R}$. Для $y=0$ мы имеем $$ \left \{ f \left (x-c \right ) -f \left (x \right ) \mid x \in \mathbb{R} \right \} = \left \{ cx+f \left (c \right ) -1 \mid x \in \mathbb{R} \right \} =\mathbb{R},$$ поскольку $c \neq 0$.
Теперь мы можем получить значение $f \left (x \right ) $ для произвольного $x$: если мы выберем $y_1, y_2 \in A$ такие, что $x = y_1-y_2$, и используем $\left (1 \right ) $, то мы получим $$ f \left (x \right ) =f \left (y_1-y_2 \right ) =\\
=f \left (y_2 \right ) +y_1y_2+f \left (y_1 \right ) -1= \frac{c+1}{2}-\frac{y_2^2}{2} +y_1y_2+\\
\begin{align} + \frac{c+1}{2}-\frac{y_1^2}{2} -1=c- \frac{\left (y_1-y_2 \right ) ^2}{2} =c- \frac{x^2}{2}. \end{align}$$ Сравнивая $\left (1 \right ) $ и $\left (2 \right ) $, мы получим $c = 1$, и поэтому $$f \left (x \right ) =1- \frac{x^2}{2} $$ для всех $x \in \mathbb{R}$. Мы получили единственную функцию, которая удовлетворяет функциональному уравнению задачи.

Равенство множеств


Равенство множеств

Множества равны, если они содержат одни и те же элементы. Если $A$ есть множество $\left\{2,4,6\right\}$, а $B$ есть множество $\left\{x: x\ есть\ четное\ положительное\ целое\ число,\ которое\ меньше\ 7\right\},$ тогда $A$ и $B$ — равные множества. Таким образом мы приходим к следующему определению.

Пусть $A$ и $B$ — некоторые множества. Говорят, что $A$ равно $B$, и пишут $A=B$, если $\forall\ x : x\in\ A\Leftrightarrow\ x\in\ B$. Иначе говоря, $A=B\Leftrightarrow\ A\subseteq\ B \ и \ B\subseteq\ A$.

Литература:

  • Конспект лекций Г.С. Белозерова
  • Линейная алгебра. Воеводин В.В. М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1980, с.9-13
  • Лекции по общей алгебре (издание второе). Курош А.Г. М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1973, с.14-17

Тест

В заданиях необходимо определить отношения включения множеств