РЕШЕНИЕ МАТРИЧНЫХ УРАВНЕНИЙ

Решение матричных уравнений

Матричные уравнения бывают трех типов.

$A \cdot X=B$

$X \cdot A=B$

$C \cdot X \cdot A=B$

Пример 1. Чтобы решить уравнение первого типа нужно обе части уравнения умножить на обратную к матрице $A$ слева.
$\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \\ \end{pmatrix} \cdot X=$ $\begin{pmatrix} 3 & 5 \\ 5 & 9 \\ \end{pmatrix}$ , $\det \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \\ \end{pmatrix}=-2$
$A_{11}=(-1)^{1+1} \cdot 4=4$
$A_{12}=(-1)^{1+2} \cdot 3=-3$
$A_{21}=(-1)^{2+1} \cdot 2=-2$
$A_{22}=(-1)^{2+2} \cdot 1=1$
$\begin{pmatrix} 4 & -3 \\ -2 & 1 \\ \end{pmatrix}$ , полученную матрицу транспонируем и умножим на $\det^{-1} \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \\ \end{pmatrix}=-1/2$ . Обратная матрица к $\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \\ \end{pmatrix}$ равна $\begin{pmatrix} -2 & 1 \\ 3/2 & -1/2 \\ \end{pmatrix}$ .
$X=\begin{pmatrix} -2 & 1 \\ 3/2 & -1/2 \\ \end{pmatrix} \cdot$ $\begin{pmatrix} 3 & 5 \\ 5 & 9 \\ \end{pmatrix}$ , $X= \begin{pmatrix} -1 & -1 \\ 2 & 3 \\ \end{pmatrix}$ . Сделаем проверку $\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \\ \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} -1 & -1 \\ 2 & 3 \\ \end{pmatrix}=$ $\begin{pmatrix} 3 & 5 \\ 5 & 9 \\ \end{pmatrix}$ . Уравнение решили правильно.
Пример 2. Чтобы решить уравнение второго типа нужно обе части уравнения умножить на обратную к матрице $A$ справа.
$X \cdot \begin{pmatrix} 3 & -2 \\ 5 & -4 \\ \end{pmatrix}=$ $\begin{pmatrix} -1 & 2 \\ -5 & 6 \\ \end{pmatrix}.$ Матрица обратная к $\begin{pmatrix} 3 & -2 \\ 5 & -4 \\ \end{pmatrix}$ равна $\begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 5/2 & -3/2 \\ \end{pmatrix}.$ $X=\begin{pmatrix} -1 & 2 \\ -5 & 6 \\ \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 5/2 & -3/2 \\ \end{pmatrix},$ $X=\begin{pmatrix} 3 & -2 \\ 5 & -4 \\ \end{pmatrix}$ .
Пример 3. Чтобы решить уравнение третьего типа нужно обе части уравнения умножить на обратную к матрице $A$ справа и на обратную матрице $C$ слева.
$\begin{pmatrix} 3 & -1 \\ 5 & -2 \\ \end{pmatrix} \cdot X \cdot \begin{pmatrix} 5 & 6 \\ 7 & 8 \\ \end{pmatrix}=$ $\begin{pmatrix} 14 & 16 \\ 9 & 10 \\ \end{pmatrix}$ . Обратная матрица к $\begin{pmatrix} 3 & -1 \\ 5 & -2 \\ \end{pmatrix}$ равна $\begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 5 & -3 \\ \end{pmatrix},$ обратная матрица к $\begin{pmatrix} 5 & 6 \\ 7 & 8 \\ \end{pmatrix}$ равна $\begin{pmatrix} -4 & 3 \\ 7/2 & -5/2 \\ \end{pmatrix}$ . $X=\begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 5 & -3 \\ \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 14 & 16 \\ 9 & 10 \\ \end{pmatrix} \cdot$ $\begin{pmatrix} -4 & 3 \\ 7/2 & -5/2 \\ \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \\ \end{pmatrix}$ .
Проверка $\begin{pmatrix} 3 & -1 \\ 5 & -2 \\ \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \\ \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 5 & 6 \\ 7 & 8 \\ \end{pmatrix}=$ $\begin{pmatrix} 14 & 16 \\ 9 & 10 \\ \end{pmatrix}$ .
Пример 4. Случай когда обратная матрица не существует.
$X \cdot \begin{pmatrix} 3 & 6 \\ 4 & 8 \\ \end{pmatrix}=$ $\begin{pmatrix} 2 & 4 \\ 9 & 18 \\ \end{pmatrix}$ .
Матрицу $X$ запишем как $\begin{pmatrix} x_{1} & x_{2} \\ x_{3} & x_{4} \\ \end{pmatrix}$ , $\begin{pmatrix} 3 \cdot x_{1}+4 \cdot x_{2} & 6 \cdot x_{1}+8 \cdot x_{2} \\ 3 \cdot x_{3}+4 \cdot x_{4} & 6 \cdot x_{3}+8 \cdot x_{4} \\ \end{pmatrix}=$ $\begin{pmatrix} 2 & 4 \\ 9 & 18 \\ \end{pmatrix}$ .

$\begin{cases} 3 \cdot x_{1}+4 \cdot x_{2} = 2\\ 6 \cdot x_{1}+8 \cdot x_{2} = 4\\ 3 \cdot x_{3}+4 \cdot x_{4} = 9\\ 6 \cdot x_{3}+8 \cdot x_{4}=18 \end{cases}$
Эта система эквивалентна
$\begin{cases} 3 \cdot x_{1}+4 \cdot x_{2} = 2\\ 3 \cdot x_{3}+4 \cdot x_{4} = 9 \end{cases}$
Решив данную систему получим общей вид решения $X=\begin{pmatrix} x_{1} & (2-3x_{1})/4 \\ x_{3} & (9-4x_{1})/3 \\ \end{pmatrix}$
Литература

1. Белозёров Г. С. Конспект по алгебре и геометрии

2. Линейная алгебра. Воеводин. В. В. М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1980 год, стр. 211-213.

Сборник задач по линейной алгебре. Проскуряков. И. В. М. 1961 год, стр. 118-119.

Решение матричных уравнений

Обращение матриц. Решение матричных уравнений

Задание 1 из 2

1.
Количество баллов: 1
Решите матричное уравнение

$X \cdot \begin{pmatrix} 5 & 3 & 1 \\ 1 & -3 & -2 \\ -5 & 2 & 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 & -3 & 0 \\ 10 & 2 & 7 \\ 10 & 7 & 8 \end{pmatrix}$
- $\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{pmatrix}$
- $\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & -9 \end{pmatrix}$
- $\begin{pmatrix} 1 & 2 & -3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{pmatrix}$
Правильно

Неправильно
Задание 2 из 2

2.
Количество баллов: 1
Решите матричное уравнение

$\begin{pmatrix} 2 & -3 & 1 \\ 14 & -5 & 2 \\ 5 & -7 & 3 \end{pmatrix} \cdot X \cdot \begin{pmatrix} 9 & 7 & 6 \\ 1 & 1 & 2 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2 & 0 & -2 \\ 18 & 12 & 9 \\ 23 & 15 & 11 \end{pmatrix}$
- $\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 1 \end{pmatrix}$
- $\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 3 \\ 2 & -3 & 1 \end{pmatrix}$
- $\begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 \\ 1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 1 \end{pmatrix}$
Правильно

Неправильно

Таблица лучших: Решение матричных уравнений

максимум из 2 баллов
Место	Имя	Записано	Баллы	Результат
Таблица загружается
Нет данных

Обращение матриц

Первый способ нахождения обратной матрицы. Пусть дана матрица $A = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 3 \\ 2 & 3 & 5 \\ 3 & 5 & 7 \end{pmatrix}$ . Обратную матрицу можно вычислить по формуле $A^{-1}=(\det A)^{-1} \cdot A^{T},$ где $A^{T}$ — транспонированная матрица алгебраических дополнений. Найдем определитель этой матрицы по правилу треугольника. $\det A=$ $0 \cdot 3 \cdot 7+1 \cdot 5 \cdot 3$ $+2 \cdot 5 \cdot 3-3 \cdot 3 \cdot 3$ $-5 \cdot 5 \cdot 0-2 \cdot 1 \cdot 7=4.$ Если бы определитель был равен нулю, то обратная матрица не существует. Дальше найдем алгебраическое дополнение матрицы. Чтобы найти алгебраическое дополнение каждого элемента матрицы, нужно вычеркнуть строку и столбец содержащий этот элемент, найти определитель минора каждого элемента и умножить на $-1$ в степени суммы номера строки и столбца в которых располагается элемент.
$A_{11}=(-1)^{1+1} \begin{pmatrix} 3 & 5 \\ 5 & 7 \\ \end{pmatrix}=-4$
$A_{12}=(-1)^{1+2} \begin{pmatrix} 2 & 5 \\ 3 & 7 \\ \end{pmatrix}=1$
$A_{13}=(-1)^{1+3} \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 3 & 5 \\ \end{pmatrix}=1$
$A_{21}=(-1)^{2+1} \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 5 & 7 \\ \end{pmatrix}=8$
$A_{22}=(-1)^{2+2} \begin{pmatrix} 0 & 3 \\ 3 & 7 \\ \end{pmatrix}=-9$
$A_{23}=(-1)^{2+3} \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 3 & 5 \\ \end{pmatrix}=3$
$A_{31}=(-1)^{3+1} \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 3 & 5 \\ \end{pmatrix}=-4$
$A_{32}=(-1)^{3+2} \begin{pmatrix} 0 & 3 \\ 2 & 5 \\ \end{pmatrix}=6$
$A_{33}=(-1)^{3+3} \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 2 & 3 \\ \end{pmatrix}=-2$
Матрица алгебраических дополнений $A = \begin{pmatrix} -4 & 1 & 1 \\ 8 & -9 & 3 \\ -4 & 6 & -2 \end{pmatrix}$ . Транспонируем Матрицу алгебраических дополнений, $A^{T} = \begin{pmatrix} -4 & 8 & -4 \\ 1 & -9 & 6 \\ 1 & -3 & -2 \end{pmatrix}$ . Теперь найдем обратную матрицу $A^{-1}=$ $\frac{1}{4} \begin{pmatrix} -4 & 8 & -4 \\ 1 & -9 & 6 \\ 1 & -3 & -2 \end{pmatrix}=$ $\begin{pmatrix} -1 & 2 & -1 \\ 1/4 & -9/4 & 3/2 \\ 1/4 & -3/4 & -1/2 \end{pmatrix}$ . Если обратная матрица найдена правильно, то при умножение обратной матрицы на исходную получим матрицу, у которой на главной диагонали единицы, а все остальные элементы равны нулю. $\begin{pmatrix} 0 & 1 & 3 \\ 2 & 3 & 5 \\ 3 & 5 & 7 \end{pmatrix}$ $\begin{pmatrix} -1 & 2 & -1 \\ 1/4 & -9/4 & 3/2 \\ 1/4 & -3/4 & -1/2 \end{pmatrix}=$ $\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$ . Так как получили единичную матрицу, то обратная матрица найдена верно.
Второй способ нахождения обратной матрицы. Запишем рядом с исходной матрицей единичную $\begin{pmatrix} 0 & 1 & 3 \\ 2 & 3 & 5 \\ 3 & 5 & 7 \end{pmatrix}$ $\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$ . Любую матрицу можно привести к единичной, это мы и сделаем с нашей матрицей $A$ , выполняя действия по привидению матрицы $A$ к единичному виду, будем выполнять такие же с единичной матрицей.
$\begin{pmatrix} 0 & 1 & 3 \\ 2 & 3 & 5 \\ 3 & 5 & 7 \end{pmatrix}$ $\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$
Умножим вторую строку на $-1$ и прибавим к третьей.
$\begin{pmatrix} 0 & 1 & 3 \\ 2 & 3 & 5 \\ 1 & 2 & 2 \end{pmatrix}$ $\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 1 \end{pmatrix}$
Поменяем первую и третью строки местами.
$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 2 \\ 2 & 3 & 5 \\ 0 & 1 & 3 \end{pmatrix}$ $\begin{pmatrix} 0 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}$
Первую строку умножим на $-2$ и прибавим ко второй.
$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 2 \\ 0 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 3 \end{pmatrix}$ $\begin{pmatrix} 0 & -1 & 1 \\ 0 & 3 & -2 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}$
Вторую строку прибавим к третьей.
$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 2 \\ 0 & -1 & 1 \\ 0 & 0 & 4 \end{pmatrix}$ $\begin{pmatrix} 0 & -1 & 1 \\ 0 & 3 & -2 \\ 1 & 3 & -2 \end{pmatrix}$
Поделим третью строку на четыре.
$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 2 \\ 0 & -1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$ $\begin{pmatrix} 0 & -1 & 1 \\ 0 & 3 & -2 \\ 1/4 & 3/4 & -1/2 \end{pmatrix}$
Умножим вторую строку на $-2$ и прибавим к первой.
$\begin{pmatrix} 1 & 4 & 0 \\ 0 & -1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$ $\begin{pmatrix} 0 & -7 & 5 \\ 0 & 3 & -2 \\ 1/4 & 3/4 & -1/2 \end{pmatrix}$
Умножим третью строку на $-1$ и прибавим ко второй.
$\begin{pmatrix} 1 & 4 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$ $\begin{pmatrix} 0 & -7 & 5 \\ -1/4 & 9/4 & -3/2 \\ 1/4 & 3/4 & -1/2 \end{pmatrix}$
Умножим вторую строку на $-1$ .
$\begin{pmatrix} 1 & 4 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$ $\begin{pmatrix} 0 & -7 & 5 \\ 1/4 & -9/4 & 3/2 \\ 1/4 & 3/4 & -1/2 \end{pmatrix}$
Вторую строку умножим на $-4$ и прибавим к первой.
$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$ $\begin{pmatrix} -1 & 2 & -1 \\ 1/4 & -9/4 & 3/2 \\ 1/4 & 3/4 & -1/2 \end{pmatrix}$
Полученная матрица является обратной.
Литература

1. Белозёров Г. С. Конспект по алгебре и геометрии

Сборник задач по линейной алгебре. Проскуряков. И. В. М. 1961 год, стр. 116, 125.

Обращение матриц

Задание 1 из 2

1.
Количество баллов: 1
Найдите обратную матрицу

$\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \\ \end{pmatrix}$
- $\begin{pmatrix} -2 & 1 \\ 3/2 & -1/2 \\ \end{pmatrix}$
- $\begin{pmatrix} -2 & 1 \\ 3/4 & -1/2 \\ \end{pmatrix}$
- $\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 3/2 & -1/2 \\ \end{pmatrix}$
Правильно

Неправильно
Задание 2 из 2

2.
Количество баллов: 1
Найдите обратную матрицу

$\begin{pmatrix} 3 & 4 \\ 5 & 7 \\ \end{pmatrix}$
- $\begin{pmatrix} 7 & -4 \\ -5 & 3 \\ \end{pmatrix}$
- $\begin{pmatrix} 7 & -4 \\ 5 & 3 \\ \end{pmatrix}$
- $\begin{pmatrix} -7 & 4 \\ -5 & 3 \\ \end{pmatrix}$
Правильно

Неправильно

Таблица лучших: Обращение матриц

максимум из 2 баллов
Место	Имя	Записано	Баллы	Результат
Таблица загружается
Нет данных

Группы. Примеры групп. Простейшие следствия из аксиом.

Определение

Пусть $G\ne \varnothing$ , $»*»$ — БАО на $G.$ Тогда $(G, *)$ называется группой, если выполняются следующие три аксиомы.

1. Ассоциативность. $\forall a, b, c\in G~$ $~ (a*b)*c=$ $a*(b*c).$
2. Нейтральный элемент. $\exists e\in G ,\forall a\in G~a*e=$ $e*a=a.$
3. Симметрический элемент. $\forall a\in G,\exists a^{‘}\in G$ $a*a^{‘}=a^{‘}*a=e.$

Если, кроме этих трех условий выполняется условие коммутативности $\forall a, b \in G~a*b=b*a,$ то такая группа называется абелевой.

Примеры

1.) $(\mathbb Z, +), (\mathbb Q^{*}, +),(\mathbb R, +)$ — аддитивные группы (по сложению всякое кольцо является абелевой группой).
2.) $(\mathbb Q^{*}, \cdot), (\mathbb R^{+}, \cdot),(\mathbb R^{*}, \cdot)$ — мультипликативные группы(совокупность отличных от нуля элементов любого поля является абелевой группой).
3.) $(\mathbb C_{[-1;1]}, +)$ — множество непрерывных вещественных функций определенных на $[-1;1].$
4.) $(\mathbb R^{2}, +), (a, b)+(c, d)=$ $(a+c, b+d).$
5.) $G_{2n},$ где $n$ — простое. Возможно по крайней мере 2 группы: Циклическая группа $C_{2n}$ и диэдр $D_{n}$

Простейшие следствия из аксиом

1. Нейтральный элемент — единственный.

Доказательство. Предположим противное. Пусть $\exists e^{‘},$ так как $e^{‘}$ — нейтральный элемент, то $e^{‘}e=e^{‘}$ , но $e$ тоже нейтральный элемент, а значит $e^{‘}e=e \Longrightarrow e=e^{‘}.$

2. $\forall a\in G~ \exists! a^{‘},a^{‘}a=e$

Доказательство. Предположим противное. Пусть $\exists a^{»},a^{»}a=aa^{»}=e,$ $a^{‘}a=aa^{‘}=e,$ $a^{‘}aa^{»}=(a^{‘}a)a^{»}=ea^{»}=a^{»},$ $a^{‘}(aa^{»})=a^{‘}e=a^{‘} \Longrightarrow$ $a^{‘}=a^{»}$

3. $a*x=b,(x*b=a)$ , решение единственно.

Доказательство.

Единственность.

$x_{0}$ — решение. $ax_{0}=b, a^{‘}(ax_{0})=a^{‘}b,$ $(a^{‘}a)x_{0}=a^{‘}b$ , $ex_{0}=a^{‘}b, x_{0}=a^{‘}b$

Существование.

$x_{0}=a^{‘}b, a(a^{‘}b)=$ $(aa^{‘})b=eb=b$

4. $(a^{‘})^{‘}=a, \forall a\in G$

Доказательство. По третьей аксиоме $a^{‘}(a^{‘})^{‘}=e, a^{‘}a=e \Longrightarrow$
$a^{‘}(a^{‘})^{‘}=a^{‘}a\Longrightarrow (a^{‘})^{‘}=a$ .

5. $(ab)^{‘}=b^{‘}a^{‘}$

Доказательство.
$(ab)(ab)^{‘}=e, aa^{‘}=e$ , $bb^{‘}=e \Longrightarrow (aa^{‘})(bb^{‘})=$ $(bb^{‘})(aa^{‘})=ee \Longrightarrow$ $(bb^{‘})(aa^{‘})=e \Longrightarrow$ $(ab)(ab)^{‘}=(bb^{‘})(aa^{‘}) \Longrightarrow$ $(ab)(ab)^{‘}=(ab)b^{‘}a^{‘} \Longrightarrow$ $(ab)^{‘}=b^{‘}a^{‘}$

6. $\forall n\in \mathbb N$ $a^{n}=\underset{n}{\underbrace{aa..a}}$

Доказательство.

База индукции.

$a^{1}=a$ .

Предположение индукции.

Пусть $n=k, a^{k}=\underset{k}{\underbrace{aa..a}}.$

Шаг индукции.

Пусть $n=k+1, a^{k}a^{1}=a(aa..a),$ $a^{k+1}=\underset{k+1}{\underbrace{aa..a}}$ .

7. $\forall n, m\in \mathbb N, a^{n}a^{m}=a^{n+m}$

Доказательство.

$a^{m}=\underset{m}{\underbrace{aa..a}}, a^{n}=\underset{n}{\underbrace{aa..a}}$

$a^{n}a^{m}=\underset{n}{\underbrace{aa..a}} \cdot \underset{m}{\underbrace{aa..a}} \Longrightarrow$ $a^{n}a^{m}=\underset{n+m}{\underbrace{aa..a}}$ , $\underset{n+m}{\underbrace{aa..a}}=a^{n+m} \Longrightarrow$ $a^{n+m}=a^{n}a^{m}$

8. $\forall n, m\in \mathbb N, (a^{n})^{m}=a^{nm}$

Доказательство.

$(a^{n})^{m}=\underset{n}{\underbrace{(aa..a)^{m}}} \Longrightarrow$ $(a^{n})^{m}=\underset{n\cdot m}{\underbrace{(aa..a)}} \Longrightarrow$ $(a^{n})^{m}=\underset{n}{\underbrace{(aa..a)}}\cdot \underset{m}{\underbrace{(aa..a)}}$

$\underset{n}{\underbrace{(aa..a)}}=a^{n}$ , $\underset{m}{\underbrace{(aa..a)}}=a^{m} \Longrightarrow$ $(a^{n})^{m}=a^{n}a^{m}$

9. $\forall n\in \mathbb N, (a^{n})^{‘}=(a^{‘})^{n}$

Доказательство.

$a^{n}(a^{n})^{‘}=e, (a^{‘})^{n}=$ $\underset{n}{\underbrace{(a^{‘}a^{‘}..a^{‘})}},$

$\underset{n}{\underbrace{(aa..a)}} \cdot \underset{n}{\underbrace{(a^{‘}a^{‘}..a^{‘})}}=e \Longrightarrow$ $a^{n}(a^{‘})^{n}=e \Longrightarrow$ $a^{n}(a^{‘})^{n}=a^{n}(a^{n})^{‘} \Longrightarrow$ $(a^{‘})^{n}=(a^{n})^{‘}.$
Литература

Белозёров Г. С. Конспект по алгебре и геометрии.
Линейная алгебра. Воеводин. В. В. М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1980 год, стр. 23-27.
Курс высшей алгебры. Курош. А. Г. М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1968 год, стр. 395-396.
http://timinva.narod.ru/m0312.htm#_Toc321326178

Тесты

Группы. Примеры групп. Простейшие следствия из аксиом.

Задание 1 из 2

1.
Количество баллов: 1
Заполните пропуск.
- Если, кроме трёх аксиом группы выполняется условие , то такая группа называется абелева
Правильно

Неправильно
Задание 2 из 2

2.
Количество баллов: 1
Какие следующие множества являются группами.
- $(\mathbb Z, +)$
- $(\mathbb R^{2}, +)$
- $(\mathbb C_{ [ -1;1] }, +)$
- $(\mathbb N, \cdot)$
- $(\mathbb Z, \cdot)$
Правильно

Неправильно

Таблица лучших: Группы. Примеры групп. Простейшие следствия из аксиом.

максимум из 2 баллов
Место	Имя	Записано	Баллы	Результат
Таблица загружается
Нет данных

Теорема о вычислении площади поверхности вращения, следствия

Если на сегменте $[a,b]$ функции $f(x)$ имеет непрерывную производную $f^{‘}(x)$ , то поверхность $M$ , образованная вращением графика этой функции вокруг оси $Ox$ , квадрируема и её площадь $P$ может быть вычислена по формуле $P=$ $2\pi\int\limits_{a}^{b}f(x)\sqrt{1+f^{‘2}(x)}dx$

Доказательство. Длина $l_{i}$ звена $A_{i-1}A_{i}$ ломанной $A_{0}A_{1}…A_{n}$ равна $\sqrt{(x_{i}-x_{i-1})^{2}+(y_{i}-y_{i-1})^{2}}.$ По формуле Лагранжа имеем $y_{i}-y_{i-1}=$ $f(x_{i})-f(x_{i-1})=$ $f^{‘}(\xi)(x_{i}-x_{i-1})$ . Полагая $x_{i}-x_{i-1}=\Delta_{x_{i}}$ . Поэтому, согласно формуле,
$P(x_{i})=$ $2\pi\sum\limits_{i=1}^{n}f(\xi_{i})\sqrt{1+f^{‘2}}\Delta_{x_{i}}+$ $\pi\sum\limits_{i=1}^{n}(y_{i-1}-f(\xi_{i}))\sqrt{1+f^{‘2}}\Delta_{x_{i}}+$ $\pi\sum\limits_{i=1}^{n}(y_{i}-f(\xi_{i}))\sqrt{1+f^{‘2}}\Delta_{x_{i}},$ Обозначим эту формулу $(**).$ Первая сумма в правой части представляет собой интегральную сумму функции $2\pi{f(x)\sqrt{1+f^{‘2}(x)}dx}$ , которая в силу условий утверждения интегрируема и имеет предел $P=$ $2\pi\int\limits_{a}^{b}f(x)\sqrt{1+f^{‘2}(x)}dx$ . Докажем, что выражение в правой части $(**)$ имеет предел, равный нулю. В самом деле, пусть $\varepsilon>0$ . Так как функция $f(x)$ равномерно непрерывны на сегменте $[a,b]$ , то по данному $\varepsilon>0$ можно указать такое $\delta>0$ , что при $\Delta<\delta$ $(\Delta=\max\Delta_{x_{i}})$ выполняются неравенства $|y_{i-1}-f(\xi_{i})|<\varepsilon$ и $|y_{i}-f(\xi_{i})|<\varepsilon$ . Если $T$ — максимальное значение функции $\sqrt{1+f^{‘2}(x)}$ на сегменте $[a,b]$ , то получаем
$|\sum\limits_{i=1}^{n}((y_{i-1}-f(\xi_{i}))+$ $(y_{i}-f(\xi_{i})))\sqrt{{1+f^{‘2}(\xi_{i})}}\Delta_{x_{i}}|<$ $2T\varepsilon\sum\limits_{i=1}^{n}\Delta_{x_{i}}=$ $2T(b-a)\varepsilon.$ В силу произвольности $\varepsilon >0$ предел указанного выражения равен нулю. Итак, мы доказали существование предела $P$ площадей $P(x_{i})$ и установили, что этот предел может быть вычислен по формуле $P=$ $2\pi\int\limits_{a}^{b}f(x)\sqrt{1+f^{‘2}(x)}dx$ .
Замечание 1.Квадрируемость поверхности вращения можно доказать при более слабых условиях. Достаточно потребовать, чтобы функция $f^{‘}(x)$ была определена и интегрируема на сегменте $[a,b].$ Из этого предположения вытекает интегрируемость функции $f(x)\sqrt{1+f^{‘2}(x)}.$ Дальнейшее рассуждение ничем не отличается от рассуждений, проведенных при доказательстве утверждений этого пункта.
Замечание 2. Если поверхность $M$ получается посредством вращения вокруг оси $Ox$ кривой $L$ , определяемой параметрическими уравнениями
$x=\phi(t)$ , $y=\psi(x)$ , $\alpha\leq t\leq \beta,$ то осуществляя замену переменных под знаком определенного интеграла в формуле
$P=$ $2\pi\int\limits_{a}^{b}f(x)\sqrt{1+f^{‘2}(x)}dx,$ получим следующее выражение для площади $P$ этой поверхности $P=$ $2\pi\int\limits_{\alpha}^{\beta}\psi(t)\sqrt{\phi^{‘2}(t)+\psi^{‘2}(t)}dt.$
Пример 1.Найдем площадь $P$ поверхности эллипсоида вращения. Пусть эллипс $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ вращается вокруг оси $Ox$ . Рассмотрим сначала случай $a>b$ (вращение вокруг большой оси эллипса). Так как в этом случае $f(x)=\frac{b}{a}\sqrt{a^{2}-x^{2}}$ , то полагая $e=\sqrt{\frac{a^{2}-b^{2}}{a^{2}}}$ , найдем $P=$ $2\pi\int\limits_{-a}^{a}f(x)\sqrt{1+f^{‘2}(x)}dx=$ $2\pi\frac{b}{a}\int\limits_{-a}^{a}\sqrt{a^{2}-e^{2}x^{2}}dx=$ $2\pi b(b+\frac{a}{e}\arcsin e)$ . Если $a<b$ , то полагая $e=\sqrt{\frac{b^{2}-a^{2}}{b^{2}}}$ и проводя соответствующие вычисления, получим $P=$ $2\pi b(b+\frac{a^{2}}{2b}\ln\frac{1+e}{1-e})$ .
Пример 2. Найдем площадь $P$ поверхности, образованной вращением вокруг оси $Ox$ циклоиды, определяемой параметрическими уравнениями $x=a(t- \sin t),$ $y=a(1-\cos t)$ , $0\leq t\leq 2\pi$ . По формуле $P=$ $2\pi\int\limits_{\alpha}^{\beta}\psi(t)\sqrt{\phi^{‘2}(t)+\psi^{‘2}(t)}dt$ . Имеем $P=$ $2\pi\int\limits_{\alpha}^{\beta}\psi(t)\sqrt{\phi^{‘2}(t)+\psi^{‘2}(t)}dt=$ $2\sqrt{2}\pi a^{2}\int\limits_{0}^{2\pi}(1-\cos t)^{\frac{3}{2}}dt=$ $\frac{64}{3}\pi a^{2}$ .
Литература

В. А. Ильин, Э. Г. Позняк Основы математического анализа. Часть 1. 1982 год. Параграф 3, пункт 4. стр 379-380.

Вартанян Г. М. Конспект по математическому анализу.

Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Часть 2, 1964 год, Параграф 2, стр. 214-217.

Вычислении площади поверхности вращения

Задание 1 из 6

1.
Количество баллов: 1
По какой формуле вычисляется площадь поверхности вращения
- $2\pi\int\limits_{a}^{b}f(x)\sqrt{1+f^{'2}(x)}dx$
- $2\pi\int\limits_{a}^{b}f(x)\sqrt{1-f^{'2}(x)}dx$
- $2\pi\int\limits_{a}^{b}f(x)\sqrt{1+f^{'}(x)}dx$
Правильно

Неправильно
Задание 2 из 6

2.
Количество баллов: 5
Дано 5 квадратов. Их площади равны $12\pi^{2}, 6\pi^{2}+20\pi,125,7\pi^{2}(1+\sqrt{2}), 5\pi^{2}(\ln(1 +\sqrt{2} )+\sqrt{2}).$ Расположите от меньшего к большему.
- $5\pi^{2}(\ln(1 +\sqrt{2} )+\sqrt{2})$
- $12\pi^{2}$
- $6\pi^{2}+20\pi$
- $125$
- $7\pi^{2}(1+\sqrt{2})$
Правильно

Неправильно
Задание 3 из 6

3.
Количество баллов: 3
$Вычислим~ площадь~ Q ~поверхности, ~образованной~ вращением~ в ~пространстве~ вокруг~ оси~ Ox~ части ~линии$ $y=\frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}} ,~ расположенной~ над ~отрезком~ [0;1] ~оси~ Ox .$
- $\frac{\pi}{36}(14\sqrt{2}+3\ln(3+2\sqrt{2}))$
- $\frac{\pi}{35}(14\sqrt{2}+3\ln(3+2\sqrt{2}))$
- $\frac{\pi}{36}(14\sqrt{2}-3\ln(3+2\sqrt{2}))$
Правильно

Неправильно

Задание 4 из 6

4.

Количество баллов: 5

Поставьте в соответствие фигуру и способ получения путем вращения.

Элементы сортировки

Сфера
Тор
Эллипсоид вращения
Параболоид вращения
Конус

Получается вращением окружности вокруг оси, лежащей в той же плоскости и проходящей через её центр.

Получается вращением окружности вокруг не пересекающей её оси, лежащей в той же плоскости.

Получается вращением эллипса вокруг одной из его осей.

Получается вращением параболы вокруг своей оси.

Получается вращением прямой вокруг другой прямой, пересекающей первую.

Задание 5 из 6

5.
Количество баллов: 1
Поверхность, образуемая вращением цепной линии называется
Правильно

Неправильно
Задание 6 из 6

6.
Количество баллов: 3
Найти площадь поверхности, полученной вращением вокруг оси $Ox$ дуги параболы $y=2x,$ $0 \leq x \leq 1.$
- 15.2395 15.3171 15.3178
Правильно

Неправильно

Таблица лучших: Вычислении площади поверхности вращения

максимум из 18 баллов
Место	Имя	Записано	Баллы	Результат
Таблица загружается
Нет данных

Определение площади поверхности вращения

Рассмотрим поверхность $M$ , образованную вращением вокруг оси $Ox$ , заданной на сегменте $[a,b]$ функции $y=f(x)$ . Определим понятие квадрируемости поверхности вращения $M$ . Пусть $T$ — разбиение сегмента $[a,b]$ точками $a=x_{0}<x_{1}<…$ $<x_{n}=b$ , и пусть $A_{0}$ ,…, $A_{n}$ — соответствующие точки функции $y=f(x)$ . Построим ломанную $A_{0}A_{1}…A_{n}$ . При вращении этой ломанной вокруг оси мы получим поверхность $M(A_{i})$ , составленную из боковых поверхностей усеченных конусов. Обозначим через $P(x_{i})$ площадь поверхности $M(A_{i})$ . Если $y_{i}$ — ординаты $f(x)$ в точках $x_{i}$ , а $l_{i}$ — длина звена $A_{i-1}A_{i}$ ломанной $A_{0}A_{1}…A_{n}$ , то
$P(x_{i})=2\pi\sum\limits_{i=1}^{n}\frac{y_{i-1}+y_{i}}{2}l_{i}=$ $\pi\sum\limits_{i=1}^{n}(y_{i-1}+y_{i})l_{i}$
Сформулируем следующее определения.

Число

$P$ называется пределом площадей

$P(x_{i})$ , если

$\forall$

$\epsilon>0$

$\exists$

$\triangle>0$ , что

$\forall$ разбиения

$T$ сегмента

$[a,b]$ , максимальная длина

$D$ частичных сегментов которого меньше

$\triangle$ выполняется неравенство

$|P(x_{i})-P|<\epsilon$ .

Поверхность вращения

$M$ называется квадрируемой, если

$\exists$ предел

$P$ площадей

$P(x_{i})$ . При этом число

$P$ называется площадью поверхности

$M$ .

Литература

В. А. Ильин, Э. Г. Позняк. Основы математического анализа. Часть 1. 1982 год. Параграф 3, пункт 4. стр 378-379.

Вартанян Г. М. Конспект по математическому анализу.

Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Часть 2, 1964 год, Параграф 2, стр. 214-217.

Площадь поверхности вращения

Поверхность вращения

Задание 1 из 2

1.
Количество баллов: 1
Что называется пределом площади $P(x_{i})$
- $если~ \forall\epsilon>0\exists\triangle>0, что~ \exists ~разбиения~T~ сегмента[a,b] ,$ $максимальная~длина~ D~ частичных~ сегментов ~которого~ меньше$ $~\triangle~выполняется ~неравенство ~$ $|P(x_{i})-P|<\epsilon.$
- $если~ \forall\epsilon>0\exists\triangle>0, что~ \exists ~разбиения~T~ сегмента[a,b] ,$ $максимальная~длина~ D~ частичных~ сегментов ~которого~ меньше$ $~\triangle~выполняется ~неравенство ~$ $|P(x_{i})-P|>\epsilon.$
- $если~ \exists\epsilon>0\exists\triangle>0, что~ \forall ~разбиения~T~ сегмента[a,b] ,$ $максимальная~длина~ D~ частичных~ сегментов ~которого~ меньше$ $~\triangle~выполняется ~неравенство ~$ $|P(x_{i})-P|<\epsilon.$
Правильно

Неправильно
Задание 2 из 2

2.
Количество баллов: 1
если, $\exists ~предел ~P ~площадей ~P(x_{i})$ то поверхность вращения называется
Правильно

Неправильно

Таблица лучших: Площадь поверхности вращения

максимум из 2 баллов
Место	Имя	Записано	Баллы	Результат
Таблица загружается
Нет данных

Средний результат
Ваш результат

Средний результат
Ваш результат

Средний результат
Ваш результат

Средний результат
Ваш результат

Решение матричных уравнений

Решение матричных уравнений

Навигация (только номера заданий)

Информация

Результаты

Рубрики

1.

2.

Таблица лучших: Решение матричных уравнений

Обращение матриц

Обращение матриц

Навигация (только номера заданий)

Информация

Результаты

Рубрики

1.

2.

Таблица лучших: Обращение матриц

Определение

Примеры

Простейшие следствия из аксиом

Тесты

Группы. Примеры групп. Простейшие следствия из аксиом.

Навигация (только номера заданий)

Информация

Результаты

Рубрики

1.

2.

Таблица лучших: Группы. Примеры групп. Простейшие следствия из аксиом.

Вычислении площади поверхности вращения

Навигация (только номера заданий)

Информация

Результаты

Рубрики

1.

2.

3.

4.

Элементы сортировки

5.

6.

Таблица лучших: Вычислении площади поверхности вращения

Площадь поверхности вращения

Навигация (только номера заданий)

Информация

Результаты

Рубрики

1.

2.

Таблица лучших: Площадь поверхности вращения