Пример 1. Чтобы решить уравнение первого типа нужно обе части уравнения умножить на обратную к матрице A слева. (1234)⋅X=(3559), det(1234)=−2 A11=(−1)1+1⋅4=4 A12=(−1)1+2⋅3=−3 A21=(−1)2+1⋅2=−2 A22=(−1)2+2⋅1=1 (4−3−21), полученную матрицу транспонируем и умножим на det−1(1234)=−1/2. Обратная матрица к (1234) равна (−213/2−1/2). X=(−213/2−1/2)⋅(3559), X=(−1−123). Сделаем проверку (1234)⋅(−1−123)=(3559). Уравнение решили правильно. Пример 2. Чтобы решить уравнение второго типа нужно обе части уравнения умножить на обратную к матрице A справа. X⋅(3−25−4)=(−12−56). Матрица обратная к (3−25−4) равна (2−15/2−3/2).X=(−12−56)⋅(2−15/2−3/2),X=(3−25−4). Пример 3. Чтобы решить уравнение третьего типа нужно обе части уравнения умножить на обратную к матрице A справа и на обратную матрице C слева. (3−15−2)⋅X⋅(5678)=(1416910). Обратная матрица к (3−15−2) равна (2−15−3), обратная матрица к (5678) равна (−437/2−5/2). X=(2−15−3)⋅(1416910)⋅(−437/2−5/2)=(1234).
Проверка (3−15−2)⋅(1234)⋅(5678)=(1416910). Пример 4. Случай когда обратная матрица не существует. X⋅(3648)=(24918).
Матрицу X запишем как (x1x2x3x4), (3⋅x1+4⋅x26⋅x1+8⋅x23⋅x3+4⋅x46⋅x3+8⋅x4)=(24918).
{3⋅x1+4⋅x2=26⋅x1+8⋅x2=43⋅x3+4⋅x4=96⋅x3+8⋅x4=18
Эта система эквивалентна {3⋅x1+4⋅x2=23⋅x3+4⋅x4=9
Решив данную систему получим общей вид решения X=(x1(2−3x1)/4x3(9−4x1)/3) Литература
1. Белозёров Г. С. Конспект по алгебре и геометрии
Первый способ нахождения обратной матрицы. Пусть дана матрица A=(013235357). Обратную матрицу можно вычислить по формуле A−1=(detA)−1⋅AT, где AT — транспонированная матрица алгебраических дополнений. Найдем определитель этой матрицы по правилу треугольника. detA=0⋅3⋅7+1⋅5⋅3+2⋅5⋅3−3⋅3⋅3−5⋅5⋅0−2⋅1⋅7=4. Если бы определитель был равен нулю, то обратная матрица не существует. Дальше найдем алгебраическое дополнение матрицы. Чтобы найти алгебраическое дополнение каждого элемента матрицы, нужно вычеркнуть строку и столбец содержащий этот элемент, найти определитель минора каждого элемента и умножить на −1 в степени суммы номера строки и столбца в которых располагается элемент. A11=(−1)1+1(3557)=−4 A12=(−1)1+2(2537)=1 A13=(−1)1+3(2335)=1 A21=(−1)2+1(1357)=8 A22=(−1)2+2(0337)=−9 A23=(−1)2+3(0135)=3 A31=(−1)3+1(1335)=−4 A32=(−1)3+2(0325)=6 A33=(−1)3+3(0123)=−2
Матрица алгебраических дополнений A=(−4118−93−46−2). Транспонируем Матрицу алгебраических дополнений, AT=(−48−41−961−3−2). Теперь найдем обратную матрицу A−1=14(−48−41−961−3−2)=(−12−11/4−9/43/21/4−3/4−1/2). Если обратная матрица найдена правильно, то при умножение обратной матрицы на исходную получим матрицу, у которой на главной диагонали единицы, а все остальные элементы равны нулю. (013235357)(−12−11/4−9/43/21/4−3/4−1/2)=(100010001). Так как получили единичную матрицу, то обратная матрица найдена верно. Второй способ нахождения обратной матрицы. Запишем рядом с исходной матрицей единичную (013235357)(100010001). Любую матрицу можно привести к единичной, это мы и сделаем с нашей матрицей A, выполняя действия по привидению матрицы A к единичному виду, будем выполнять такие же с единичной матрицей. (013235357)(100010001)
Умножим вторую строку на −1 и прибавим к третьей. (013235122)(1000100−11)
Поменяем первую и третью строки местами. (122235013)(0−11010100)
Первую строку умножим на −2 и прибавим ко второй. (1220−11013)(0−1103−2100)
Вторую строку прибавим к третьей. (1220−11004)(0−1103−213−2)
Поделим третью строку на четыре. (1220−11001)(0−1103−21/43/4−1/2)
Умножим вторую строку на −2 и прибавим к первой. (1400−11001)(0−7503−21/43/4−1/2)
Умножим третью строку на −1 и прибавим ко второй. (1400−10001)(0−75−1/49/4−3/21/43/4−1/2)
Умножим вторую строку на −1. (140010001)(0−751/4−9/43/21/43/4−1/2)
Вторую строку умножим на −4 и прибавим к первой. (100010001)(−12−11/4−9/43/21/43/4−1/2)
Полученная матрица является обратной. Литература
1. Белозёров Г. С. Конспект по алгебре и геометрии
3. Симметрический элемент. \forall a\in G,\exists a^{‘}\in G a*a^{‘}=a^{‘}*a=e.
Если, кроме этих трех условий выполняется условие коммутативности\forall a, b \in G~a*b=b*a, то такая группа называется абелевой.
Примеры
1.) (\mathbb Z, +), (\mathbb Q^{*}, +),(\mathbb R, +) — аддитивные группы (по сложению всякое кольцо является абелевой группой).
2.) (\mathbb Q^{*}, \cdot), (\mathbb R^{+}, \cdot),(\mathbb R^{*}, \cdot) — мультипликативные группы(совокупность отличных от нуля элементов любого поля является абелевой группой).
3.) (\mathbb C_{[-1;1]}, +) — множество непрерывных вещественных функций определенных на [-1;1].
4.) (\mathbb R^{2}, +), (a, b)+(c, d)=(a+c, b+d).
5.) G_{2n}, где n — простое. Возможно по крайней мере 2 группы: Циклическая группа C_{2n} и диэдрD_{n}
Простейшие следствия из аксиом
1. Нейтральный элемент — единственный.
Доказательство. Предположим противное. Пусть \exists e^{‘}, так как e^{‘} — нейтральный элемент, то e^{‘}e=e^{‘}, но e тоже нейтральный элемент, а значит e^{‘}e=e \Longrightarrow e=e^{‘}.
Группы. Примеры групп. Простейшие следствия из аксиом.
Лимит времени: 0
Навигация (только номера заданий)
0 из 2 заданий окончено
Вопросы:
1
2
Информация
Группы. Примеры групп. Простейшие следствия из аксиом.
Вы уже проходили тест ранее. Вы не можете запустить его снова.
Тест загружается...
Вы должны войти или зарегистрироваться для того, чтобы начать тест.
Вы должны закончить следующие тесты, чтобы начать этот:
Результаты
Правильных ответов: 0 из 2
Ваше время:
Время вышло
Вы набрали 0 из 0 баллов (0)
Средний результат
Ваш результат
Рубрики
Нет рубрики0%
Ваш результат был записан в таблицу лидеров
Загрузка
1
2
С ответом
С отметкой о просмотре
Задание 1 из 2
1.
Количество баллов: 1
Заполните пропуск.
Если, кроме трёх аксиом группы выполняется условие (коммутативности, коммутативность, Коммутативность, Коммутативности), то такая группа называется абелева
Правильно
Неправильно
Задание 2 из 2
2.
Количество баллов: 1
Какие следующие множества являются группами.
Правильно
Неправильно
Таблица лучших: Группы. Примеры групп. Простейшие следствия из аксиом.
Если на сегменте [a,b] функции f(x) имеет непрерывную производную f^{‘}(x), то поверхность M, образованная вращением графика этой функции вокруг оси Ox, квадрируема и её площадьP может быть вычислена по формулеP=2\pi\int\limits_{a}^{b}f(x)\sqrt{1+f^{‘2}(x)}dx Доказательство. Длина l_{i} звена A_{i-1}A_{i} ломанной A_{0}A_{1}…A_{n} равна \sqrt{(x_{i}-x_{i-1})^{2}+(y_{i}-y_{i-1})^{2}}. По формуле Лагранжа имеем y_{i}-y_{i-1}=f(x_{i})-f(x_{i-1})=f^{‘}(\xi)(x_{i}-x_{i-1}) . Полагая x_{i}-x_{i-1}=\Delta_{x_{i}} . Поэтому, согласно формуле, P(x_{i})=2\pi\sum\limits_{i=1}^{n}f(\xi_{i})\sqrt{1+f^{‘2}}\Delta_{x_{i}}+\pi\sum\limits_{i=1}^{n}(y_{i-1}-f(\xi_{i}))\sqrt{1+f^{‘2}}\Delta_{x_{i}}+\pi\sum\limits_{i=1}^{n}(y_{i}-f(\xi_{i}))\sqrt{1+f^{‘2}}\Delta_{x_{i}}, Обозначим эту формулу (**). Первая сумма в правой части представляет собой интегральную сумму функции 2\pi{f(x)\sqrt{1+f^{‘2}(x)}dx}, которая в силу условий утверждения интегрируема и имеет предел P=2\pi\int\limits_{a}^{b}f(x)\sqrt{1+f^{‘2}(x)}dx. Докажем, что выражение в правой части (**) имеет предел, равный нулю. В самом деле, пусть \varepsilon>0. Так как функция f(x) равномерно непрерывны на сегменте [a,b] , то по данному\varepsilon>0 можно указать такое \delta>0, что при \Delta<\delta(\Delta=\max\Delta_{x_{i}}) выполняются неравенства |y_{i-1}-f(\xi_{i})|<\varepsilon и |y_{i}-f(\xi_{i})|<\varepsilon. Если T — максимальное значение функции \sqrt{1+f^{‘2}(x)} на сегменте [a,b], то получаем |\sum\limits_{i=1}^{n}((y_{i-1}-f(\xi_{i}))+(y_{i}-f(\xi_{i})))\sqrt{{1+f^{‘2}(\xi_{i})}}\Delta_{x_{i}}|<2T\varepsilon\sum\limits_{i=1}^{n}\Delta_{x_{i}}=2T(b-a)\varepsilon. В силу произвольности \varepsilon >0предел указанного выражения равен нулю. Итак, мы доказали существование предела P площадей P(x_{i}) и установили, что этот предел может быть вычислен по формуле P=2\pi\int\limits_{a}^{b}f(x)\sqrt{1+f^{‘2}(x)}dx. Замечание 1.Квадрируемость поверхности вращения можно доказать при более слабых условиях. Достаточно потребовать, чтобы функция f^{‘}(x) была определена и интегрируема на сегменте [a,b]. Из этого предположения вытекает интегрируемость функции f(x)\sqrt{1+f^{‘2}(x)}. Дальнейшее рассуждение ничем не отличается от рассуждений, проведенных при доказательстве утверждений этого пункта. Замечание 2. Если поверхность M получается посредством вращения вокруг оси Ox кривой L, определяемой параметрическими уравнениями x=\phi(t), y=\psi(x), \alpha\leq t\leq \beta, то осуществляя замену переменных под знаком определенного интеграла в формуле P=2\pi\int\limits_{a}^{b}f(x)\sqrt{1+f^{‘2}(x)}dx, получим следующее выражение для площади P этой поверхности P=2\pi\int\limits_{\alpha}^{\beta}\psi(t)\sqrt{\phi^{‘2}(t)+\psi^{‘2}(t)}dt. Пример 1.Найдем площадь P поверхности эллипсоида вращения. Пусть эллипс \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1 вращается вокруг оси Ox. Рассмотрим сначала случай a>b(вращение вокруг большой оси эллипса). Так как в этом случае f(x)=\frac{b}{a}\sqrt{a^{2}-x^{2}}, то полагая e=\sqrt{\frac{a^{2}-b^{2}}{a^{2}}}, найдем P=2\pi\int\limits_{-a}^{a}f(x)\sqrt{1+f^{‘2}(x)}dx=2\pi\frac{b}{a}\int\limits_{-a}^{a}\sqrt{a^{2}-e^{2}x^{2}}dx=2\pi b(b+\frac{a}{e}\arcsin e). Если a<b, то полагая e=\sqrt{\frac{b^{2}-a^{2}}{b^{2}}} и проводя соответствующие вычисления, получим P=2\pi b(b+\frac{a^{2}}{2b}\ln\frac{1+e}{1-e}). Пример 2. Найдем площадь P поверхности, образованной вращением вокруг оси Ox циклоиды, определяемой параметрическими уравнениями x=a(t- \sin t),y=a(1-\cos t), 0\leq t\leq 2\pi. По формуле P=2\pi\int\limits_{\alpha}^{\beta}\psi(t)\sqrt{\phi^{‘2}(t)+\psi^{‘2}(t)}dt. Имеем P=2\pi\int\limits_{\alpha}^{\beta}\psi(t)\sqrt{\phi^{‘2}(t)+\psi^{‘2}(t)}dt=2\sqrt{2}\pi a^{2}\int\limits_{0}^{2\pi}(1-\cos t)^{\frac{3}{2}}dt=\frac{64}{3}\pi a^{2}. Литература
В. А. Ильин, Э. Г. Позняк Основы математического анализа. Часть 1. 1982 год. Параграф 3, пункт 4. стр 379-380.
Вартанян Г. М. Конспект по математическому анализу.
Вы уже проходили тест ранее. Вы не можете запустить его снова.
Тест загружается...
Вы должны войти или зарегистрироваться для того, чтобы начать тест.
Вы должны закончить следующие тесты, чтобы начать этот:
Результаты
Правильных ответов: 0 из 6
Ваше время:
Время вышло
Вы набрали 0 из 0 баллов (0)
Средний результат
Ваш результат
Рубрики
Нет рубрики0%
Ваш результат был записан в таблицу лидеров
Загрузка
максимум из 18 баллов
Место
Имя
Записано
Баллы
Результат
Таблица загружается
Нет данных
1
2
3
4
5
6
С ответом
С отметкой о просмотре
Задание 1 из 6
1.
Количество баллов: 1
По какой формуле вычисляется площадь поверхности вращения
Правильно
Неправильно
Задание 2 из 6
2.
Количество баллов: 5
Дано 5 квадратов. Их площади равны 12\pi^{2}, 6\pi^{2}+20\pi,125,7\pi^{2}(1+\sqrt{2}), 5\pi^{2}(\ln(1 +\sqrt{2} )+\sqrt{2}). Расположите от меньшего к большему.
5\pi^{2}(\ln(1 +\sqrt{2} )+\sqrt{2})
12\pi^{2}
6\pi^{2}+20\pi
125
7\pi^{2}(1+\sqrt{2})
Правильно
Неправильно
Задание 3 из 6
3.
Количество баллов: 3
Вычислим~ площадь~ Q ~поверхности, ~образованной~ вращением~ в ~пространстве~ вокруг~ оси~ Ox~ части ~линииy=\frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}} ,~ расположенной~ над ~отрезком~ [0;1] ~оси~ Ox .
Правильно
Неправильно
Задание 4 из 6
4.
Количество баллов: 5
Поставьте в соответствие фигуру и способ получения путем вращения.
Элементы сортировки
Сфера
Тор
Эллипсоид вращения
Параболоид вращения
Конус
Получается вращением окружности вокруг оси, лежащей в той же плоскости и проходящей через её центр.
Получается вращением окружности вокруг не пересекающей её оси, лежащей в той же плоскости.
Получается вращением эллипса вокруг одной из его осей.
Получается вращением параболы вокруг своей оси.
Получается вращением прямой вокруг другой прямой, пересекающей первую.
Правильно
Неправильно
Задание 5 из 6
5.
Количество баллов: 1
Поверхность, образуемая вращением цепной линии называется
Правильно
Неправильно
Задание 6 из 6
6.
Количество баллов: 3
Найти площадь поверхности, полученной вращением вокруг оси Ox дуги параболы y=2x,0 \leq x \leq 1.
Правильно
Неправильно
Таблица лучших: Вычислении площади поверхности вращения
Рассмотрим поверхность M, образованную вращением вокруг оси Ox, заданной на сегменте [a,b] функцииy=f(x). Определим понятие квадрируемости поверхности вращения M. Пусть T — разбиение сегмента [a,b] точками a=x_{0}<x_{1}<…<x_{n}=b , и пусть A_{0},…,A_{n} — соответствующие точки функции y=f(x). Построим ломанную A_{0}A_{1}…A_{n}. При вращении этой ломанной вокруг оси мы получим поверхность M(A_{i}), составленную из боковых поверхностей усеченных конусов. Обозначим через P(x_{i}) площадь поверхности M(A_{i}). Если y_{i} — ординаты f(x) в точках x_{i}, а l_{i} — длина звена A_{i-1}A_{i} ломанной A_{0}A_{1}…A_{n}, то P(x_{i})=2\pi\sum\limits_{i=1}^{n}\frac{y_{i-1}+y_{i}}{2}l_{i}=\pi\sum\limits_{i=1}^{n}(y_{i-1}+y_{i})l_{i} Сформулируем следующее определения.
Число P называется пределом площадей P(x_{i}), если \forall\epsilon>0\exists\triangle>0 , что \forall разбиения T сегмента [a,b] , максимальная длина D частичных сегментов которого меньше \triangle выполняется неравенство|P(x_{i})-P|<\epsilon.
Поверхность вращения M называется квадрируемой, если \exists предел P площадей P(x_{i}) . При этом число P называется площадью поверхности M.
Литература
В. А. Ильин, Э. Г. Позняк. Основы математического анализа. Часть 1. 1982 год. Параграф 3, пункт 4. стр 378-379.
Вартанян Г. М. Конспект по математическому анализу.
