Решение матричных уравнений

Матричные уравнения бывают трех типов.

Пример 1. Чтобы решить уравнение первого типа нужно обе части уравнения умножить на обратную к матрице [latex]A[/latex] слева.
[latex]\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \\ \end{pmatrix} \cdot X=[/latex] [latex]\begin{pmatrix} 3 & 5 \\ 5 & 9 \\ \end{pmatrix}[/latex], [latex]\det \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \\ \end{pmatrix}=-2[/latex]
[latex]A_{11}=(-1)^{1+1} \cdot 4=4[/latex]
[latex]A_{12}=(-1)^{1+2} \cdot 3=-3[/latex]
[latex]A_{21}=(-1)^{2+1} \cdot 2=-2[/latex]
[latex]A_{22}=(-1)^{2+2} \cdot 1=1[/latex]
[latex]\begin{pmatrix} 4 & -3 \\ -2 & 1 \\ \end{pmatrix}[/latex], полученную матрицу транспонируем и умножим на [latex]\det^{-1} \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \\ \end{pmatrix}=-1/2[/latex]. Обратная матрица к [latex]\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \\ \end{pmatrix}[/latex] равна [latex]\begin{pmatrix} -2 & 1 \\ 3/2 & -1/2 \\ \end{pmatrix}[/latex].
[latex]X=\begin{pmatrix} -2 & 1 \\ 3/2 & -1/2 \\ \end{pmatrix} \cdot [/latex] [latex] \begin{pmatrix} 3 & 5 \\ 5 & 9 \\ \end{pmatrix}[/latex], [latex]X= \begin{pmatrix} -1 & -1 \\ 2 & 3 \\ \end{pmatrix}[/latex]. Сделаем проверку [latex]\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \\ \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} -1 & -1 \\ 2 & 3 \\ \end{pmatrix}=[/latex][latex]\begin{pmatrix} 3 & 5 \\ 5 & 9 \\ \end{pmatrix}[/latex]. Уравнение решили правильно.
Пример 2. Чтобы решить уравнение второго типа нужно обе части уравнения умножить на обратную к матрице [latex]A[/latex] справа.
[latex]X \cdot \begin{pmatrix} 3 & -2 \\ 5 & -4 \\ \end{pmatrix}=[/latex] [latex]\begin{pmatrix} -1 & 2 \\ -5 & 6 \\ \end{pmatrix}.[/latex] Матрица обратная к [latex]\begin{pmatrix} 3 & -2 \\ 5 & -4 \\ \end{pmatrix}[/latex] равна [latex]\begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 5/2 & -3/2 \\ \end{pmatrix}.[/latex] [latex]X=\begin{pmatrix} -1 & 2 \\ -5 & 6 \\ \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 5/2 & -3/2 \\ \end{pmatrix},[/latex] [latex]X=\begin{pmatrix} 3 & -2 \\ 5 & -4 \\ \end{pmatrix}[/latex].
Пример 3. Чтобы решить уравнение третьего типа нужно обе части уравнения умножить на обратную к матрице [latex]A[/latex] справа и на обратную матрице [latex]C[/latex] слева.
[latex]\begin{pmatrix} 3 & -1 \\ 5 & -2 \\ \end{pmatrix} \cdot X \cdot \begin{pmatrix} 5 & 6 \\ 7 & 8 \\ \end{pmatrix}=[/latex] [latex]\begin{pmatrix} 14 & 16 \\ 9 & 10 \\ \end{pmatrix}[/latex]. Обратная матрица к [latex]\begin{pmatrix} 3 & -1 \\ 5 & -2 \\ \end{pmatrix}[/latex] равна [latex]\begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 5 & -3 \\ \end{pmatrix},[/latex] обратная матрица к [latex]\begin{pmatrix} 5 & 6 \\ 7 & 8 \\ \end{pmatrix}[/latex] равна [latex]\begin{pmatrix} -4 & 3 \\ 7/2 & -5/2 \\ \end{pmatrix}[/latex]. [latex]X=\begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 5 & -3 \\ \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 14 & 16 \\ 9 & 10 \\ \end{pmatrix} \cdot [/latex][latex] \begin{pmatrix} -4 & 3 \\ 7/2 & -5/2 \\ \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \\ \end{pmatrix}[/latex].
Проверка [latex]\begin{pmatrix} 3 & -1 \\ 5 & -2 \\ \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \\ \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 5 & 6 \\ 7 & 8 \\ \end{pmatrix}=[/latex] [latex]\begin{pmatrix} 14 & 16 \\ 9 & 10 \\ \end{pmatrix}[/latex].
Пример 4. Случай когда обратная матрица не существует.
[latex]X \cdot \begin{pmatrix} 3 & 6 \\ 4 & 8 \\ \end{pmatrix}=[/latex] [latex]\begin{pmatrix} 2 & 4 \\ 9 & 18 \\ \end{pmatrix}[/latex].
Матрицу [latex]X[/latex] запишем как [latex]\begin{pmatrix} x_{1} & x_{2} \\ x_{3} & x_{4} \\ \end{pmatrix}[/latex], [latex]\begin{pmatrix} 3 \cdot x_{1}+4 \cdot x_{2} & 6 \cdot x_{1}+8 \cdot x_{2} \\ 3 \cdot x_{3}+4 \cdot x_{4} & 6 \cdot x_{3}+8 \cdot x_{4} \\ \end{pmatrix}=[/latex][latex]\begin{pmatrix} 2 & 4 \\ 9 & 18 \\ \end{pmatrix}[/latex].

\begin{cases}
3 \cdot x_{1}+4 \cdot x_{2} = 2\\
6 \cdot x_{1}+8 \cdot x_{2} = 4\\
3 \cdot x_{3}+4 \cdot x_{4} = 9\\
6 \cdot x_{3}+8 \cdot x_{4}=18
\end{cases}
Эта система эквивалентна
\begin{cases}
3 \cdot x_{1}+4 \cdot x_{2} = 2\\
3 \cdot x_{3}+4 \cdot x_{4} = 9
\end{cases}
Решив данную систему получим общей вид решения [latex]X=\begin{pmatrix} x_{1} & (2-3x_{1})/4 \\ x_{3} & (9-4x_{1})/3 \\ \end{pmatrix}[/latex]
Литература

Решение матричных уравнений

Лимит времени: 0

Навигация (только номера заданий)

0 из 2 заданий окончено

Вопросы:

1. 1
2. 2

Информация

Обращение матриц. Решение матричных уравнений

Вы уже проходили тест ранее. Вы не можете запустить его снова.

Тест загружается...

Вы должны войти или зарегистрироваться для того, чтобы начать тест.

Вы должны закончить следующие тесты, чтобы начать этот:

Результаты

Правильных ответов: 0 из 2

Ваше время:

Время вышло

Вы набрали 0 из 0 баллов (0)

Средний результат
Ваш результат

Рубрики

1. Нет рубрики 0%

Ваш результат был записан в таблицу лидеров

Загрузка

Имя: E-Mail:

Капча:

1. 1
2. 2

1. С ответом
2. С отметкой о просмотре

1. Задание 1 из 2

   1.

   Количество баллов: 1

   Решите матричное уравнение
   
   $$X \cdot \begin{pmatrix} 5 & 3 & 1 \\ 1 & -3 & -2 \\ -5 & 2 & 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 & -3 & 0 \\ 10 & 2 & 7 \\ 10 & 7 & 8 \end{pmatrix}$$

   • $$ \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{pmatrix}$$
   • $$ \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & -9 \end{pmatrix}$$
   • $$ \begin{pmatrix} 1 & 2 & -3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{pmatrix}$$
   Правильно
   

   Неправильно
   
2. Задание 2 из 2

   2.

   Количество баллов: 1

   Решите матричное уравнение
   
   $$\begin{pmatrix} 2 & -3 & 1 \\ 14 & -5 & 2 \\ 5 & -7 & 3 \end{pmatrix} \cdot X \cdot \begin{pmatrix} 9 & 7 & 6 \\ 1 & 1 & 2 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2 & 0 & -2 \\ 18 & 12 & 9 \\ 23 & 15 & 11 \end{pmatrix}$$

   • $$ \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 1 \end{pmatrix}$$
   • $$ \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 3 \\ 2 & -3 & 1 \end{pmatrix}$$
   • $$ \begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 \\ 1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 1 \end{pmatrix}$$
   Правильно
   

   Неправильно
   

Действия над матрицами

Примеры:

1. Выполнить сложение матриц:
$latex \begin{pmatrix}
1 &0 \\
2& 1
\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}
3 &1 \\
4& 5
\end{pmatrix} $.
Для сложения матриц нам необходимо каждый элемент первой матрицы сложить с соответствующим элементом из второй:
$latex \begin{pmatrix}
1 &0 \\
2& 1
\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}
3 &1 \\
4& 5
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
4 &1 \\
6& 6
\end{pmatrix}$.

Следует также отметить, что операция сложения матриц коммутативна и ассоциативна. Например, пусть даны матрицы $latex A=\begin{pmatrix}
1 &2 \\
1&0
\end{pmatrix}$, $latex B=\begin{pmatrix}
0 &1 \\
1&1
\end{pmatrix}$ и $latex C=\begin{pmatrix}
5 &0\\
0&1
\end{pmatrix}$. Тогда:

$latex A+B=$ $latex \begin{pmatrix} 1 &2\\ 1&0 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 0 &1 \\ 1&1 \end{pmatrix}=$ $latex B+A=$ $latex \begin{pmatrix} 0 &1 \\ 1&1 \end{pmatrix}+ \begin{pmatrix} 1 &2\\ 1&0 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 1 &3 \\ 2&1 \end{pmatrix}$.

Покажем выполнение ассоциативности сложения матриц:

$latex A+B= \begin{pmatrix} 1 &2 \\ 1&0 \end{pmatrix}+ \begin{pmatrix} 0&1 \\ 1&1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 &3 \\ 2&1 \end{pmatrix}$;
$latex (A+B)+C= \begin{pmatrix} 1 &3 \\ 2&1 \end{pmatrix}+ \begin{pmatrix} 5&0 \\ 0&1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 6 &3 \\ 2&2 \end{pmatrix}$.
$latex B+C= \begin{pmatrix} 0 &1 \\ 1&1 \end{pmatrix}+ \begin{pmatrix} 5&0 \\ 0&1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 5 &1 \\ 1&2 \end{pmatrix}$;
$latex A+(B+C)= \begin{pmatrix} 1 &2 \\ 1&0 \end{pmatrix}+ \begin{pmatrix} 5&1 \\ 1&2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 6 &3 \\ 2&2 \end{pmatrix}$.

Как видим, $latex A+(B+C)=(A+B)+C$.

2. Выполнить умножение матрицы на число:
$latex \begin{pmatrix}
a &b \\
c&d
\end{pmatrix} \cdot e$.
Для умножения матрицы на число мы умножаем каждый элемент матрицы на данное число:
$latex \begin{pmatrix}
a &b \\
c&d
\end{pmatrix} \cdot e = \begin{pmatrix}
ae &be \\
ce& de
\end{pmatrix}$.

Операция умножения матрицы на число ассоциативна, то есть $latex \alpha( \beta A)=( \alpha \beta) A$, $latex \forall \alpha, \beta \in \mathbb{P}$. Покажем это на конкретном примере:
Пусть дана матрица $latex A=\begin{pmatrix}
1 &1 \\
1 &1
\end{pmatrix}$ и $latex \alpha = 3, \beta =2$.
Тогда $latex \beta A= \begin{pmatrix} 2 &2 \\ 2 &2 \end{pmatrix}$;
$latex \alpha ( \beta A)= \begin{pmatrix} 6 &6 \\ 6 &6 \end{pmatrix}$.
$latex \alpha \beta =6$;
$latex ( \alpha \beta) A= \begin{pmatrix} 6 &6 \\ 6 &6 \end{pmatrix}$.
Как видим, $latex \alpha( \beta A)=( \alpha \beta) A$.

3. Вычислить произведение матриц:
$latex \begin{pmatrix} 3 &2 &5 \\ 4&1 &0 \\ 2&7 &8 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 6 &3 \\ 2&4\\ 1&2 \end{pmatrix}$.
Для удобства будем называть первую матрицу $latex A$ а вторую матрицу $latex B$. Для начала убедимся, что произведение данных матриц возможно. Даны матрицы размерностей $latex 3 \times 3$ и $latex 3 \times 2$, следовательно умножение возможно, так как количество столбцов первой матрицы равно количеству строк второй. Для вычисления первого элемента результирующей матрицы умножим каждый элемент первой строки матрицы $latex A$ на соответствующие элементы первого столбца матрицы $latex B$. Полученные значения сложим. Данную последовательность действий можно проиллюстрировать следующим образом:

Получим следующее:
$latex \begin{pmatrix} 3 &2 &5 \\ 4&1 &0 \\ 2&7 &8 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 6 &3 \\ 2&4\\ 1&2 \end{pmatrix} =$ $latex \begin{pmatrix} 27 &? \\ ?&? \\ ?&? \end{pmatrix}$.
Далее вычисляем первый элемент второго столбца результирующей матрицы. Умножаем все элементы первой строки матрицы $latex A$ на соответствующие им элементы из второго столбца матрицы $latex B$ и складываем полученные значения:
$latex \begin{pmatrix} 3 &2 &5 \\ 4&1 &0 \\ 2&7 &8 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 6 &3 \\ 2&4\\ 1&2 \end{pmatrix} =$ $latex \begin{pmatrix} 27 &27 \\ ?&? \\ ?&? \end{pmatrix}$.
Для вычисления первого элемента второй строки результирующей матрицы мы будем аналогично умножать элементы второй строки матрицы $latex A$ на элементы первого столбца матрицы $latex B$, складывая результаты:
$latex \begin{pmatrix} 3 &2 &5 \\ 4&1 &0 \\ 2&7 &8 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 6 &3 \\ 2&4\\ 1&2 \end{pmatrix} =$ $latex \begin{pmatrix} 27 &27 \\ 26&? \\ ?&? \end{pmatrix}$.
Оставшиеся элементы вычисляются аналогично:
$latex \begin{pmatrix} 3 &2 &5 \\ 4&1 &0 \\ 2&7 &8 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 6 &3 \\ 2&4\\ 1&2 \end{pmatrix} =$ $latex \begin{pmatrix} 27 &27 \\ 26&16 \\ 34&50 \end{pmatrix}$.
Отметим, что произведение матриц в общем случае некоммутативно и покажем это на примере.
Пусть даны матрицы $latex A=\begin{pmatrix} 1 &2 \\ 1&0 \end{pmatrix}, B=\begin{pmatrix} 0 &1 \\ 1&1 \end{pmatrix}$.
Тогда $latex A \cdot B= \begin{pmatrix} 1 &2 \\ 1&0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 0 &1 \\ 1&1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2&3 \\ 0&1 \end{pmatrix}$.
$latex B \cdot A=\begin{pmatrix} 0 &1 \\ 1&1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 &2 \\ 1&0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1&0 \\ 2&2 \end{pmatrix}$.
Как видим, $latex A \cdot B \ne B \cdot A$.

4. Возвести матрицу в степень:
$latex \begin{pmatrix} 1 &0 &2 \\ 3&1 &0 \\ 1& 0 &1 \end{pmatrix}$.
Для возведения в степень необходимо данную матрицу умножить саму на себя. Заметим, что возводить в степень можно только квадратные матрицы.
$latex \begin{pmatrix} 1 &0 &2 \\ 3&1 &0 \\ 1& 0 &1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 &0 &2 \\ 3&1 &0 \\ 1& 0 &1 \end{pmatrix}=$ $latex \begin{pmatrix} 3 & 0 &4 \\ 6&1 &6 \\ 2& 0 &3 \end{pmatrix}$.

5. Транспонировать матрицу:
$latex \begin{pmatrix} 1 &2 &0 &1 \\ 0&1 &0 &2 \end{pmatrix}$.
Для транспонирования матрицы достаточно записать строки столбцами, а столбцы строками:
$latex \begin{pmatrix} 1 &0 \\ 2&1 \\ 0&0 \\ 1&2 \end{pmatrix}$.

Действия над матрицами. Групповые свойства некоторых матриц

Лимит времени: 0

Навигация (только номера заданий)

0 из 4 заданий окончено

Вопросы:

1. 1
2. 2
3. 3
4. 4

Информация

Тест на тему «Действия над матрицами. Групповые свойства некоторых матриц».

Вы уже проходили тест ранее. Вы не можете запустить его снова.

Тест загружается...

Вы должны войти или зарегистрироваться для того, чтобы начать тест.

Вы должны закончить следующие тесты, чтобы начать этот:

Результаты

Правильных ответов: 0 из 4

Ваше время:

Время вышло

Средний результат
Ваш результат

Рубрики

1. Нет рубрики 0%

Ваш результат был записан в таблицу лидеров

Загрузка

Имя: E-Mail:

Капча:

1. 1
2. 2
3. 3
4. 4

1. С ответом
2. С отметкой о просмотре

1. Задание 1 из 4

   1.

   Количество баллов: 3

   $latex \begin{pmatrix}
   1 &0 &1 \\ 2 &3 &1 \\ 4&5 &0
   \end{pmatrix} \cdot
   \begin{pmatrix} 1 &1 &1 \\ 0&1 &0 \\ 2&3 &1
   \end{pmatrix}$

   • $$ \begin{pmatrix} 3 &6 &2 \\ 2& 8 &3 \\ 4& 10 &4 \end{pmatrix} $$
   • $$ \begin{pmatrix} 3 &4 &2 \\ 4& 8 &3 \\ 25& 9 &8 \end{pmatrix} $$
   • $$ \begin{pmatrix} 3 &4 &2 \\ 4& 8 &3 \\ 4& 9 &4 \end{pmatrix} $$
   • $$ \begin{pmatrix} 4 &3 &2 \\ 4& 8 &3 \\ 4& 9 &4 \end{pmatrix} $$
   Правильно
   

   Неправильно
   
2. Задание 2 из 4

   2.

   Количество баллов: 1

   Транспонировать матрицу $latex \begin{pmatrix}
   1 &2 &3 &4 \\
   5&6 &7 &8
   \end{pmatrix}$

   • $$ \begin{pmatrix} 4&8 \\ 3&7\\ 2&6 \\ 1&5 \end{pmatrix} $$
   • $$ \begin{pmatrix} 1&5 \\ 2&6\\ 3&7 \\ 4&8 \end{pmatrix} $$
   • $$ \begin{pmatrix} 5&1 \\ 6&2\\ 7&3 \\ 8&4 \end{pmatrix} $$
   Правильно
   

   Неправильно
   
3. Задание 3 из 4

   3.

   Количество баллов: 4

   Возвести в степень матрицу $latex \begin{pmatrix}
   1 &1 &1 &0 \\
   2&0 &2 &1 \\
   1&2 &3 &1 \\
   3&1 &2 &0
   \end{pmatrix}$

   • $$ \begin{pmatrix} 4 &3 &6 &0 \\ 7&7 &10 &2 \\ 11&8 &16 &5 \\ 7&7 &11 &3 \end{pmatrix} $$
   • $$ \begin{pmatrix} 3 &3 &6 &2 \\ 7&7 &10 &2 \\ 11&8 &16 &5 \\ 7&7 &11 &3 \end{pmatrix} $$
   • $$ \begin{pmatrix} 4 &3 &6 &2 \\ 24&7 &10 &2 \\ 11&8 &16 &5 \\ 7&7 &11 &3 \end{pmatrix} $$
   • $$ \begin{pmatrix} 4 &3 &6 &2 \\ 7&7 &10 &2 \\ 11&8 &16 &5 \\ 7&7 &11 &3 \end{pmatrix} $$
   Правильно
   

   Неправильно
   
4. Задание 4 из 4

   4.

   Количество баллов: 1

   Укажите размерность матрицы, полученной в результате умножения матрицы размерности $latex 2 \times 3$ на матрицу размерности $latex 3 \times 1$.

   • В результате будет получена матрица размерности (2) на (1).
   Правильно
   

   Неправильно
   

1. Г. С. Белозеров. Конспект лекций.
2. В. В. Воеводин «Линейная алгебра» (Издание второе, переработанное и дополненное, 1980г.), стр. 194-197.
3. А. Г. Курош  «Курс высшей алгебры» (Издание девятое, 1968 г.), стр. 99-102.
4. И. В. Проскуряков.   «Сборник задач по линейной алгебре» (1984 г.), стр. 112-115.