Автор: Александр Земсков

РЕШЕНИЕ МАТРИЧНЫХ УРАВНЕНИЙ

Решение матричных уравнений

Матричные уравнения бывают трех типов.

  • 1. A \cdot X=B
  • 2. X \cdot A=B
  • 3. C \cdot X \cdot A=B

    • Пример 1. Чтобы решить уравнение первого типа нужно обе части уравнения умножить на обратную к матрице A слева.
    \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \\ \end{pmatrix} \cdot X= \begin{pmatrix} 3 & 5 \\ 5 & 9 \\ \end{pmatrix}, \det \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \\ \end{pmatrix}=-2
    A_{11}=(-1)^{1+1} \cdot 4=4
    A_{12}=(-1)^{1+2} \cdot 3=-3
    A_{21}=(-1)^{2+1} \cdot 2=-2
    A_{22}=(-1)^{2+2} \cdot 1=1
    \begin{pmatrix} 4 & -3 \\ -2 & 1 \\ \end{pmatrix}, полученную матрицу транспонируем и умножим на \det^{-1} \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \\ \end{pmatrix}=-1/2. Обратная матрица к \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \\ \end{pmatrix} равна \begin{pmatrix} -2 & 1 \\ 3/2 & -1/2 \\ \end{pmatrix}.
    X=\begin{pmatrix} -2 & 1 \\ 3/2 & -1/2 \\ \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 3 & 5 \\ 5 & 9 \\ \end{pmatrix}, X= \begin{pmatrix} -1 & -1 \\ 2 & 3 \\ \end{pmatrix}. Сделаем проверку \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \\ \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} -1 & -1 \\ 2 & 3 \\ \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 3 & 5 \\ 5 & 9 \\ \end{pmatrix}. Уравнение решили правильно.
    Пример 2. Чтобы решить уравнение второго типа нужно обе части уравнения умножить на обратную к матрице A справа.
    X \cdot \begin{pmatrix} 3 & -2 \\ 5 & -4 \\ \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} -1 & 2 \\ -5 & 6 \\ \end{pmatrix}. Матрица обратная к \begin{pmatrix} 3 & -2 \\ 5 & -4 \\ \end{pmatrix} равна \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 5/2 & -3/2 \\ \end{pmatrix}. X=\begin{pmatrix} -1 & 2 \\ -5 & 6 \\ \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 5/2 & -3/2 \\ \end{pmatrix}, X=\begin{pmatrix} 3 & -2 \\ 5 & -4 \\ \end{pmatrix}.
    Пример 3. Чтобы решить уравнение третьего типа нужно обе части уравнения умножить на обратную к матрице A справа и на обратную матрице C слева.
    \begin{pmatrix} 3 & -1 \\ 5 & -2 \\ \end{pmatrix} \cdot X \cdot \begin{pmatrix} 5 & 6 \\ 7 & 8 \\ \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 14 & 16 \\ 9 & 10 \\ \end{pmatrix}. Обратная матрица к \begin{pmatrix} 3 & -1 \\ 5 & -2 \\ \end{pmatrix} равна \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 5 & -3 \\ \end{pmatrix}, обратная матрица к \begin{pmatrix} 5 & 6 \\ 7 & 8 \\ \end{pmatrix} равна \begin{pmatrix} -4 & 3 \\ 7/2 & -5/2 \\ \end{pmatrix}. X=\begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 5 & -3 \\ \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 14 & 16 \\ 9 & 10 \\ \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} -4 & 3 \\ 7/2 & -5/2 \\ \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \\ \end{pmatrix}.
    Проверка \begin{pmatrix} 3 & -1 \\ 5 & -2 \\ \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \\ \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 5 & 6 \\ 7 & 8 \\ \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 14 & 16 \\ 9 & 10 \\ \end{pmatrix}.
    Пример 4. Случай когда обратная матрица не существует.
    X \cdot \begin{pmatrix} 3 & 6 \\ 4 & 8 \\ \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 2 & 4 \\ 9 & 18 \\ \end{pmatrix}.
    Матрицу X запишем как \begin{pmatrix} x_{1} & x_{2} \\ x_{3} & x_{4} \\ \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 3 \cdot x_{1}+4 \cdot x_{2} & 6 \cdot x_{1}+8 \cdot x_{2} \\ 3 \cdot x_{3}+4 \cdot x_{4} & 6 \cdot x_{3}+8 \cdot x_{4} \\ \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2 & 4 \\ 9 & 18 \\ \end{pmatrix}.

    \begin{cases}
    3 \cdot x_{1}+4 \cdot x_{2} = 2\\
    6 \cdot x_{1}+8 \cdot x_{2} = 4\\
    3 \cdot x_{3}+4 \cdot x_{4} = 9\\
    6 \cdot x_{3}+8 \cdot x_{4}=18
    \end{cases}
    Эта система эквивалентна
    \begin{cases}
    3 \cdot x_{1}+4 \cdot x_{2} = 2\\
    3 \cdot x_{3}+4 \cdot x_{4} = 9
    \end{cases}
    Решив данную систему получим общей вид решения X=\begin{pmatrix} x_{1} & (2-3x_{1})/4 \\ x_{3} & (9-4x_{1})/3 \\ \end{pmatrix}
    Литература

  • 1. Белозёров Г. С. Конспект по алгебре и геометрии
  • 2. Линейная алгебра. Воеводин. В. В. М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1980 год, стр. 211-213.
  • Сборник задач по линейной алгебре. Проскуряков. И. В. М. 1961 год, стр. 118-119.

    • Решение матричных уравнений

    Обращение матриц. Решение матричных уравнений

    Таблица лучших: Решение матричных уравнений

    максимум из 2 баллов
    Место Имя Записано Баллы Результат
    Таблица загружается
    Нет данных

    Обращение матриц

    Обращение матриц

    Первый способ нахождения обратной матрицы. Пусть дана матрица A = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 3 \\ 2 & 3 & 5 \\ 3 & 5 & 7 \end{pmatrix}. Обратную матрицу можно вычислить по формуле A^{-1}=(\det A)^{-1} \cdot A^{T}, где A^{T} — транспонированная матрица алгебраических дополнений. Найдем определитель этой матрицы по правилу треугольника. \det A=0 \cdot 3 \cdot 7+1 \cdot 5 \cdot 3+2 \cdot 5 \cdot 3-3 \cdot 3 \cdot 3-5 \cdot 5 \cdot 0-2 \cdot 1 \cdot 7=4. Если бы определитель был равен нулю, то обратная матрица не существует. Дальше найдем алгебраическое дополнение матрицы. Чтобы найти алгебраическое дополнение каждого элемента матрицы, нужно вычеркнуть строку и столбец содержащий этот элемент, найти определитель минора каждого элемента и умножить на -1 в степени суммы номера строки и столбца в которых располагается элемент.
    A_{11}=(-1)^{1+1} \begin{pmatrix} 3 & 5 \\ 5 & 7 \\ \end{pmatrix}=-4
    A_{12}=(-1)^{1+2} \begin{pmatrix} 2 & 5 \\ 3 & 7 \\ \end{pmatrix}=1
    A_{13}=(-1)^{1+3} \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 3 & 5 \\ \end{pmatrix}=1
    A_{21}=(-1)^{2+1} \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 5 & 7 \\ \end{pmatrix}=8
    A_{22}=(-1)^{2+2} \begin{pmatrix} 0 & 3 \\ 3 & 7 \\ \end{pmatrix}=-9
    A_{23}=(-1)^{2+3} \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 3 & 5 \\ \end{pmatrix}=3
    A_{31}=(-1)^{3+1} \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 3 & 5 \\ \end{pmatrix}=-4
    A_{32}=(-1)^{3+2} \begin{pmatrix} 0 & 3 \\ 2 & 5 \\ \end{pmatrix}=6
    A_{33}=(-1)^{3+3} \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 2 & 3 \\ \end{pmatrix}=-2
    Матрица алгебраических дополнений A = \begin{pmatrix} -4 & 1 & 1 \\ 8 & -9 & 3 \\ -4 & 6 & -2 \end{pmatrix}. Транспонируем Матрицу алгебраических дополнений, A^{T} = \begin{pmatrix} -4 & 8 & -4 \\ 1 & -9 & 6 \\ 1 & -3 & -2 \end{pmatrix}. Теперь найдем обратную матрицу A^{-1}=\frac{1}{4} \begin{pmatrix} -4 & 8 & -4 \\ 1 & -9 & 6 \\ 1 & -3 & -2 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} -1 & 2 & -1 \\ 1/4 & -9/4 & 3/2 \\ 1/4 & -3/4 & -1/2 \end{pmatrix}. Если обратная матрица найдена правильно, то при умножение обратной матрицы на исходную получим матрицу, у которой на главной диагонали единицы, а все остальные элементы равны нулю. \begin{pmatrix} 0 & 1 & 3 \\ 2 & 3 & 5 \\ 3 & 5 & 7 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -1 & 2 & -1 \\ 1/4 & -9/4 & 3/2 \\ 1/4 & -3/4 & -1/2 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}. Так как получили единичную матрицу, то обратная матрица найдена верно.
    Второй способ нахождения обратной матрицы. Запишем рядом с исходной матрицей единичную \begin{pmatrix} 0 & 1 & 3 \\ 2 & 3 & 5 \\ 3 & 5 & 7 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}. Любую матрицу можно привести к единичной, это мы и сделаем с нашей матрицей A, выполняя действия по привидению матрицы A к единичному виду, будем выполнять такие же с единичной матрицей.
    \begin{pmatrix} 0 & 1 & 3 \\ 2 & 3 & 5 \\ 3 & 5 & 7 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}
    Умножим вторую строку на -1 и прибавим к третьей.
    \begin{pmatrix} 0 & 1 & 3 \\ 2 & 3 & 5 \\ 1 & 2 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 1 \end{pmatrix}
    Поменяем первую и третью строки местами.
    \begin{pmatrix} 1 & 2 & 2 \\ 2 & 3 & 5 \\ 0 & 1 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}
    Первую строку умножим на -2 и прибавим ко второй.
    \begin{pmatrix} 1 & 2 & 2 \\ 0 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & -1 & 1 \\ 0 & 3 & -2 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}
    Вторую строку прибавим к третьей.
    \begin{pmatrix} 1 & 2 & 2 \\ 0 & -1 & 1 \\ 0 & 0 & 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & -1 & 1 \\ 0 & 3 & -2 \\ 1 & 3 & -2 \end{pmatrix}
    Поделим третью строку на четыре.
    \begin{pmatrix} 1 & 2 & 2 \\ 0 & -1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & -1 & 1 \\ 0 & 3 & -2 \\ 1/4 & 3/4 & -1/2 \end{pmatrix}
    Умножим вторую строку на -2 и прибавим к первой.
    \begin{pmatrix} 1 & 4 & 0 \\ 0 & -1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & -7 & 5 \\ 0 & 3 & -2 \\ 1/4 & 3/4 & -1/2 \end{pmatrix}
    Умножим третью строку на -1 и прибавим ко второй.
    \begin{pmatrix} 1 & 4 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & -7 & 5 \\ -1/4 & 9/4 & -3/2 \\ 1/4 & 3/4 & -1/2 \end{pmatrix}
    Умножим вторую строку на -1.
    \begin{pmatrix} 1 & 4 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & -7 & 5 \\ 1/4 & -9/4 & 3/2 \\ 1/4 & 3/4 & -1/2 \end{pmatrix}
    Вторую строку умножим на -4 и прибавим к первой.
    \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -1 & 2 & -1 \\ 1/4 & -9/4 & 3/2 \\ 1/4 & 3/4 & -1/2 \end{pmatrix}
    Полученная матрица является обратной.
    Литература

  • 1. Белозёров Г. С. Конспект по алгебре и геометрии
  • 2. Линейная алгебра. Воеводин. В. В. М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1980 год, стр. 211-213.
  • Сборник задач по линейной алгебре. Проскуряков. И. В. М. 1961 год, стр. 116, 125.

    • Обращение матриц

    Обращение матриц

    Таблица лучших: Обращение матриц

    максимум из 2 баллов
    Место Имя Записано Баллы Результат
    Таблица загружается
    Нет данных

    Группы. Примеры групп. Простейшие следствия из аксиом.

    Определение

    Пусть G\ne \varnothing, "*" — БАО на G. Тогда (G, *) называется группой, если выполняются следующие три аксиомы.

    Если, кроме этих трех условий выполняется условие коммутативности \forall a, b \in G~a*b=b*a, то такая группа называется абелевой.

    Примеры

    • 1.) (\mathbb Z, +), (\mathbb Q^{*}, +),(\mathbb R, +) — аддитивные группы (по сложению всякое кольцо является абелевой группой).
    • 2.) (\mathbb Q^{*}, \cdot), (\mathbb R^{+}, \cdot),(\mathbb R^{*}, \cdot) — мультипликативные группы(совокупность отличных от нуля элементов любого поля является абелевой группой).
    • 3.) (\mathbb C_{[-1;1]}, +) — множество непрерывных вещественных функций определенных на [-1;1].
    • 4.) (\mathbb R^{2}, +), (a, b)+(c, d)=(a+c, b+d).
    • 5.) G_{2n}, где n — простое. Возможно по крайней мере 2 группы: Циклическая группа C_{2n} и диэдр D_{n}

      • grafik1grafik1

    Простейшие следствия из аксиом

    • 1. Нейтральный элемент — единственный.

    Доказательство. Предположим противное. Пусть \exists e^{'}, так как e^{'} — нейтральный элемент, то e^{'}e=e^{'}, но e тоже нейтральный элемент, а значит e^{'}e=e \Longrightarrow e=e^{'}.

    • 2. \forall a\in G~ \exists! a^{'},a^{'}a=e

    Доказательство. Предположим противное. Пусть \exists a^{''},a^{''}a=aa^{''}=e, a^{'}a=aa^{'}=e, a^{'}aa^{''}=(a^{'}a)a^{''}=ea^{''}=a^{''}, a^{'}(aa^{''})=a^{'}e=a^{'} \Longrightarrow a^{'}=a^{''}

    • 3. a*x=b,(x*b=a), решение единственно.

    Доказательство.

    Единственность.

    x_{0} — решение. ax_{0}=b, a^{'}(ax_{0})=a^{'}b, (a^{'}a)x_{0}=a^{'}b, ex_{0}=a^{'}b, x_{0}=a^{'}b

    Существование.

    x_{0}=a^{'}b, a(a^{'}b)=(aa^{'})b=eb=b

    • 4. (a^{'})^{'}=a, \forall a\in G

    Доказательство. По третьей аксиоме a^{'}(a^{'})^{'}=e, a^{'}a=e \Longrightarrow
    a^{'}(a^{'})^{'}=a^{'}a\Longrightarrow (a^{'})^{'}=a.

    • 5. (ab)^{'}=b^{'}a^{'}

    Доказательство.
    (ab)(ab)^{'}=e, aa^{'}=e, bb^{'}=e \Longrightarrow (aa^{'})(bb^{'})=(bb^{'})(aa^{'})=ee \Longrightarrow (bb^{'})(aa^{'})=e \Longrightarrow (ab)(ab)^{'}=(bb^{'})(aa^{'}) \Longrightarrow (ab)(ab)^{'}=(ab)b^{'}a^{'} \Longrightarrow (ab)^{'}=b^{'}a^{'}

    • 6. \forall n\in \mathbb N a^{n}=\underset{n}{\underbrace{aa..a}}

    Доказательство.

    База индукции.

    a^{1}=a.

    Предположение индукции.

    Пусть n=k, a^{k}=\underset{k}{\underbrace{aa..a}}.

    Шаг индукции.

    Пусть n=k+1, a^{k}a^{1}=a(aa..a), a^{k+1}=\underset{k+1}{\underbrace{aa..a}}.

    • 7. \forall n, m\in \mathbb N, a^{n}a^{m}=a^{n+m}

    Доказательство.

    a^{m}=\underset{m}{\underbrace{aa..a}}, a^{n}=\underset{n}{\underbrace{aa..a}}

    a^{n}a^{m}=\underset{n}{\underbrace{aa..a}} \cdot \underset{m}{\underbrace{aa..a}} \Longrightarrow a^{n}a^{m}=\underset{n+m}{\underbrace{aa..a}}, \underset{n+m}{\underbrace{aa..a}}=a^{n+m} \Longrightarrow a^{n+m}=a^{n}a^{m}

     

    • 8. \forall n, m\in \mathbb N, (a^{n})^{m}=a^{nm}

     

    Доказательство.

    (a^{n})^{m}=\underset{n}{\underbrace{(aa..a)^{m}}} \Longrightarrow (a^{n})^{m}=\underset{n\cdot m}{\underbrace{(aa..a)}} \Longrightarrow (a^{n})^{m}=\underset{n}{\underbrace{(aa..a)}}\cdot \underset{m}{\underbrace{(aa..a)}}

    \underset{n}{\underbrace{(aa..a)}}=a^{n}, \underset{m}{\underbrace{(aa..a)}}=a^{m} \Longrightarrow (a^{n})^{m}=a^{n}a^{m}

     

    • 9. \forall n\in \mathbb N, (a^{n})^{'}=(a^{'})^{n}

     

    Доказательство.

    a^{n}(a^{n})^{'}=e, (a^{'})^{n}=\underset{n}{\underbrace{(a^{'}a^{'}..a^{'})}},

    \underset{n}{\underbrace{(aa..a)}} \cdot \underset{n}{\underbrace{(a^{'}a^{'}..a^{'})}}=e \Longrightarrow a^{n}(a^{'})^{n}=e \Longrightarrow a^{n}(a^{'})^{n}=a^{n}(a^{n})^{'} \Longrightarrow (a^{'})^{n}=(a^{n})^{'}.
    Литература

     

     

    Тесты

    Группы. Примеры групп. Простейшие следствия из аксиом.

    Группы. Примеры групп. Простейшие следствия из аксиом.


    Таблица лучших: Группы. Примеры групп. Простейшие следствия из аксиом.

    максимум из 2 баллов
    Место Имя Записано Баллы Результат
    Таблица загружается
    Нет данных

    Теорема о вычислении площади поверхности вращения, следствия

    Если на сегменте [a,b] функции f(x) имеет непрерывную производную f^{'}(x), то поверхность M, образованная вращением графика этой функции вокруг оси Ox, квадрируема и её площадь P может быть вычислена по формулеP=2\pi\int\limits_{a}^{b}f(x)\sqrt{1+f^{'2}(x)}dx
    grafik1
    Доказательство. Длина l_{i} звена A_{i-1}A_{i} ломанной A_{0}A_{1}...A_{n} равна \sqrt{(x_{i}-x_{i-1})^{2}+(y_{i}-y_{i-1})^{2}}. По формуле Лагранжа имеем y_{i}-y_{i-1}=f(x_{i})-f(x_{i-1})=f^{'}(\xi)(x_{i}-x_{i-1}) . Полагая x_{i}-x_{i-1}=\Delta_{x_{i}} . Поэтому, согласно формуле,
    P(x_{i})=2\pi\sum\limits_{i=1}^{n}f(\xi_{i})\sqrt{1+f^{'2}}\Delta_{x_{i}}+\pi\sum\limits_{i=1}^{n}(y_{i-1}-f(\xi_{i}))\sqrt{1+f^{'2}}\Delta_{x_{i}}+\pi\sum\limits_{i=1}^{n}(y_{i}-f(\xi_{i}))\sqrt{1+f^{'2}}\Delta_{x_{i}}, Обозначим эту формулу (**). Первая сумма в правой части представляет собой интегральную сумму функции 2\pi{f(x)\sqrt{1+f^{'2}(x)}dx}, которая в силу условий утверждения интегрируема и имеет предел P=2\pi\int\limits_{a}^{b}f(x)\sqrt{1+f^{'2}(x)}dx. Докажем, что выражение в правой части (**) имеет предел, равный нулю. В самом деле, пусть \varepsilon>0. Так как функция f(x) равномерно непрерывны на сегменте [a,b] , то по данному\varepsilon>0 можно указать такое \delta>0, что при \Delta<\delta(\Delta=\max\Delta_{x_{i}}) выполняются неравенства |y_{i-1}-f(\xi_{i})|<\varepsilon и |y_{i}-f(\xi_{i})|<\varepsilon. Если T — максимальное значение функции \sqrt{1+f^{'2}(x)} на сегменте [a,b], то получаем
    |\sum\limits_{i=1}^{n}((y_{i-1}-f(\xi_{i}))+(y_{i}-f(\xi_{i})))\sqrt{{1+f^{'2}(\xi_{i})}}\Delta_{x_{i}}|<2T\varepsilon\sum\limits_{i=1}^{n}\Delta_{x_{i}}=2T(b-a)\varepsilon. В силу произвольности \varepsilon >0 предел указанного выражения равен нулю. Итак, мы доказали существование предела P площадей P(x_{i}) и установили, что этот предел может быть вычислен по формуле P=2\pi\int\limits_{a}^{b}f(x)\sqrt{1+f^{'2}(x)}dx.
    Замечание 1.Квадрируемость поверхности вращения можно доказать при более слабых условиях. Достаточно потребовать, чтобы функция f^{'}(x) была определена и интегрируема на сегменте [a,b]. Из этого предположения вытекает интегрируемость функции f(x)\sqrt{1+f^{'2}(x)}. Дальнейшее рассуждение ничем не отличается от рассуждений, проведенных при доказательстве утверждений этого пункта.
    Замечание 2. Если поверхность M получается посредством вращения вокруг оси Ox кривой L, определяемой параметрическими уравнениями
    x=\phi(t), y=\psi(x), \alpha\leq t\leq \beta, то осуществляя замену переменных под знаком определенного интеграла в формуле
    P=2\pi\int\limits_{a}^{b}f(x)\sqrt{1+f^{'2}(x)}dx, получим следующее выражение для площади P этой поверхности P=2\pi\int\limits_{\alpha}^{\beta}\psi(t)\sqrt{\phi^{'2}(t)+\psi^{'2}(t)}dt.
    Пример 1.Найдем площадь P поверхности эллипсоида вращения. Пусть эллипс \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1 вращается вокруг оси Ox. Рассмотрим сначала случай a>b(вращение вокруг большой оси эллипса). Так как в этом случае f(x)=\frac{b}{a}\sqrt{a^{2}-x^{2}}, то полагая e=\sqrt{\frac{a^{2}-b^{2}}{a^{2}}}, найдем P=2\pi\int\limits_{-a}^{a}f(x)\sqrt{1+f^{'2}(x)}dx=2\pi\frac{b}{a}\int\limits_{-a}^{a}\sqrt{a^{2}-e^{2}x^{2}}dx=2\pi b(b+\frac{a}{e}\arcsin e). Если a<b, то полагая e=\sqrt{\frac{b^{2}-a^{2}}{b^{2}}} и проводя соответствующие вычисления, получим P=2\pi b(b+\frac{a^{2}}{2b}\ln\frac{1+e}{1-e}).
    Пример 2. Найдем площадь P поверхности, образованной вращением вокруг оси Ox циклоиды, определяемой параметрическими уравнениями x=a(t- \sin t), y=a(1-\cos t), 0\leq t\leq 2\pi. По формуле P=2\pi\int\limits_{\alpha}^{\beta}\psi(t)\sqrt{\phi^{'2}(t)+\psi^{'2}(t)}dt. Имеем P=2\pi\int\limits_{\alpha}^{\beta}\psi(t)\sqrt{\phi^{'2}(t)+\psi^{'2}(t)}dt=2\sqrt{2}\pi a^{2}\int\limits_{0}^{2\pi}(1-\cos t)^{\frac{3}{2}}dt=\frac{64}{3}\pi a^{2}.
    Литература

  • В. А. Ильин, Э. Г. Позняк Основы математического анализа. Часть 1. 1982 год. Параграф 3, пункт 4. стр 379-380.
  • Вартанян Г. М. Конспект по математическому анализу.
  • Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Часть 2, 1964 год, Параграф 2, стр. 214-217.

    • Вычислении площади поверхности вращения

    Вычислении площади поверхности вращения

    Таблица лучших: Вычислении площади поверхности вращения

    максимум из 18 баллов
    Место Имя Записано Баллы Результат
    Таблица загружается
    Нет данных

    Определение площади поверхности вращения

    Рассмотрим поверхность M, образованную вращением вокруг оси Ox, заданной на сегменте [a,b] функции y=f(x). Определим понятие квадрируемости поверхности вращения M. Пусть T — разбиение сегмента [a,b] точками a=x_{0}<x_{1}<...<x_{n}=b , и пусть A_{0},…,A_{n} — соответствующие точки функции y=f(x). Построим ломанную A_{0}A_{1}...A_{n}. При вращении этой ломанной вокруг оси мы получим поверхность M(A_{i}), составленную из боковых поверхностей усеченных конусов. Обозначим через P(x_{i}) площадь поверхности M(A_{i}). Если y_{i} — ординаты f(x) в точках x_{i}, а l_{i} — длина звена A_{i-1}A_{i} ломанной A_{0}A_{1}...A_{n}, то
    P(x_{i})=2\pi\sum\limits_{i=1}^{n}\frac{y_{i-1}+y_{i}}{2}l_{i}=\pi\sum\limits_{i=1}^{n}(y_{i-1}+y_{i})l_{i}
    Сформулируем следующее определения.

  • Число P называется пределом площадей P(x_{i}), если \forall \epsilon>0 \exists \triangle>0 , что \forall разбиения T сегмента [a,b] , максимальная длина D частичных сегментов которого меньше \triangle выполняется неравенство |P(x_{i})-P|<\epsilon.
  • Поверхность вращения M называется квадрируемой, если \exists предел P площадей P(x_{i}) . При этом число P называется площадью поверхности M.

    • Литература

  • В. А. Ильин, Э. Г. Позняк. Основы математического анализа. Часть 1. 1982 год. Параграф 3, пункт 4. стр 378-379.
  • Вартанян Г. М. Конспект по математическому анализу.
  • Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Часть 2, 1964 год, Параграф 2, стр. 214-217.

    • Площадь поверхности вращения

    Поверхность вращения

    Таблица лучших: Площадь поверхности вращения

    максимум из 2 баллов
    Место Имя Записано Баллы Результат
    Таблица загружается
    Нет данных