Автор: Александр Земсков

РЕШЕНИЕ МАТРИЧНЫХ УРАВНЕНИЙ

Решение матричных уравнений

Матричные уравнения бывают трех типов.

  • 1. [latex]A \cdot X=B[/latex]
  • 2. [latex]X \cdot A=B[/latex]
  • 3. [latex]C \cdot X \cdot A=B[/latex]

    • Пример 1. Чтобы решить уравнение первого типа нужно обе части уравнения умножить на обратную к матрице [latex]A[/latex] слева.
    [latex]\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \\ \end{pmatrix} \cdot X=[/latex] [latex]\begin{pmatrix} 3 & 5 \\ 5 & 9 \\ \end{pmatrix}[/latex], [latex]\det \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \\ \end{pmatrix}=-2[/latex]
    [latex]A_{11}=(-1)^{1+1} \cdot 4=4[/latex]
    [latex]A_{12}=(-1)^{1+2} \cdot 3=-3[/latex]
    [latex]A_{21}=(-1)^{2+1} \cdot 2=-2[/latex]
    [latex]A_{22}=(-1)^{2+2} \cdot 1=1[/latex]
    [latex]\begin{pmatrix} 4 & -3 \\ -2 & 1 \\ \end{pmatrix}[/latex], полученную матрицу транспонируем и умножим на [latex]\det^{-1} \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \\ \end{pmatrix}=-1/2[/latex]. Обратная матрица к [latex]\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \\ \end{pmatrix}[/latex] равна [latex]\begin{pmatrix} -2 & 1 \\ 3/2 & -1/2 \\ \end{pmatrix}[/latex].
    [latex]X=\begin{pmatrix} -2 & 1 \\ 3/2 & -1/2 \\ \end{pmatrix} \cdot [/latex] [latex] \begin{pmatrix} 3 & 5 \\ 5 & 9 \\ \end{pmatrix}[/latex], [latex]X= \begin{pmatrix} -1 & -1 \\ 2 & 3 \\ \end{pmatrix}[/latex]. Сделаем проверку [latex]\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \\ \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} -1 & -1 \\ 2 & 3 \\ \end{pmatrix}=[/latex][latex]\begin{pmatrix} 3 & 5 \\ 5 & 9 \\ \end{pmatrix}[/latex]. Уравнение решили правильно.
    Пример 2. Чтобы решить уравнение второго типа нужно обе части уравнения умножить на обратную к матрице [latex]A[/latex] справа.
    [latex]X \cdot \begin{pmatrix} 3 & -2 \\ 5 & -4 \\ \end{pmatrix}=[/latex] [latex]\begin{pmatrix} -1 & 2 \\ -5 & 6 \\ \end{pmatrix}.[/latex] Матрица обратная к [latex]\begin{pmatrix} 3 & -2 \\ 5 & -4 \\ \end{pmatrix}[/latex] равна [latex]\begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 5/2 & -3/2 \\ \end{pmatrix}.[/latex] [latex]X=\begin{pmatrix} -1 & 2 \\ -5 & 6 \\ \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 5/2 & -3/2 \\ \end{pmatrix},[/latex] [latex]X=\begin{pmatrix} 3 & -2 \\ 5 & -4 \\ \end{pmatrix}[/latex].
    Пример 3. Чтобы решить уравнение третьего типа нужно обе части уравнения умножить на обратную к матрице [latex]A[/latex] справа и на обратную матрице [latex]C[/latex] слева.
    [latex]\begin{pmatrix} 3 & -1 \\ 5 & -2 \\ \end{pmatrix} \cdot X \cdot \begin{pmatrix} 5 & 6 \\ 7 & 8 \\ \end{pmatrix}=[/latex] [latex]\begin{pmatrix} 14 & 16 \\ 9 & 10 \\ \end{pmatrix}[/latex]. Обратная матрица к [latex]\begin{pmatrix} 3 & -1 \\ 5 & -2 \\ \end{pmatrix}[/latex] равна [latex]\begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 5 & -3 \\ \end{pmatrix},[/latex] обратная матрица к [latex]\begin{pmatrix} 5 & 6 \\ 7 & 8 \\ \end{pmatrix}[/latex] равна [latex]\begin{pmatrix} -4 & 3 \\ 7/2 & -5/2 \\ \end{pmatrix}[/latex]. [latex]X=\begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 5 & -3 \\ \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 14 & 16 \\ 9 & 10 \\ \end{pmatrix} \cdot [/latex][latex] \begin{pmatrix} -4 & 3 \\ 7/2 & -5/2 \\ \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \\ \end{pmatrix}[/latex].
    Проверка [latex]\begin{pmatrix} 3 & -1 \\ 5 & -2 \\ \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \\ \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 5 & 6 \\ 7 & 8 \\ \end{pmatrix}=[/latex] [latex]\begin{pmatrix} 14 & 16 \\ 9 & 10 \\ \end{pmatrix}[/latex].
    Пример 4. Случай когда обратная матрица не существует.
    [latex]X \cdot \begin{pmatrix} 3 & 6 \\ 4 & 8 \\ \end{pmatrix}=[/latex] [latex]\begin{pmatrix} 2 & 4 \\ 9 & 18 \\ \end{pmatrix}[/latex].
    Матрицу [latex]X[/latex] запишем как [latex]\begin{pmatrix} x_{1} & x_{2} \\ x_{3} & x_{4} \\ \end{pmatrix}[/latex], [latex]\begin{pmatrix} 3 \cdot x_{1}+4 \cdot x_{2} & 6 \cdot x_{1}+8 \cdot x_{2} \\ 3 \cdot x_{3}+4 \cdot x_{4} & 6 \cdot x_{3}+8 \cdot x_{4} \\ \end{pmatrix}=[/latex][latex]\begin{pmatrix} 2 & 4 \\ 9 & 18 \\ \end{pmatrix}[/latex].

    \begin{cases}
    3 \cdot x_{1}+4 \cdot x_{2} = 2\\
    6 \cdot x_{1}+8 \cdot x_{2} = 4\\
    3 \cdot x_{3}+4 \cdot x_{4} = 9\\
    6 \cdot x_{3}+8 \cdot x_{4}=18
    \end{cases}
    Эта система эквивалентна
    \begin{cases}
    3 \cdot x_{1}+4 \cdot x_{2} = 2\\
    3 \cdot x_{3}+4 \cdot x_{4} = 9
    \end{cases}
    Решив данную систему получим общей вид решения [latex]X=\begin{pmatrix} x_{1} & (2-3x_{1})/4 \\ x_{3} & (9-4x_{1})/3 \\ \end{pmatrix}[/latex]
    Литература

  • 1. Белозёров Г. С. Конспект по алгебре и геометрии
  • 2. Линейная алгебра. Воеводин. В. В. М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1980 год, стр. 211-213.
  • Сборник задач по линейной алгебре. Проскуряков. И. В. М. 1961 год, стр. 118-119.

    • Решение матричных уравнений

    Обращение матриц. Решение матричных уравнений

    Таблица лучших: Решение матричных уравнений

    максимум из 2 баллов
    Место Имя Записано Баллы Результат
    Таблица загружается
    Нет данных

    Обращение матриц

    Обращение матриц

    Первый способ нахождения обратной матрицы. Пусть дана матрица [latex]A = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 3 \\ 2 & 3 & 5 \\ 3 & 5 & 7 \end{pmatrix}[/latex]. Обратную матрицу можно вычислить по формуле [latex]A^{-1}=(\det A)^{-1} \cdot A^{T},[/latex] где [latex]A^{T}[/latex] — транспонированная матрица алгебраических дополнений. Найдем определитель этой матрицы по правилу треугольника. [latex]\det A=[/latex][latex]0 \cdot 3 \cdot 7+1 \cdot 5 \cdot 3[/latex][latex]+2 \cdot 5 \cdot 3-3 \cdot 3 \cdot 3[/latex][latex]-5 \cdot 5 \cdot 0-2 \cdot 1 \cdot 7=4.[/latex] Если бы определитель был равен нулю, то обратная матрица не существует. Дальше найдем алгебраическое дополнение матрицы. Чтобы найти алгебраическое дополнение каждого элемента матрицы, нужно вычеркнуть строку и столбец содержащий этот элемент, найти определитель минора каждого элемента и умножить на [latex]-1[/latex] в степени суммы номера строки и столбца в которых располагается элемент.
    [latex]A_{11}=(-1)^{1+1} \begin{pmatrix} 3 & 5 \\ 5 & 7 \\ \end{pmatrix}=-4[/latex]
    [latex]A_{12}=(-1)^{1+2} \begin{pmatrix} 2 & 5 \\ 3 & 7 \\ \end{pmatrix}=1[/latex]
    [latex]A_{13}=(-1)^{1+3} \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 3 & 5 \\ \end{pmatrix}=1[/latex]
    [latex]A_{21}=(-1)^{2+1} \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 5 & 7 \\ \end{pmatrix}=8[/latex]
    [latex]A_{22}=(-1)^{2+2} \begin{pmatrix} 0 & 3 \\ 3 & 7 \\ \end{pmatrix}=-9[/latex]
    [latex]A_{23}=(-1)^{2+3} \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 3 & 5 \\ \end{pmatrix}=3[/latex]
    [latex]A_{31}=(-1)^{3+1} \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 3 & 5 \\ \end{pmatrix}=-4[/latex]
    [latex]A_{32}=(-1)^{3+2} \begin{pmatrix} 0 & 3 \\ 2 & 5 \\ \end{pmatrix}=6[/latex]
    [latex]A_{33}=(-1)^{3+3} \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 2 & 3 \\ \end{pmatrix}=-2[/latex]
    Матрица алгебраических дополнений [latex]A = \begin{pmatrix} -4 & 1 & 1 \\ 8 & -9 & 3 \\ -4 & 6 & -2 \end{pmatrix}[/latex]. Транспонируем Матрицу алгебраических дополнений, [latex]A^{T} = \begin{pmatrix} -4 & 8 & -4 \\ 1 & -9 & 6 \\ 1 & -3 & -2 \end{pmatrix}[/latex]. Теперь найдем обратную матрицу [latex]A^{-1}=[/latex][latex]\frac{1}{4} \begin{pmatrix} -4 & 8 & -4 \\ 1 & -9 & 6 \\ 1 & -3 & -2 \end{pmatrix}=[/latex] [latex]\begin{pmatrix} -1 & 2 & -1 \\ 1/4 & -9/4 & 3/2 \\ 1/4 & -3/4 & -1/2 \end{pmatrix}[/latex]. Если обратная матрица найдена правильно, то при умножение обратной матрицы на исходную получим матрицу, у которой на главной диагонали единицы, а все остальные элементы равны нулю. [latex]\begin{pmatrix} 0 & 1 & 3 \\ 2 & 3 & 5 \\ 3 & 5 & 7 \end{pmatrix}[/latex] [latex]\begin{pmatrix} -1 & 2 & -1 \\ 1/4 & -9/4 & 3/2 \\ 1/4 & -3/4 & -1/2 \end{pmatrix}=[/latex] [latex]\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}[/latex]. Так как получили единичную матрицу, то обратная матрица найдена верно.
    Второй способ нахождения обратной матрицы. Запишем рядом с исходной матрицей единичную [latex]\begin{pmatrix} 0 & 1 & 3 \\ 2 & 3 & 5 \\ 3 & 5 & 7 \end{pmatrix}[/latex] [latex]\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}[/latex]. Любую матрицу можно привести к единичной, это мы и сделаем с нашей матрицей [latex]A[/latex], выполняя действия по привидению матрицы [latex]A[/latex] к единичному виду, будем выполнять такие же с единичной матрицей.
    [latex]\begin{pmatrix} 0 & 1 & 3 \\ 2 & 3 & 5 \\ 3 & 5 & 7 \end{pmatrix}[/latex] [latex]\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}[/latex]
    Умножим вторую строку на [latex]-1[/latex] и прибавим к третьей.
    [latex]\begin{pmatrix} 0 & 1 & 3 \\ 2 & 3 & 5 \\ 1 & 2 & 2 \end{pmatrix}[/latex] [latex]\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 1 \end{pmatrix}[/latex]
    Поменяем первую и третью строки местами.
    [latex]\begin{pmatrix} 1 & 2 & 2 \\ 2 & 3 & 5 \\ 0 & 1 & 3 \end{pmatrix}[/latex] [latex]\begin{pmatrix} 0 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}[/latex]
    Первую строку умножим на [latex]-2[/latex] и прибавим ко второй.
    [latex]\begin{pmatrix} 1 & 2 & 2 \\ 0 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 3 \end{pmatrix}[/latex] [latex]\begin{pmatrix} 0 & -1 & 1 \\ 0 & 3 & -2 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}[/latex]
    Вторую строку прибавим к третьей.
    [latex]\begin{pmatrix} 1 & 2 & 2 \\ 0 & -1 & 1 \\ 0 & 0 & 4 \end{pmatrix}[/latex] [latex]\begin{pmatrix} 0 & -1 & 1 \\ 0 & 3 & -2 \\ 1 & 3 & -2 \end{pmatrix}[/latex]
    Поделим третью строку на четыре.
    [latex]\begin{pmatrix} 1 & 2 & 2 \\ 0 & -1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}[/latex] [latex]\begin{pmatrix} 0 & -1 & 1 \\ 0 & 3 & -2 \\ 1/4 & 3/4 & -1/2 \end{pmatrix}[/latex]
    Умножим вторую строку на [latex]-2[/latex] и прибавим к первой.
    [latex]\begin{pmatrix} 1 & 4 & 0 \\ 0 & -1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}[/latex] [latex]\begin{pmatrix} 0 & -7 & 5 \\ 0 & 3 & -2 \\ 1/4 & 3/4 & -1/2 \end{pmatrix}[/latex]
    Умножим третью строку на [latex]-1[/latex] и прибавим ко второй.
    [latex]\begin{pmatrix} 1 & 4 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}[/latex] [latex]\begin{pmatrix} 0 & -7 & 5 \\ -1/4 & 9/4 & -3/2 \\ 1/4 & 3/4 & -1/2 \end{pmatrix}[/latex]
    Умножим вторую строку на [latex]-1[/latex].
    [latex]\begin{pmatrix} 1 & 4 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}[/latex] [latex]\begin{pmatrix} 0 & -7 & 5 \\ 1/4 & -9/4 & 3/2 \\ 1/4 & 3/4 & -1/2 \end{pmatrix}[/latex]
    Вторую строку умножим на [latex]-4[/latex] и прибавим к первой.
    [latex]\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}[/latex] [latex]\begin{pmatrix} -1 & 2 & -1 \\ 1/4 & -9/4 & 3/2 \\ 1/4 & 3/4 & -1/2 \end{pmatrix}[/latex]
    Полученная матрица является обратной.
    Литература

  • 1. Белозёров Г. С. Конспект по алгебре и геометрии
  • 2. Линейная алгебра. Воеводин. В. В. М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1980 год, стр. 211-213.
  • Сборник задач по линейной алгебре. Проскуряков. И. В. М. 1961 год, стр. 116, 125.

    • Обращение матриц

    Обращение матриц

    Таблица лучших: Обращение матриц

    максимум из 2 баллов
    Место Имя Записано Баллы Результат
    Таблица загружается
    Нет данных

    Группы. Примеры групп. Простейшие следствия из аксиом.

    Определение

    Пусть $G\ne \varnothing$, $»*»$ — БАО на $G.$ Тогда $(G, *)$ называется группой, если выполняются следующие три аксиомы.

    • 1. Ассоциативность. $\forall a, b, c\in G~$ $~ (a*b)*c=$$a*(b*c).$
    • 2. Нейтральный элемент. $\exists e\in G ,\forall a\in G~a*e=$$e*a=a.$
    • 3. Симметрический элемент. $\forall a\in G,\exists a^{‘}\in G$$ a*a^{‘}=a^{‘}*a=e.$

    Если, кроме этих трех условий выполняется условие коммутативности $\forall a, b \in G~a*b=b*a,$ то такая группа называется абелевой.

    Примеры

    • 1.) $(\mathbb Z, +), (\mathbb Q^{*}, +),(\mathbb R, +)$ — аддитивные группы (по сложению всякое кольцо является абелевой группой).
    • 2.) $(\mathbb Q^{*}, \cdot), (\mathbb R^{+}, \cdot),(\mathbb R^{*}, \cdot)$ — мультипликативные группы(совокупность отличных от нуля элементов любого поля является абелевой группой).
    • 3.) $ (\mathbb C_{[-1;1]}, +) $ — множество непрерывных вещественных функций определенных на $[-1;1].$
    • 4.) $(\mathbb R^{2}, +), (a, b)+(c, d)=$$(a+c, b+d).$
    • 5.) $G_{2n},$ где $n$ — простое. Возможно по крайней мере 2 группы: Циклическая группа $ C_{2n}$ и диэдр $D_{n}$

      • grafik1grafik1

    Простейшие следствия из аксиом

    • 1. Нейтральный элемент — единственный.

    Доказательство. Предположим противное. Пусть $\exists e^{‘},$ так как $e^{‘}$ — нейтральный элемент, то $e^{‘}e=e^{‘}$, но $e$ тоже нейтральный элемент, а значит $e^{‘}e=e \Longrightarrow e=e^{‘}. $

    • 2. $\forall a\in G~ \exists! a^{‘},a^{‘}a=e$

    Доказательство. Предположим противное. Пусть $\exists a^{»},a^{»}a=aa^{»}=e,$$ a^{‘}a=aa^{‘}=e,$$ a^{‘}aa^{»}=(a^{‘}a)a^{»}=ea^{»}=a^{»},$ $a^{‘}(aa^{»})=a^{‘}e=a^{‘} \Longrightarrow $$a^{‘}=a^{»} $

    • 3. $a*x=b,(x*b=a)$, решение единственно.

    Доказательство.

    Единственность.

    $x_{0}$ — решение. $ax_{0}=b, a^{‘}(ax_{0})=a^{‘}b,$$ (a^{‘}a)x_{0}=a^{‘}b$, $ex_{0}=a^{‘}b, x_{0}=a^{‘}b$

    Существование.

    $x_{0}=a^{‘}b, a(a^{‘}b)=$$(aa^{‘})b=eb=b$

    • 4. $(a^{‘})^{‘}=a, \forall a\in G$

    Доказательство. По третьей аксиоме $a^{‘}(a^{‘})^{‘}=e, a^{‘}a=e \Longrightarrow$
    $a^{‘}(a^{‘})^{‘}=a^{‘}a\Longrightarrow (a^{‘})^{‘}=a$.

    • 5. $(ab)^{‘}=b^{‘}a^{‘}$

    Доказательство.
    $(ab)(ab)^{‘}=e, aa^{‘}=e$, $bb^{‘}=e \Longrightarrow (aa^{‘})(bb^{‘})=$$(bb^{‘})(aa^{‘})=ee \Longrightarrow $$ (bb^{‘})(aa^{‘})=e \Longrightarrow$ $(ab)(ab)^{‘}=(bb^{‘})(aa^{‘}) \Longrightarrow$ $(ab)(ab)^{‘}=(ab)b^{‘}a^{‘} \Longrightarrow$$ (ab)^{‘}=b^{‘}a^{‘}$

    • 6. $\forall n\in \mathbb N$$ a^{n}=\underset{n}{\underbrace{aa..a}}$

    Доказательство.

    База индукции.

    $a^{1}=a$.

    Предположение индукции.

    Пусть $n=k, a^{k}=\underset{k}{\underbrace{aa..a}}.$

    Шаг индукции.

    Пусть $n=k+1, a^{k}a^{1}=a(aa..a),$ $a^{k+1}=\underset{k+1}{\underbrace{aa..a}}$.

    • 7. $\forall n, m\in \mathbb N, a^{n}a^{m}=a^{n+m}$

    Доказательство.

    $a^{m}=\underset{m}{\underbrace{aa..a}}, a^{n}=\underset{n}{\underbrace{aa..a}}$

    $a^{n}a^{m}=\underset{n}{\underbrace{aa..a}} \cdot \underset{m}{\underbrace{aa..a}} \Longrightarrow$ $a^{n}a^{m}=\underset{n+m}{\underbrace{aa..a}}$, $\underset{n+m}{\underbrace{aa..a}}=a^{n+m} \Longrightarrow$ $a^{n+m}=a^{n}a^{m}$

     

    • 8. $\forall n, m\in \mathbb N, (a^{n})^{m}=a^{nm}$

     

    Доказательство.

    $(a^{n})^{m}=\underset{n}{\underbrace{(aa..a)^{m}}} \Longrightarrow$ $(a^{n})^{m}=\underset{n\cdot m}{\underbrace{(aa..a)}} \Longrightarrow$ $(a^{n})^{m}=\underset{n}{\underbrace{(aa..a)}}\cdot \underset{m}{\underbrace{(aa..a)}} $

    $\underset{n}{\underbrace{(aa..a)}}=a^{n}$, $\underset{m}{\underbrace{(aa..a)}}=a^{m} \Longrightarrow$ $(a^{n})^{m}=a^{n}a^{m}$

     

    • 9. $\forall n\in \mathbb N, (a^{n})^{‘}=(a^{‘})^{n}$

     

    Доказательство.

    $a^{n}(a^{n})^{‘}=e, (a^{‘})^{n}=$$\underset{n}{\underbrace{(a^{‘}a^{‘}..a^{‘})}},$

    $\underset{n}{\underbrace{(aa..a)}} \cdot \underset{n}{\underbrace{(a^{‘}a^{‘}..a^{‘})}}=e \Longrightarrow$ $a^{n}(a^{‘})^{n}=e \Longrightarrow$ $a^{n}(a^{‘})^{n}=a^{n}(a^{n})^{‘} \Longrightarrow$ $(a^{‘})^{n}=(a^{n})^{‘}.$
    Литература

     

     

    Тесты

    Группы. Примеры групп. Простейшие следствия из аксиом.

    Группы. Примеры групп. Простейшие следствия из аксиом.


    Таблица лучших: Группы. Примеры групп. Простейшие следствия из аксиом.

    максимум из 2 баллов
    Место Имя Записано Баллы Результат
    Таблица загружается
    Нет данных

    Теорема о вычислении площади поверхности вращения, следствия

    Если на сегменте [latex][a,b] [/latex] функции [latex]f(x)[/latex] имеет непрерывную производную [latex]f^{‘}(x)[/latex], то поверхность [latex]M[/latex], образованная вращением графика этой функции вокруг оси [latex]Ox[/latex], квадрируема и её площадь [latex]P[/latex] может быть вычислена по формуле[latex]P=[/latex][latex]2\pi\int\limits_{a}^{b}f(x)\sqrt{1+f^{‘2}(x)}dx[/latex]
    grafik1
    Доказательство. Длина [latex]l_{i} [/latex] звена [latex]A_{i-1}A_{i} [/latex] ломанной [latex]A_{0}A_{1}…A_{n} [/latex] равна [latex]\sqrt{(x_{i}-x_{i-1})^{2}+(y_{i}-y_{i-1})^{2}}.[/latex] По формуле Лагранжа имеем [latex]y_{i}-y_{i-1}=[/latex][latex]f(x_{i})-f(x_{i-1})=[/latex][latex]f^{‘}(\xi)(x_{i}-x_{i-1}) [/latex]. Полагая [latex]x_{i}-x_{i-1}=\Delta_{x_{i}} [/latex]. Поэтому, согласно формуле,
    [latex]P(x_{i})=[/latex][latex]2\pi\sum\limits_{i=1}^{n}f(\xi_{i})\sqrt{1+f^{‘2}}\Delta_{x_{i}}+[/latex][latex]\pi\sum\limits_{i=1}^{n}(y_{i-1}-f(\xi_{i}))\sqrt{1+f^{‘2}}\Delta_{x_{i}}+[/latex][latex]\pi\sum\limits_{i=1}^{n}(y_{i}-f(\xi_{i}))\sqrt{1+f^{‘2}}\Delta_{x_{i}},[/latex] Обозначим эту формулу [latex](**).[/latex] Первая сумма в правой части представляет собой интегральную сумму функции [latex]2\pi{f(x)\sqrt{1+f^{‘2}(x)}dx}[/latex], которая в силу условий утверждения интегрируема и имеет предел [latex]P=[/latex][latex]2\pi\int\limits_{a}^{b}f(x)\sqrt{1+f^{‘2}(x)}dx[/latex]. Докажем, что выражение в правой части [latex](**)[/latex] имеет предел, равный нулю. В самом деле, пусть [latex]\varepsilon>0[/latex]. Так как функция [latex]f(x)[/latex] равномерно непрерывны на сегменте [latex][a,b] [/latex], то по данному[latex]\varepsilon>0[/latex] можно указать такое [latex]\delta>0[/latex], что при [latex]\Delta<\delta[/latex][latex](\Delta=\max\Delta_{x_{i}})[/latex] выполняются неравенства [latex]|y_{i-1}-f(\xi_{i})|<\varepsilon[/latex] и [latex]|y_{i}-f(\xi_{i})|<\varepsilon[/latex]. Если [latex]T[/latex] — максимальное значение функции [latex]\sqrt{1+f^{‘2}(x)}[/latex] на сегменте [latex][a,b][/latex], то получаем
    [latex]|\sum\limits_{i=1}^{n}((y_{i-1}-f(\xi_{i}))+[/latex][latex](y_{i}-f(\xi_{i})))\sqrt{{1+f^{‘2}(\xi_{i})}}\Delta_{x_{i}}|<[/latex][latex]2T\varepsilon\sum\limits_{i=1}^{n}\Delta_{x_{i}}=[/latex][latex]2T(b-a)\varepsilon.[/latex] В силу произвольности [latex]\varepsilon >0[/latex] предел указанного выражения равен нулю. Итак, мы доказали существование предела [latex]P[/latex] площадей [latex]P(x_{i})[/latex] и установили, что этот предел может быть вычислен по формуле [latex]P=[/latex][latex]2\pi\int\limits_{a}^{b}f(x)\sqrt{1+f^{‘2}(x)}dx[/latex].
    Замечание 1.Квадрируемость поверхности вращения можно доказать при более слабых условиях. Достаточно потребовать, чтобы функция [latex]f^{‘}(x)[/latex] была определена и интегрируема на сегменте [latex][a,b].[/latex] Из этого предположения вытекает интегрируемость функции [latex]f(x)\sqrt{1+f^{‘2}(x)}.[/latex] Дальнейшее рассуждение ничем не отличается от рассуждений, проведенных при доказательстве утверждений этого пункта.
    Замечание 2. Если поверхность [latex]M[/latex] получается посредством вращения вокруг оси [latex]Ox[/latex] кривой [latex]L[/latex], определяемой параметрическими уравнениями
    [latex]x=\phi(t)[/latex], [latex]y=\psi(x)[/latex], [latex]\alpha\leq t\leq \beta,[/latex] то осуществляя замену переменных под знаком определенного интеграла в формуле
    [latex]P=[/latex][latex]2\pi\int\limits_{a}^{b}f(x)\sqrt{1+f^{‘2}(x)}dx,[/latex] получим следующее выражение для площади [latex]P[/latex] этой поверхности [latex]P=[/latex][latex]2\pi\int\limits_{\alpha}^{\beta}\psi(t)\sqrt{\phi^{‘2}(t)+\psi^{‘2}(t)}dt.[/latex]
    Пример 1.Найдем площадь [latex]P[/latex] поверхности эллипсоида вращения. Пусть эллипс [latex]\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1[/latex] вращается вокруг оси [latex]Ox[/latex]. Рассмотрим сначала случай [latex]a>b[/latex](вращение вокруг большой оси эллипса). Так как в этом случае [latex]f(x)=\frac{b}{a}\sqrt{a^{2}-x^{2}}[/latex], то полагая [latex]e=\sqrt{\frac{a^{2}-b^{2}}{a^{2}}}[/latex], найдем [latex]P=[/latex][latex]2\pi\int\limits_{-a}^{a}f(x)\sqrt{1+f^{‘2}(x)}dx=[/latex][latex]2\pi\frac{b}{a}\int\limits_{-a}^{a}\sqrt{a^{2}-e^{2}x^{2}}dx=[/latex][latex]2\pi b(b+\frac{a}{e}\arcsin e)[/latex]. Если [latex]a<b[/latex], то полагая [latex]e=\sqrt{\frac{b^{2}-a^{2}}{b^{2}}}[/latex] и проводя соответствующие вычисления, получим [latex]P=[/latex][latex]2\pi b(b+\frac{a^{2}}{2b}\ln\frac{1+e}{1-e})[/latex].
    Пример 2. Найдем площадь [latex]P[/latex] поверхности, образованной вращением вокруг оси [latex]Ox[/latex] циклоиды, определяемой параметрическими уравнениями [latex]x=a(t- \sin t),[/latex] [latex]y=a(1-\cos t)[/latex], [latex]0\leq t\leq 2\pi[/latex]. По формуле [latex]P=[/latex][latex]2\pi\int\limits_{\alpha}^{\beta}\psi(t)\sqrt{\phi^{‘2}(t)+\psi^{‘2}(t)}dt[/latex]. Имеем [latex]P=[/latex][latex]2\pi\int\limits_{\alpha}^{\beta}\psi(t)\sqrt{\phi^{‘2}(t)+\psi^{‘2}(t)}dt=[/latex][latex]2\sqrt{2}\pi a^{2}\int\limits_{0}^{2\pi}(1-\cos t)^{\frac{3}{2}}dt=[/latex][latex]\frac{64}{3}\pi a^{2}[/latex].
    Литература

  • В. А. Ильин, Э. Г. Позняк Основы математического анализа. Часть 1. 1982 год. Параграф 3, пункт 4. стр 379-380.
  • Вартанян Г. М. Конспект по математическому анализу.
  • Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Часть 2, 1964 год, Параграф 2, стр. 214-217.

    • Вычислении площади поверхности вращения

    Вычислении площади поверхности вращения

    Таблица лучших: Вычислении площади поверхности вращения

    максимум из 18 баллов
    Место Имя Записано Баллы Результат
    Таблица загружается
    Нет данных

    Определение площади поверхности вращения

    Рассмотрим поверхность [latex]M[/latex], образованную вращением вокруг оси [latex]Ox[/latex], заданной на сегменте [latex][a,b] [/latex] функции [latex]y=f(x)[/latex]. Определим понятие квадрируемости поверхности вращения [latex]M[/latex]. Пусть [latex]T[/latex] — разбиение сегмента [latex][a,b] [/latex] точками [latex]a=x_{0}<x_{1}<…[/latex][latex]<x_{n}=b [/latex], и пусть [latex]A_{0}[/latex],…,[latex]A_{n}[/latex] — соответствующие точки функции [latex]y=f(x)[/latex]. Построим ломанную [latex]A_{0}A_{1}…A_{n}[/latex]. При вращении этой ломанной вокруг оси мы получим поверхность [latex] M(A_{i})[/latex], составленную из боковых поверхностей усеченных конусов. Обозначим через [latex] P(x_{i})[/latex] площадь поверхности [latex] M(A_{i})[/latex]. Если [latex] y_{i}[/latex] — ординаты [latex]f(x)[/latex] в точках [latex] x_{i}[/latex], а [latex] l_{i}[/latex] — длина звена [latex] A_{i-1}A_{i}[/latex] ломанной [latex]A_{0}A_{1}…A_{n}[/latex], то
    [latex] P(x_{i})=2\pi\sum\limits_{i=1}^{n}\frac{y_{i-1}+y_{i}}{2}l_{i}=[/latex][latex]\pi\sum\limits_{i=1}^{n}(y_{i-1}+y_{i})l_{i}[/latex]
    Сформулируем следующее определения.

  • Число [latex]P[/latex] называется пределом площадей [latex]P(x_{i})[/latex], если [latex]\forall[/latex] [latex]\epsilon>0[/latex] [latex]\exists[/latex] [latex]\triangle>0 [/latex], что [latex]\forall[/latex] разбиения [latex]T[/latex] сегмента [latex][a,b] [/latex], максимальная длина [latex]D[/latex] частичных сегментов которого меньше [latex]\triangle[/latex] выполняется неравенство [latex]|P(x_{i})-P|<\epsilon[/latex].
  • Поверхность вращения [latex]M[/latex] называется квадрируемой, если [latex]\exists [/latex] предел [latex]P[/latex] площадей [latex]P(x_{i}) [/latex]. При этом число [latex]P[/latex] называется площадью поверхности [latex]M[/latex].

    • Литература

  • В. А. Ильин, Э. Г. Позняк. Основы математического анализа. Часть 1. 1982 год. Параграф 3, пункт 4. стр 378-379.
  • Вартанян Г. М. Конспект по математическому анализу.
  • Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Часть 2, 1964 год, Параграф 2, стр. 214-217.

    • Площадь поверхности вращения

    Поверхность вращения

    Таблица лучших: Площадь поверхности вращения

    максимум из 2 баллов
    Место Имя Записано Баллы Результат
    Таблица загружается
    Нет данных