Возьмём произвольные множества $X$, $Y$. Отображением $F$ из $X$ в $Y$ называется соответствие, которое каждому $x\in X$ сопоставляет единственный элемент $y \in Y$.
- Множество $X$ — область определения.
- Множество всех $y\in Y$ — область значения. Надо рассмотреть функции $f$, определённые на некоторых множествах $E \subset \mathbb{R}^{n}$ со значениями в ${R}^{m}$. Такие функции называются векторными функциями многих переменных. Значениями функции $f$ являются $m$-мерные векторы. Функции такого вида также будем называть отображениями.
Функция значения которой являются действительные числа наз. действительной.Функция $f$: $E \mapsto \mathbb{R} , E \subset \mathbb{R}^{n}$.Пусть $f$: $E \mapsto \mathbb{R}^{m} , m \geq 2 $ где, $E \subset \mathbb{R}^{n}$. Тогда для любого фиксированного $x\in E$ с значением $f(x)$ есть $m$ — мерный вектор, который мы можем записать в таком виде:$f(x) = (f^{1}(x),…,f^{m}(x)),$ где
$f^{i}(x)$ — действительный числа(координаты вектора $f(x)$.Поэтому следует, что мы получаем $m$ действительных функций на множестве $E: f^{i}: E \mapsto \mathbb{R}$.
$f = (f^{1},…,f^{m}),$
$f^{i}$ — называют компонентами векторной функции $f$.Предел функции
Дано множество $E \subset \mathbb{R}^{n}$, $a$ — предельная точка множества $E$ и функция $f$: $E \mapsto \mathbb{R}^{m}$.
Точка $b\in \mathbb{R}^{m} $ называется пределом функции $f$ в точке по множеству $E$, если для любого $\varepsilon > 0$ найдётся такое $\delta > 0$, что для всех $x \in E$, отличных от точки $a$ и удовлетворяющих условию $0 < \left | x-a \right | < \delta$ , справедливо неравенство $\left | f(x)- b \right | < \varepsilon$. В этом случае пишут$b = \lim\limits_{x \to a, x \in E } {f(x)}$
и говорят, что $f(x)$ стремится к $b$, проходя множество $E$.
Теорема
Допустим функция $f$: $E \mapsto \mathbb{R}^{m}$ где, $E \subset \mathbb{R}^{n}$ и $a$ — предельная точка множества $E$. Чтобы точка $b\in\mathbb{R}^{m}$ являлась пределом функции $f$ в точке $a$ по множеству $E$ , необходимо и достаточно, чтобы для любой сходящейся к $a$ последовательности $\left \{ x_{\kappa } \right \}$ точек из $E$, отличных от $a$, было выполнено равенство $\lim\limits_{\kappa \to \infty} f(x_\kappa ) = b$.
Необходимость:
Пусть $\lim\limits_{x \to a, x \in E} f(x) = b$ и пусть $x_\kappa \in E,x_\kappa \neq a, \lim\limits_{\kappa \to \infty} x_\kappa = a $, то есть фиксируем некоторую последовательность $0 $<$ \left | x — a \right | $<$ \delta $ . Докажем, что $\lim\limits_{\kappa \to \infty} f(x_\kappa) = b$. Зададим $\varepsilon > 0$. Тогда, по определению предела функции , найдётся такое $\delta > 0$, что для всех $x \in E $, удовлетворяющих условию $ 0 $<$ \left | x — a \right | < \delta $ справедливо неравенство $\left | f(x) — b\right | < \varepsilon $, так как $ x_{\kappa }\rightarrow a$ и $ x_{\kappa } \neq a $, то найдётся такой номер $N$, что при любом $\kappa \geq N$ будет $0<\left | x_{\kappa}-a \right |<\delta$.
Поэтому для $ \kappa \geq N$ выполнено неравенство $ \left | f(x_{\kappa}) — b\right | < \varepsilon $. Это означает,что $\lim\limits_{\kappa \to \infty} f(x_\kappa) = b.$Достаточность:
Сделаем предположение,что предел функции $f$ в точке $a$ либо не существует,либо существует,но не равен $b$. Тогда найдется такое $ \varepsilon_{0} > 0 $ , что для любого $ \delta > 0 $ найдется точка $ x’ \in E$ для котoрой, $\left | x’-a \right | < \delta $, но $\left | f(x’) — b\right | \geq \varepsilon$. Пологая $\delta =\frac{1}{\kappa}$, построим последовательность точек$x’_{\kappa}$, для которых $ 0 $<$ \left | x’_{\kappa } — a \right | $<$ \frac{1}{\kappa } $, но $\left |f(x’_{\kappa }) — b \right | \geq \varepsilon _{0} $, тогда получим, что $x’_{\kappa} \rightarrow a $, нo $f\left ( x’_{\kappa } \right )$ не стремится к $b$, а это противоречит нашему условию.
Определим функцию по Гейне:
Точка $b$ называется пределом функции $f$ в точке $a$, если для любой последовательности $\left \{ x_{\kappa } \right \}$ точек из $E$ ,сходящейся к $a$, $x_{\kappa } \neq a$, соответствующая последовательность $\left \{ f(x_{\kappa }) \right \} $ значений функции сходится к точке $b$.
Для доказательства следующей теоремы, достаточно воспользоваться определением предела по Гейне.
Теорема(арифметические свойства): пусть функции $f,g$: $ E\rightarrow \mathbb{R}^{m}, E\subset \mathbb{R}^{n}$, $a$- прeдельная точка множества $E$ и
$\lim\limits_{x\to a, x \in E}f(x) = b$, $\lim\limits_{x\to a, x \in E}g(x) = c$
Тогда
1)$\lim\limits_{x\to a, x \in E}(f+g)(x) = b+c$;2)$\lim\limits_{x\to a, x \in E}(f \cdot g)(x) = b \cdot c$;
3)если $f,g$ — действительные функции и $g(x)\neq 0, c\neq 0$ ,то $\lim\limits_{x\to a, x \in E}\frac{f}{g}(x) = \frac{b}{c}.$
Литература
- В.И. Коляда и А. А. Кореновский » Курс лекций по математическому анализу.Часть 1.»- О.: «Астропринт» ,2009. — (с.250-252)
- Конспект лекций Г.М. Вартаняна
предел функции на множестве
Тест на закрепление материала на тему «Граница функции на множестве»
