Отображения, типы отображений, тождественное отображение
Понятие отображения или функции играет центральную роль в математике. При заданных множествах $X$ и $Y$ отображение $f$ с областью определения $X$ и областью значений $Y$ сопоставляет каждому элементу $x\in X$ элемент $f(x)\in Y$, обозначаемый также $fx$ или $f_x$. В случае $Y = X$ говорят ещё о преобразовании $f$ множества $X$ в себя. Символически отображение записывается в виде:
$f:X \to Y$ или $X\xrightarrow{f}Y$.
Образом при отображении $f$ называется множество всех элементов вида
$ $Im$ f = \left\{f(x) \mid x \in X\right\}$ = $f(X)\subset Y$.
Отображение $f:$ $X \to Y$ называется сюръективным или отображением на, когда $Im f $= $Y$. Oно называется инъективным, когда из $x$ $\ne$ $x’$ следует $f(x) \ne f(x’)$ Наконец, $f: X \to Y$ — биективное или взаимно однозначное отображение, когда оно одновременно сюръективно и инъективно. Равенство $f$ = $g$ двух отображений означает по определению, что их соответствующие области совпадают: $X\xrightarrow{f}Y$, $X\xrightarrow{g}Y$, причём $\forall x \in X f(x) = g(x)$. Сопоставление «аргументу» $x$, т.е. элементу $x \in X$.
Тождественное отображение множества $X$ в себя условимся обозначать через $\varepsilon _X$; таким образом,
$\alpha\varepsilon_X= \alpha$ для всех $\alpha \in X$.
Тождественное отображение играет при умножении роль единицы, так как для любых отображений $\varphi: X\rightarrow Y$ и $\psi:U\rightarrow X$
$\varepsilon _X\varphi = \varphi, \psi \varepsilon_X =\psi$.
Примеры:
1)Инъективное отображение
2)Не является отображением
3)Биективное отображение
Литература
- Кострикин А. И. Введение в алгебру. — М.: Наука, 1977. (стр. 35-37)
- Курош.А.Г. Лекции по алгебре(Издание второе). — М.: Наука, 1973.(стр. 12-13)
Отображения
Пройдя этот тест вы намного лучше закрепите материал по теме «Отображения, типы отображений, тождественное отображение».
Таблица лучших: Отображения
| Место | Имя | Записано | Баллы | Результат |
|---|---|---|---|---|
| Таблица загружается | ||||