Решение
Ответ на общий вопрос 5) отрицательный. Приведем пример для [latex]n = 30[/latex], т.е. укажем «неправильную» систему векторов, ведущих из центра [latex]O = (0; 0)[/latex] в некоторые вершины тридцатиугольника, сумма которых равана нулю, среди среди которых нет k векторов, ведущих в вершины правильного k-угольника при [latex]k = 2, 3[/latex] и [latex]5[/latex] (а тем самым и при любом k, не превосходящем 30).
Пусть [latex]A(1; 0)[/latex] — одна из вершин тридцатиугольника, тогда [latex]B(-1; 0)[/latex] — противоположная вершина. Направим векторы в вершины правильного пятиугольника, одна из которых [latex]A[/latex], и в вершины правильного треугольника, одна из которых [latex]B[/latex], а затем удалим векторы [latex]\underset{OA}{\rightarrow}[/latex], [latex]\underset{OB}{\rightarrow}[/latex] (они дают в сумме нуль). Оставшиеся шесть векторов (см. рисунок) составляют нужную систему.
Разумеется, здесь (и ниже) вы используем тот факт, что сумма k векторов, ведущих в вершины правильного k-угольника из его центра, равна нулю; это следует, например, из того, что сумма не меняется при повороте всей картины вокруг центра на угол [latex]\frac {2\pi}{k}[/latex]. Заметим, что для проекций векторов, один из которых имеет координаты [latex](0; 1)[/latex], этот факт по существу эквивалентен тождеству
$$1 + \cos \frac{2\pi}{k} + \cos \frac{4\pi}{k} + … + \cos \frac{2(k-1)\pi}{k} = 0$$
(для четного [latex]k[/latex] оно очевидно, для любого [latex]k[/latex] легко доказывается после умножения на [latex]\sin \frac{\pi}{k}[/latex] ). Аналогично, в примере на рисунке можно провести доказательство прямым подсчетом: чтобы убедиться, что сумма векторов равна нулю, нужно проверить тождество [latex]\cos \frac{2\pi}{5} + \cos \frac{4\pi}{5} = -\cos \frac{\pi}{3} = -\frac{1}{2}[/latex] (здесь удобно домножить левую часть на [latex]\sin \frac{\pi}{5}[/latex]).
<p>Перейдем теперь к отрицательным результатам 1) — 4), показывающим, что для малых n такой пример не построить. Сформулируем простую лемму. Пусть [latex]\underset{OA}{\rightarrow}[/latex], [latex]\underset{OB}{\rightarrow}[/latex], [latex]\underset{OC}{\rightarrow}[/latex] и [latex]\underset{OD}{\rightarrow}[/latex] — различные единичные векторы. Тогда:
- если [latex]\underset{OA}{\rightarrow} + \underset{OB}{\rightarrow} + \underset{OC}{\rightarrow} = \underset{0}{\rightarrow}[/latex], то [latex]A[/latex], [latex]B[/latex], [latex]C[/latex] — вершины правильного треугольника;
- если [latex]\underset{OA}{\rightarrow} + \underset{OB}{\rightarrow} + \underset{OC}{\rightarrow} + \underset{OD}{\rightarrow} = \underset{0}{\rightarrow}[/latex], то векторы разбиваются на две пары взаимно противоположных (т.е. [latex]A[/latex], [latex]B[/latex], [latex]C[/latex], [latex]D[/latex] являются вершинами прямоугольника).
Докажем 2. Пусть точки [latex]A[/latex], [latex]B[/latex], [latex]C[/latex], [latex]D[/latex] лежат на окружности в указанном порядке. Тогда из равенства
[latex]\frac{\underset{OA}{\rightarrow} + \underset{OB}{\rightarrow}}{2} + \frac{\underset{OC}{\rightarrow} + \underset{OD}{\rightarrow}}{2} = \underset{0}{\rightarrow}[/latex] следует, что середины хорд [latex]AB[/latex] и [latex]CD[/latex] равноудалены от [latex]O[/latex], откуда [latex]AB = CD[/latex]; аналогично, [latex]BC = DA[/latex], так что [latex]ABCD[/latex] — вписанный параллелограмм, т.е. прямоугольник. Доказательство 1 еще проще: из равенств вида [latex]\frac{\underset{OB}{\rightarrow} + \underset{OC}{\rightarrow}}{2} = -\frac{\underset{OA}{\rightarrow}}{2}[/latex] ясно, что середины хорд [latex]BC[/latex], [latex]CA[/latex] и [latex]AB[/latex] равноудалены от точки [latex]O[/latex]. Значит, [latex]BC = CA = AB[/latex].
При [latex]n <= 9[/latex] в системе векторов, о которой идет речь в задаче, либо в дополняющей ее до [latex]n[/latex] системе не более четырех векторов. По лемме, эту систему можно разбить на правильные k-угольники ([latex]k = 2[/latex] или [latex]k = 3[/latex]).
Значит, этим же свойством обладает и дополнительная система вершин.
Тем самым, пункты 1) — 3) задачи решены.
В пункте 4) можно рассуждать так. Пусть система содержит вектор [latex](1; 0)[/latex] и не содержит противоположный вектор [latex](-1; 0)[/latex]. Докажем, что тогда она содержит и векторы [latex](\cos \frac{2\pi}{3}; \pm \sin {2\pi}{3})[/latex].
В самом деле, среди наших 10 векторов (не считая [latex](1; 0)[/latex] и противоположного) три пары дают в проекции на ось [latex]Ox[/latex] рациональные числа
$$\cos (\pm \frac{\pi}{3}) = \frac {1}{2}, \cos (\pm \frac {2\pi}{3}) = — \frac {1}{2}, \cos (\pm \frac {\pi}{2}) = 0$$,
две пары — иррациональные числа; ясно, что получить в сумме из этих чисел нужную минус единицу можно, лишь используя две [latex](-1/2)[/latex].
Используя результаты статьи «Многочлены деления круга» («Квант» №1, 1998), нетрудно доказать, что при [latex]n = p[/latex] и [latex]n = 2p[/latex], где [latex]p[/latex] — простое число, нетривиальных систем векторов с суммой нуль не существует, а при любом [latex]n[/latex], имеющем не менее трех разных простых множителей, такая система существует.
Один из способов построения нужных примеров — использование корней многочленов деления круга с коэффициентами [latex]+1[/latex] и [latex]-1[/latex]; например, равенство многочлена [latex]{\Phi}_{15}(\xi) = 0[/latex], где [latex]\xi[/latex] — один из корней [latex]{\Phi}_{15}[/latex], дает пример «неправильной семерки» векторов. Оно же позволяет получить такую же шестерку векторов, как на рисунке.
Однако остается немало вопросов, связанных с этой задачей.
Например, существует ли пример для [latex]n = 15[/latex] (из сказанного выше следует, что для [latex]n < 15[/latex] его нет), для [latex]n[/latex] вида [latex]{p}^{a}[/latex] и [latex]{p}^{a} * {q}^{b}[/latex], где p и q простые? Существует ли для некоторого [latex]n[/latex] неправильная система из 5 векторов , идущих в вершины правильного n-угольника, суммой нуль (не содержащая меньших правильных подсистем)? Возможно ли система, которую, в отличие от построенных выше примеров, нельзя получить не только как «сумму», но и как «алгебраическую сумму» (т.е. «сложением» и «вычитанием») правильных подсистем?
Авторы решения: Н. Васильев, В. Сендеров.
