Processing math: 100%

M1459

Игроки A и B по очереди ходят конем на шахматной доске 1994х1994. Игрок А может делать только горизонтальные ходы, т.е. такие, при которых конь перемещается на соседнюю горизонталь. Игроку В разрешены только вертикальные ходы, при которых конь перемещается на соседнюю вертикаль. Игрок А ставит коня на поле, с которого начинается игра, и делает первый ход. При этом запрещено ставить коня на то поле, на котором он уже побывал в данной игре. Проигравшим считается игрок, которому некуда ходить. Докажите, что для игрока А существует выигрышная стратегия.
Первое решение.

Так как число всех возможных позиций в игре конечно, то один из двух игроков обязательно имеет выигрышную стратегию. Если у игрока А нет выигрышной стратегии, то игрок В правильно играя, выигрывает при любом первом ходе А. Докажем, что это невозможно. Для этого организуем две игры на двух досках. На первой доске А делает произвольный первый ход с поля х на поле у. На второй доске А ставит коня на поле у и ждет ответного хода В на первой доске, после чего в точности повторяет ход В на второй доске в качестве своего хода. На второй доске A делает вертикальные ходы, а В горизонтальные. Однако если повернуть доску на 90 °, то игра происходит в точности по правилам условия задачи. Далее игрок В делает горизонтальный ход на второй доске, который повторяется игроком А на первой доске в качестве своего хода и т.д. Заметим, что игрок В не может на второй доске попасть на поле х, так как В всегда ходит на поле одного цвета, отличного от цвета х. В этой двойной игре А всегда имеет возможность сделать очередной ход, если В имеет такую возможность. Поэтому проиграет В вопреки «предположению» что у него есть выигрышная стратегия.

Второе решение.

Выигрышная стратегия для игрока A такова. Он должен вначале игры поставить коня на любую клетку, из которой выходит стрелка (см. рисунок), и сделать ход в направлении, указанном стрелкой. После хода В конь вновь окажется в клетке, из которой выходит стрелка. А вновь движется по стрелке, и так далее. Видно, что у него всегда есть возможность сделать ход, поэтому победа ему гарантирована. При этом он никогда не попадает на клетки, в которых уже побывал.

А.Перлин

М1459

Определение производной

Определение:

Пусть функция f определена в некоторой окрестности точки x0 и пусть существует конечный предел отношения
limΔx0f(x0+Δx)f(x0)Δx<
Тогда этот предел называют производной функции f в точке x0 и обозначают:
f(x0) или y(x0) или dydxxx0 или dfdxxx0.
f(x0)=limΔx0f(x0+Δx)f(x0)Δx=limΔx0ΔyΔx
Δy=f(x0+Δx)f(x0) называется приращением функции в точке x0
Δx=xx0 называется приращением аргумента в точке x0.

Примеры:

  1. y=C=>Δy=CC=0=>limΔx0ΔyΔx=0=>C=0;
  2. y=sinx=>Δy=sin(x+Δx)sinx=2sinΔx2cos2x+Δx2=>limΔx0ΔyΔx=limΔx02sinΔx2cos(x+Δx2)Δx=[limΔx02sinΔx2Δx=1;sinxx,x0]=cos(x+Δx2)Δx0=cosx=>(sinx)=cosx;
  3. y=cosx=>Δy=cos(x+Δx)cosx=2sinΔx2sin(x+Δx2) =>limΔx02sinΔx2sin(x+Δx2)Δx=sinx=>(cosx)=sinx;
  4. y=ax=>Δy=ax+Δxax=>limΔx0ax+ΔxaxΔx=limΔx0ax(aΔx1)Δx=[ax1x,x0]=limΔx0ax(Δxlna)Δx=axlna=>(ax)=axlna;(ex)=ex;
  5. y=logax=>Δy=loga(x+Δx)logax=>limΔx0loga(x+Δx)logaxΔx=limΔx0loga(x+Δxx)Δx=limΔx0loga(1+Δxx)Δx=[logaxxlna,x0]=limΔx0ΔxxlnaΔx=1xlna=>(logax)=1xlna;(lnx)=1x;
  6. y=xα=>Δy=(x+Δx)αxα=>limΔx0(x+Δx)αxαΔx = limΔx0xα(1+Δxx)αxαΔx=xαlimΔx0(1+Δxx)α1Δxxx=[(1+x)α1αx,x0;(1+Δxx)α1αΔxx]=xαα1x=αxα1=>(xα)=αxα1

Практические примеры:

(5)=0;
(2x)=2xln2;
(log3x)=1xln3;
(x5)=5x4;

Определение производной

Тест по теме «Определение производной» и на понимание примеров к ней.

Источники:

  1. Лысенко З.М. Конспект лекций по курсу математического анализа. (тема «Дифференциальное вычисление функций с одной переменной»).

Рекомендуемая к прочтению литература:

Символ Ландау

Символами Ландау являются «О» большое и «о» малое (O и o).

Определение:

Пусть f(x) и g(x) — две функции, определенные в некоторой проколотой окрестности точки x0, причем в этой окрестности g не обращается в ноль. Говорят, что:

  • f является «О» большим от g при xx0 и пишут f=O(g)xx0, если существует такая константа C>0, что для всех x из некоторой окрестности точки x0 имеет место неравенство |f(x)|C|g(x)|;
  • f является «о» маленьким от g при xx0 и пишут f=o(g)xx0, если для любого ε>0 найдется такая проколотая окрестность Ux0 точки x0, что для всех xUx0 имеет место неравенство |f(x)|<ε|g(x)|.

Иначе говоря, в первом случае отношение |f|/|g| в окрестности точки x0 ограничено сверху, а во втором оно стремится к нулю при xx0, то есть функция f является бесконечно малой в сравнении с g.

Примеры:

x2=o(x)x0, т.к. limx0x2x=limx0x=0;
sin2x=O(x)xx0,x0ϵR, т.к. limx1xx=limx1x2=0;
x3=O(x), т.к. limx0x3x=limx0x2; а функция x2 ограничена сверху в окрестности точки 0.
sin2x=O(x),x0ϵR, т.к. limxx0sin2xx=limxx0sinx; а функция sinx всегда ограничена сверху единицей.

Свойства «О» большого и «о» маленького

Для функций f=f(x),g=g(x) и xϵR справедливы равенства:

  1. o(f)+o(f)=o(f);
  2. o(f) тем более есть O(f);
  3. o(f)+O(f)=O(f);
  4. O(f)+O(f)=O(f);
  5. o(f(x))g(x)=o(f(x)g(x)) и O(f(x))g(x)=O(f(x)g(x)), если g0; 
  6. o(o(f))=o(f);
  7. o(Cf)=o(f);
  8. Co(f)=o(f);
  9. o(f+o(f))=o(f);
  10. o(f)±o(f)=o(f);
  11. o(fn)o(fm)=o(fn+m),n,mϵN;
  12. (o(f))n=o(fn),nϵN .

Примеры:

o(x2)+o(x2)x0=o(x2)x0
o(2x5)x0=o(x5)x0
o(x2)o(x3)x0=o(x5)x0.

Символ Ландау

Тест по теме «Символ Ландау»

Источники:

  1. Лысенко З.М. Конспект лекций по курсу математического анализа. (тема «Непрерывные функции»).
  2. Википедия, статья «О большое и о малое»
  3. Кытманов А.А., Математический анализ, параграф 1.15.

Рекомендуемая к прочтению литература:

Задачи, которые приводят к понятию производной

  1. Задача о скорости

    Пусть точка движется по прямой. S=S(t) — путь пройденый точкой за время t от начала движения. Путь пройденный точкой за время от t до t+Δt= S(t+Δt)S(t) .
    graph2
    Средняя скорость: Vcp=S(t+Δt)S(t)Δt
    Если движение точки — равномерное, то Vcp — постоянная.
    Если же движение неравномерное, то Vcp не меняется при изменении Δt .
    Определение:
    Мгновенной скоростью называют скорость точки в момент t: V(t)=limΔt0Vcp=limΔt0S(t+Δt)S(t)Δt .

  2. Задача о касательной

    Пусть функция f определена в δ-окрестности точки x0 и непрерывна в этой окрестности.
    test6
    Возьмем две точки на графике: M0(x0;y0) и M(x0+Δx;f(x0+Δx)) .
    Уравнение прямой, проходящей через точки M и M0 имеет вид yy0=ΔyΔx(xx0), где Δy=f(x0+Δx)f(x0), Δx=xx0.
    ΔyΔx=tanα
    Эту прямую называют секущей, а число k=tanαугловым коэффициентом секущей.
    Δx0=>Δy0=>MM0=(Δx)2+(Δy)20
    Определение:
    Касательной кривой заданной уравнением y=f(x) в точке x0 называют предельное положение секущей при Δx0.
    Если существует limΔx0ΔyΔx=k0, то существует предельное положение секущей.
    Таким образом, если существует limΔx0ΔyΔx, то прямая, проходящая через точку M0 с угловым коэффициентом k0 называется касательной к графику функции y=f(x) в точке x0 .

В обеих задачах речь идет о пределе отношения приращения функции к приращению аргумента.

Задачи, которые приводят к понятию производной

Тест по теме «Задачи, которые приводят к понятию производной»

Источники:

  1. Лысенко З.М. Конспект лекций по курсу математического анализа. (тема «Дифференциальное вычисление функций с одной переменной»).

Рекомендуемая к прочтению литература

Бесконечно малая функция в сравнении с другой

Определение:

Если в некоторой проколотой окрестности точки x0 определены функции f,g и α, такие, что имеют место соотношения f(x)=g(x)α(x),limxx0α(x)=0, то функцию f называют бесконечно малой функцией в сравнении с g при xx0 и пишут f=o(g)xx0;f(x)=o(g(x))xx0 .

Замечание:

Если xϵUδ(x0):g(x)0, то limxx0f(x)g(x=limxx0α(x)=0 .

Примеры:

x2=o(x4)x, т.к. limxx2x4=limx1x2=0

limxsinxx=0:sinx=o(x)x
limxarctanxx=0:arctanx=o(x)x.

Определение:

  • В случае, когда в записи f=o(g)xx0   g — бесконечно малая функция, говорят, что fбесконечно малая функция более высокого порядка малости, чем g, gбесконечно малая функция более низкого порядка малости, чем f.
  • В случае, когда в записи limxx0f(x)g(x)=a,a<,a0, f и g — бесконечно малые функции при xx0, говорят, что f и g являются бесконечно малыми функциями одного порядка малости.
  • В случае, когда в записи limxx0f(x)gm(x)=a,a<,a0  g — бесконечно малая функция, говорят, что бесконечно малая функция f имеет m-й порядок малости относительно функции g.

Примеры:

x2=o(x)x0, т.к. limx0x2x=limx0x=0. x2 — бесконечно малая функция более высокого порядка малости, чем x;
x3sin1x=o(x)x0; т.к. limx0x3sin1xx=limx0x2sin1x=0 (т.к. sin1x — ограниченная функция). x3sin1x — функция более высокого порядка малости, чем x;
tan2x=o(x)x0, т.к. limx0tan2xx=limx0tanx=0. tan2x — бесконечно малая функция более высокого порядка малости, чем x;
limx0tanxx=1. Функции tanx и x являются бесконечно малыми функциями одного порядка малости.
limx0tan6xx6=1. tan6x имеет 6-й порядок малости относительно x.

Бесконечно малая функция в сравнении с другой

Тест по теме «Бесконечно большая функция в сравнении с другой»

Источники:

  1. Лысенко З.М. Конспект лекций по курсу математического анализа. (тема «Непрерывные функции»).
  2. Википедия, статья «Бесконечно малая и бесконечно большая»

Рекомендуемая к прочтению литература: