Автор: Денис Базанов

Определение:

Пусть функция $latex f$ определена в некоторой окрестности точки $latex x_0$ и пусть существует конечный предел отношения
$latex \lim\limits_{\Delta x\to 0}\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}<\infty$
Тогда этот предел называют производной функции $latex f$ в точке $latex x_0$ и обозначают:
$latex f'(x_0)$ или $latex y'(x_0)$ или $latex \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}_{x\to x_0}$ или $latex \frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}x}_{x\to x_0}$.
$latex f'(x_0)= \lim\limits_{\Delta x\to 0}\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}=\lim\limits_{\Delta x \to 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}$
$latex \Delta y=f(x_0+\Delta x)-f(x_0)$ называется приращением функции в точке $latex x_0$
$latex \Delta x=x-x_0$ называется приращением аргумента в точке $latex x_0$.

Примеры:

1. $latex y=C => \Delta y=C-C=0 => \lim\limits_{\Delta x \to 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}=0 => C’=0;$
2. $latex y=\sin x => \Delta y= \sin (x+\Delta x)-\sin x=2\sin\frac{\Delta x}{2}\cos\frac{2x+\Delta x}{2}$$latex =>\lim\limits_{\Delta x \to 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}=\lim\limits_{\Delta x \to 0}\frac{2\sin\frac{\Delta x}{2}\cos(x+\frac{\Delta x}{2})}{\Delta x}=[\lim\limits_{\Delta x\to 0}\frac{2\sin\frac{\Delta x}{2}}{\Delta x}=1; \sin x \sim x, x \to 0]=\cos\underset{\Delta x \to 0}{(x+\frac{\Delta x}{2})}=\cos x => (\sin x)’=\cos x;$
3. $latex y=\cos x => \Delta y =\cos (x+ \Delta x)-\cos x= -2\sin\frac{\Delta x}{2}\sin(x+\frac{\Delta x}{2})$ $latex => \lim\limits_{\Delta x\to 0}\frac{-2\sin\frac{\Delta x}{2}\sin(x+\frac{\Delta x}{2})}{\Delta x}=-\sin x => (\cos x)’ = -\sin x;$
4. $latex y=a^x => \Delta y=a^{x+\Delta x}-a^x =>$$latex \lim\limits_{\Delta x \to 0}\frac{a^{x+\Delta x}-a^x}{\Delta x}=\lim\limits_{\Delta x \to 0}\frac{a^x(a^{\Delta x}-1)}{\Delta x}=[a^x-1\sim x, x\to 0]=\lim\limits_{\Delta x\to 0}\frac{a^x(\Delta x\mathrm{ln}a)}{\Delta x}=a^x\mathrm{ln}a => (a^x)’=a^x\mathrm{ln}a;
   (e^x)’=e^x;$
5. $latex y=\log_a x=> \Delta y=\log_a (x+\Delta x) — \log_a x => $$latex \lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{\log_a (x+\Delta x)-\log_a x}{\Delta x}=\lim\limits_{\Delta x \to 0}\frac{\log_a (\frac{x+\Delta x}{x})}{\Delta x}=\lim\limits_{\Delta x \to 0}\frac{\log_a (1+\frac{\Delta x}{x})}{\Delta x}=[\log_a x \sim \frac{x}{\ln a}, x \to 0]=\lim\limits_{\Delta x \to 0}\frac{\frac{\Delta x}{x\ln a}}{\Delta x}=\frac{1}{x\ln a} => (\log_a x)’=\frac{1}{x\ln a};
   (\ln x)’=\frac{1}{x};$
6. $latex y=x^\alpha => \Delta y = (x+\Delta x)^\alpha-x^\alpha => \lim\limits_{\Delta x \to 0}\frac{(x+\Delta x)^\alpha-x^\alpha}{\Delta x}$ = $latex \lim\limits_{\Delta x \to 0}\frac{x^\alpha(1+\frac{\Delta x}{x})^\alpha-x^\alpha}{\Delta x}$=$latex x^\alpha \lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{(1+\frac{\Delta x}{x})^\alpha-1}{\frac{\Delta x}{x}\cdot x}$=$latex [(1+x)^\alpha-1\sim \alpha x, x\to 0; (1+\frac{\Delta x}{x})^\alpha-1\sim\alpha\frac{\Delta x}{x}]$=$latex x^\alpha\cdot\alpha\cdot\frac{1}{x}=\alpha x^{\alpha-1} => (x^\alpha)’=\alpha x^{\alpha -1}$

Практические примеры:

$latex (5)’=0;$
$latex (2^x)’=2^x\ln 2;$
$latex (\log_3 x)’=\frac{1}{x \ln 3};$
$latex (x^5)’=5x^4;$

Определение производной

Лимит времени: 0

Навигация (только номера заданий)

0 из 5 заданий окончено

Вопросы:

1. 1
2. 2
3. 3
4. 4
5. 5

Информация

Тест по теме «Определение производной» и на понимание примеров к ней.

Вы уже проходили тест ранее. Вы не можете запустить его снова.

Тест загружается...

Вы должны войти или зарегистрироваться для того, чтобы начать тест.

Вы должны закончить следующие тесты, чтобы начать этот:

Результаты

Правильных ответов: 0 из 5

Ваше время:

Время вышло

Вы набрали 0 из 0 баллов (0)

Средний результат
Ваш результат

Рубрики

1. Нет рубрики 0%

Ваш результат был записан в таблицу лидеров

Загрузка

Имя: E-Mail:

Капча:

1. 1
2. 2
3. 3
4. 4
5. 5

1. С ответом
2. С отметкой о просмотре

1. Задание 1 из 5

   1.

   Количество баллов: 1

   Дана функция $latex f(x)$. В каких видах можно записать ее производную в точке $latex x_0$?

   • $$f'(x_0)$$
   • $$\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}x}_{x\to x_0}$$
   • $$\lim\limits_{\Delta x \to 0}\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}$$
   • $$\lim\limits_{\Delta x \to 0}\frac{f(x_0+\Delta x)-f(\Delta x)}{\Delta x}$$
   • $$\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}f}_{x\to x_0}$$
   Правильно
   

   Неправильно
   
2. Задание 2 из 5

   2.

   Количество баллов: 1

   Тест на понимание примеров
   Соотнесите функции и их производные

   Элементы сортировки

   • $$0$$
   • $$\alpha x^{\alpha-1}$$
   • $$\frac{1}{x}$$
   • $$a^x\ln a$$
   • $$\cos x$$

   • $$C$$

   • $$x^\alpha$$

   • $$\ln x$$

   • $$a^x$$

   • $$\sin x$$

   Правильно
   

   Неправильно
   
3. Задание 3 из 5

   3.

   Количество баллов: 1

   Используя производные из примеров, вычислите следующие производные в точке $latex x_0$  (сначала вычислите производную, а потом подставьте $latex x_0$) и расставьте их по убыванию.

   • $$x^3, x_0=2$$
   • $$2^x, x_0=e$$
   • $$\sin x, x_0=0$$
   • $$\ln x, x_0=2$$
   • $$235, x_0=11$$
   Правильно
   

   Неправильно
   
4. Задание 4 из 5

   4.

   Количество баллов: 1

   В выражении $latex \lim\limits_{\Delta x \to 0}\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}$

   • Δx мы называем (приращением) (аргумента) в точке x₀.
   Правильно
   

   Неправильно
   
5. Задание 5 из 5

   5.

   Количество баллов: 1

   Какое из следующих утверждений неверно?

   • Производная может равняться нулю.
   • У функции синуса нет производной.
   • Производную можно записать в виде предела отношения приращения функции к приращению аргумента.
   • В этом тесте есть неверные утверждения.
   Правильно
   

   Неправильно
   

Источники:

1. Лысенко З.М. Конспект лекций по курсу математического анализа. (тема «Дифференциальное вычисление функций с одной переменной»).
   

Рекомендуемая к прочтению литература:

• Фихтенгольц Г.М. Основы математического анализа (том 1), 1968, глава 5, § 1, с. 143-149

Символами Ландау являются «О» большое и «о» малое ([latex]O[/latex] и [latex]o[/latex]).

Определение:

Пусть $latex f(x)$ и $latex g(x)$ — две функции, определенные в некоторой проколотой окрестности точки $latex x_0$, причем в этой окрестности $latex g$ не обращается в ноль. Говорят, что:

• $latex f$ является «О» большим от $latex g$ при $latex x\to x_0$ и пишут $latex f=\underset{x\to x_0}{O(g)}$, если существует такая константа $latex C>0$, что для всех $latex x$ из некоторой окрестности точки $latex x_0$ имеет место неравенство $latex |f(x)| \leq C |g(x)|$;
• $latex f$ является «о» маленьким от $latex g$ при $latex x\to x_0$ и пишут $latex f=\underset{x\to x_0}{o(g)}$, если для любого $latex \varepsilon >0$ найдется такая проколотая окрестность $latex U’_{x_0}$ точки $latex x_0$, что для всех $latex x \in U’_{x_0}$ имеет место неравенство $latex |f(x)|<\varepsilon|g(x)|$.

Иначе говоря, в первом случае отношение $latex |f|/|g|$ в окрестности точки $latex x_0$ ограничено сверху, а во втором оно стремится к нулю при $latex x\to x_0$, то есть функция $latex f$ является бесконечно малой в сравнении с $latex g$.

Примеры:

$latex x^2=\underset{x\to 0}{o(x)}$, т.к. $latex \lim\limits_{x\to 0}\frac{x^2}{x}=\lim\limits_{x\to 0}x=0;$
$latex \sin^2 x=\underset{x\to x_0}{O(x)}, x_0 \epsilon \mathbb{R}$, т.к. $latex \lim\limits_{x\to\infty}\frac{\frac{1}{x}}{x}=\lim\limits_{x\to\infty}\frac{1}{x^2}=0;$
$latex -x^3={O(x)}$, т.к. $latex \lim\limits_{x\to 0}\frac{-x^3}{x}=\lim\limits_{x\to 0}-x^2; $ а функция $latex -x^2$ ограничена сверху в окрестности точки 0.
$latex \sin^2 x={O(x)}, x_0 \epsilon \mathbb{R}$, т.к. $latex \lim\limits_{x\to x_0}\frac{\sin^2 x}{x}=\lim\limits_{x\to x_0}\sin x;$ а функция $latex \sin x$ всегда ограничена сверху единицей.

Свойства «О» большого и «о» маленького

Для функций $latex f=f(x),\:g=g(x)$ и $latex x \epsilon \mathbb{R}$ справедливы равенства:

1. $latex o(f)+o(f)=o(f);$
2. $latex o(f)$ тем более есть $latex O(f);$
3. $latex o(f)+O(f)=O(f);$
4. $latex O(f)+O(f)=O(f);$
5. $latex \frac{o(f(x))}{g(x)}=o(\frac{f(x)}{g(x)})$ и $latex \frac{O(f(x))}{g(x)}=O(\frac{f(x)}{g(x)}),$ если $latex g\neq 0;$ 
6. $latex o(o(f))=o(f);$
7. $latex o(Cf)=o(f);$
8. $latex C\cdot o(f)=o(f);$
9. $latex o(f+o(f))=o(f);$
10. $latex o(f)\pm o(f)=o(f);$
11. $latex o(f^n)\cdot o(f^m)=o(f^{n+m}), n,m\epsilon\mathbb{N};$
12. $latex (o(f))^n=o(f^n), n \epsilon\mathbb{N}$ .

Примеры:

$latex \underset {x\to 0}{o(x^2)+o(x^2)}=\underset{x\to 0}{o(x^2)}$
$latex \underset {x\to 0}{o(2x^5)}=\underset{x\to 0}{o(x^5)}$
$latex \underset {x\to 0}{o(x^2)\cdot o(x^3)}=\underset{x\to 0}{o(x^5)}$.

Символ Ландау

Лимит времени: 0

Навигация (только номера заданий)

0 из 5 заданий окончено

Вопросы:

1. 1
2. 2
3. 3
4. 4
5. 5

Информация

Тест по теме «Символ Ландау»

Вы уже проходили тест ранее. Вы не можете запустить его снова.

Тест загружается...

Вы должны войти или зарегистрироваться для того, чтобы начать тест.

Вы должны закончить следующие тесты, чтобы начать этот:

Результаты

Правильных ответов: 0 из 5

Ваше время:

Время вышло

Вы набрали 0 из 0 баллов (0)

Средний результат
Ваш результат

Рубрики

1. Нет рубрики 0%

Ваш результат был записан в таблицу лидеров

Загрузка

Имя: E-Mail:

Капча:

максимум из 5 баллов

Место	Имя	Записано	Баллы	Результат
Таблица загружается
Нет данных

1. 1
2. 2
3. 3
4. 4
5. 5

1. С ответом
2. С отметкой о просмотре

1. Задание 1 из 5

   1.

   Какие из следующих символов являются символами Ландау?

   • $$O$$
   • $$o$$
   • $$L$$
   • $$\bigodot$$
   • $$\Lambda$$
   • $$\sigma$$
   Правильно
   

   Неправильно
   
2. Задание 2 из 5

   2.

   $latex f=\underset{x\to x_0}{O(g)}$
   Какое из следующих утверждений всегда верно для отношения $latex \frac{f}{g}$ в окрестности точки $latex x_0$?

   • Это отношение ограничено сверху в окрестности этой точки.
   • Это отношение ограничено сверху и больше нуля в окрестности этой точки.
   • Это отношение больше нуля в окрестности этой точки.
   • Это отношение стремится к нулю в окрестности этой точки.
   • Это отношение стремится к бесконечности в окрестности этой точки.
   Правильно
   

   Неправильно
   
3. Задание 3 из 5

   3.

   Вопрос на знание свойств
   $latex o(f)$ тем более есть …
   Правильно
   

   Неправильно
   
4. Задание 4 из 5

   4.

   Даны две функции $latex f$ и $latex g$.
   $latex f=\underset{x\to x_0}{o(g)}$

   • Тогда мы можем говорить, что функция f является (бесконечно) (малой) в сравнении с функцией g.
   Правильно
   

   Неправильно
   
5. Задание 5 из 5

   5.

   Вопрос на знание свойств
   Соотнесите следующие выражения с ответом.

   Элементы сортировки

   • $$o(f)+O(f)$$
   • $$o(f+o(f))$$
   • $$(o(f))^n$$
   • $$o(f^n)\cdot o(f^m)$$

   • $$O(f)$$

   • $$o(f)$$

   • $$o(f^n)$$

   • $$o(f^{n+m})$$

   Правильно
   

   Неправильно
   

Источники:

1. Лысенко З.М. Конспект лекций по курсу математического анализа. (тема «Непрерывные функции»).
2. Википедия, статья «О большое и о малое»
   
3. Кытманов А.А., Математический анализ, параграф 1.15.

Рекомендуемая к прочтению литература:

• В.И. Коляда, А.А. Кореновский. Курс лекций по математическому анализу в двух частях (часть 1), 2009, параграф 4.12, с.103-104

1. Задача о скорости
   

   Пусть точка движется по прямой. $latex S=S(t)$ — путь пройденый точкой за время $latex t$ от начала движения. Путь пройденный точкой за время от $latex t$ до $latex t+\Delta t =$ $latex S(t+\Delta t) — S(t)$ .
   
   Средняя скорость: $latex V_{cp}=\frac{S(t+\Delta t)-S(t)}{\Delta t}$
   Если движение точки — равномерное, то $latex V_{cp}$ — постоянная.
   Если же движение неравномерное, то $latex V_{cp}$ не меняется при изменении $latex \Delta t$ .
   Определение:
   Мгновенной скоростью называют скорость точки в момент $latex t$: $latex V(t)=\lim\limits_{\Delta t\to 0} V_{cp}=\lim\limits_{\Delta t\to 0} \frac{S(t+\Delta t)-S(t)}{\Delta t}$ .

2. Задача о касательной
   

   Пусть функция $latex f$ определена в $latex \delta$-окрестности точки $latex x_0$ и непрерывна в этой окрестности.
   
   Возьмем две точки на графике: $latex M_0 (x_0;y_0)$ и $latex M(x_0+\Delta x;f(x_0+\Delta x))$ .
   Уравнение прямой, проходящей через точки $latex M$ и $latex M_0$ имеет вид $latex y-y_0=\frac{\Delta y}{\Delta x}(x-x_0)$, где $latex \Delta y=f(x_0+\Delta x)-f(x_0)$, $latex \Delta x=x-x_0$.
   $latex \frac{\Delta y}{\Delta x}= \tan \alpha$
   Эту прямую называют секущей, а число $latex k=\tan \alpha$ — угловым коэффициентом секущей.
   $latex \Delta x \to 0 => \Delta y \to 0 => MM_0 = \sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2} \to 0$
   Определение:
   Касательной кривой заданной уравнением $latex y=f(x)$ в точке $latex x_0$ называют предельное положение секущей при $latex \Delta x \to 0$.
   Если существует $latex \lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} = k_0$, то существует предельное положение секущей.
   Таким образом, если существует $latex \lim\limits_{\Delta x \to 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}$, то прямая, проходящая через точку $latex M_0$ с угловым коэффициентом $latex k_0$ называется касательной к графику функции $latex y=f(x)$ в точке $latex x_0$ .

В обеих задачах речь идет о пределе отношения приращения функции к приращению аргумента.

Задачи, которые приводят к понятию производной

Лимит времени: 0

Навигация (только номера заданий)

0 из 5 заданий окончено

Вопросы:

1. 1
2. 2
3. 3
4. 4
5. 5

Информация

Тест по теме «Задачи, которые приводят к понятию производной»

Вы уже проходили тест ранее. Вы не можете запустить его снова.

Тест загружается...

Вы должны войти или зарегистрироваться для того, чтобы начать тест.

Вы должны закончить следующие тесты, чтобы начать этот:

Результаты

Правильных ответов: 0 из 5

Ваше время:

Время вышло

Вы набрали 0 из 0 баллов (0)

Средний результат
Ваш результат

Рубрики

1. Нет рубрики 0%

Ваш результат был записан в таблицу лидеров

Загрузка

Имя: E-Mail:

Капча:

1. 1
2. 2
3. 3
4. 4
5. 5

1. С ответом
2. С отметкой о просмотре

1. Задание 1 из 5

   1.

   Какие задачи рассматривались в данной теме?

   • Задача о скорости
   • Задача о касательной
   • Задача о круге
   • Задача об ускорении
   • Задача о давлении
   Правильно
   

   Неправильно
   
2. Задание 2 из 5

   2.

   Скорость точки в момент t называют …
   Правильно
   

   Неправильно
   
3. Задание 3 из 5

   3.

   Верно ли следующее утверждение?

   В обеих задачах речь идет о пределе отношения приращения аргумента к приращению функции.

   • Да
   • Нет
   Правильно
   

   Неправильно
   

   Нет, наоборот.
4. Задание 4 из 5

   4.

   Сопоставьте следующие термины с задачами, в которых они использовались.

   Элементы сортировки

   • Мгновенная скорость
   • Угловой коэффициент секущей
   • Ускорение

   • Задача о скорости

   • Задача о касательной

   • Не использовался

   Правильно
   

   Неправильно
   
5. Задание 5 из 5

   5.

   Вопрос на знание задач

   • В задаче о касательной число k=tan α называют (угловым) (коэффициентом) касательной.
   Правильно
   

   Неправильно
   

Источники:

1. Лысенко З.М. Конспект лекций по курсу математического анализа. (тема «Дифференциальное вычисление функций с одной переменной»).
   

Рекомендуемая к прочтению литература

• Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления (том 1), 1962, глава 3, §1, с. 186-189

Определение:

Если в некоторой проколотой окрестности точки $latex x_0$ определены функции $latex f,g$ и $latex \alpha$, такие, что имеют место соотношения $latex f(x)=g(x)\alpha(x), \lim\limits_{x\to x_0}\alpha(x)=0$, то функцию $latex f$ называют бесконечно малой функцией в сравнении с $latex g$ при $latex x\to x_0$ и пишут $latex f=\underset{x\to x_0}{o(g)}; f(x)=\underset{x\to x_0}{o(g(x))}$ .

Замечание:

Если $latex \forall x \epsilon U_{\delta}(x_0): g(x)\neq 0$, то $latex \lim\limits_{x\to x_0} \frac{f(x)}{g(x}=\lim\limits_{x\to x_0}\alpha(x)=0$ .

Примеры:

$latex x^2=\underset{x\to \infty}{o(x^4)}$, т.к. $latex \lim_{x\to \infty}\frac{x^2}{x^4}=\lim\limits_{x\to \infty}\frac{1}{x^2}=0$

$latex \lim\limits_{x\to \infty}\frac{\sin x}{x}=0: \sin x=\underset{x\to \infty}{o(x)}$
$latex \lim\limits_{x\to \infty}\frac{\arctan x}{x}=0: \arctan x=\underset{x\to \infty}{o(x)}$.

Определение:

• В случае, когда в записи $latex f=\underset{x\to x_0}{o(g)}$   $latex g$ — бесконечно малая функция, говорят, что $latex f$ — бесконечно малая функция более высокого порядка малости, чем $latex g$, $latex g$ — бесконечно малая функция более низкого порядка малости, чем $latex f$.

• В случае, когда в записи $latex \lim\limits_{x\to x_0}\frac{f(x)}{g(x)}=a, a<\infty, a\neq 0$, $latex f$ и $latex g$ — бесконечно малые функции при $latex x\to x_0$, говорят, что $latex f$ и $latex g$ являются бесконечно малыми функциями одного порядка малости.
• В случае, когда в записи $latex \lim\limits_{x\to x_0}\frac{f(x)}{g^m(x)}=a, a<\infty, a\neq 0$  $latex g$ — бесконечно малая функция, говорят, что бесконечно малая функция $latex f$ имеет $latex m$-й порядок малости относительно функции $latex g$.

Примеры:

$latex x^2=\underset{x\to 0}{o(x)}$, т.к. $latex \lim\limits_{x\to 0}\frac{x^2}{x}=\lim\limits_{x \to 0}x=0$. $latex x^2$ — бесконечно малая функция более высокого порядка малости, чем $latex x$;
$latex x^3\sin\frac{1}{x}=\underset{x\to 0}{o(x)};$ т.к. $latex \lim\limits_{x\to 0}\frac{x^3\sin\frac{1}{x}}{x}=\lim\limits_{x\to 0}x^2\sin\frac{1}{x}=0$ (т.к. $latex sin \frac{1}{x}$ — ограниченная функция). $latex x^3 sin\frac{1}{x}$ — функция более высокого порядка малости, чем $latex x$;
$latex \tan^2 x=\underset{x\to 0}{o(x)}$, т.к. $latex \lim\limits_{x \to 0}\frac{\tan^2 x}{x}=\lim\limits_{x \to 0}\tan x=0$. $latex \tan^2 x$ — бесконечно малая функция более высокого порядка малости, чем $latex x$;
$latex \lim\limits_{x\to 0}\frac{\tan x}{x}=1$. Функции $latex \tan x$ и $latex x$ являются бесконечно малыми функциями одного порядка малости.
$latex \lim\limits_{x\to 0}\frac{\tan^6 x}{x^6}=1$. $latex \tan^6 x$ имеет 6-й порядок малости относительно $latex x$.

Бесконечно малая функция в сравнении с другой

Лимит времени: 0

Навигация (только номера заданий)

0 из 5 заданий окончено

Вопросы:

1. 1
2. 2
3. 3
4. 4
5. 5

Информация

Тест по теме «Бесконечно большая функция в сравнении с другой»

Вы уже проходили тест ранее. Вы не можете запустить его снова.

Тест загружается...

Вы должны войти или зарегистрироваться для того, чтобы начать тест.

Вы должны закончить следующие тесты, чтобы начать этот:

Результаты

Правильных ответов: 0 из 5

Ваше время:

Время вышло

Вы набрали 0 из 0 баллов (0)

Средний результат
Ваш результат

Рубрики

1. Нет рубрики 0%

максимум из 5 баллов

Место	Имя	Записано	Баллы	Результат
Таблица загружается
Нет данных

Ваш результат был записан в таблицу лидеров

Загрузка

Имя: E-Mail:

Капча:

1. 1
2. 2
3. 3
4. 4
5. 5

1. С ответом
2. С отметкой о просмотре

1. Задание 1 из 5

   1.

   Какие из этих функций являются бесконечно малыми в сравнении с $latex g(x)=x$ при $latex x\to +0$?

   • $$ \frac{1}{x}$$
   • $$ \sin x$$
   • $$ \ln x$$
   • $$ \ln (1+x)$$
   • $$ x^2$$
   • $$ \tan^2 x$$
   • $$0$$
   Правильно
   

   Все правильно.

   Неправильно
   
2. Задание 2 из 5

   2.

   Функция $latex \tan^4 x\cdot\sin^5 x\cdot\ln^2(1+x)$ является бесконечно малой функцией при $latex x\to 0$ какого порядка малости относительно $latex x$?

   • 1
   • 2
   • 4
   • 5
   • 11
   • Все вышеперечисленные
   Правильно
   

   Верно, $latex \lim\limits_{x\to 0}\frac{\tan^4 x\cdot\sin^5\cdot\ln^2(1+x)}{x^{11}}=\lim\limits_{x\to 0}\frac{x^{11}}{x^{11}}=1$.

   Неправильно
   
3. Задание 3 из 5

   3.

   $latex f$ и $latex g$ — бесконечно малые функции при $latex x\to x_0$.
   Равносильны ли следующие два утверждения?

   • $latex f$ является бесконечно малой функцией 1-го порядка малости относительно $latex g$ при $latex x \to x_0$;
   • $latex f$ и $latex g$ являются бесконечно малыми функциями одинакового порядка малости при $latex x \to x_0$.

   • Да.
   • Нет.
   Правильно
   

   Верно.

   Неправильно
   

   Неправильно, оба этих утверждения можно записать в виде $latex \lim\limits_{x\to 0}\frac{f(x)}{g^1(x)}=a, a<\infty, a\neq 0$.
4. Задание 4 из 5

   4.

   Даны бесконечно малые функции $latex f,g$ при $latex x\to x_0$.
   Имеет ли смысл следующее утверждение?

   $latex f(x)=\underset{x\to x_0}{o(g(x))}, g(x)=\underset{x\to x_0}{o(f(x))}$

   • Да
   • Нет
   Правильно
   

   Правильно, по определению выходит, что $latex f(x)=g(x)\alpha(x), \lim\limits_{x\to x_0}\alpha(x)=0$ и $latex g(x)=f(x)\beta(x), \lim\limits_{x\to x_0}\beta(x)=0$ => $latex f(x)=f(x)\alpha(x)\beta(x) => 1=\alpha(x)\beta(x)$, но при $latex x\to x_0\: \alpha(x)=0,\beta(x)=0 => 1=0\cdot 0, x\to x_0 =>$ противоречие.

   Неправильно
   

   Неверно, по определению выходит, что $latex f(x)=g(x)\alpha(x), \lim\limits_{x\to x_0}\alpha(x)=0$ и $latex g(x)=f(x)\beta(x), \lim\limits_{x\to x_0}\beta(x)=0$ => $latex f(x)=f(x)\alpha(x)\beta(x) => 1=\alpha(x)\beta(x)$, но при $latex x\to x_0\: \alpha(x)=0,\beta(x)=0 => 1=0\cdot 0, x\to x_0 =>$ противоречие.
5. Задание 5 из 5

   5.

   Расставьте следующие функции по УБЫВАНИЮ порядка малости относительно $latex x, x\to 0$.

   • $$tan^6 x\sqrt{\sin^5 x}$$
   • $$tan^6 x\sqrt{\sin\sqrt[5]{x}}$$
   • $$x\sqrt[3]{\sin^2 x\tan^4 x}$$
   • $$\ln^2(1+x)$$
   • $$\ln (1+x)^2$$
   • $$\sqrt{x}$$
   Правильно
   

   Неправильно
   

Источники:

1. Лысенко З.М. Конспект лекций по курсу математического анализа. (тема «Непрерывные функции»).
2. Википедия, статья «Бесконечно малая и бесконечно большая»

Рекомендуемая к прочтению литература:

• Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления (том 1), 1962, глава 2, §3, с. 136-137