Если каждому натуральному числу [latex]n[/latex] ставится в соответствие по некоторому закону функция [latex]f_n(x)[/latex], определенная на множестве [latex]E[/latex], то говорят, что на множестве [latex]E[/latex] задана функциональная последовательность [latex]\left \{f_n (x)\right \}[/latex]. Множество [latex]E[/latex] называется областью определения последовательности [latex]\left \{f_n (x)\right \}[/latex].

Если для некоторого [latex]x_0 \in E[/latex] числовая последовательность [latex]\left \{f_n (x_0) \right \}[/latex] сходится, то говорят, что последовательность функций [latex]\left \{f_n (x) \right \}[/latex] сходится в точке [latex]x_0[/latex]. Последовательность функций, сходящуюся в каждой точке [latex]x \in E[/latex], называют сходящейся на множестве [latex]E[/latex].

Если [latex]\underset {n \to \infty}{\lim} f_n(x) = f(x)[/latex] для всех [latex]x \in E[/latex], то говорят, что последовательность [latex]\left \{f_n (x) \right \}[/latex] на множестве [latex]E[/latex] сходится к функции [latex]f(x)[/latex]. Эту функцию называют предельной функцией последовательности.

Пусть задана последовательность функций [latex]\left \{ f_n(x) \right \}[/latex] и предельная функция [latex]f(x)[/latex]. Говорят, что последовательность функций равномерно сходится на множестве [latex]E[/latex] к функции [latex]f(x)[/latex] если
$$\forall \varepsilon >0 \quad \exists n_{ \varepsilon }\in \mathbb{N}: \forall n \ge n_\varepsilon \ \forall x \in E \Rightarrow \left|f_n(x)-f(x) \right| < \varepsilon .$$
Последовательность [latex]\left \{ f_n(x) \right \}[/latex] называется равномерно сходящейся на [latex]E[/latex], если существует функция [latex]f(x)[/latex], к которой она равномерно сходится.

Аналогично вводим понятие функциональных рядов. Пусть каждому натуральному числу [latex]n[/latex] ставится в соответствие по некоторому закону функция [latex]u_n(x)[/latex], определенная на множестве [latex]E[/latex]. Формально говоря нам дана функциональная последовательность [latex]\left \{ u_n(x) \right \}[/latex].

Выражение вида [latex]u_{ 1 }(x)+u_2(x) +\dots +u_n(x) +\dots =\overset{\infty}{\underset{n=1}{\sum}}u_n(x)[/latex] называется функциональным рядом. Если для некоторого [latex]x_0 \in E[/latex] числовой ряд [latex]\sum_{n=1}^{\infty} u_n(x_0)[/latex] сходится, то говорят, что функциональный ряд [latex]\sum_{n=1}^{\infty} u_n(x)[/latex] сходится в точке [latex]x_0[/latex]. Функциональный ряд, сходящийся в каждой точке [latex]x \in E[/latex], называют сходящимся на множестве [latex]E[/latex].

Сумма [latex]n[/latex] первых членов ряда [latex]S_n(x) = \overset{n}{\underset{k=1}{\sum}}u_k(x)[/latex] называется его частичной суммой. Заметим, что частичная сумма сама является функцией. Мы получаем функциональную последовательность [latex]\left \{ S_n(x) \right \}[/latex].

Пусть задан функциональный ряд [latex]\overset{\infty}{\underset{n=1}{\sum}}u_n(x)[/latex], члены которого являются функциями, определенными на множестве [latex]E[/latex]. Функциональный ряд называется равномерно сходящимся на множестве [latex]E[/latex], если последовательность его частичных сумм равномерно сходящаяся на множестве [latex]E[/latex]. Согласно определению равномерной сходимости последовательности функции, существует такая функция [latex]S(x)[/latex], что
$$\forall \varepsilon >0 \quad \exists n_{ \varepsilon }\in \mathbb{N}: \forall n \ge n_\varepsilon \ \forall x \in E \Rightarrow \left|S_n(x)-S(x) \right| < \varepsilon .$$
Обозначим [latex]S_n(x)-S(x)=r_n(x)[/latex] — [latex]n[/latex]-ый остаток ряда, получаем [latex]r_n(x) = \overset{\infty}{\underset{k=n+1}{\sum}}u_k(x)[/latex]. Тогда условие сходимости ряда примет вид: $$\forall \varepsilon >0 \quad \exists n_{ \varepsilon }\in \mathbb{N}: \forall n \ge n_\varepsilon \ \forall x \in E \Rightarrow \left|r_n(x)\right| < \varepsilon .$$
Это означает, что какое бы мы маленькое [latex]\varepsilon[/latex] не взяли, начиная с некоторого номера [latex]n[/latex], [latex]n[/latex]-ый остаток ряда будет меньше этого [latex]\varepsilon[/latex].