Критерий сходимости несобственных интегралов

Теорема

Пусть [latex]f(x)[/latex] не изменяет знак на полуинтервале [latex]\left[ a ,b \right)[/latex] и для любого [latex]\xi[/latex] из данного полуинтервала [latex]f(x)[/latex] интегрируема по Риману на отрезке[latex]\left[ a ,\xi \right][/latex]. Тогда для сходимости несобственного интеграла [latex]\int _{a}^{b}{f(x)dx}[/latex] необходимо и достаточно, чтобы функция [latex]\Phi (\xi )=\int _{ a }^{ \xi }{ f(x)dx }[/latex] была ограничена на [latex]\left[ a ,b \right)[/latex].

Спойлер

firsttopic

[latex]\Phi(t)[/latex] — площадь заштрихованной фигуры.

[свернуть]

Доказательство

Докажем вначале теорему для [latex]f(x)[/latex] неотрицательной. Покажем, что функция [latex]\Phi (\xi )[/latex] возрастает. Действительно, для любых [latex]{\xi}_{1}[/latex], [latex]{\xi}_{2}[/latex] из [latex]\left[ a ,b \right)[/latex], [latex]{\xi}_{1}<{\xi}_{2}[/latex]
$$ \Phi({ \xi }_{ 1 })-\Phi({ \xi }_{ 2 })=\overset { { \xi }_{ 1 } }{ \underset { a }{\int} } f(x)dx-\overset{ { \xi }_{ 2 } }{ \underset { a }{\int} } f(x)dx=\overset { { \xi }_{ 2 } }{ \underset { { \xi }_{ 1 } }{ \int } } f(x)dx \ge 0 ,$$ так как [latex]f(x)[/latex] неотрицательна.

Из определения сходимости несобственного интеграла, интеграл [latex]\int _{ a }^{ b }{ f(x)dx }[/latex] сходится тогда, когда существует конечный предел $$ \underset { \xi \rightarrow b-0 }{ \lim } \overset { \xi }{ \underset { a }{ \int } } f(x)dx=\underset { \xi \rightarrow b-0 }{ \lim }\Phi (\xi ) ,$$ а данный предел существует как предел монотонной и ограниченной функции [latex]\Phi (\xi )[/latex].

В случае если [latex]f(x)[/latex] — неположительная, то рассмотрим функцию [latex]g(x) = -f(x)[/latex] — неотрицательную. Из сходимости g(x) следует сходимость f(x), а для g(x) теорема уже доказана.

Спойлер

Изучим на сходимость следующий интеграл:[latex] \overset { 0 } { \underset { -1 }{ \int }} \frac {dx}{ \sqrt{ -x } } [/latex].
Особая точка — [latex]x_0 = 0[/latex]. Функция [latex]\Phi (\xi)=\int_{-1}^{\xi}{\frac{dx}{\sqrt{-x}}}[/latex] должна быть ограничена сверху. Найдем неопределенный интеграл
$$ \int \frac {dx}{ \sqrt{ -x } } = 2 \sqrt{-x} + С .$$
Из этого следует, что
$$ \overset { \xi } { \underset { -1 }{ \int }} \frac {dx}{ \sqrt{ -x } } = 2 \sqrt{-\xi} + 2 = 2(\sqrt{-\xi} + 1) .$$
Так как [latex]\xi \in \left [-1;0\right ][/latex], то функция [latex]\Phi (\xi)[/latex] ограничена сверху числом [latex]4[/latex], а значит интеграл сходится.

[свернуть]

Список Литературы

Критерий сходимости несобственных интегралов

Тест по теме: Критерий сходимости несобственных интегралов

После прочтения статьи, для закрепления материала, рекомендуется пройти тест по данной теме


Таблица лучших: Критерий сходимости несобственных интегралов

максимум из 30 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных