2.5 Критерий Коши

Если для исследования сходимости последовательности применять определение предела, то мы заранее должны знать, является ли данная последовательность сходящейся и значение ее предела. Используя определение предела, мы можем лишь доказывать выдвинутую гипотезу. Однако в ряде случаев по самому виду последовательности трудно определить, является ли она сходящейся или расходящейся. Например, $x_n = 1 + \frac{1}{2} + \ldots + \frac{1}{n}$ . В связи с этим возникает необходимость найти внутреннее свойство последовательности, равносильное сходимости и не
зависящее от числа $a$ – предела последовательности. Мы докажем, что таким свойством является фундаментальность.

Определение. Последовательность $\{x_n\}$ называется фундаментальной (сходящейся в себе), если для любого $\varepsilon > 0$ найдется такой номер $N$, зависящий, вообще говоря, от $\varepsilon$, что для всех номеров $n \geqslant N$, $m \geqslant N$ справедливо неравенство $|x_n — x_m| < \varepsilon$.

Существенное отличие определения фундаментальности от определения предела состоит в том, что в определении предела мы должны знать значение предела, а в определении фундаментальности это не требуется. Смысл определения предела состоит в том, что все элементы последовательности с достаточно большими номерами мало отличаются от значения предела, т. е. $|x_n — a| < \varepsilon$ при $n \geqslant N = N(\varepsilon)$. В определении фундаментальности требуется чтобы все элементы последовательности с достаточно большими номерами мало отличались друг от друга $\Big(|x_n — x_m| < \varepsilon$, $n, m \geqslant N = N(\varepsilon)\Big).$

Равносильность сходимости последовательности и ее фундаментальности устанавливает следующая теорема.

Теорема (критерий Коши). Для того чтобы последовательность была сходящейся, необходимо и достаточно, чтобы она была фундаментальной.

Необходимость доказывается совсем просто. В самом деле, нужно показать, что из сходимости следует фундаментальность. Пусть последовательность $\{x_n\}$ сходится и $\lim\limits_{n\to \infty}x_n = a$. Зададим $\varepsilon > 0$ и найдем номер $N$, такой, что для любого $n \geqslant N$ справедливо неравенство $|x_n — a| < \frac{\varepsilon}{2}$. Если $n, m \geqslant N$, то получим $$|x_n — x_m| \leqslant |x_n — a| + |x_m — a| < \frac{\varepsilon}{2} + \frac{\varepsilon}{2} = \varepsilon$$ а это и означает, что $\{x_n\}$ – фундаментальна.

Достаточность. Нужно показать, что из фундаментальности последовательности следует ее сходимость. Сначала мы покажем, что из фундаментальности следует ограниченность. Затем, используя лемму Больцано – Вейерштрасса, из ограниченной последовательности выделим сходящуюся подпоследовательность и, наконец, снова используя фундаментальность, покажем, что и вся последовательность сходится к тому же пределу, что и выделенная подпоследовательность.

Итак, пусть $\{x_n\}$ – фундаментальная последовательность. Докажем ее ограниченность. Зададим $\varepsilon = 1$ и, пользуясь фундаментальностью, найдем номер $N_1$, такой, что для любых $n, m \geqslant N_1$ справедливо неравенство $|x_n — x_m| < 1$. Зафиксируем $m = N_1$. Тогда получим, что для всех $n \geqslant N_1$ имеет место неравенство $|x_n — x_m| < 1$, т. е. ${x_N}_1 — 1 < x_n < {x_N}_1 + 1$. Отсюда следует, что $|x_n| \leqslant |{x_N}_1| + 1$ для всех $n \geqslant N_1$. Во множестве $E = \{|{x_N}_1| + 1, |x_1| , \ldots , |{x_N}_1 − 1|\}$, состоящего из конечного числа элементов, выберем наибольший $A = \max\{|{x_N}_1| + 1, |x_1| ,\ldots, |{x_N}_1 − 1|\}$. Тогда получим, что $|x_n| \leqslant A$ для всех $n = 1, 2,\ldots$, а это и означает, что $\{x_n\}$ – ограниченная последовательность.

Применяя теперь к ограниченной последовательности $\{x_n\}$ лемму Больцано – Вейерштрасса, выделим из нее сходящуюся подпоследовательность ${\{{x_n}_k\}}^\infty_{k = 1}$ и обозначим через a предел этой подпоследовательности. Покажем, что вся последовательность $\{x_n\}$ также сходится к числу a, т. е. что $\lim\limits_{n\to \infty}x_n = a$.

Зададим $\varepsilon > 0$ и, пользуясь фундаментальностью последовательности $\{x_n\}$, найдем такой номер $N$, что для всех номеров $n, m \geqslant N$ справедливо неравенство $|x_n − x_m| < \frac{\varepsilon}{2}$. Далее, пользуясь тем, что $\lim\limits_{k\to \infty}{x_n}_k = a$, для заданного $\varepsilon$ найдем номер $k$, такой, что $n_k \geqslant N$ (это возможно, поскольку $n_k \rightarrow \infty$ при $k \rightarrow \infty$) и $|{x_n}_k — a| < \frac{\varepsilon}{2}$. Положим $m = n_k$. Тогда получим, что для любого $n \geqslant N$ справедливо неравенство $|x_n − {x_n}_k| < \frac{\varepsilon}{2}$. Отсюда следует, что для $n \geqslant N$ $$|x_n — a| \leqslant |x_n — {x_n}_k| + |{x_n}_k — a| < \frac{\varepsilon}{2} + \frac{\varepsilon}{2} = \varepsilon.$$

Итак, для заданного $\varepsilon > 0$ мы нашли номер $N$, начиная с которого справедливо неравенство $|x_n — a| < \varepsilon$. Поскольку выбранное $\varepsilon > 0$ произвольно, то по определению предела последовательности получаем, что $\lim\limits_{n\to \infty}x_n = a$.

Определение фундаментальности последовательности можно сформулировать в такой эквивалентной форме.

Определение. Последовательность $\{x_n\}$ называется фундаментальной, если для любого $\varepsilon > 0$ найдется такой номер $N$, зависящий, вообще говоря, от $\varepsilon$, что для любого $n \geqslant N$ и для любого $p \in N$ справедливо неравенство $|x_{n + p} — x_n| < \varepsilon$.

Пользуясь этим определением, скажем, что последовательность $\{x_n\}$ не является фундаментальной, если найдется такое $\varepsilon_0 > 0$, что для любого $N$ существуют такой номер $n \geqslant N$ и такое натуральное число $p$, что $|x_{n + p} − x_n| \geqslant \varepsilon_0$.

Пример 1. Рассмотрим последовательность $x_n = 1 + \frac{1}{2} + \ldots + \frac{1}{n}$. Для натуральных $n$ и $p$ имеем $x_{n + p} − x_n = \frac{1}{n + 1} + \ldots + \frac{1}{n + p} \geqslant \frac{1}{n + p} + \ldots + \frac{1}{n + p} = \frac{p}{n + p}$. Если $n$ зафиксировано, то для $p = n$ получаем $|x_{n + p} − x_n| \geqslant \frac{1}{2}$. Выберем $\varepsilon_0 = \frac{1}{2} > 0$. Тогда для любого номера $N$ положим $n = N$, $p = n$ и будем иметь $|x_{n + p} − x_n| \geqslant \varepsilon_0$. Это означает, что данная последовательность не является фундаментальной и, следовательно, в силу критерия Коши, она расходится.

Пример 2. Покажем, что последовательность $x_n = \frac{\sin 1}{1^2} + \frac{\sin 2}{2^2} + \ldots + \frac{\sin n}{n^2}$ фундаментальна, а значит, сходящаяся. Для натуральных $n$ и $p$ имеем $$|x_{n + p} − x_n| \leqslant \frac{1}{(n + 1)^2} + \ldots + \frac{1}{(n + p)^2} \leqslant $$ $$\leqslant \frac{1}{n(n + 1)} + \ldots + \frac{1}{(n + p — 1)(n + p)} =$$ $$= \frac{1}{n} — \frac{1}{n + 1} + \ldots + \frac{1}{n + p — 1} — \frac{1}{n + p} =$$ $$= \frac{1}{n} — \frac{1}{n + p} \leqslant \frac{1}{n} < \varepsilon,$$ если только $n \geqslant N = [\frac{1}{\varepsilon}] + 1$. Этим самым доказано, что данная последовательность фундаментальна.

Пример 3. Доказать, что последовательность $x_n = \frac{a_1}{1^2} + \frac{a_2}{2^2} + \ldots + \frac{a_n}{n^2},$ где $|a_n| \leqslant 2$ для всех $n$ натуральных, сходится, с помощью критерия Коши.

Решение

Для натуральных $n$ и $p$ $$|x_{n + p} — x_n| = \frac{|a_{n + 1}|}{(n + 1)^2} + \ldots + \frac{|a_{n + p}|}{(n + p)^2} \leqslant $$ $$\leqslant \frac{2}{(n + 1)^2} + \ldots + \frac{2}{(n + p)^2} \leqslant $$ $$\leqslant \frac{2}{(n + 1)n} + \ldots + \frac{2}{(n + p)(n + p — 1)} =$$ $$= \frac{2}{n} — \frac{2}{n + 1} + \ldots + \frac{2}{n + p — 1} — \frac{2}{n + p} =$$ $$= \frac{2}{n} — \frac{2}{n + p} \leqslant \frac{2}{n} < \varepsilon$$ если только $n \geqslant N = [\frac{2}{\varepsilon}] + 1$. таким образом доказано, что последовательность фундаментальна, а следовательно она сходится.

Упражнение. Покажите, что условие $\lim\limits_{n \to \infty}(x_{n+p} — x_n) = 0$, справедливое при любом натуральном $p$, не влечет фундаментальность последовательности $\{x_n\}$

Литература

Критерий Коши

Тест по теме: «Фундаментальные последовательности. Критерий Коши сходимости числовой последовательности.»


Таблица лучших: Критерий Коши

максимум из 5 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных

Критерий сходимости несобственных интегралов

Теорема

Пусть [latex]f(x)[/latex] не изменяет знак на полуинтервале [latex]\left[ a ,b \right)[/latex] и для любого [latex]\xi[/latex] из данного полуинтервала [latex]f(x)[/latex] интегрируема по Риману на отрезке[latex]\left[ a ,\xi \right][/latex]. Тогда для сходимости несобственного интеграла [latex]\int _{a}^{b}{f(x)dx}[/latex] необходимо и достаточно, чтобы функция [latex]\Phi (\xi )=\int _{ a }^{ \xi }{ f(x)dx }[/latex] была ограничена на [latex]\left[ a ,b \right)[/latex].

Спойлер

firsttopic

[latex]\Phi(t)[/latex] — площадь заштрихованной фигуры.

[свернуть]

Доказательство

Докажем вначале теорему для [latex]f(x)[/latex] неотрицательной. Покажем, что функция [latex]\Phi (\xi )[/latex] возрастает. Действительно, для любых [latex]{\xi}_{1}[/latex], [latex]{\xi}_{2}[/latex] из [latex]\left[ a ,b \right)[/latex], [latex]{\xi}_{1}<{\xi}_{2}[/latex]
$$ \Phi({ \xi }_{ 1 })-\Phi({ \xi }_{ 2 })=\overset { { \xi }_{ 1 } }{ \underset { a }{\int} } f(x)dx-\overset{ { \xi }_{ 2 } }{ \underset { a }{\int} } f(x)dx=\overset { { \xi }_{ 2 } }{ \underset { { \xi }_{ 1 } }{ \int } } f(x)dx \ge 0 ,$$ так как [latex]f(x)[/latex] неотрицательна.

Из определения сходимости несобственного интеграла, интеграл [latex]\int _{ a }^{ b }{ f(x)dx }[/latex] сходится тогда, когда существует конечный предел $$ \underset { \xi \rightarrow b-0 }{ \lim } \overset { \xi }{ \underset { a }{ \int } } f(x)dx=\underset { \xi \rightarrow b-0 }{ \lim }\Phi (\xi ) ,$$ а данный предел существует как предел монотонной и ограниченной функции [latex]\Phi (\xi )[/latex].

В случае если [latex]f(x)[/latex] — неположительная, то рассмотрим функцию [latex]g(x) = -f(x)[/latex] — неотрицательную. Из сходимости g(x) следует сходимость f(x), а для g(x) теорема уже доказана.

Спойлер

Изучим на сходимость следующий интеграл:[latex] \overset { 0 } { \underset { -1 }{ \int }} \frac {dx}{ \sqrt{ -x } } [/latex].
Особая точка — [latex]x_0 = 0[/latex]. Функция [latex]\Phi (\xi)=\int_{-1}^{\xi}{\frac{dx}{\sqrt{-x}}}[/latex] должна быть ограничена сверху. Найдем неопределенный интеграл
$$ \int \frac {dx}{ \sqrt{ -x } } = 2 \sqrt{-x} + С .$$
Из этого следует, что
$$ \overset { \xi } { \underset { -1 }{ \int }} \frac {dx}{ \sqrt{ -x } } = 2 \sqrt{-\xi} + 2 = 2(\sqrt{-\xi} + 1) .$$
Так как [latex]\xi \in \left [-1;0\right ][/latex], то функция [latex]\Phi (\xi)[/latex] ограничена сверху числом [latex]4[/latex], а значит интеграл сходится.

[свернуть]

Список Литературы

Критерий сходимости несобственных интегралов

Тест по теме: Критерий сходимости несобственных интегралов

После прочтения статьи, для закрепления материала, рекомендуется пройти тест по данной теме


Таблица лучших: Критерий сходимости несобственных интегралов

максимум из 30 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных

Равномерная сходимость последовательностей и рядов

Функциональные последовательности

Если каждому натуральному числу [latex]n[/latex] ставится в соответствие по некоторому закону функция [latex]f_n(x)[/latex], определенная на множестве [latex]E[/latex], то говорят, что на множестве [latex]E[/latex] задана функциональная последовательность [latex]\left \{f_n (x)\right \}[/latex]. Множество [latex]E[/latex] называется областью определения последовательности [latex]\left \{f_n (x)\right \}[/latex].

Если для некоторого [latex]x_0 \in E[/latex] числовая последовательность [latex]\left \{f_n (x_0) \right \}[/latex] сходится, то говорят, что последовательность функций [latex]\left \{f_n (x) \right \}[/latex] сходится в точке [latex]x_0[/latex]. Последовательность функций, сходящуюся в каждой точке [latex]x \in E[/latex], называют сходящейся на множестве [latex]E[/latex].

Если [latex]\underset {n \to \infty}{\lim} f_n(x) = f(x)[/latex] для всех [latex]x \in E[/latex], то говорят, что последовательность [latex]\left \{f_n (x) \right \}[/latex] на множестве [latex]E[/latex] сходится к функции [latex]f(x)[/latex]. Эту функцию называют предельной функцией последовательности.

Равномерная сходимость функциональных последовательностей

Пусть задана последовательность функций [latex]\left \{ f_n(x) \right \}[/latex] и предельная функция [latex]f(x)[/latex]. Говорят, что последовательность функций равномерно сходится на множестве [latex]E[/latex] к функции [latex]f(x)[/latex] если
$$\forall \varepsilon >0 \quad \exists n_{ \varepsilon }\in \mathbb{N}: \forall n \ge n_\varepsilon \ \forall x \in E \Rightarrow \left|f_n(x)-f(x) \right| < \varepsilon .$$
Последовательность [latex]\left \{ f_n(x) \right \}[/latex] называется равномерно сходящейся на [latex]E[/latex], если существует функция [latex]f(x)[/latex], к которой она равномерно сходится.

Спойлер

Рассмотрим последовательность [latex]\left \{f_n(x) \right \}[/latex], [latex]f_n(x) = \frac{1}{n}x^n[/latex] на отрезке [latex]\left [ 0;1 \right ][/latex]. Она равномерно сходится на этом отрезке.

thirdtopic

Действительно, так как [latex]0 < \frac{1}{n}x^n < \frac{1}{n}[/latex] и [latex]\underset{n \to \infty}{\lim} \frac{1}{n} = 0[/latex], то для любой точности [latex]\varepsilon > 0[/latex] мы можем выбрать номер [latex] n_\varepsilon = \left \lceil \frac{1}{\varepsilon } \right \rceil + 1[/latex], начиная с которого все последующие члены ряда будут меньше [latex]\varepsilon[/latex], [latex]\left | f_n(x) \right | < \varepsilon[/latex]. Значит последовательность сходится равномерно к нулю на [latex]\left [ 0;1 \right ][/latex].

[свернуть]

Функциональные ряды

Аналогично вводим понятие функциональных рядов. Пусть каждому натуральному числу [latex]n[/latex] ставится в соответствие по некоторому закону функция [latex]u_n(x)[/latex], определенная на множестве [latex]E[/latex]. Формально говоря нам дана функциональная последовательность [latex]\left \{ u_n(x) \right \}[/latex].

Выражение вида [latex]u_{ 1 }(x)+u_2(x) +\dots +u_n(x) +\dots =\overset{\infty}{\underset{n=1}{\sum}}u_n(x)[/latex] называется функциональным рядом. Если для некоторого [latex]x_0 \in E[/latex] числовой ряд [latex]\sum_{n=1}^{\infty} u_n(x_0)[/latex] сходится, то говорят, что функциональный ряд [latex]\sum_{n=1}^{\infty} u_n(x)[/latex] сходится в точке [latex]x_0[/latex]. Функциональный ряд, сходящийся в каждой точке [latex]x \in E[/latex], называют сходящимся на множестве [latex]E[/latex].

Сумма [latex]n[/latex] первых членов ряда [latex]S_n(x) = \overset{n}{\underset{k=1}{\sum}}u_k(x)[/latex] называется его частичной суммой. Заметим, что частичная сумма сама является функцией. Мы получаем функциональную последовательность [latex]\left \{ S_n(x) \right \}[/latex].

Спойлер

Изучим сходимость ряда
$$x^2 + \frac{x^2}{1+x^2} + \dots + \frac{x^2}{(1+x^2)^n} + \dots,$$
Где [latex]x[/latex] — действительное число. Этот ряд сходится при всех [latex]x[/latex]. При [latex]x \neq 0[/latex] мы имеем бесконечно убывающую геометрическую прогрессию со знаменателем [latex]q = \frac{1}{1+x^2}[/latex], [latex] 0 < q < 1[/latex]. Таким образом:
$$x^2 + \frac{x^2}{1+x^2} + \dots + \frac{x^2}{(1+x^2)^n} + \dots = \frac{x^2}{1-\frac{1}{1+x^2}} = 1 + x^2 .$$
При [latex]x = 0[/latex] каждый член ряда равен нулю и тогда сумма всего ряда равна нулю.

[свернуть]

Равномерная сходимость функциональных рядов

Пусть задан функциональный ряд [latex]\overset{\infty}{\underset{n=1}{\sum}}u_n(x)[/latex], члены которого являются функциями, определенными на множестве [latex]E[/latex]. Функциональный ряд называется равномерно сходящимся на множестве [latex]E[/latex], если последовательность его частичных сумм равномерно сходящаяся на множестве [latex]E[/latex]. Согласно определению равномерной сходимости последовательности функции, существует такая функция [latex]S(x)[/latex], что
$$\forall \varepsilon >0 \quad \exists n_{ \varepsilon }\in \mathbb{N}: \forall n \ge n_\varepsilon \ \forall x \in E \Rightarrow \left|S_n(x)-S(x) \right| < \varepsilon .$$
Обозначим [latex]S_n(x)-S(x)=r_n(x)[/latex] — [latex]n[/latex]-ый остаток ряда, получаем [latex]r_n(x) = \overset{\infty}{\underset{k=n+1}{\sum}}u_k(x)[/latex]. Тогда условие сходимости ряда примет вид: $$\forall \varepsilon >0 \quad \exists n_{ \varepsilon }\in \mathbb{N}: \forall n \ge n_\varepsilon \ \forall x \in E \Rightarrow \left|r_n(x)\right| < \varepsilon .$$
Это означает, что какое бы мы маленькое [latex]\varepsilon[/latex] не взяли, начиная с некоторого номера [latex]n[/latex], [latex]n[/latex]-ый остаток ряда будет меньше этого [latex]\varepsilon[/latex].

Необходимое условие равномерной сходимости функционального ряда

Теорема

Если функциональный ряд [latex]\overset{\infty}{\underset{n=1}{\sum}}u_n(x)[/latex] равномерно сходится на множестве [latex]E[/latex], то последовательность его членов [latex]\left \{ u_n(x) \right \}[/latex] равномерно стремится к нулю на множестве [latex]E[/latex].

Доказательство

Обозначим частичные суммы ряда как [latex]S_n(x)[/latex], а сумму ряда (предельную функцию последовательности частичных сумм) как [latex]S(x)[/latex]. Согласно определению равномерной сходимости ряда
$$\forall \varepsilon >0 \quad \exists n_{ \varepsilon }\in \mathbb{N}: \forall n \ge n_\varepsilon \ \forall x \in E \Rightarrow \left|S_n(x)-S(x) \right| < \frac{\varepsilon}{2} ,$$
поэтому для [latex]\forall n \ge n_\varepsilon[/latex] справедливо также неравенство
$$\left| u_{ n+1 }(x) \right| =\left| S_{ n+1 }(x)-S_{ n }(x) \right| =\left| \left[ S_{n+1}(x)-S(x) \right] + \left[S(x) — S_n(x) \right] \right| < \frac{\varepsilon}{2} + \frac{\varepsilon}{2} = \varepsilon .$$
А это и означает равномерную сходимость к нулю последовательности [latex]\left \{ u_n(x) \right \}[/latex].

Список Литературы

Равномерная сходимость последовательностей и рядов

После прочтения статьи, для закрепления материала, рекомендуется пройти тест по данной теме


Таблица лучших: Равномерная сходимость последовательностей и рядов

максимум из 60 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных

Критерий дифференцируемости функции

Определение

Функция [latex]f(x)=f(x_{1},…,x_{n})[/latex] называется дифференцируемой в точке [latex]x^{0}=(x^{0}_{1},…,x^{0}_{n})[/latex], если она определена в некоторой окрестности этой точки и существуют такие числа [latex]A_{1},…,A_{n}[/latex], что при [latex]x\rightarrow x^{0}[/latex] выполняется равенство: $$f(x)-f(x^{0})=\sum_{i=1}^{n}A_{i}(x_{i}-x^{0}_{i})+o(\rho(x,x^{0})).  \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (1)$$

Геометрический смысл

Рассмотрим случай двух переменных.

Пусть функция [latex]z=f(x,y)[/latex] определена в некоторой [latex]\delta [/latex]-окрестности [latex]U=U({M}’,\delta )[/latex] точки [latex]{M}’=({x}’,{y}’)[/latex] и пусть [latex]M=(x,y)\in U({M}’;\delta )[/latex], [latex]\Delta x=x-{x}'[/latex], [latex]\Delta y=y-{y}'[/latex]. Тогда, [latex]\rho =\rho(M,{M}’)=\sqrt{\Delta x^{2}+\Delta y^{2}}<\delta [/latex].

Пусть, наконец, [latex]\Delta z=f({x}’+\Delta x,{y}’+\Delta y)-f({x}’,{y}’)[/latex].

Обычно [latex]\Delta z[/latex] называется полным приращением функции; это название объясняется тем, что здесь, вообще говоря, все независимые переменные получают приращения, отличные от нуля.

CircleUTF8NextVersionA

Теорема (Критерий дифференцируемости функции)

Функция [latex]f(x)[/latex] дифференцируема в точке [latex]x^{0}[/latex] тогда и только тогда, когда в некоторой окрестности точки [latex]x^{0}[/latex] функция [latex]f(x)[/latex] может быть представлена в виде: $$f(x)=f(x^{0})+\sum_{i=1}^{n}f_{i}(x)(x_{i}-x_{i}^{0}),(2)$$

где функции [latex]f_{i}(x)[/latex] непрерывны в точке [latex]x^{0}[/latex].

Доказательство

Пусть функция [latex]f(x)[/latex] дифференцируема в точке [latex]x^{0}[/latex]. Тогда выполняется условие [latex](1)[/latex]. Заметим, что равенство [latex]\psi (x)=o(\rho(x,x^{0}))[/latex] при [latex]x\rightarrow x^{0}[/latex] означает, что [latex]\psi (x)=\varepsilon (x)\rho(x,x^{0})[/latex], где [latex]\lim_{x\rightarrow x^{0}}\varepsilon (x)=0[/latex].

Тогда $$\psi (x)=\frac{\varepsilon (x)}{\rho(x,x^{0})}\sum_{i=1}^n{}(x_{i}-x^{0}_{i})^{2}=\sum_{i=1}^{n}\varepsilon _{i}(x)(x_{i}-x^{0}_{i}),(3)$$ где [latex]\varepsilon_{i} (x)=\varepsilon (x)\frac{x_{i}-x_{i}^{0}}{\rho(x,x^{0})}[/latex], [latex]\lim_{x\rightarrow x^{0}}\varepsilon _{i}(x)=0[/latex], так как [latex]0\leqslant \frac{\left | x_{i}-x_{i}^{0} \right |}{\rho(x,x^{0})}\leqslant 1[/latex].

Доопределим функции [latex]\varepsilon _{i}(x)[/latex] в точке [latex]x^{0}[/latex] по непрерывности, полагая что [latex]\lim_{x\rightarrow x^{0}}\varepsilon _{i}(x)=\varepsilon _{i}(x^{0})=0[/latex].

Тогда из [latex](1)[/latex] и [latex](3)[/latex] получаем $$f(x)=f(x^{0})+\sum_{i=1}^{n}A_{i}(x_{i}-x_{i}^{0})+\sum_{i=1}^{n}\varepsilon _{i}(x)(x_{i}-x_{i}^{0})=$$ $$=f(x^{0})+\sum_{i=1}^{n}f_{i}(x)(x_{i}-x_{i}^{0}),$$ [latex]f_{i}(x)=A_{i}+\varepsilon _{i}(x)[/latex].

Так как функции [latex]\varepsilon _{i}(x)[/latex] непрерывны в точке [latex]x^{0}[/latex], то и функции [latex]f_{i}(x)[/latex] непрерывны в этой точке и [latex]f_{i}(x^{0})=A_{i}[/latex], [latex]i=\overline{1,n}[/latex].

Пусть выполнено [latex](2)[/latex]. Тогда, воспользовавшись непрерывностью функции [latex]f_{i}(x)[/latex] в точке [latex]x^{0},[/latex] положим [latex]A_{i}=f_{i}(x^{0})[/latex], [latex]f_{i}(x)=A_{i}+\varepsilon _{i}(x)[/latex], [latex]\lim_{x\rightarrow x^{0}}\varepsilon _{i}(x)=0[/latex].

Получаем $$f(x)-f(x^{0})=\sum_{i=1}^{n}A_{i}(x_{i}-x_{i}^{0})+\sum_{i=1}^{n}\varepsilon _{i}(x)(x_{i}-x_{i}^{0})=$$ $$=\sum_{i=1}^{n}A_{i}(x_{i}-x_{i}^{0})+o(\rho(x,x^{0})),$$ так как при [latex]x\rightarrow x^{0}[/latex]: $$\frac{\left | \sum_{i=1}^{n}\varepsilon _{i}(x)(x_{i}-x_{i}^{0}) \right |}{\rho(x,x^{0})}\leqslant \sum_{i=1}^n{\left | \varepsilon _{i}(x) \right |\rightarrow 0}.$$ [latex]\square [/latex]

Литература

Тест

Тест:

Тест на проверку усвоения связи между производной и дифференциалом.

Критерий дифференцируемости функции

Тест на знание критерия дифференцируемости функции.

Таблица лучших: Критерий дифференцируемости функции

максимум из 20 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных

Критерий Сильвестра

Формулировка

Квадратичная форма [latex]Q\left(x \right)[/latex] в [latex]\mathbb{R}^{n}[/latex] положительно определена тогда и только тогда, когда все угловые миноры её матрицы [latex]B[/latex], имеющие вид
$$\Delta_{m}=\begin{vmatrix}b_{1,1}&b_{1,2}&…&b_{1,m}\\b_{2,1}&b_{2,2}&…&b_{2,m}\\…&…&…&…\\b_{m,1}&b_{m,2}&…&b_{m,m}\end{vmatrix},m=1,…,n\left(b_{ij}=b_{ji}, \forall i,j\right)$$
— положительны.

Доказательство

Достаточность

Для доказательства воспользуемся методом математической индукции и вспомогательной леммой.

Лемма

Квадратичная форма тогда и только тогда является положительно определённой, когда она приводится к диагональному виду [latex]\sum_{i=1}^{n}{a_{i}x_{i}^{2}}, a_{i}>0, i=1,…,n [/latex], а значит, и к каноническому виду [latex]Q\left(y \right)=\sum_{i=1}^{n}{y_{i}^{2}}[/latex], где [latex]y_{i}=\sqrt{a_{i}}x_{i}, i=1,…,n[/latex].

База индукции

Для [latex]n=1[/latex] достаточность очевидна.

Предположение индукции

Положим, что для [latex]n>1[/latex] из положительности угловых миноров матрицы квадратичной формы [latex]n-1[/latex] порядка включительно следует возможность приведения квадратичной формы от [latex]n-1[/latex] переменных [latex]x_{1}, x_{2},…,x_{n-1}[/latex] к виду [latex]Q\left(x \right)=\sum_{i=1}^{n}{x_{i}^{2}}[/latex].

Шаг индукции

Покажем, что достаточность имеет место и для квадратичной формы, зависящей от [latex]n[/latex] переменных.

В выражении для квадратичной формы, зависящей от [latex]n[/latex] переменных [latex]x_{1}, x_{2},…,x_{n-1}, x_{n}[/latex], выделим слагаемые, содержащие [latex]x_{n}[/latex]:

[latex]Q\left(x \right)=\sum_{j=1}^{n-1}{\sum_{i=1}^{n-1}{b_{ji}x_{j}x_{i}}}+2\sum_{j=1}^{n-1}{b_{jn}x_{j}x_{_{n}}}+b_{nn}x_{n}^{2}[/latex].

Сумма [latex]\sum_{j=1}^{n-1}{\sum_{i=1}^{n-1}{b_{ji}x_{j}x_{i}}}=Q^{*}\left(x_{1}, x_{2},…,x_{n-1} \right)[/latex] в правой части этого равенства является квадратичной формой [latex]Q^{*}\left(x \right)[/latex], зависящей от [latex]n-1[/latex] переменной, причём её угловые миноры совпадают с угловыми минорами [latex]Q\left(x \right)[/latex] её матрицы до порядка [latex]n-1[/latex] включительно, которые положительны по условию.

Следовательно, по предположению индукции, квадратичная форма [latex]Q^{*}\left(x \right)[/latex] положительно определённа и для неё существует невырожденная замена переменных

[latex]x_{i}=\sum_{i=1}^{n-1}{\gamma _{ji}y_{i}}, j=1,…,n-1,[/latex]

приводящая её к каноническому виду: [latex]Q^{*}\left(x \right)=\sum_{i=1}^{n-1}{y_{i}^{2}}[/latex].
Запишем квадратичную форму [latex]Q\left(x \right)[/latex] в новых переменных:

[latex]Q\left(x \right)=\sum_{i=1}^{n-1}{y_{i}^{2}}+2\sum_{i=1}^{n-1}{b_{in}^{‘}y_{i}x_{_{n}}}+b_{nn}x_{n}^{2}[/latex]

и выделим полные квадраты по [latex]y_{1}, … y_{n-1}[/latex]:

[latex]Q(x)=\sum_{i=1}^{n-1}{(y_{i}^{2}+2b_{in}^{‘}y_{i}x_{n}+b_{in}^{‘2}x_{n}^{2})}+(b_{nn}-\sum_{i=1}^{n-1}{b_{in}^{‘2}})x_{n}^{2}=\sum_{i=1}^{n-1}{z_{i}^{2}}+b_{nn}^{»}x_{n}^{2}[/latex],

где [latex]b_{nn}^{»}=b_{nn}-\sum_{i=1}^{n-1}{b_{in}^{‘2}}[/latex], [latex]z_{i}=y_{i}+b_{in}^{‘}x_{n}[/latex], [latex]i=1,…,n-1[/latex].

В матричном виде эту замену переменных можно описать как

[latex]\begin{pmatrix}z_{1}\\ z_{2}\\ …\\ z_{n-1}\\ x_{n}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1 &0 &… &0 &b’_{1,n} \\ 0& 1 & … & 0 & b’_{2,n}\\ …& …& … &… &… \\ 0 & 0 & … & 1& b’_{n-1,n}\\ 0& 0 & … & 0 & 1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}y_{1}\\ y_{2}\\ …\\ y_{n-1}\\ x_{n}\end{pmatrix}[/latex],

и поскольку её определитель отличен от нуля, то эта замена невырожденная.

Наконец, определитель матрицы квадратичной формы сохраняет знак при замене базиса. Определитель матрицы [latex]B[/latex] квадратичной формы в исходном базисе положительный, поскольку этот определитель является угловым минором порядка [latex]n[/latex]. Но из выражения для [latex]Q \left(x \right)[/latex] в конечно базисе мы получаем, что определитель квадратичной формы [latex]Q \left(x \right)[/latex] равен [latex]b»_{nn}[/latex]. Поэтому [latex]b»_{nn}>0[/latex] и можно ввести переменную [latex]z_{n}=\sqrt{b»_{nn}}x_{n}[/latex], в результате чего получаем канонический вид квадратичной формы [latex]Q\left(x \right)=\sum_{i=1}^{n}{z_{i}^{2}}[/latex].

Отсюда следует, что квадратичная форма [latex]Q\left(x \right)[/latex] положительно определена.

Достаточность доказана.

Необходимость

Дано, что квадратичная функция положительно определена, нужно доказать положительность угловых миноров её матрицы. Снова применим метод математической индукции по числу переменных [latex]n[/latex].

База индукции

Для [latex]n=1[/latex] достаточность очевидна.

Предположение индукции

Пусть для [latex]n>1[/latex] и для форм от меньшего числа переменных утверждение теоремы верно.

Шаг индукции

Поскольку квадратичная форма [latex]Q^{*}\left(x \right)[/latex] из доказательства достаточности также является положительно определённой, то по предположению индукции следует, что её угловые миноры, совпадающие с угловыми минорами матрицы [latex]B[/latex] до порядка [latex]n>1[/latex], положительны. А определитель самой матрицы [latex]B[/latex], который является угловым минором порядка [latex]n[/latex],положителен, поскольку [latex]Q\left(x \right)[/latex] приводится к каноническому виду [latex]Q\left(x \right)=\sum_{i=1}^{n}{z_{i}^{2}}[/latex], и определитель матрицы полученной при этом квадратичной формы равен [latex]1[/latex] и имеет такой же знак, как и определитель матрицы [latex]B[/latex].

Необходимость доказана.

Теорема доказана.

Следствие

Для того, чтобы квадратичная форма [latex]Q\left(x \right)[/latex] в [latex]\mathbb{R}^{n}[/latex] была отрицательно определена, необходимо и достаточно, чтобы все угловые миноры её матрицы [latex]B[/latex] имели чередующиеся знаки, начиная с минуса.

Примеры

При решении воспользоваться критерием Сильвестра.

Пример 1

Определить вид квадратичной формы [latex]Q\left(x_{1},x_{2} \right)=x_{1}^{2}+2x_{2}^{2}-x_{1}x_{2}[/latex].

Пример 2

Определить вид квадратичной формы [latex]Q\left(x_{1},x_{2},x_{3} \right)=-4x_{1}^{2}-2x_{2}^{2}-x_{3}^{2}[/latex]

[spoilergroup]

Пример 1

Построим матрицу квадратичной формы:

[latex]\begin{pmatrix}1 &-0,5\\ -0,5&2 \end{pmatrix}[/latex]

Посчитаем определители угловых миноров.

[latex]\Delta _{1}=1, \Delta _{2}=1,75[/latex]

Квадратичная форма положительно определённая по критерию Сильвестра.

[свернуть]

Пример 2

Построим матрицу квадратичной формы:

[latex]\begin{pmatrix}-4 &0 &0\\ 0& -2&0 \\ 0 & 0&-1 \end{pmatrix}[/latex]

Посчитаем определители угловых миноров.

[latex]\Delta _{1}=-4, \Delta _{2}=8, \Delta _{3}=-8[/latex]

Квадратичная форма отрицательно определённая по следствию из критерия Сильвестра.

[свернуть]

[/spoilergroup]

Литература

Тест на умение применить критерий Сильвестра

Тест на умение применить критерий Сильвестра для определения вида квадратичных форм.