Автор: Виктор Булгаков

M2044. О четном числе корней многочлена

Пусть $f(x)$— некоторый многочлен ненулевой степени. Может ли оказаться, что уравнение $f(x)=a$ при любом значении a имеет четное число решений?
Ответ: не может.
Покажем, что в любом случае найдется такое а, что уравнение $f(x)=a$ имеет нечетное число решений. Пусть $t_1,t_2,…,t_k$— точки, в которой меняется знак производной $f'(x)=a$ (таких точек конечное количество, так как все они — корни $f'(x)=a$). Таким образом, на каждом из интервалов $(-\infty,t_1),(t_1,t_2),…,(t_k,+\infty)$ функция $f(x)$ монотонна, и в точках $t_1,t_2,…,t_k$ происходит смена интервала возрастания на интервал убывания или наоборот.
Пусть степень многочлена $f(x)$ нечетна. Учитывая, что $\lim\limits_{x_\to+\infty}f(x)$ и $\lim\limits_{x_\to-\infty}f(x)$— бесконечности разных знаков, получаем, что при любом а уравнение $f(x)-a=0$ имеет нечетное количество корней, в которых функция $f(x)-a$ меняет знак. Достаточно выбрать а отличное от $f(t_1),f(t_2),…,f(t_k)$, тогда уравнение $f(x)-a=0$ не имеет других корней(т.е. корней, в которых $f(x)-a$ сохраняет знак). Случай нечетной степени многочлена $f(x)$ можно разобрать и по-другому, заметив, что при достаточно большом а уравнение $f(x)=a$ имеет ровно одно решение.

Рис. 1.
Рис. 1.

Пусть степень многочлена $f(x)$ четна. Учитывая, что $\lim\limits_{x_\to+\infty}f(x)$ и $\lim\limits_{x_\to-\infty}f(x)$— бесконечности одного знака, получаем, что при любом а уравнение $f(x)-a=0$ имеет четное количество корней, в которых функция $f(x)-a$ меняет знак. Поскольку $f'(x)=a$ многочлен нечетной степени, то $f'(x)=a$ меняет знак в нечетном числе точек, т.е. k нечетно. Отсюда следует, что найдется такое a, что в наборе $f(t_1),f(t_2),…,f(t_k)$ нечетное количество чисел, равных a. Для найденного значения a уравнение $f(x)=a$ имеет нечетное число решений— четное количество, в которых функция $f(x)-a$ меняет знак, и нечетное количество, в которых функция $f(x)-a$ не меняет знак(см. рисунок).

П.Кожевников

Минимальное свойство частичных сумм рядов Фурье. Неравенство Бесселя.

Теорема (о минимальном свойстве частичных сумм ряда
Фурье). Среди всех сумм вида $\sum\limits_{k=1}^{n}c_k\varphi_k$
k=1 ckϕk наименьшее отклонение по норме данного евклидова пространства от элемента $f$ имеет n-я частичная сумма ряда Фурье элемента $f$, т. е.
$$\inf\limits_{c_1,…,c_n \in \mathbb{R}}\left \| f- \sum\limits_{k=1}^{n}c_k\varphi_k \right \|= \left \| f- \sum\limits_{k=1}^{n}a_k\varphi_k \right \|$$
$a_k$ – коэффициенты Фурье функции $f, n \in \mathbb{R} $.
Доказательство.
Так как $\{\varphi_k\}$ ортонормированная система
$${\left\| f- \sum\limits_{k=1}^{n}c_k\varphi_k \right \|}^2 = \left ( f- \sum\limits_{k=1}^{n}c_k\varphi_k, f- \sum\limits_{k=1}^{n}c_k\varphi_k \right) = $$ $$=\sum\limits_{k=1}^{n}c_k^2 — 2\sum\limits_{k=1}^{n}c_k(f,\varphi_k)+(f,f)
=$$ $$= \sum\limits_{k=1}^{n}(c_k-(f,\varphi_k))^2 -\sum\limits_{k=1}^{n}(f,\varphi_k)^2 +(f,f) \ge (f,f)-\sum\limits_{k=1}^{n}(f,\varphi_k)^2$$
Равенство достигается тогда и только тогда, когда $c_k=(f,\varphi_k)$
Следствие 1
Если $\{a_k\}$ — коэффициенты Фурье функции $f$ по некоторой системе $\{\varphi_k\}$,то
$${\left\| f- \sum\limits_{k=1}^{n}c_k\varphi_k \right \|}^2 = {\|f\|}^2 -\sum\limits_{k=1}^{n} a_k^2$$
Следствие 2 — неравенство Бесселя
Если $\{a_k\}$ — коэффициенты Фурье функции $f$ по некоторой ортонормированной системе, то
$$\sum\limits_{k=1}^{\infty} a_k^2 \le {\|f\|}^2$$
(Вытекает из следствия 1 при $n \to \infty$ )
Литература

  • Конспект Кореновского А.А.
  • В. И. Коляда, А. А. Кореновский Курс лекций по математическому анализу в двух частях, ч.2, 2010

Ортонормированные системы в Гильбертовых пространствах. Ряды Фурье по ортонормированным системам.

Ортогональные системы функций.
Система функций $\Phi=\{\varphi_n\}_{n=0}^{\infty}$ называется ортогональной на $[a,b]$, если $\varphi_n \in R[a,b]$ и $\int\limits_a^b \varphi_n(x)\varphi_m(x) dx = 0 (n \neq m)$, $\int\limits_a^b \varphi_n^2(x) dx > 0$
Если $\int\limits_a^b \varphi_n^2(x) dx=1$, то система называется ортонормированной.
Пример:
Тригонометрическая система $$1, \cos{x}, \sin{x},…, \cos{nx},\sin{nx},… ;x\in [-\pi,\pi]$$
Ряд Фурье по ортогональной системе.
Пусть функция $f(x)$ непрерывна на $[a,b]$, а $\{\varphi_k(x)\}$— ортогональная на $[a,b]$ система непрерывных функций, при чем ни одна из них тождественно не равна нулю на отрезке $[a,b]$. Говорят, что функция $f(x)$ разложена на отрезке $[a,b]$ по ортогональной системе функций $\{\varphi_k(x)\}$ в сходящийся ряд, если существует числовая последовательность $\{a_k\}$, такая, что функциональный ряд $\sum\limits_{k=1}^{\infty} a_k\varphi_k(x) $сходится к $f(x)$, то есть $f(x)$= $\sum\limits_{k=1}^{\infty} a_k\varphi_k(x)$, $x \in [a,b]$ (1)
Лемма
Если функциональный ряд (1) сходится равномерно на $[a,b]$, то справедливо: $a_n=\frac{\int\limits_a^b f(x)\varphi_n(x) dx}{\int\limits_a^b \varphi_n^2(x) dx}$, $n \in \mathbb{N}$
Доказательство:
Так как $\varphi_n(x)$ непрерывна на $[a,b]$, то она ограничена(по теореме Вейерштрасса). При умножении ограниченной функции на равномерно сходящийся ряд, получим равномерно сходящийся ряд, поэтому
$$f(x)\varphi_n(x)= \sum\limits_{k=1}^{\infty} a_k\varphi_k(x)\varphi_n(x)$$
По теореме о почленном интегрировании равномерно сходящегося ряда, и так как $\varphi_k(x)$ ортогональны на $[a,b]$, получаем
$$\int\limits_a^b f(x)\varphi_n(x) dx = \int\limits_a^b(\sum\limits_{k=1}^{\infty} a_k\varphi_k(x))\varphi_n(x)dx =\sum\limits_{k=1}^{\infty}a_k\int\limits_a^b \varphi_k(x)\varphi_n(x) dx = $$
$$=a_n\int\limits_a^b \varphi_n^2(x) dx $$
Отсюда и следует формула для коэффициентов $a_n$, поскольку функция $\varphi_n(x)$ тождественно не равна нулю и непрерывна на $[a,b]$.
Числа $a_n$ называются коэффициентами Фурье, а ряд (1) —рядом функции $f(x)$ по ортогональной системе функций$ \{\varphi_k\}$
Ряд Фурье функции $f(x)$ по тригонометрической системе на отрезке $[-l,l]$будем записывать в виде
$$f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum\limits_{k=1}^{\infty}a_k\cos{\frac{k\pi x}{l}}+b_k\sin{\frac{k\pi x}{l}}$$
Коэффициенты $a_k$ и $b_k$ можно вычислить по формулам:
$$a_0 = \frac{1}{l}\int\limits_{-l}^l f(x) dx$$
$$a_n = \frac{1}{l}\int\limits_{-l}^l f(x)\cos{\frac{n\pi x}{l}} dx$$
$$b_n = \frac{1}{l}\int\limits_{-l}^l f(x)\sin{\frac{n\pi x}{l}} dx , n \in \mathbb{N}$$
В частности, при $l = \pi$
$$a_0 = \frac{1}{\pi}\int\limits_{-\pi}^{\pi} f(x) dx$$
$$a_n = \frac{1}{\pi}\int\limits_{-\pi}^{\pi} f(x)\cos{nx} dx$$
$$b_n = \frac{1}{\pi}\int\limits_{-\pi}^{\pi} f(x)\sin{nx} dx , n \in \mathbb{N}.$$
Литература