НОД двух многочленов

Для многочленов, также как и для множества целых чисел, можно определить наибольший общий делитель (НОД) и наименьшее общее кратное.

При определении понятия НОД, для начала необходимо ознакомиться с понятием общего делителя двух многочленов. Заранее для краткости и удобства договоримся, что в дальнейшем под понятиями общего делителя и наибольшего общего делителя мы будем подразумевать их аналоги на множестве $P\left[x\right].$

Определение 1 (общий делитель)

Пусть даны $f\left(x\right), g\left(x\right) \in P\left[x\right],$ причем $f\left(x\right), g\left(x\right) \neq 0.$ Тогда общим делителем этих многочленов будет являться многочлен $d\left(x\right) \in P\left[x\right]$ при условии, что $f\left(x\right) \vdots d\left(x\right)$ и $g\left(x\right) \vdots d\left(x\right).$

Замечание. Любая ненулевая константа является общим делителем для любых двух многочленов.

Пример 1. Пусть $f\left(x\right) = x^8-1,$ $g\left(x\right) = x^4-1.$ Для того, чтобы найти общие делители разложим эти многочлены по формуле разности квадратов: $$f\left(x\right) = x^8-1 = \left(x^4-1\right)\left(x^4 + 1\right) = \left(x^2-1\right)\left(x^2 + 1\right)\left(x^4 + 1\right) =\\= \left(x-1\right)\left(x + 1\right)\left(x^2 + 1\right)\left(x^4 + 1\right),$$ $$g\left(x\right) = x^4-1 = \left(x^2-1\right)\left(x^2 + 1\right) = \left(x-1\right)\left(x + 1\right)\left(x^2 + 1\right).$$Как мы видим, общими делителями являются $\left(x-1\right),$ $\left(x + 1\right)$ и $\left(x^2 + 1\right).$

Было бы некорректно применять такое определение НОД, по которому наибольшим общим делителем двух многочленов является их общий делитель наибольшей степени, т.к. оно является слишком обобщенным. Поэтому мы введём такое понятие:

Определение 2 (наибольший общий делитель)

Пусть даны $f\left(x\right), g\left(x\right) \in P\left[x\right],$ причем $f\left(x\right), g\left(x\right) \neq 0.$ Тогда многочлен $d\left(x\right) \in P\left[x\right]$ будет являться их наибольшим общим делителем, если сам будет являться их общим делителем, который делится на любые другие общие делители $f\left(x\right)$ и $g\left(x\right).$ Обозначение: $d\left(x\right) = \left(f\left(x\right), g\left(x\right)\right)$ — НОД для $f\left(x\right), g\left(x\right) \in P\left[x\right].$

Замечание. Пусть $f\left(x\right) = 0$ и $g\left(x\right) = 0.$ Тогда НОД$\left(f\left(x\right), g\left(x\right)\right) = 0.$

Лемма. НОД определен (если существует) с точностью до постоянного ненулевого множителя.

Пусть даны $f\left(x\right), g\left(x\right) \in P\left[x\right],$ для которых $d_1\left(x\right), d_2\left(x\right) \in P\left[x\right]$ — два НОД.

Тогда, по определению, $d_1\left(x\right) \vdots d_2\left(x\right)$ и $d_2\left(x\right) \vdots d_1\left(x\right).$ По свойству делимости $\left(f\left(x\right) \vdots g\left(x\right) \wedge g\left(x\right) \vdots f\left(x\right) \Leftrightarrow \exists c \in P^*: f\left(x\right) = c \cdot g\left(x\right)\right)$ $d_1\left(x\right) = c_1 \cdot d_2\left(x\right),$ $c_1 \in P^*,$ $c_1 = \text{const}.$

Пусть $\exists c_2 \in P^*,$ $c_2 = \text{const}.$ Тогда, если $d_2\left(x\right)$ — общий делитель для $f\left(x\right)$ и $g\left(x\right)$ (по определению), то и $c_2 \cdot d_2\left(x\right)$ — тоже общий делитель. Соответственно, если $d_2\left(x\right)$ — НОД, т.е. делится на любой другой общий делитель (по определению), то и $c_2 \cdot d_2\left(x\right)$ — тоже является НОД.

Пример 2. Возьмём те же $f\left(x\right)$ и $g\left(x\right),$ что и в примере 1: $f\left(x\right) = x^8-1,$ $g\left(x\right) = x^4-1.$ Чтобы найти НОД этих многочленов, разложим их так же, как и в предыдущем примере: $$f\left(x\right) = x^8-1 = \left(x^4-1\right)\left(x^4 + 1\right) = \left(x^2-1\right)\left(x^2 + 1\right)\left(x^4 + 1\right) =\\= \left(x-1\right)\left(x + 1\right)\left(x^2 + 1\right)\left(x^4 + 1\right),$$ $$g\left(x\right) = x^4-1 = \left(x^2-1\right)\left(x^2 + 1\right) = \left(x-1\right)\left(x + 1\right)\left(x^2 + 1\right).$$Очевидно, что наибольшим общим делителем будет являться $\left(x^4-1\right).$

Теперь разберем способ получения НОД двух многочленов. Находить его можно таким же способом, что и для двух целых чисел, — алгоритмом Евклида (или алгоритмом последовательного деления).

Замечание. С помощью этого алгоритма доказывается существование НОД двух многочленов.

Пример 3. Построим НОД для двух многочленов с помощью алгоритма Евклида. Пусть даны $f\left(x\right) = x^4+x^3-3x^2-4x-1$ и $g\left(x\right) = x^4+x^3-x-1.$

$x^4$ $+$ $x^3$ $-$ $3x^2$ $-$ $4x$ $-$ $1$  
$x^4$ $+$ $x^3$     $-$ $x$ $-$ $1$  
      $-$ $3x^2$ $-$ $3x$      
$x^4$ $+$ $x^3$ $-$ $x$ $-$ $1$
$1$            
  $x^4$ $+$ $x^3$ $-$ $x$ $-$ $1$  
  $x^4$ $+$ $x^3$          
        $-$ $x$ $-$ $1$  
$-$ $3x^2$ $-$ $3x$      
$-$ $\frac{1}{3}x^2$          
        $-$ $3x^2$ $-$ $3x$  
        $-$ $3x^2$ $-$ $3x$  
              $0$  
$-$ $x$ $-$ $1$      
$3x$            

Последний ненулевой остаток и будет являться НОД этих многочленов, т.е. НОД$\left(f\left(x\right), g\left(x\right)\right) = -x-1.$

Может возникнуть случай, когда НОД двух многочленов будет равен $1.$ При этом говорят, что многочлены являются взаимно простыми.

Пример 4. Пусть даны $f\left(x\right) = -x^3+x-1$ и $g\left(x\right) = x-2.$ Найдем их НОД. Для удобства умножим $f\left(x\right)$ на $-1,$ получим $f\left(x\right) = x^3-x+1.$

$x^3$ $+$ $0x^2$ $-$ $x$ $+$ $1$  
$x^3$ $+$ $2x^2$          
    $2x^2$ $-$ $x$ $+$ $1$  
    $2x^2$ $-$ $4x$      
        $3x$ $+$ $1$  
        $3x$ $-$ $6$  
            $7$  
$x$ $-$ $2$        
$x^2$ $+$ $2x$ $+$ $3$    

Таким образом, многочлен $q\left(x\right) = x^2+2x+3$ — частное деления многочленов, а $r\left(x\right) = 7$ — остаток. Дальнейшее деление можно не продолжать, т.к. и так понятно, что в следующем остатке мы получим $0,$ т.е. $7$ будет последним ненулевым остатком, после умножения которого на $\displaystyle\frac{1}{7},$ НОД$\left(f\left(x\right), g\left(x\right)\right) = 1.$ Следовательно, $f\left(x\right)$ и $g\left(x\right)$ — взаимно простые.

Также стоит упомянуть и линейное представление НОД:$$d\left(x\right) = f\left(x\right) \cdot u\left(x\right) + g\left(x\right) \cdot v\left(x\right),$$ где $f\left(x\right), g\left(x\right), u\left(x\right), v\left(x\right) \in P\left[x\right],$ а $d\left(x\right) = \left(f\left(x\right), g\left(x\right)\right).$

Примеры решения задач

  1. Определить наибольший общий делитель многочленов:
    1. $f\left(x\right) = x^2-9$ и $g\left(x\right) =x^3-27;$
    2. $f\left(x\right) = x^5+x^3+x$ и $g\left(x\right) = x^4+x^3+x;$
    Решение (пример a.)

    Для построения НОД воспользуемся алгоритмом Евклида. Так как степень многочлена $g\left(x\right)$ больше степени многочлена $f\left(x\right),$ то мы будем делить $g\left(x\right)$ на $f\left(x\right).$

      $x^3$ $+$ $0x^2$ $+$ $0x$ $-$ $27$  
      $x^3$     $-$ $9x$      
              $9x$ $-$ $27$  
    $x^2$ $-$ $9$        
    $x$            

    После первого деления мы получили остаток $r_1\left(x\right) = 9x-27.$ Для удобства мы можем умножить его на $\displaystyle\frac{1}{9}.$ Получим $r_1\left(x\right) = x-3.$

    Продолжаем наше деление, только в этот раз мы делим многочлен $g\left(x\right)$ на остаток $r_1\left(x\right).$

          $x^2$ $+$ $0x$ $-$ $9$  
          $x^2$ $-$ $3x$      
              $3x$ $-$ $9$  
              $3x$ $-$ $9$  
                  $0$  
    $x$ $-$ $3$        
    $x$ $+$ $3$        

    Теперь в остатке мы получили $0$ — значит деление закончено. Последний ненулевой остаток и будет являться НОД многочленов $f\left(x\right)$ и $g\left(x\right).$ В нашем случае это $x+3.$

    Ответ: НОД$\left(f\left(x\right), g\left(x\right)\right) = x+3.$

    [свернуть]

    Решение (пример b.)

    Также как и в прошлом примере, воспользуемся алгоритмом последовательного деления.

    $x^5$ $+$ $0x^4$ $+$ $x^3$ $+$ $0x^2$ $+$ $x$  
    $x^5$ $+$ $x^4$     $+$ $x^2$      
      $-$ $x^4$ $+$ $x^3$ $-$ $x^2$ $+$ $x$  
      $-$ $x^4$ $-$ $x^3$     $-$ $x$  
            $2x^3$ $-$ $x^2$ $+$ $2x$  
    $x^4$ $+$ $x^3$ $+$ $x$    
    $x$ $-$ $1$        

    В результате первого деления мы получили остаток $r_1\left(x\right) = x-1.$ Продолжаем деление.

      $x^4$ $+$ $x^3$ $+$ $0x^2$ $+$ $x$  
      $x^4$ $-$ $\frac{1}{2}x^3$ $+$ $x^2$      
          $\frac{3}{2}x^3$ $-$ $x^2$ $+$ $x$  
          $\frac{3}{2}x^3$ $-$ $\frac{3}{4}x^2$ $+$ $\frac{3}{2}x$  
            $-$ $\frac{1}{4}x^2$ $-$ $\frac{1}{2}x$  
    $2x^3$ $-$ $x^2$ $+$ $2x$    
    $\frac{1}{2}x$ $+$ $\frac{3}{4}$        

    Для удобства умножим остаток $r_2\left(x\right) = -\frac{1}{4}x^2-\frac{1}{2}x$ на $-4$ и получим $r_2\left(x\right) = x^2+2x.$ Продолжаем деление.

          $2x^3$ $-$ $x^2$ $+$ $2x$  
          $2x^3$ $+$ $4x^2$      
            $-$ $5x^2$ $+$ $2x$  
            $-$ $5x^2$ $-$ $10x$  
                  $12x$  
    $x^2$ $+$ $2x$        
    $2x$ $-$ $5$        

    Третий остаток умножим на $\displaystyle\frac{1}{12}$ и получим $r_3\left(x\right) = x.$ Поделим в последний раз.

              $x^2$ $+$ $2x$  
              $x^2$      
                  $2x$  
                  $2x$  
                  $0$  
    $x$            
    $x$ $+$ $2$        

    Как мы видим, последний ненулевой остаток равен $x$ — это и будет нашим НОД.

    Ответ: НОД$\left(f\left(x\right), g\left(x\right)\right) = x.$

    [свернуть]
  2. Пользуясь алгоритмом Евклида, убедиться в том, что многочлены $f\left(x\right)$ и $g\left(x\right)$ взаимно простые, и подобрать $u\left(x\right)$ и $v\left(x\right)$ так, чтобы $f\left(x\right) \cdot u\left(x\right) + g\left(x\right) \cdot v\left(x\right) = 1:$ $$f\left(x\right) = 3x^3-2x^2+x+2,\\ g\left(x\right) =x^2-x+1.$$
    Решение

    Как и сказано в условии задачи, воспользуемся алгоритмом Евклида, чтобы проверить равен ли НОД наших многочленов $1.$ В отличии от прошлого задания, здесь надо запоминать все частные и остатки.

      $3x^3$ $-$ $2x^2$ $+$ $x$ $+$ $2$  
      $3x^3$ $-$ $3x^2$ $+$ $3x$      
          $x^2$ $-$ $2x$ $+$ $2$  
          $x^2$ $-$ $x$ $+$ $1$  
            $-$ $x$ $+$ $1$  
    $x^2$ $-$ $x$ $+$ $1$    
    $3x$ $+$ $1$   $=$ $q_1\left(x\right)$  

    Получили остаток $r_1\left(x\right) = -x+1.$ Продолжаем деление.

          $x^2$ $-$ $x$ $+$ $1$  
          $x^2$ $-$ $x$      
                  $1$  
    $-$ $x$ $+$ $1$      
    $-$ $x$     $=$ $q_2\left(x\right)$  

    $r_2\left(x\right) = 1,$ следовательно НОД$\left(f\left(x\right), g\left(x\right)\right) = 1,$ значит, наши многочлены взаимно простые и можно продолжать решать. Запишем многочлены в таком виде:$$\begin{cases} f\left(x\right) = g\left(x\right) \cdot q_1\left(x\right) + r_1\left(x\right); \\ g\left(x\right) = r_1\left(x\right) \cdot q_2\left(x\right) + r_2\left(x\right). \end{cases}$$ Выразим $r_1\left(x\right)$ из первого равенства и подставим во второе:$$\begin{cases} r_1\left(x\right) = f\left(x\right)-g\left(x\right) \cdot q_1\left(x\right); \\ g\left(x\right) = \left(f\left(x\right)-g\left(x\right) \cdot q_1\left(x\right)\right) \cdot q_2\left(x\right) + r_2\left(x\right). \end{cases}$$ Помня про то, что $r_2\left(x\right) = d\left(x\right),$ продолжаем наши преобразования:$$f\left(x\right) \cdot \left(-q_2\left(x\right)\right) + g\left(x\right) \cdot \left(1 + q_1\left(x\right) \cdot q_2\left(x\right)\right) = d\left(x\right).$$ Подставляем значения:$$f\left(x\right) \cdot \left(x\right) + g\left(x\right) \cdot \left(-3x^2-x+1\right) = d\left(x\right).$$

    Если сравнить данное равенство с формулой линейного представления НОД, мы увидим, что получили $u\left(x\right) = x$ и $v\left(x\right) = -3x^2-x+1.$

    Ответ: $u\left(x\right) = x,$ $v\left(x\right) = -3x^2-x+1.$

    [свернуть]
  3. Пользуясь алгоритмом Евклида, найти многочлены $u\left(x\right)$ и $v\left(x\right)$ такие, чтобы они удовлетворяли равенству $f\left(x\right) \cdot u\left(x\right) + g\left(x\right) \cdot v\left(x\right) = d\left(x\right),$ где $d\left(x\right)$ — НОД многочленов $f\left(x\right)$ и $g\left(x\right):$ $$f\left(x\right) = x^4+2x^3-x^2-4x-2,\\ g\left(x\right) = x^4+x^3-x^2-2x-2.$$

    Решение

    Для начала необходимо построить НОД. Для этого используем алгоритм Евклида.

    $x^4$ $+$ $2x^3$ $-$ $x^2$ $-$ $4x$ $-$ $2$  
    $x^4$ $+$ $x^3$ $-$ $x^2$ $-$ $2x$ $-$ $2$  
        $x^3$     $-$ $2x$      
    $x^4$ $+$ $x^3$ $-$ $x^2$ $-$ $2x$ $-$ $2$
    $1$       $=$ $q_1\left(x\right)$      

    Получили остаток $r_1\left(x\right) = x^3-2x.$ Делим дальше.

    $x^4$ $+$ $x^3$ $-$ $x^2$ $-$ $2x$ $-$ $2$  
    $x^4$     $-$ $2x^2$          
        $x^3$ $+$ $x^2$ $-$ $2x$ $-$ $2$  
        $x^3$     $-$ $2x$      
            $x^2$     $-$ $2$  
    $x^3$ $-$ $2x$          
    $x$ $+$ $1$     $=$ $q_2\left(x\right)$  

    Второй остаток $r_2\left(x\right) = x^2-2.$ Выполняем последнее деление.

              $x^3$ $-$ $2x$  
              $x^3$ $-$ $2x$  
                  $0$  
    $x^2$ $-$ $2$        
    $x$       $=$ $q_3\left(x\right)$  

    $r_3\left(x\right) = 0,$ следовательно НОД$\left(f\left(x\right), g\left(x\right)\right) = x^2-2.$ Дальнейшие наши действия ведутся по тому же принципу, что и в прошлой задаче, поэтому запишем многочлены в таком виде:$$\begin{cases} f\left(x\right) = g\left(x\right) \cdot q_1\left(x\right) + r_1\left(x\right); \\ g\left(x\right) = r_1\left(x\right) \cdot q_2\left(x\right) + r_2\left(x\right). \end{cases}$$ Выразим $r_1\left(x\right)$ и подставим его во второе равенство:$$\begin{cases} r_1\left(x\right) = f\left(x\right)-g\left(x\right) \cdot q_1\left(x\right); \\ g\left(x\right) = \left(f\left(x\right)-g\left(x\right) \cdot q_1\left(x\right)\right) \cdot q_2\left(x\right) + r_2\left(x\right). \end{cases}$$ Помним, что $r_2\left(x\right) = d\left(x\right),$ поэтому делаем замену:$$f\left(x\right) \cdot \left(-q_2\left(x\right)\right) + g\left(x\right) \cdot \left(1 + q_1\left(x\right) \cdot q_2\left(x\right)\right) = d\left(x\right).$$ Подставляем значения:$$f\left(x\right) \cdot \left(-x-1\right) + g\left(x\right) \cdot \left(x+2\right) = d\left(x\right).$$

    Итак, мы получили $u\left(x\right) = -x-1$ и $v\left(x\right) = x+2.$ На этом можно и закончить, но иногда стоит перепроверить правильность своих вычислений. Для проверки нам необходимо вместо $f\left(x\right)$ и $g\left(x\right)$подставить их значения, а после раскрыть скобки. Если в итоге мы получим многочлен равный построенному НОД, то $u\left(x\right)$ и $v\left(x\right)$ подобраны верно. В нашем случае все сходится, а значит мы можем записывать их в ответ.

    Ответ: $u\left(x\right) = -x-1,$ $v\left(x\right) = x+2.$

    [свернуть]

Тест на проверку знаний по теме «НОД двух многочленов»

  1. Фадеев Д. К. Лекции по алгебре: Учебное пособие для вузов. — М., Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1984. — 416 с., стр. 168-170
  2. Курош А. Г. Курс высшей алгебры — И., Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1968. — 431 с., стр. 137-141
  3. Личный конспект, составленный на основе лекций Белозерова Г.С.

М1818. Доказать неравенство с тремя параметрами

Задача из журнала «Квант» (2002 год, 3 выпуск)

Условие

Докажите неравенство $$\sqrt{\cfrac{a}{b+c}}+\sqrt{\cfrac{b}{c+a}}+\sqrt{\cfrac{c}{a+b}}>2,$$где $a>0, b>0, c>0$.

С.Нестеров

Решение

Рассмотрим функцию $$f(x,y,z)=\sqrt{\cfrac{x}{y+z}}+\sqrt{\cfrac{y}{z+x}}+\sqrt{\cfrac{z}{x+y}},$$ где $x>0, y>0, z>0$. Считая, без ограничения общности, $x\leqslant y \leqslant z$, докажем вначале неравенство $$f(x,y,z)\leqslant f(x,\cfrac{y+z}{2}, \cfrac{y+z}{2}). \tag{1}$$ Обозначив $\cfrac{z+y}{2}=\alpha, \cfrac{z-y}{2}=t$, перепишем $(1)$ в виде $$\phi (t)\geqslant \phi (0),\tag{2}$$ где $$\phi (t)=\sqrt{\cfrac{\alpha + t}{\alpha + x — t}}+\sqrt{\cfrac{\alpha — t}{\alpha + x + t}}.$$

Здесь $0\leqslant t \leqslant \alpha, \alpha \geqslant x$.

Докажем $(2)$. Имеем $$\phi^{\prime}(t)=(x+2a)\left (\cfrac{1}{(\alpha + t)^{\frac{1}{2} }(x+\alpha-t)^{\frac{3}{2}}} — \cfrac{1}{(\alpha — t)^{\frac{1}{2}}(x+\alpha +t)^{\frac{3}{2}}}\right ).$$ Очевидно, знак $\phi^{\prime}(t)$ совпадает со знаком функции $$\psi (t)=(\alpha — t)(x + \alpha + t)^{3}-(\alpha + t)(x+\alpha -t)^{3},$$ и любой нуль функции $\phi^{\prime} (t)$ также является нулем функции $\psi (t)$. Исследуем $\psi (t)$. Имеем: $\psi (t)$ — отличный от константы нечетный многочлен, степень которого не выше $3$. Следовательно, $\psi (t)$ имеет на положительной полуоси не более одного корня.

Получили: $\phi (t)$ может иметь внутри отрезка $[0,\alpha]$ не более одного экстремума. Но и этот экстремум не может быть минимумом, поскольку $\psi (\alpha)<0$.

Итак, $\phi (t) \geqslant min\{ \phi (0), \phi(\alpha)\} $. Но, поскольку $\alpha \geqslant x$, имеем $$\phi(0)=2\sqrt{\cfrac{\alpha}{\alpha + x}}\leqslant \sqrt{\cfrac{2\alpha}{x}}=\phi (\alpha).$$ Неравенство $(1)$ доказано.

(Выше мы ограничились необходимой нам информацией о производной; легко получить и полную информацию о ней. Именно, $\psi (t)$ — многочлен третьей степени; $\psi (t) = 0$, при $t = 0$ и при $$t^{2}=\cfrac{(x+\alpha)^{2}(2\alpha — x)}{3x+2\alpha}.$$ При этом $t^{2}<\alpha^{2}$ при $x>0, \alpha>0$. Значит исследуемая функция при любом $x, x < 0 < \alpha$, имеет экстремум на интервале $(0;\alpha)$.)

Вследствие $(1)$ для решения задачи достаточно доказать, что $$f_{1}(x)=\sqrt{\cfrac{x}{2\alpha}}+2\sqrt{\cfrac{\alpha}{x+\alpha}}> 2 \tag{3}$$ при $0<x\leqslant \alpha$.

Исследуем $f_{1}(x)$ на отрезке $[0;\alpha]$. Во внутренних точках этого отрезка знак $f^{\prime}_1(x)$ совпадает со знаком многочлена $P(x)=(x+\alpha)^{3}-8\alpha^{2}x$. Кроме того, любой нуль функции $f^{\prime}_{1}(x)$ является также нулем многочлена $P(x)$. Заметим что $P(\alpha)=0;$ помимо этого, $P(x)$ имеет корень на отрицательной полуоси. Следовательно, если $P(x_0)=0$ при $0<x_0<\alpha$, то при переходе через $x_0$ многочлен $P(x)$ меняет знак с $«+»$ на $«-»$. Поэтому $x_0$ — точка максимума функции $f_1(x)$.

Получили: $$f_{1}(x)>min\{f_{1}(0),f_{1}(\alpha)\}$$ при $0<x<\alpha$. Но $$f_{1}(\alpha)=\cfrac{3}{\sqrt{2}}>2=f_{1}(0).$$ Неравенство $(3)$ доказано.

(Легко видеть, что $P(x)=0$ при $x=\alpha$ и при $x=\alpha(-2\pm \sqrt{5})$. Значит исследуемая функция имеет экстремум на интервале $(0;\alpha)$.)

А.Ковальджи, С.Нестеров, В.Сендеров

M1383. О сумме чисел с разными степенями

Задача из журнала «Квант» (1993 год, 11/12 выпуск)

Условие

Пусть сумма $n$ чисел равна $0$, причем $m$ — наименьшее из них, а $M$ — наибольшее. Докажите, что

  1. сумма квадратов этих чисел не превосходит $-mMn$;
  2. сумма четвертых степеней этих чисел не превосходит $-mMn(m^2 + M^2 +mM)$.

Решение

Пусть $x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}$ — числа задачи: $$ m \leqslant x_{i} \leqslant M, x_{1}+x_{2}+ \ldots +x_{n} = 0$$

Обозначим сумму их квадратов через $D$, а сумму четвертых степеней — через $F.$

  1. Первое решение. Для каждого числа $x_{i}$ задачи имеем $$(x_{i} — m)(x_{i} — M)\leqslant 0,$$ или $$x_{i}^{2} \leqslant(m+M) x_{i}-m M. \tag{*}$$

    Сложив $n$ этих неравенств, получаем $$D \leqslant -nmM.$$

    Второе решение. При $m = M$ утверждение очевидно. Пусть $m<M$. Расположим в точках $(x_{i},x_{i}^{2})$, где $x_{i}$ — числа задачи, единичные массы. Проведем через точки $(m, m^2)$ и $(M, M^2)$ прямую. Ее уравнение —

    $$\frac{x-m}{M-m}=\frac{y-m^{2}}{M^{2}-m^{2}}.$$

    Поскольку все массы расположены под прямой, этим же свойством обладает и центр масс $(0, D/n).$ Поэтому $$-m(m+M)+m^{2} \geqslant \frac{D}{n},$$ что и требовалось доказать.

  2. Первое решение. Как и во втором решении пункта а) будем считать $m<M$. Попытаемся найти многочлен $x^4 + ax + b$, имеющий корнями числа $m$ и $M$. Заметим сразу, что многочлен такого вида имеет не более двух корней. Действительно, между любыми последовательными корнями многочлена найдется корень его произведения. Следовательно, если многочлен имеет хотя бы три корня, то его производная $4 x^{3} + a$ имеет не менее двух корней. Но уравнение $4 x^{3} = -a$ имеет единственный корень. Тогда из системы $$\left\{\begin{array}{l}m^{4}+a m+b=0 \\M^{4}+a M+b=0 \end{array}\right.$$ получаем $$a=-\left(m^{2}+M^{2}\right)(m+M),$$ $$b=m M\left(m^{2}+M^{2}+m M\right).$$

    С другой стороны, при этих значениях $a$ и $b$ равенства системы выполняются. Окончание решения аналогично первому решению пункта а).

    Второе решение. Рассуждая так же, как при втором решении пункта а), получаем уравнение прямой $$\frac{x-m}{M-m}=\frac{y-m^{4}}{M^{4}-m^{4}},$$ после чего без труда приходим к неравенству $$-m\left(M^{2}+m^{2}\right)(M+m)+m^{4} \geqslant \frac{F}{n},$$ что и требовалось доказать.

    Третье решение. Для каждого числа $x_{i}$ задачи из (*) следует $$\begin{aligned}
    x_{i}^{4} & \leqslant\left((m+M) x_{i}-m M\right)^{2}=\\
    &=(m+M)^{2} x_{i}^{2}-2(m+M) m M x_{i}+m^{2} M^{2}.
    \end{aligned}$$

    Сложив $n$ этих неравенств и воспользовавшись утверждением пункта а), получаем $$F \leqslant-n m M(m+M)^{2}+n m^{2} M^{2},$$ что и требовалось доказать.

  3. Замечание. Неравенство (*), а следовательно, и неравенства задачи превратятся в равенства, если $k$ из чисел $x_{i}$ равны $m$, а $n-k$ остальных равны $M$ (при этом $k m+(n-k) M=0$).

Н.Васильев, В.Сендеров, Л.Туцеску

6.3 Интегрирование рациональных функций.

Рациональной функцией (или дробью) называется функция вида
$$f(x) = \displaystyle\frac{P(x)}{Q(x)},$$
где $P(x)$ и $Q(x)$ – многочлены. Если степень числителя меньше степени знаменателя, то рациональная дробь называется правильной. Ясно, что каждая рациональная дробь может быть представлена в виде
$$\displaystyle\frac{P(x)}{Q(x)} = R(x) + \displaystyle\frac{P_{1}(x)}{Q(x)},$$
где $R(x)$ – многочлен, а дробь $\displaystyle\frac{P_{1}(x)}{Q(x)}$ – правильная. Поскольку интегралы от многочленов вычисляются совсем просто, то мы будем рассматривать методы интегрирования правильных дробей.

Будем различать следующие четыре вида дробей:

  • $\displaystyle\frac{A}{x-a}$, где $A$, $a$ — постоянные.
  • $\displaystyle\frac{A}{(x-a)^k}$, где $A$, $a$ — постоянные, $k = 2,3 \ldots$
  • $\displaystyle\frac{Mx + N}{x^2 + px + q}$, где $M$, $N$, $p$, $q$ – постоянные, квадратный трехчлен в знаменателе не имеет действительных корней.
  • $\displaystyle\frac{Mx + N}{(x^2 + px + q)^k}$, где $M$, $N$, $p$, $q$ – постоянные, квадратный трехчлен в знаменателе не имеет действительных корней.

Покажем как вычисляются интегралы от каждой из этих дробей.

  • $\int \displaystyle\frac{a}{x-a}dx = A\ln\left | x — a \right | + C$.
  • $\int \displaystyle\frac{a}{(x-a)^k}dx = -\frac{A}{k-1}\cdot \displaystyle\frac{1}{(x-a)^{k-1}} + C$.
  • $\int \displaystyle\frac{Mx + N}{x^2 + px + q}dx$. Для вычисления этого интеграла представим подынтегральное выражение в виде
    $$\displaystyle\frac{Mx + N}{x^2 + px + q} = \displaystyle\frac{\frac{M}{2}(2x+p) + N — p\frac{M}{2}}{x^2 + px + q} = \displaystyle\frac{M}{2} \cdot \displaystyle\frac{2x+p}{x^2 + px + q} + \displaystyle\frac{N-p\displaystyle\frac{M}{2}}{x^2 + px + q}.$$
    Для вычисления интеграла от первого слагаемого справа, очевидно, достаточно выполнить замену $t = x^2 + px + q$. Тогда получим
    $$\int \displaystyle\frac{2x + p}{x^2 + px + q} = \ln(x^2 + px + q) + C.$$
    Для вычисления интеграла от второго слагаемого справа выделим полный квадрат в знаменателе, т.е. представим знаменатель в виде $x^2 + px + q = (x+\displaystyle\frac{p}{2})^2 + q — \displaystyle\frac{p^2}{4}$. Поскольку квадратный трехчлен в знаменателе не имеет действительных корней, то его дискриминант $\displaystyle\frac{p^2}{4} — q < 0$. Обозначим $a^2 = q — \displaystyle\frac{p^2}{4}$. Выполняя замену $x + \displaystyle\frac{p}{2} = t$, получим
    $$\int \displaystyle\frac{1}{x^2 + px + q}dx = \int \displaystyle\frac{1}{(x+\displaystyle\frac{p}{2})^2 + a^2}dx = \int \displaystyle\frac{dt}{t^2 + a^2} = \frac{1}{a^2} \int \displaystyle\frac{dt}{\displaystyle\frac{t^2}{a^2} + 1} =\\= \displaystyle\frac{1}{a} \int \displaystyle\frac{d(\displaystyle\frac{t}{a})}{(\displaystyle\frac{t}{a})^2 + 1} = \displaystyle\frac{1}{a} \text{arctg}\: \displaystyle\frac{t}{a} + C .$$
    Возвращаясь теперь к старой переменной, получим исходный интеграл.
  • $\displaystyle\frac{Mx + N}{(x^2 + px + q)^k}$. Для вычисления этого интеграла, как и в предыдущем случае, представим подынтегральное выражение в виде
    $$\displaystyle\frac{Mx + N}{(x^2 + px + q)^k} = \displaystyle\frac{\frac{M}{2}(2x + p) + N — p\displaystyle\frac{M}{2}}{(x^2 + px + q)^k} =\\=\displaystyle\frac{M}{2} \cdot \displaystyle\frac{2x+p}{(x^2 + px + q)^k} + \displaystyle\frac{N-p\frac{m}{2}}{(x^2 + px + q)^k}.$$
    Для вычисления интеграла от первого слагаемого справа, очевидно, достаточно выполнить замену $t = x^2 + px + q.$ Тогда получим
    $$\int \displaystyle\frac{2x + p}{(x^2 + px + q)^k}dx = \displaystyle\frac{1}{-k+1}(x^2+px+q)^{-k+1} +C.$$
    Для вычисления интеграла от второго слагаемого, как и в предыдущем случае, выделим полный квадрат из квадратного трехчлена в знаменателе. Тогда после замены переменной $t = x+\displaystyle\frac{p}{2}$ он сведется к интегралу вида $\int \displaystyle\frac{dt}{(t^2+a^2)^k}$. Обозначим этот интеграл через $I_{k}$ и выведем рекуррентную формулу для вычисления этого интеграла. Будем применять формулу интегрирования по частям. Имеем
    $$ I_{k} = \int \displaystyle\frac{dt}{(t^2 + a^2)^k} = \begin{bmatrix}u = \displaystyle\frac{1}{(t^2+a^2)^k}, & dv = dt \\ du = -\displaystyle\frac{2kt}{(t^2+a^2)^{k+1}}, & v = t \end{bmatrix} =\\=\displaystyle\frac{t}{(t^2 + a^2)^k} + 2k\int \displaystyle\frac{t^2}{(t^2 + a^2)^{k+1}}dt = \displaystyle\frac{t}{(t^2 + a^2)^k}+2k\int\displaystyle\frac{t^2 + a^2 — a^2}{(t^2 + a^2)^{k+1}}dt =\\= \displaystyle\frac{t}{(t^2 + a^2)^k} + 2k\int \displaystyle\frac{dt}{(t^2 + a^2)^k} — 2ka^2 \int \displaystyle\frac{dt}{(t^2 + a^2)^{k+1}} =\\= \displaystyle\frac{t}{(t^2 + a^2)^k} + 2kI_{k} — 2ka^2I_{k+1}.$$
    Отсюда находим
    $$I_{k+1} = \displaystyle\frac{1}{2ka^2}\begin{bmatrix} \displaystyle\frac{t}{(t^2 + a^2)^k} +(2k-1)I_k \end{bmatrix} (k = 1,2,\ldots).$$
    При этом, как мы уже вычислили ранее,
    $$I_{1} = \int \displaystyle\frac{dt}{t^2 + a^2} = \displaystyle\frac{1}{a} \text{arctg}\:\displaystyle\frac{t}{a} + C.$$
    Итак, и в этом случае мы получили правило вычисления интеграла от дроби четвертого вида.

Из основной теоремы алгебры следует, что каждый многочлен с действительными коэффициентами может быть представлен в виде произведения конечного числа линейных сомножителей вида $x — a$ и квадратичных сомножителей вида $x^2 + px + q$, где $\displaystyle\frac{p^2}{4} — q < 0$. Именно, справедливо равенство
$$Q(x) = A(x-a_1)^{k_1}\ldots(x-a_r)^{k_r}(x^2+p_1x+q_1)^{m_1}\ldots(x^2+p_sx+q_s)^{m_s}, (1)$$
где $k_i$ и $m_i$ – целые неотрицательные числа.
С использованием этого представления можно показать, что справедлива следующая

Теорема. Пусть $\displaystyle\frac{P(x)}{Q(x)}$ – правильная дробь, знаменатель которой допускает разложение (1). Тогда эта дробь единственным образом может быть представлена в виде суммы простых дробей, т.е.
$$\displaystyle\frac{P(x)}{Q(x)} = \sum_{i=1}^{r}\sum_{j=1}^{k_i}\displaystyle\frac{A_{ij}}{(x-a_i)^j} + \sum_{i=1}^{r}\sum_{j=1}^{m_i}\displaystyle\frac{M_{ij}x + N_{ij}}{(x^2 + P_ix+q_i)^j}.$$

Выше уже показано, что интеграл от каждой простой дроби выражается через элементарные функции. Таким образом, справедлива

Теорема. Каждая рациональная дробь имеет первообразную, которая выражается через элементарные функции, а именно, с помощью рациональных функций, логарифмической функции и арктангенса.

Метод Остроградского. Этот метод интегрирования рациональных дробей предназначен для выделения рациональной части из интеграла от рациональной функции. Именно, используя представление (1), интеграл от правильной дроби представляется в виде
$$\int \displaystyle\frac{P(x)}{Q(x)} =\\=\int \displaystyle\frac{P(x)}{A(x-a_1)^{k_1}\ldots(x-a_r)^{k_r}(x^2+p_1x +q_1)^{m_1}\ldots(x^2+p_sx+q_s)^{m_s}}dx =\\=\int \displaystyle\frac{R_{k_1 + \ldots + k_r + 2(m_1 + \ldots + m_s) — r — 2s — 1}(x)dx}{A(x-a_1)^{k_1-1}\ldots(x-a_r)^{k_r-1}(x^2+p_1x +q_1)^{m_1-1}\ldots(x^2+p_sx+q_s)^{m_s-1}} +\\+ \int \displaystyle\frac{S_{r+2r-1}(x)}{A(x-a_1)…(x-a_r)(x^2+p_1x +q_1)^{m_1-1}\ldots(x^2+p_sx+q_s)}dx,$$
где многочлены $R_{k_1+\ldots+k_r+2(m_1 + \ldots + m_s)-r-2s-1}(x)$ и $S_{r+2s-1}(x)$ степени $k_1+\ldots+k_r+2(m_1+\ldots+m_s)-r-2s-1$ и $r+2s-1$ соответственно имеют неопределенные коэффициенты. Эти коэффициенты находятся затем из условия равенства производных левой и правой частей записанного равенства. Таким образом, вычисление интеграла от правильной дроби сводится к вычислению интеграла от другой правильной дроби, у которой в знаменателе все множители в первой степени. Такой интеграл вычисляется, как указано выше, путем разложения подынтегрального выражения
на простые дроби. Тем самым отпадает необходимость в использовании полученной выше рекуррентной формулы для вычисления интегралов от простой дроби четвертого типа.

Примеры решения задач

  1. Найти неопределенный интеграл $I = \int \displaystyle\frac{2x^2 — 3x + 3}{x^3 — 2x^2 + x}dx$.
    Решение

    Разложим знаменатель на множители: $x^3 -2x^2 + x = x(x-1)^2$. Тогда подынтегральная функция представима в виде

    $$\displaystyle\frac{2x^2-3x+3}{x(x-1)^2} = \displaystyle\frac{A}{x} + \displaystyle\frac{B}{x-1} + \displaystyle\frac{C}{(x-1)^2},$$
    где $A$, $B$, $C $ – постоянные коэффициенты. Для их нахождения приведем выражение справа к общему знаменателю и, приравнивая числители полученных дробей, найдем

    $$2x^2-3x+3=A(x-1)^2 + Bx(x-1)+Cx.$$

    Поскольку это тождество имеет место при всех $x$, кроме $x=0,x=1,$ то коэффициенты этих многочленов при одинаковых степенях $x$ равны. Приравнивая их, получаем линейную систему уравнений

    $$\left.\begin{matrix}x^2 : & A+B=2\\ x : & -2A-B+C=-3\\ x^0 : & A=3\end{matrix}\right\}$$

    Решая эту систему, находим $A = 3$, $B = −1$, $C = 2.$ Подставляя эти значения в разложение подынтегральной функции и вычисляя соответствующие интегралы, получаем
    $$I=3\ln\left | x \right | — \ln \left | x-1 \right | — \displaystyle\frac{2}{x-1} + C = \ln \displaystyle\frac{\left | x \right |^3}{\left | x-1 \right |} — \displaystyle\frac{2}{x-1} +C.$$

  2. Найти неопределенный интеграл $I = \int \displaystyle\frac{x dx}{x^3 + 1}dx$.
    Решение

    Как и в предыдущем примере, разложим на множители знаменатель:

    $$x^3 + 1 = (x+1)(x^2-x+1).$$
    Раскладываем подынтегральное выражение с неопределнными коэффициентами
    $$\displaystyle\frac{x}{x^3 + 1} = \displaystyle\frac{A}{x+1} + \displaystyle\frac{Mx+N}{x^2-x+1},$$
    откуда $x = A(x^2−x+1)+(Mx+N)(x+1)$. Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях $x$, составляем линейную систему для нахождения чисел $A$, $M$, $N$:
    $$\left.\begin{matrix}x^2 : & 0+A+M,\\ x : & 1=-A+M+N,\\ x^0 : & 0=A+N.\end{matrix}\right\}$$
    Решая эту систему, находим $A = −\displaystyle\frac{1}{3}, M = N =\displaystyle\frac{1}{3}$. Поэтому
    $$I=-\displaystyle\frac{1}{3}\ln\left | x+1 \right | + \displaystyle\frac{1}{3}\int \displaystyle\frac{x+1}{x^2-x+1}dx=\\=-\displaystyle\frac{1}{3}\ln\left | x+1 \right | + \displaystyle\frac{1}{6}\int \displaystyle\frac{2x-1}{x^2-x+1}dx + \displaystyle\frac{1}{2}\int \displaystyle\frac{dx}{x^2-x+1}=\\=-\displaystyle\frac{1}{3}\ln\left | x+1 \right | + \displaystyle\frac{1}{6}\ln(x^2-x+1) + \displaystyle\frac{1}{2} \int \displaystyle\frac{dx}{(x — \displaystyle\frac{1}{2})^2 + \displaystyle\frac{3}{4}} =\\=-\displaystyle\frac{1}{3}\ln\left | x+1 \right | + \displaystyle\frac{1}{6}\ln(x^2-x+1) + \displaystyle\frac{1}{\sqrt{3}}\text{arctg}\:\displaystyle\frac{2}{\sqrt{3}}(x-\displaystyle\frac{1}{2}) + C.$$

  3. Найти неопределенный интеграл $\int \displaystyle\frac{(x^2 — 19x + 6)}{(x-1)(x^2 + 5x + 6)}dx$
    Решение

    Разложим знаменатель на множители: $(x-1)(x^2+5x+6) = (x-1)(x-2)(x-3).$ Тогда подынтегральная функция представима в виде:
    $$\displaystyle\frac{x^2-19x+6}{(x-1)(x^2+5x+6)} = \displaystyle\frac{A}{x-1} + \displaystyle\frac{B}{x+2} + \displaystyle\frac{C}{x+3}$$
    Для нахождения $A, B$ и $C$ приведем выражение справа к общему знаменателю и, приравнивая числители полученных дробей, найдем
    $$A(x^2 + 5x + 6) + B(x^2 + 2x — 3) + c(x^2 + x — 2) = x^2 -19x+6$$
    Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях $x$, составляем систему линейных уравнений для нахождения чисел $A, B, C$
    $$\left.\begin{matrix} x^2 : & 1=A+B+C \\ x : & -19 = 5A+2B+C \\ x^0 : & 6=6A-3B-2C \end{matrix}\right\}$$
    Решаем систему, получаем значения $A = -1; B = -16; C=18$. Возвращаемся к изначальному интегралу и находим окончательное решение
    $$\int (-\displaystyle\frac{1}{x-1}-\displaystyle\frac{16}{x+2}+\displaystyle\frac{18}{x+3})dx = -\ln\left | x-1 \right | — 16\ln\left | x+2 \right |+18\ln\left | x+3 \right | + C.$$

  4. Найти неопределенный интеграл $\int \displaystyle\frac{x^2-6x+8}{x^3+8}dx$
    Решение

    По формуле суммы кубов раскладываем знаменатель на множители, используя формулу сокращенного умножения $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2)$
    $$\int \displaystyle\frac{x^2-6x+8}{x^3+8}dx = \int \displaystyle\frac{x^2-6x+8}{(x+2)(x^2-2x+4)}dx.$$
    Методом неопределенных коэффициентов разложим подынтегральную функцию в сумму элементарных дробей
    $$\displaystyle\frac{A}{x+2} +\displaystyle\frac{Bx+C}{x^2-2x+4} = \displaystyle\frac{x^2-6x+8}{(x+2)(x^2-2x+4)}.$$
    Приводим дробь к общему знаменателю
    $$A(x^2 — 2x + 4) + B(x^2 + 2x) + C(x+2) = x^2-6x+8$$
    Составим и решим систему
    $$\left.\begin{matrix}x^2 : & A+B=1\\ x : & -2A+2B+C=-6\\ x^0 : & 4A+2C=8\end{matrix}\right\}$$
    Подставим значения $A = 2$, $B = -1$, $C = 0$ в функцию и найдем интеграл
    $$\int (\displaystyle\frac{2}{x+2} — \displaystyle\frac{x}{x^2-2x+4})dx = 2\int \displaystyle\frac{dx}{x+2} + \int \displaystyle\frac{-\displaystyle\frac{1}{2}d(x^2-2x+4) — dx}{x^2 -2x +4} =\\= 2\ln \left | x+2 \right | — \displaystyle\frac{1}{2}\int\displaystyle\frac{d(x^2-2x+4)}{x^2-2x+4} — \int\displaystyle\frac{dx}{x^2-2x+1 +3} = \\= 2\ln \left | x+2 \right | — \frac{1}{2}\ln(x^2 — 2x + 4) — \int \frac{d(x-1)}{(x-1)^2 + (\sqrt{3})^2} = \\= 2\ln \left | x+2 \right | — \frac{1}{2}\ln(x^2 — 2x + 4) — \frac{1}{\sqrt{3}}\text{arctg}\:(\frac{x-1}{\sqrt{3}}) + C.$$

Интегрирование рациональных функций

Тест на тему: Интегрирование рациональных функций

Литература:

Смотрите также:

 

М1770. Игра с многочленом

Задача из журнала «Квант» (2001 год, 5 выпуск)

Условие

Дан многочлен степени [latex]10[/latex] с буквенными коэффициентами. Двое поочередно заменяют какую-нибудь букву на число, пока не заменят все буквы. Обозначим полученный многочлен [latex]A(x)[/latex]. Пусть [latex]a_{1} = \max A(x)[/latex] при [latex]x[/latex] от [latex]-1[/latex] до [latex]0[/latex], [latex]a_{2} = \max A(x)[/latex] при [latex]x[/latex] от [latex]0[/latex] до [latex]+1[/latex]. Если [latex]a_1 > a_2[/latex], то выиграл первый игрок, если [latex]a_1 < a_2[/latex], то второй. Кто победит при правильной игре?

Решение

Результат игры в основном определяется тем, кто выберет последний коэффициент при нечетной степени. Это будет первый игрок, который может гарантировать свой не проигрыш. Говорить о выигрыше пока рано: может быть, за счет выбора коэффициентов при четных степенях второму игроку удастся добиться, чтобы [latex]\max A(x)[/latex] при [latex]x[/latex] от [latex]-1[/latex] до [latex]+1[/latex] был бы при [latex]x = 0[/latex] ([latex]a_{1} = a_{2}[/latex] – ничья). Однако если первый игрок сразу выберет коэффициент при первой степени равным единице, то он гарантирует, что максимума в нуле нет, так как производная не равна нулю. Затем правильным назначением последнего коэффициента при нечетной степени (это будет достаточно большое по модулю число) первый игрок решительно склонит «чашу весов» в свою сторону. Он обеспечит себе победу независимо от возможных последующих назначений коэффициентов при четных степенях.

Н.Васильев, Б.Гинзбург