Теорема (необходимое условие точки перегиба)

Если точка $latex x_{0}$ — точка перегиба функции $latex f(x)$ и если $latex \exists {f}»(x)$ в некоторой окрестности точки $latex x_{0}$ (непрерывная в точке $latex x_{0}$), то $latex {f}»(x_{0})=0$.

Доказательство

Докажем методом от противного, т.е предположим, что $latex {f}»(x_{0})\neq 0$. Тогда $latex {f}»(x_{0})> 0$ либо $latex {f}»(x_{0})< 0$.
По условию $latex {f}»$ непрерывна в точке $latex x_{0}$ $latex \Rightarrow$ по свойству сохранения знака непрерывной функции получим: $latex \exists \delta$: $latex \forall x\epsilon U_{\delta } (x_{0})$, $latex sign {f}»(x)=sign{f}»(x_{0})$, т.е по достаточному условию строгой выпуклости $latex {f}»(x)> 0$ $latex \forall x\epsilon (a;b)$ (функция выпукла вниз) или $latex {f}»(x)< 0$ $latex \forall x\epsilon (a;b)$ (функция выпукла вверх). Это противоречит определению точки перегиба, которое гласит, что при переходе через точку $latex x_{0}$ направление выпуклости меняется.

Теорема (достаточное условие точки перегиба)

Если функция $latex f(x)$ непрерывна в точке $latex x_{0}$ и имеет в этой точке конечную или бесконечную производную и если $latex {f}»(x_{0})$ меняет знак при переходе через точку $latex x_{0}$, то точка $latex x_{0}$ —  точка перегиба функции $latex f(x)$.

Доказательство

Пусть $latex {f}»$ меняет знак с «-» на «+», тогда по достаточному условию строгой выпуклости функция $latex f(x)$ на интервале $latex (x_{0}-\delta ;x_{0})$ функция будет строго выпукла вверх, на интервале $latex (x_{0};x_{0}+\delta )$ — строго выпукла вниз, т.е при переходе через точку $latex x_{0}$ направление выпуклости изменяется $latex \Rightarrow$ по определению $latex x_{0}$- точка перегиба.

Пример:

Найти точки перегиба функции $latex f(x)=3x^{2}-x^{3}$.

Решение:

Найдем вторую производную функции: $latex {f}’=6x-3x^{2}$ $latex \Rightarrow$ $latex {f}» =6-6x$, значит $latex x=1$. Найдем промежутки знакопостоянства функции:

При переходе через точку $latex x=1$ функция изменяет направление выпуклости, значит $latex x=1$ — точка перегиба графика функции.

Список литературы

• Конспект по математическому анализу (преподаватель Лысенко З.М.);
• Фихтенгольц Г.М «Курс дифференциального и интегрального исчисления» (том 1), 5-е издание, глава 4, §2(стр 303) .

Точки перегиба

Лимит времени: 0

Навигация (только номера заданий)

0 из 3 заданий окончено

Вопросы:

1. 1
2. 2
3. 3

Информация

Тест на знание темы «Точки перегиба»

Вы уже проходили тест ранее. Вы не можете запустить его снова.

Тест загружается...

Вы должны войти или зарегистрироваться для того, чтобы начать тест.

Вы должны закончить следующие тесты, чтобы начать этот:

Результаты

Правильных ответов: 0 из 3

Ваше время:

Время вышло

Вы набрали 0 из 0 баллов (0)

Рубрики

1. Нет рубрики 0%

максимум из 6 баллов

Место	Имя	Записано	Баллы	Результат
Таблица загружается
Нет данных

Ваш результат был записан в таблицу лидеров

Загрузка

Имя: E-Mail:

Капча:

1. 1
2. 2
3. 3

1. С ответом
2. С отметкой о просмотре

1. Задание 1 из 3

   1.

   Впишите правильное слово

   • Пусть функция f непрерывна в точке x и имеет в этом точке конечную или бесконечную производную. Тогда, если эта функция при переходе через точку x меняет направление выпуклости, то точка x — (точка перегиба) функции f.
   Правильно
   

   Неправильно
   
2. Задание 2 из 3

   2.

   Укажите точку перегиба функции $latex y=x^{3}$:

   • x=1
   • Нет точки перегиба
   • x=0
   • x=4
   Правильно
   

   Неправильно
   
3. Задание 3 из 3

   3.

   Верно ли, что если $latex x_{0}$-точка перегиба функции $latex f(x)$, то $latex {f}»(x_{0})=0$?

   • Да.
   • Нет.
   Правильно
   

   Неправильно
   

Теорема (достаточное условие строгой выпуклости)

Пусть дана функция \(f(x)\), дважды дифференцируема на интервале \((a;b)\). Тогда:

1. Если \({f}^{\prime\prime}(x) > 0\) на \((a;b)\), то функция \(f(x)\) строго выпукла вниз.
2. Если \({f}^{\prime\prime}(x) < 0\) на \((a;b)\), то функция \(f(x)\) строго выпукла вверх.

Доказательство

Докажем первый случай, т.е. докажем что \(\forall x_{1},x_{2}\epsilon (a;b)\): \( f(\frac{x_{1} + x_{2}}{2}) < \frac{f(x_{1}) + f(x_{2})}{2}\)

\(x_{0} = \frac{x_{1} + x_{2}}{2}\), \(x_{2}-x_{1} = 2h\). Тогда :
\(x_{2} = x_{0} + h\)
\(x_{1} = x_{0} — h\)

Применим к функции \(f(x)\) на отрезках \([x_{1};x_{0}]\) и \([x_{0};x_{2}]\) формулу Тейлора с остатком в форме Лагранжа :
\(f(x)=f(x_{0})+\)\(\frac{{f}^{\prime}(x_{0})}{1!}(x-x_{0})+\) \(\frac{{f}^{\prime\prime}(\xi )}{2!}(x-x_{0})^{2}\), \(\xi \epsilon (x;x_{0})\).

Пусть \(x = x_{1} \Rightarrow\) \(f(x_{1}) = f(x_{0}) + \) \(\frac{{f}^{\prime}(x_{0})}{1!}(x_{1}-\)\(x_{0}) + \)
\(\frac{{f}^{\prime\prime}(\xi_{1} )}{2!}(x_{1}-x_{0})^{2}\), \(\xi_{1} \epsilon (x_{1};x_{0})\). Поскольку \(x_{1} = x_{0} — h \Rightarrow\) \(f(x_{0} — h) = f(x_{0}) + \)\(\frac{{f}^{\prime}(x_{0})}{1!}(-h) + \)\(\frac{{f}^{\prime\prime}(\xi_{1} )}{2!}(-h)^{2}\)(*).

Пусть \(x=x_{2}\) \(\Rightarrow\) \(f(x_{2})=f(x_{0})+\) \(\frac{{f}^{\prime}(x_{0})}{1!}(x_{2}-x_{0})+\)
\(\frac{{f}^{\prime\prime}(\xi_{2} )}{2!}(x_{2}-x_{0})^{2}\), \(\xi_{2} \epsilon (x_{0};x_{2})\). Поскольку \(x_{2} = x_{0}+h \Rightarrow\) \( f(x_{0}+h) = f(x_{0}) + \) \(\frac{{f}^{\prime}(x_{0})}{1!}h + \) \(\frac{{f}^{\prime\prime}(\xi_{2} )}{2!}(h)^{2}\)(**).

Суммируем полученные выражения (*) и (**), получим: \(f(x_{1}) + \) \(f(x_{2})=2f(x_{0}) + \frac{h^{2}}{2}({f}^{\prime\prime}(\xi_{1}) + \) \({f}^{\prime\prime}(\xi _{2}))\), а т.к. по условию \({f}^{\prime\prime}(x)> 0 \Rightarrow\) \( f(x_{1})+f(x_{2})=2f(x_{0})\) \(\Rightarrow\) \(\forall x_{1},x_{2}\epsilon (a;b)\): \( f(\frac{x_{1} +x_{2}}{2})<\)\( \frac{f(x_{1})+f(x_{2})}{2}\) \( \Rightarrow\) функция \(f(x)\) строго выпукла вниз.

Аналогично теорема доказывается для второго случая.

Замечание:

Условие \({f}^{\prime\prime}(x)> 0\)(или \( {f}^{\prime\prime}(x) < 0\)) не является необходимым условием строгой выпуклости вниз (вверх).

Пример:

Рассмотрим функцию \(f(x) = x^{4}\).

Найдем вторую производную данной функции: \({f}^{\prime\prime}(x) = 12x^{2}\), \({f}^{\prime\prime}(x) = 12x^{2} > 0\), \({f}^{\prime\prime}(0) = 0\) \(\Rightarrow\) условие \({f}^{\prime\prime}(x) > 0\) нарушается, поскольку \(f^{\prime\prime}(0) = 0\), однако эта функция строго выпукла вниз.

Список литературы:

• Конспект по математическому анализу (преподаватель Лысенко З.М.);
• Фихненгольц Г.М «Курс дифференциального и интегрального исчисления» (том 1), 5-е издание, глава 4, §2(стр 308).

Выпулость функций

Лимит времени: 0

Навигация (только номера заданий)

0 из 4 заданий окончено

Вопросы:

1. 1
2. 2
3. 3
4. 4

Информация

Тест по теме «Выпуклость функций».

Вы уже проходили тест ранее. Вы не можете запустить его снова.

Тест загружается...

Вы должны войти или зарегистрироваться для того, чтобы начать тест.

Вы должны закончить следующие тесты, чтобы начать этот:

Результаты

Правильных ответов: 0 из 4

Ваше время:

Время вышло

Вы набрали 0 из 0 баллов (0)

Рубрики

1. Нет рубрики 0%

максимум из 4 баллов

Место	Имя	Записано	Баллы	Результат
Таблица загружается
Нет данных

Ваш результат был записан в таблицу лидеров

Загрузка

Имя: E-Mail:

Капча:

1. 1
2. 2
3. 3
4. 4

1. С ответом
2. С отметкой о просмотре

1. Задание 1 из 4

   1.

   Впишите правильный ответ:

   • Если вторая производная функции y=f(x)>0 на интервале (a;b), то функция (строго выпукла вниз).
   Правильно
   

   Неправильно
   

   Если вторая производная функции y=f(x)>0 на интервале (a;b), то функция {строго выпукла вниз}.
2. Задание 2 из 4

   2.

   На каком интервале функция $latex y=\sqrt{1-x^{2}}$ является выпуклой вверх?

   • $$(-\infty;+\infty)$$
   • $$[-1;1]$$
   • $$(-\infty;1)$$
   • $$(-1;+\infty)$$
   Правильно
   

   Неправильно
   
3. Задание 3 из 4

   3.

   Функция $latex f(x)$ называется выпуклой вверх на отрезке $latex [a;b]$, если

   • Нет условий.
   • $$ \forall x_{1}, x_{2}\epsilon [a;b]: f(\frac{x_{1}+x_{2}}{2})\geq \frac{f(x_{1})+f(x_{2})}{2}$$
   • $$ \forall x_{1}, x_{2}\epsilon [a;b]: f(\frac{x_{1}+x_{2}}{2})\leq \frac{f(x_{1})+f(x_{2})}{2}$$
   Правильно
   

   Неправильно
   
4. Задание 4 из 4

   4.

   Установите соответствия между графиками функций и видами выпуклости:

   Элементы сортировки

   • $$Выпукла\, вниз\, на\, интервале\, (-\infty;+\infty)$$
   • $$Выпукла\, вниз\, на\, интервале\, (\pi ;2\pi )\, и\,выпукла\, вверх$$$$ на\, интервале\, (0;\pi )$$
   • $$При\, x> 0\, выпукла\, вверх\, а\, при\, x< 0\, выпукла\, вниз.$$
   • Всюду выпукла вниз.

   • $$y=x^{2}$$

   • $$y=\sin x$$

   • $$y=x^{3}$$

   • $$y=e^{x}$$

   Правильно
   

   Неправильно
   

 Определения:

Функция $latex=f$ определённая на $latex (a;b)$ называется выпуклой вверх, если :
$latex \forall x_{1}, x_{2} \epsilon (a;b)$, $latex \forall \alpha \epsilon (a,b) \Rightarrow f((1-\alpha)x_{1}+\alpha x_{2})\geq f((1-\alpha)x_{1})+\alpha f(x_{2})$ .

Функция $latex=f$ определённая на $latex (a,b)$ называется выпуклой вниз, если :
$latex \forall x_{1}, x_{2} \epsilon (a;b)$, $latex \forall \alpha \epsilon (a,b) \Rightarrow f((1-\alpha)x_{1}+\alpha x_{2})\leq f((1-\alpha)x_{1})+\alpha f(x_{2})$.

Функция $latex=f$ определённая на $latex (a,b)$ называется строго выпуклой вверх, если:
$latex \forall x_{1}, x_{2} \epsilon (a;b)$,$latex \forall \alpha \epsilon (a,b) \Rightarrow f((1-\alpha)x_{1}+\alpha x_{2}) > f((1-\alpha)x_{1})+\alpha f(x_{2})$

Функция $latex=f$ определённая на $latex (a,b)$ называется строго выпуклой вниз, если:
$latex \forall x_{1}, x_{2} \epsilon (a;b)$,$latex \forall \alpha \epsilon (a,b) \Rightarrow f((1-\alpha)x_{1}+\alpha x_{2}) < f((1-\alpha)x_{1})+\alpha f(x_{2})$

Замечание:

Понятие выпуклой функции было введено Иенсеном (J.L.W.V.Jensen), который исходил, однако, из более частного соотношения,а именно:
$latex f(\frac{x_{1}+x_{2}}{2})\geq (\leq) \frac{f(x_{1})+f(x_{2})}{2}$
В  случае если функция непрерывна это определение равносильно данным ранее.

 Пример:

Рассмотрим непрерывную функцию $latex f(x)=-(x-4)^{2}+4$ :

Возьмём точки $latex \left \{ 2,4,6 \right \}$ : $latex f(\frac{2+6}{2})\geq \frac{f(2)+f(6)}{2}$, т.е $latex 4 \geq 0$ $latex \Rightarrow$ функция выпукла вверх.

Геометрическая интерпретация :

Условие $latex f(\frac{x_{1}+x_{2}}{2})\geq \frac{f(x_{1}+f(x_{2})}{2}$ означает, что $latex \forall M_{1}, M_{2}$ графика функции $latex f(x)$ середина хорды лежит ниже, либо совпадает с точкой $latex M_{0}=f(\frac{x_{1}+x_{2}}{2})$.

Это можно продемонстрировать на примере функции $latex f(x)=-(x-4)^{2}+4$ :

Список литературы:

• Конспект по математическому анализу (преподаватель Лысенко З.М.);
• Фихтенгольц Г.М «Курс дифференциального и интегрального исчисления» (том 1), 5-е издание, глава 4, §2(стр 294)

Пусть функция $latex f(x)$ непрерывна в точке $latex x_{0}$ и имеет в этой точке конечную или бесконечную производную. Тогда, если эта функция при переходе через точку $latex x_{0}$ меняет направление выпуклости, т.е $latex \exists \delta$ такое что на $latex (x_{0}-\delta ;x_{0})$ функция выпукла вверх (вниз), а на $latex (x_{0};x_{0}+\delta )$ функция выпукла вниз (вверх), то точка $latex x_{0}$ — точка перегиба функции $latex f(x)$.

Пример:

Рассмотрим функцию $latex f(x)=x^{3}$, где тогда $latex x=0$, является точкой перегиба данной функции.

 Список литературы:

• Конспект по математическому анализу (преподаватель Лысенко З.М.);
• Фихтенгольц Г.М «Курс дифференциального и интегрального исчисления» (том 1), 5-е издание, глава 4, §2(стр 303)  .