Условие
ABC — неравнобедренный остроугольный треугольник; O и I — центры описанного и вписанного кругов, H — ортоцентр треугольника. Докажите, что четырехугольники AOIH, BOIH и COIH невырождены и среди них ровно два выпуклых.
Доказательство
Решению предпошлем легко доказываемое предположение:
В треугольнике биссектриса делит пополам угол между высотой и радиусом описанного круга, проведенным в ту же вершину.
Докажем это предположение. Пусть — биссектриса угла
(рис. 1). Так как
, то
. Так как точка
— середина дуги
, то прямые
и
параллельны. Следовательно,
, отсюда
, что и требовалось доказать.
Решение задачи. Покажем вначале, что точки и
не могут лежать на одной прямой с какой-либо из вершин треугольника (в частности, эти точки не могут совпадать). Действительно, в этом случае выходящие из вершины медиана и высота совпадают, и треугольник оказывается равнобедренным. Отсюда и из леммы уже следует, что
,
и
— невырожденные многоугольники (четырехугольники либо треугольники).
Пусть прямая пересекает стороны
и
треугольника,
. Для завершения решения достаточно доказать, что точка
лежит внутри той же полуплоскости с границей
, что и точка
(рис.2). Докажем это.
Обозначим . Имеем:
. Восстановим перпендикуляр к середине отрезка
, получаем: точка
принадлежит треугольнику
. Обозначим через
точку пересечения прямой
с прямой
. Необходимо доказать, что точки на прямой расположены в следующем порядке:
, т.е что
Но поскольку
, то
. Отсюда и следует утверждение задачи.
Замечания:
- Нетрудно показать, что прямая
пересекает большую и меньшую стороны треугольника
. Значит, выпуклыми являются четырехугольники, соответствующие большему и меньшему его углам.
- Задача допускает также и алгебраическое решение.
Необходимое и достаточное условие точек перегиба.
Теорема (необходимое условие точки перегиба)
Если точка — точка перегиба функции
и если
в некоторой окрестности точки
(непрерывная в точке
), то
.
Доказательство
Докажем методом от противного, т.е предположим, что . Тогда
либо
.
По условию непрерывна в точке
по свойству сохранения знака непрерывной функции получим:
:
,
, т.е по достаточному условию строгой выпуклости
(функция выпукла вниз) или
(функция выпукла вверх). Это противоречит определению точки перегиба, которое гласит, что при переходе через точку
направление выпуклости меняется.
Теорема (достаточное условие точки перегиба)
Если функция непрерывна в точке
и имеет в этой точке конечную или бесконечную производную и если
меняет знак при переходе через точку
, то точка
— точка перегиба функции
.
Доказательство
Пусть меняет знак с «-» на «+», тогда по достаточному условию строгой выпуклости функция
на интервале
функция будет строго выпукла вверх, на интервале
— строго выпукла вниз, т.е при переходе через точку
направление выпуклости изменяется
по определению
— точка перегиба.
Пример:
Найти точки перегиба функции .
Решение:
Найдем вторую производную функции:
, значит
. Найдем промежутки знакопостоянства функции:
При переходе через точку функция изменяет направление выпуклости, значит
— точка перегиба графика функции.
Список литературы
- Конспект по математическому анализу (преподаватель Лысенко З.М.);
- Фихтенгольц Г.М «Курс дифференциального и интегрального исчисления» (том 1), 5-е издание, глава 4, §2(стр 303) .
Точки перегиба
Тест на знание темы «Точки перегиба»
Таблица лучших: Точки перегиба
Место | Имя | Записано | Баллы | Результат |
---|---|---|---|---|
Таблица загружается |
Достаточные условия строгой выпуклости.
Теорема (достаточное условие строгой выпуклости)
Пусть дана функция \(f(x)\), дважды дифференцируема на интервале \((a;b)\). Тогда:
- Если \({f}^{\prime\prime}(x) > 0\) на \((a;b)\), то функция \(f(x)\) строго выпукла вниз.
- Если \({f}^{\prime\prime}(x) < 0\) на \((a;b)\), то функция \(f(x)\) строго выпукла вверх.
Доказательство
Докажем первый случай, т.е. докажем что \(\forall x_{1},x_{2}\epsilon (a;b)\): \( f(\frac{x_{1} + x_{2}}{2}) < \frac{f(x_{1}) + f(x_{2})}{2}\)
\(x_{0} = \frac{x_{1} + x_{2}}{2}\), \(x_{2}-x_{1} = 2h\). Тогда :
\(x_{2} = x_{0} + h\)
\(x_{1} = x_{0} — h\)
Применим к функции \(f(x)\) на отрезках \([x_{1};x_{0}]\) и \([x_{0};x_{2}]\) формулу Тейлора с остатком в форме Лагранжа :
\(f(x)=f(x_{0})+\)\(\frac{{f}^{\prime}(x_{0})}{1!}(x-x_{0})+\) \(\frac{{f}^{\prime\prime}(\xi )}{2!}(x-x_{0})^{2}\), \(\xi \epsilon (x;x_{0})\).
Пусть \(x = x_{1} \Rightarrow\) \(f(x_{1}) = f(x_{0}) + \) \(\frac{{f}^{\prime}(x_{0})}{1!}(x_{1}-\)\(x_{0}) + \)
\(\frac{{f}^{\prime\prime}(\xi_{1} )}{2!}(x_{1}-x_{0})^{2}\), \(\xi_{1} \epsilon (x_{1};x_{0})\). Поскольку \(x_{1} = x_{0} — h \Rightarrow\) \(f(x_{0} — h) = f(x_{0}) + \)\(\frac{{f}^{\prime}(x_{0})}{1!}(-h) + \)\(\frac{{f}^{\prime\prime}(\xi_{1} )}{2!}(-h)^{2}\)(*).
Пусть \(x=x_{2}\) \(\Rightarrow\) \(f(x_{2})=f(x_{0})+\) \(\frac{{f}^{\prime}(x_{0})}{1!}(x_{2}-x_{0})+\)
\(\frac{{f}^{\prime\prime}(\xi_{2} )}{2!}(x_{2}-x_{0})^{2}\), \(\xi_{2} \epsilon (x_{0};x_{2})\). Поскольку \(x_{2} = x_{0}+h \Rightarrow\) \( f(x_{0}+h) = f(x_{0}) + \) \(\frac{{f}^{\prime}(x_{0})}{1!}h + \) \(\frac{{f}^{\prime\prime}(\xi_{2} )}{2!}(h)^{2}\)(**).
Суммируем полученные выражения (*) и (**), получим: \(f(x_{1}) + \) \(f(x_{2})=2f(x_{0}) + \frac{h^{2}}{2}({f}^{\prime\prime}(\xi_{1}) + \) \({f}^{\prime\prime}(\xi _{2}))\), а т.к. по условию \({f}^{\prime\prime}(x)> 0 \Rightarrow\) \( f(x_{1})+f(x_{2})=2f(x_{0})\) \(\Rightarrow\) \(\forall x_{1},x_{2}\epsilon (a;b)\): \( f(\frac{x_{1} +x_{2}}{2})<\)\( \frac{f(x_{1})+f(x_{2})}{2}\) \( \Rightarrow\) функция \(f(x)\) строго выпукла вниз.
Аналогично теорема доказывается для второго случая.
Замечание:
Условие \({f}^{\prime\prime}(x)> 0\)(или \( {f}^{\prime\prime}(x) < 0\)) не является необходимым условием строгой выпуклости вниз (вверх).
Пример:
Рассмотрим функцию \(f(x) = x^{4}\).
Найдем вторую производную данной функции: \({f}^{\prime\prime}(x) = 12x^{2}\), \({f}^{\prime\prime}(x) = 12x^{2} > 0\), \({f}^{\prime\prime}(0) = 0\) \(\Rightarrow\) условие \({f}^{\prime\prime}(x) > 0\) нарушается, поскольку \(f^{\prime\prime}(0) = 0\), однако эта функция строго выпукла вниз.
Список литературы:
- Конспект по математическому анализу (преподаватель Лысенко З.М.);
- Фихненгольц Г.М «Курс дифференциального и интегрального исчисления» (том 1), 5-е издание, глава 4, §2(стр 308).
Выпулость функций
Тест по теме «Выпуклость функций».
Таблица лучших: Выпулость функций
Место | Имя | Записано | Баллы | Результат |
---|---|---|---|---|
Таблица загружается |
Выпуклость функций. Геометрическая интерпретация.
Определения:
Функция определённая на
называется выпуклой вверх, если :
,
.
Функция определённая на
называется выпуклой вниз, если :
,
.
Функция определённая на
называется строго выпуклой вверх, если:
,
Функция определённая на
называется строго выпуклой вниз, если:
,
Замечание:
Понятие выпуклой функции было введено Иенсеном (J.L.W.V.Jensen), который исходил, однако, из более частного соотношения,а именно:
В случае если функция непрерывна это определение равносильно данным ранее.
Пример:
Рассмотрим непрерывную функцию :
Возьмём точки :
, т.е
функция выпукла вверх.
Геометрическая интерпретация :
Условие означает, что
графика функции
середина хорды лежит ниже, либо совпадает с точкой
.
Это можно продемонстрировать на примере функции :
Список литературы:
- Конспект по математическому анализу (преподаватель Лысенко З.М.);
- Фихтенгольц Г.М «Курс дифференциального и интегрального исчисления» (том 1), 5-е издание, глава 4, §2(стр 294)
Точки перегиба. Примеры.
Пусть функция непрерывна в точке
и имеет в этой точке конечную или бесконечную производную. Тогда, если эта функция при переходе через точку
меняет направление выпуклости, т.е
такое что на
функция выпукла вверх (вниз), а на
функция выпукла вниз (вверх), то точка
— точка перегиба функции
.
Пример:
Рассмотрим функцию , где тогда
, является точкой перегиба данной функции.
Список литературы:
- Конспект по математическому анализу (преподаватель Лысенко З.М.);
- Фихтенгольц Г.М «Курс дифференциального и интегрального исчисления» (том 1), 5-е издание, глава 4, §2(стр 303) .