Необходимое и достаточное условие точек перегиба.

Теорема (необходимое условие точки перегиба)

Если точка $latex x_{0}$ — точка перегиба функции $latex f(x)$ и если $latex \exists {f}»(x)$ в некоторой окрестности точки $latex x_{0}$ (непрерывная в точке $latex x_{0}$), то $latex {f}»(x_{0})=0$.

 

Доказательство

Докажем методом от противного, т.е предположим, что $latex {f}»(x_{0})\neq 0$. Тогда $latex {f}»(x_{0})> 0$ либо $latex {f}»(x_{0})< 0$.
По условию $latex {f}»$ непрерывна в точке $latex x_{0}$ $latex \Rightarrow$ по свойству сохранения знака непрерывной функции получим: $latex \exists \delta$: $latex \forall x\epsilon U_{\delta } (x_{0})$, $latex sign {f}»(x)=sign{f}»(x_{0})$, т.е по достаточному условию строгой выпуклости $latex {f}»(x)> 0$ $latex \forall x\epsilon (a;b)$ (функция выпукла вниз) или $latex {f}»(x)< 0$ $latex \forall x\epsilon (a;b)$ (функция выпукла вверх). Это противоречит определению точки перегиба, которое гласит, что при переходе через точку $latex x_{0}$ направление выпуклости меняется.

Теорема (достаточное условие точки перегиба)

Если функция $latex f(x)$ непрерывна в точке $latex x_{0}$ и имеет в этой точке конечную или бесконечную производную и если $latex {f}»(x_{0})$ меняет знак при переходе через точку $latex x_{0}$, то точка $latex x_{0}$ —  точка перегиба функции $latex f(x)$.

Доказательство

Пусть $latex {f}»$ меняет знак с «-» на «+», тогда по достаточному условию строгой выпуклости функция $latex f(x)$ на интервале $latex (x_{0}-\delta ;x_{0})$ функция будет строго выпукла вверх, на интервале $latex (x_{0};x_{0}+\delta )$ — строго выпукла вниз, т.е при переходе через точку $latex x_{0}$ направление выпуклости изменяется $latex \Rightarrow$ по определению $latex x_{0}$- точка перегиба.

Пример:

Найти точки перегиба функции $latex f(x)=3x^{2}-x^{3}$.

Решение:

Найдем вторую производную функции: $latex {f}’=6x-3x^{2}$ $latex \Rightarrow$ $latex {f}» =6-6x$, значит $latex x=1$. Найдем промежутки знакопостоянства функции:

svg6

При переходе через точку $latex x=1$ функция изменяет направление выпуклости, значит $latex x=1$ — точка перегиба графика функции.

Список литературы

Точки перегиба

Тест на знание темы «Точки перегиба»

Таблица лучших: Точки перегиба

максимум из 6 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных