Напомним, что различают три вида асимптот: вертикальные, горизонтальные и наклонные, которые могут быть как односторонними так и двусторонними.

Определение 1. Пусть функция [latex]f[/latex] определена на отрезке [latex](a; + \infty )[/latex]. Прямая [latex]y = kx + b[/latex] называется асимптотой (или наклонной асимптотой) графика функции [latex]f[/latex] при [latex]x \to + \infty [/latex], если

[latex]\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } (f(x) — (kx + b)) = 0[/latex]

По аналогии определяется (наклонная асимптота) при [latex]x \to — \infty [/latex].

Итак, прямая [latex]x=0[/latex] является двусторонней вертикальной асимптотой графика функции [latex]y = \frac{1}{x}[/latex].
Определение 2. Пусть функция [latex]f[/latex] определена на [latex]( — \infty ,a)[/latex]. Прямая [latex]y = kx + b[/latex] называется асимптотой (или наклонной асимптотой) графика функции [latex]f[/latex] при [latex]x \to — \infty [/latex] если

[latex]\mathop {\lim }\limits_{x \to — \infty } (f(x) — (kx + b)) = 0[/latex]

Определение 3. Прямая [latex]x = {x_0}[/latex] называется вертикальной асимптотой графика функции [latex]f[/latex], если хотя бы одна из границ или

[latex]f(x_0 + 0) = \mathop {\lim }\limits_{x \to x_0 + 0} f(x) = \infty[/latex]

равны бесконечности. Отсюда следует, что вертикальные асимптоты графика функции  [latex]f(x)[/latex] могут быть только при наличии граничных точек области определения функции или точек разрыва.

Что бы найти вертикальные асимптоты графика функции [latex]f[/latex], надо найти такие значения[latex]{x_0}[/latex], для которых выполняется одно или оба предыдущих условия. 

Пример 1.Найдем вертикальные асимптоты графика функции [latex]y = {e^{\frac{1}{{x — 2}}}}[/latex]. Ясно, что эта функция определена во всех точках числовой оси [latex]R[/latex], кроме точки [latex]x=2[/latex]. Вычислим пределы:

[latex]\mathop{\lim }\limits_{x \to 2 — 0} {e^{\frac{1}{{x — 2}}}} = 0[/latex]

и

[latex]\mathop{\lim }\limits_{x \to 2 + 0} {e^{\frac{1}{{x — 2}}}} = \infty[/latex]

Следовательно, прямая [latex]x=2[/latex] является односторонней вертикальной асимптотой графика рассматриваемой функции при [latex]x \to 2 + 0[/latex].

Пример 2.Выясним существует ли вертикальные асимптоты у графика функции [latex]y = \frac{1}{x}[/latex]. Эта функция определена на множестве всех вещественных чисел кроме нуля причем

[latex]\mathop {\lim }\limits_{x \to — 0} \frac{1}{x} =- \infty [/latex]

и

[latex]\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{1}{x} =\infty [/latex]

Иными словами, если мы имеем кривую, которая отдаляется в бесконечность, и если расстояние от точки кривой к некоторой прямой при отдалении точки в бесконечность стремится к нулю, то эта прямая называется асимптотой кривой.

Из определения наклонной асимптоты следует следующее утверждение.
Для того, что бы График функции [latex]f[/latex] имел при [latex]x \to \pm \infty [/latex] наклонную асимптоту [latex]y = kx + b[/latex], необходимо и достаточно, что бы

[latex]k = \mathop {\lim }\limits_{x \to\pm \infty } \frac{{f(x)}}{x}[/latex]

[latex]b = \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } (f(x) — kx)[/latex]

Пример 3. Найти асимптоты графика

[latex]f(x) = \frac{{{x^2} — 3x + 1}}{x}[/latex]

Функция определена на всей числовой оси кроме нуля. Вычислим пределы:

[latex]\mathop {\lim }\limits_{x \to +0} \frac{x — 3x + 1}{x}=+\infty[/latex]

[latex]\mathop {\lim }\limits_{x \to -0} \frac{x — 3x + 1}{x}=-\infty[/latex]

Следовательно, прямая [latex]x=0[/latex] — двухсторонняя вертикальная асимптота графика рассматриваемой функции.

Для нахождения наклонных асимптот графика представим эту функцию в виде

[latex]f(x) = \frac{{{x^2} — 3x + 1}}{x} = x — 3 + \frac{1}{x}[/latex]

Так как [latex]1/x \to 0[/latex] при [latex]x\to \infty[/latex], то из определения наклонной асимптоты следует, что прямая [latex]y=x-3[/latex] является двухсторонней наклонной асимптотой графика указанной функции. Поскольку [latex]1/x>0[/latex] при [latex]x>0[/latex] и [latex]1/x<0[/latex] при [latex]x<0[/latex], кривая графика лежит выше асимптоты при [latex]x \to -\infty[/latex].

Литература

• Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа — М.: Высш.школа, 1981, т I — 687 с. ( с. 374- 375).
• Вартаняна Г.М. Конспект лекций по математическому анализу  ч. 1.(с. 52-53).
• Лысенко З.М. Конспект лекций по математическому анализу.
• Исследование функций

Теорема.
Пусть функции $u(x)$ и $v(x)$ дифференцируемы на интервале $I$. Если одна из функций $u(x)v^\prime(x)$ или $u^\prime(x)v(x)$ имеет первообразную на интервале $I$, то на этом интервале имеет первообразную и другая функция, причем справедливо равенство $$\int u(x)v^\prime(x)dx=u(x)v(x)-\int u^\prime(x)v(x)dx$$
или короче $$\int udv=uv -\int vdu.$$
Доказательство.
Пусть $u(x)v^\prime(x)$ имеет первообразную, тогда, по правилу дифференцирования произведения, имеем
$$\left(u(x)v(x)\right)^\prime=u(x)v^\prime(x)+u^\prime(x)v(x).$$
Получаем, что $u^\prime(x)v(x)$ является разностью производных двух функций, то-есть двух функций имеющих первообразные, следовательно сама имеет первообразную и справедливо равенство $$\int u(x)v^\prime(x)dx=u(x)v(x)-\int u^\prime(x)v(x)dx.$$
Замечание.
Если одна из функции дифференцируемая, а другая имеет первообразную, то их произведение не обязано иметь первообразную. Поэтому в формулировке теоремы нужно предполагать наличие первообразной у одной из функций $u(x)v^\prime(x$ или $u^\prime(x)v(x)$.
Пример 1.

[latex]\int {\ln xdx} = [/latex] [latex] \left[ \begin{array}{l}u = \ln x;\\dv = dx;\\du =\frac{{dx}}{x};\\v = x.\end{array} \right] = [/latex] [latex]x\ln x — \int{x \frac{{dx}}{x}} = [/latex] [latex] x\ln x — x + C[/latex]

Пример 2.

[latex]\int{x\cos xdx} = [/latex] [latex] \left[ \begin{array}{l}u = x;\\dv = \cos xdx;\\du = dx;\\v = \sin x.\end{array} \right] = [/latex] [latex] x\sin x — \int {\sin xdx} = [/latex] [latex] \sin xdx + \cos x + C [/latex]

Пример 3.

В некоторых случаях для вычисление интеграла нужно сложить уравнение. Так, например

[latex] I = \int {e^{ax}\sin{bx}dx} = [/latex] [latex] \left[ \begin{array}{l}u = {e^{ax}};\\dv = \sin{bx}dx;\\du = a{e^{ax}}dx;\\v =- \frac{1}{b}\cos{bx}.\end{array} \right] = [/latex] [latex] — \frac{1}{b}{e^{ax}}\cos{bx} + \frac{a}{b}\int{ e^{ax}\cos{bx}dx}= [/latex] [latex] \left[ \begin{array}{l}u = {e^{ax}};\\dv = \cos{bx}dx;\\du = a{e^{ax}}dx;\\v = \frac{1}{b}\sin{bx}.\end{array} \right] = [/latex] [latex] — \frac{1}{b}{e^{ax}}\cos{bx} + \frac{a}{b}\left( {\frac{1}{b}{e^{ax}}\sin{bx} — \frac{a}{b}\int {e^{ax}\sin{bx}dx} } \right) = [/latex] [latex] — \frac{1}{b}{e^{ax}}\cos{bx} + \frac{a}{b^2}{e^{ax}}\sin{bx} — \frac{a^2}{b^2}I [/latex]
Отсюда

[latex]I = [/latex] [latex] \int {e^{ax}\sin bxdx} = [/latex] [latex] \frac{e^{ax}}{a^2 + b^2}(a\sin bx — b\cos bx) + C [/latex]

По аналогии,

[latex]\int {e^{ax}\cos bxdx} = [/latex] [latex] \frac{e^{ax}}{a^2 + b^2}(b\sin bx + a\cos bx) + C [/latex]

Литература

• Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления, Том 2. (стр. 31-32)
• Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа — М.: Высш.школа, 1981, Том 1. (стр. 464-465)
• Вартанян Г.М. Конспект лекций по математическому анализу  Часть 1.(стр. 55-56).
• Коляда В.И., Кореновский А.А. Курс лекций по математическому анализу Часть 1. (стр. 159-160)
• Шилов Г. Е. Математический анализ. Функции одного переменного. В 3-х ч. Ч.1-2 -М.:Наука, 1969, Ч.3 -М.:Наука, 1970. (стр. 325)

Смотрите также

• Онлайн лекции Лавриченко С.А.
• Высшая математика – просто и доступно!

Метод интегрирования по частям

Лимит времени: 0

Навигация (только номера заданий)

0 из 5 заданий окончено

Вопросы:

1. 1
2. 2
3. 3
4. 4
5. 5

Информация

Тест на тему: «Метод интегрирования по частям».

Вы уже проходили тест ранее. Вы не можете запустить его снова.

Тест загружается...

Вы должны войти или зарегистрироваться для того, чтобы начать тест.

Вы должны закончить следующие тесты, чтобы начать этот:

Результаты

Правильных ответов: 0 из 5

Ваше время:

Время вышло

Вы набрали 0 из 0 баллов (0)

Рубрики

1. Математический анализ 0%

Ваш результат был записан в таблицу лидеров

Загрузка

Имя: E-Mail:

Капча:

1. 1
2. 2
3. 3
4. 4
5. 5

1. С ответом
2. С отметкой о просмотре

1. Задание 1 из 5

   1.

   Правильно выполнить подстановку в интеграле $\int x \sin x dx$ чтоб его можно было проинтегрировать по частям:

   Элементы сортировки

   • $x$
   • $-\cos x$
   • $1$
   • $\sin x$

   • $u$

   • $v$

   • $du$

   • $dv$

   Правильно
   

   Неправильно
   
2. Задание 2 из 5

   2.

   Какое необходимое и достаточное условие накладывается на функции $f$ и $g$ чтоб для них была верна теорема?

   • непрерывность на отрезке.
   • дифференцируемость на интервале.
   • ограниченность на компакте.
   • интегрируемость на интервале.
   Правильно
   

   Неправильно
   
3. Задание 3 из 5

   3.

   Отсортировать функции в порядке убывания количества необходимых применений метода интегрирования по частям для нахождения неопределенного интеграла.

   • $\int e^x \sin x dx$
   • $\int x e^x dx$
   • $\int \sin x dx$
   Правильно
   

   Неправильно
   
4. Задание 4 из 5

   4.

   Среди следующих интегралов выбрать те, для нахождения которых необходимо использовать метод интегрирования по частям.

   • $\int \tan \frac{x}{2} dx$
   • $\int x e^{x^2} dx$
   • $\int \ln x dx$
   • $\int x e^x dx$
   • $\int \sin x \cos x dx$
   Правильно
   

   Неправильно
   
5. Задание 5 из 5

   5.

   Вставить недостающие слова в формулировку теоремы (в бланк ответа):
   Пусть функции $u(x)$ и $v(x)$ (1)_______________ на интервале $I$. Если одна из функций $u(x)v^\prime(x)$ или $u^\prime(x)v(x)$ имеет (2)_____________ на интервале $I$, то на этом интервале имеет первообразную и другая функция, причем справедливо равенство $$\int u(x)v^\prime(x)dx=u(x)v(x)-\int u^\prime(x)v(x)dx$$

   • (1) (дифференцируемы), (2) (первообразную).
   Правильно
   

   Неправильно
   

Во многих случаях свести нахождение интеграла к табличному виду позволяет метод подстановки, который так же называют метод замены переменных. Основную идею метода составляет следующая теорема.

Теорема:

Пусть функция [latex]x = \varphi (t)[/latex] непрерывно дифференцируема на промежутке [latex]T[/latex], а на промежутку [latex]X[/latex] такой, что [latex]\forall t \in T[/latex], [latex]x = \varphi (t) \in X[/latex] определена непрерывная функция [latex]f(x).[/latex] Тогда,

$latex \int {f(x)dx}=$ $latex \int {f(\varphi (t))\varphi ‘} (t)dt$

Практическая польза формулы замены переменной состоит в том, что когда вы затрудняетесь взять интеграл, вы делаете замену [latex]u=g(x)[/latex], т.е. обозначаете некоторое выражение [latex]g(x)[/latex], входящее в подынтегральнyю функцию, новой буквой [latex]u[/latex], и затем преобразуете интеграл под формулу замены. Хотя формула справедлива для любой замены (удовлетворяющей условия теоремы), задача состоит в подборе такой, которая приводит к табличному интегралу (или нескольким табличным интегралам). Такую замену будем называть хорошей. Вообще говоря, подбор хорошей замены не всегда очевиден. Если одна замена не сработала, не отчаивайтесь, а пробуйте другую.

Пример 1:

$latex \int {\rm ctg} xdx =$ $latex \int {\frac{{\cos x}}{{\sin x}}}dx =$ $latex \left|\begin{array}{l}t = \sin x;\\dt = \cos xdx.\end{array} \right| =$ $latex \int {\frac{{dt}}{t}} =$ $latex \ln |t| + C =$ $latex \ln \left| {\sin x} \right| + C.$ 

Пример 2:

$latex \int {\rm tg} xdx =$ $latex \int {\frac{{\sin x}}{{\cos x}}}dx =$ $latex \left| \begin{array}{l}t = \cos x;\\dt = — \sin xdx.\end{array} \right| =$ $latex \int {\frac{{dt}}{t}} =$ $latex \ln |t| + C =$ $latex — \ln \left| {\cos x} \right| + C.$ 

Литература

• Вартанян Г.М. Конспект лекций по математическому анализу  ч. 1.(стр. 55-56).
• Лысенко З.М. Конспект лекций по математическому анализу.
• Онлайн лекции С.А. Лавриченко
• Высшая математика – просто и доступно!