Асимптоты и их поиск

Напомним, что различают три вида асимптот: вертикальные, горизонтальные и наклонные, которые могут быть как односторонними так и двусторонними.

Определение 1. Пусть функция [latex]f[/latex] определена на отрезке [latex](a; + \infty )[/latex]. Прямая [latex]y = kx + b[/latex] называется асимптотой (или наклонной асимптотой) графика функции [latex]f[/latex] при [latex]x \to + \infty [/latex], если

[latex]\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } (f(x) — (kx + b)) = 0[/latex]

По аналогии определяется (наклонная асимптота) при [latex]x \to — \infty [/latex].

Итак, прямая [latex]x=0[/latex] является двусторонней вертикальной асимптотой графика функции [latex]y = \frac{1}{x}[/latex].
Определение 2. Пусть функция [latex]f[/latex] определена на [latex]( — \infty ,a)[/latex]. Прямая [latex]y = kx + b[/latex] называется асимптотой (или наклонной асимптотой) графика функции [latex]f[/latex] при [latex]x \to — \infty [/latex] если

[latex]\mathop {\lim }\limits_{x \to — \infty } (f(x) — (kx + b)) = 0[/latex]

Определение 3. Прямая [latex]x = {x_0}[/latex] называется вертикальной асимптотой графика функции [latex]f[/latex], если хотя бы одна из границ или

[latex]f(x_0 + 0) = \mathop {\lim }\limits_{x \to x_0 + 0} f(x) = \infty[/latex]

равны бесконечности. Отсюда следует, что вертикальные асимптоты графика функции  [latex]f(x)[/latex] могут быть только при наличии граничных точек области определения функции или точек разрыва.

Что бы найти вертикальные асимптоты графика функции [latex]f[/latex], надо найти такие значения[latex]{x_0}[/latex], для которых выполняется одно или оба предыдущих условия. 

Пример 1.Найдем вертикальные асимптоты графика функции [latex]y = {e^{\frac{1}{{x — 2}}}}[/latex]. Ясно, что эта функция определена во всех точках числовой оси [latex]R[/latex], кроме точки [latex]x=2[/latex]. Вычислим пределы:

[latex]\mathop{\lim }\limits_{x \to 2 — 0} {e^{\frac{1}{{x — 2}}}} = 0[/latex]

и

[latex]\mathop{\lim }\limits_{x \to 2 + 0} {e^{\frac{1}{{x — 2}}}} = \infty[/latex]

Следовательно, прямая [latex]x=2[/latex] является односторонней вертикальной асимптотой графика рассматриваемой функции при [latex]x \to 2 + 0[/latex].

ex

Пример 2.Выясним существует ли вертикальные асимптоты у графика функции [latex]y = \frac{1}{x}[/latex]. Эта функция определена на множестве всех вещественных чисел кроме нуля причем

[latex]\mathop {\lim }\limits_{x \to — 0} \frac{1}{x} =- \infty [/latex]

и

[latex]\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{1}{x} =\infty [/latex]

Иными словами, если мы имеем кривую, которая отдаляется в бесконечность, и если расстояние от точки кривой к некоторой прямой при отдалении точки в бесконечность стремится к нулю, то эта прямая называется асимптотой кривой.

gip
Из определения наклонной асимптоты следует следующее утверждение.
Для того, что бы График функции [latex]f[/latex] имел при [latex]x \to \pm \infty [/latex] наклонную асимптоту [latex]y = kx + b[/latex], необходимо и достаточно, что бы

[latex]k = \mathop {\lim }\limits_{x \to\pm \infty } \frac{{f(x)}}{x}[/latex]

[latex]b = \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } (f(x) — kx)[/latex]

Пример 3. Найти асимптоты графика

[latex]f(x) = \frac{{{x^2} — 3x + 1}}{x}[/latex]

Функция определена на всей числовой оси кроме нуля. Вычислим пределы:

[latex]\mathop {\lim }\limits_{x \to +0} \frac{x — 3x + 1}{x}=+\infty[/latex]

[latex]\mathop {\lim }\limits_{x \to -0} \frac{x — 3x + 1}{x}=-\infty[/latex]

Следовательно, прямая [latex]x=0[/latex] — двухсторонняя вертикальная асимптота графика рассматриваемой функции.

Для нахождения наклонных асимптот графика представим эту функцию в виде

[latex]f(x) = \frac{{{x^2} — 3x + 1}}{x} = x — 3 + \frac{1}{x}[/latex]

Так как [latex]1/x \to 0[/latex] при [latex]x\to \infty[/latex], то из определения наклонной асимптоты следует, что прямая [latex]y=x-3[/latex] является двухсторонней наклонной асимптотой графика указанной функции. Поскольку [latex]1/x>0[/latex] при [latex]x>0[/latex] и [latex]1/x<0[/latex] при [latex]x<0[/latex], кривая графика лежит выше асимптоты при [latex]x \to -\infty[/latex].

par

Литература

  • Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа — М.: Высш.школа, 1981, т I — 687 с. ( с. 374- 375).
  • Вартаняна Г.М. Конспект лекций по математическому анализу  ч. 1.(с. 52-53).
  • Лысенко З.М. Конспект лекций по математическому анализу.
  • Исследование функций