Разбиение множества

Определение:

Пусть $latex A \neq \emptyset$. Разбиением множества $latex A$ называется непустое множество подмножеств $latex A_j \in A$, $latex j \in I$ ($latex I$ — некоторое множество индексов), такое, что выполняются два условия:

  1. [latex] \underset {j \in I}{\bigcup}A_j=A[/latex]
  2. [latex] A_i \bigcap A_j=\emptyset[/latex], для любых $latex i, j \in I$ таких, что $latex i \neq j$

Пример 1:

Множество $latex \mathbb R$ можно разбить следующим образом:

$latex A_1=R^+$, $latex A_2=\left\{0\right\}$, $latex A_3=R^-$

Графически это можно изобразить следующим образом:разбиение 1

Пример 2:

Аналогично множество $latex \mathbb Z$ можно представить в виде разбиения на множества четных и нечетных целых чисел:

$latex A_1=2\mathbb Z$, $latex A_2=2\mathbb Z + 1$

Графически это можно представить следующим образом:
разбиение 2

 

Литература:

  • Белозеров Г.С. Конспект лекций по линейной алгебре

Разбиение множества

Тест

Таблица лучших: Разбиение множества

максимум из 3 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных

Виды отображений. Распознавание свойств отображений. Композиция отображений. Обратимость. Примеры

Материал лекций по теме «Отображения, типы отображений, тождественное отображение»

Задача №1

Рассмотрим пример, в котором заданное соответствие не является отображением.

Условие задачи:

Задано $latex f(u) =\left | \frac{ u(u+1)(u+2)}{3} \right|$, $latex U=\mathbb Z$, $latex V=\mathbb N$. Определить, будет ли $latex f: U \rightarrow V$ отображением.

Спойлер

Данное соответствие будет отображением, если $latex \forall u \in U$ существует образ. Казалось бы, каким бы ни было $latex u$, произведение трех последовательных чисел всегда будет делиться на 3. Однако, при:

$latex \begin{matrix} u_1 = 0 & f(u_1) = 0 \\ u_2 = -1 & f(u_2) = 0 \\ u_3 = -2 & f(u_3) = 0 \end{matrix}$

$latex \Rightarrow$ Не все прообразы имеют образы, т.к. $latex 0 \notin \mathbb N$

$latex \Rightarrow$ Данное соответствие не является отображением.

[свернуть]

Рассмотрим задачи, в которых определим вид отображения и исследуем его на обратимость.

Задача №2

Условие задачи:

Заданы $latex U = \mathbb Z$, $latex V = \mathbb N$, $latex f(u) = u^2+2$, $latex f(u): U \rightarrow V$. Определить вид этого отображения и исследовать на обратимость.

Спойлер

Проверим, будет ли это отображение инъективным. Отображение инъективно, если для $latex \forall v \in V$ существует не более одного прообраза:

$latex \begin{matrix} u_1 = -1 & f(u_1) = 3 \\ u_2 = 1 & f(u_2) = 3 \end{matrix}$

$latex \Rightarrow$ Один из образов имеет более одного прообраза. Отображение не инъективно.

Проверим, будет ли отображение сюръективно. Отображение сюръективно, если каждый элемент множества $latex V$ является образом.

$latex 5 \in V$, но $latex \nexists u \in U$ такого, что $latex f(u) = 5$. Т.е. один из элементов множества $latex V$ не является образом.

$latex \Rightarrow$ Отображение не сюръективно.

Таким образом получили, что данное отображение не инъективно и не сюръективно.

Теперь исследуем отображение на обратимость. Для этого воспользуемся критерием обратимости, согласно которому отображение обратимо $latex \Leftrightarrow$ когда оно биективно. Поскольку отображение не иъективно и не сюръективно, оно биективным не является, а, следовательно, не обратимо.

[свернуть]

Задача №3

Условие задачи:

Заданы $latex U=\left[ -\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}\right]$, $latex V=\left[ -1; 1\right]$, $latex f: U \rightarrow V$, $latex f(u) = \sin{u}$. Определить вид отображения и исследовать на обратимость.

Спойлер

Определим вид отображения. Это отображение является инъективным, поскольку $latex \forall v \in V$ имеет не более одного прообраза. Это отображение также является сюръективным, поскольку $latex \forall v \in V$ является образом.

$latex \Rightarrow$ Отображение биективно.

Исследуем отображение на обратимость. Для этого, воспользуемся критерием обратимости. Поскольку отображение биективно, то, согласно критерию, оно обратимо. Действительно, для данного отображения существует обратное: $latex f^{-1}=\arcsin{u}$.

[свернуть]

Задача №4

Условие задачи: Заданы $latex f: \mathbb Q \rightarrow \mathbb Q$, $latex g: \mathbb Q \rightarrow \mathbb Q$, $latex f(u)=2u$, $latex g(u)=\frac{u}{2}$. Определить, обладает ли композиция этих отображений свойством коммутативности.

Спойлер

Проверим значение $latex (g \circ f)(u)$:

$latex (g \circ f)(u)=g(f(u))=g(2u)=u$

Проверим значение $latex (f \circ g)(u)$:

$latex (f \circ g)(u)=f(g(u))=f(\frac{u}{2})=u$

Получили, что $latex f \circ g = g \circ f$. Следовательно, композиция этих отображений обладает свойством коммутативности.

[свернуть]

Литература

  • Белозеров Г.С. Конспект лекций по линейной алгебре
  • Кострикин А.И. Введение в алгебру. Часть 1, ФИЗМАТЛИТ, 2001г., стр. 35-38

Виды отображений. Обратимость

Тест

Таблица лучших: Виды отображений. Обратимость

максимум из 8 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных