Автор: Роман Гайдей

Разбиение множества

Определение:
Пусть $A$ — некоторое непустое множество ($A \neq \emptyset$). Разбиением множества $A$ называется непустое множество подмножеств $A_j \subset A$, $j \in I$ ($I$ — некоторое множество индексов), такое, что выполняются два условия:

  1. $\underset {j \in I}{\bigcup}A_j = A$
  2. $A_i \bigcap A_j = \emptyset$, для любых $i, j \in I$ таких, что $i \neq j$

Пример 1:
Множество $\mathbb R$ можно разбить следующим образом:
$A_1 = \mathbb R^+$, $A_2 = \left\{0\right\}$, $A_3 = \mathbb R^-$
Графически это можно изобразить следующим образом:разбиение 1
Пример 2:
Аналогично множество $\mathbb Z$ можно представить в виде разбиения на множества четных и нечетных целых чисел:
$A_1 = 2\mathbb Z$, $A_2 = 2\mathbb Z + 1$
Графически это можно представить следующим образом:
разбиение 2
Пример 3:
Пусть задано множество $A$, состоящее из трех элементов $\left\{a, b, c\right\}$. Существует $5$ способов разбить это множество:

  • $\left\{\left\{a, b, c\right\}\right\}$
  • $\left\{\left\{a\right\}, \left\{b\right\}, \left\{c\right\}\right\}$
  • $\left\{\left\{a, b\right\}, \left\{c\right\}\right\}$
  • $\left\{\left\{a\right\}, \left\{b, c\right\}\right\}$
  • $\left\{\left\{b\right\}, \left\{a, c\right\}\right\}$

Литература:

  • Белозеров Г.С. Конспект лекций по линейной алгебре

Разбиение множества

Тест

Виды отображений. Распознавание свойств отображений. Композиция отображений. Обратимость. Примеры

Материал лекций по теме «Отображения, типы отображений, тождественное отображение»

Рассмотрим пример, в котором заданное соответствие не является отображением.

Задача №1
Условие задачи:
Задано $f(u) =\left | \frac{ u(u+1)(u+2)}{3} \right|$, $U=\mathbb Z$, $V=\mathbb N$. Определить, будет ли $f: U \rightarrow V$ отображением.

Решение

Данное соответствие будет отображением, если $\forall u \in U$ существует образ. Казалось бы, каким бы ни было $u$, произведение трех последовательных чисел всегда будет делиться на 3. Однако, при:

$\begin{matrix} u_1 = 0 & f(u_1) = 0 \\ u_2 = -1 & f(u_2) = 0 \\ u_3 = -2 & f(u_3) = 0 \end{matrix}$

$\Rightarrow$ Не все прообразы имеют образы, т.к. $0 \notin \mathbb N$

$\Rightarrow$ Данное соответствие не является отображением.

[свернуть]

Рассмотрим задачи, в которых определим вид отображения и исследуем его на обратимость.

Задача №2
Условие задачи:
Заданы $U = \mathbb Z$, $V = \mathbb N$, $f(u) = u^2+2$, $f(u): U \rightarrow V$. Определить вид этого отображения и исследовать на обратимость.

Решение

Проверим, будет ли это отображение инъективным. Отображение инъективно, если для $\forall v \in V$ существует не более одного прообраза:

$\begin{matrix} u_1 = -1 & f(u_1) = 3 \\ u_2 = 1 & f(u_2) = 3 \end{matrix}$

$\Rightarrow$ Один из образов имеет более одного прообраза. Отображение не инъективно.

Проверим, будет ли отображение сюръективно. Отображение сюръективно, если каждый элемент множества $V$ является образом.

$5 \in V$, но $\nexists u \in U$ такого, что $f(u) = 5$. Т.е. хотя бы один из элементов множества $V$ не является образом.

$\Rightarrow$ Отображение не сюръективно.

Таким образом получили, что данное отображение не инъективно и не сюръективно.

Теперь исследуем отображение на обратимость. Для этого воспользуемся критерием обратимости, согласно которому отображение обратимо $\Leftrightarrow$ когда оно биективно. Поскольку отображение не иъективно и не сюръективно, оно биективным не является, а, следовательно, не обратимо.

[свернуть]

Задача №3
Условие задачи:
Заданы $U=\left[ -\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}\right]$, $V=\left[ -1; 1\right]$, $f: U \rightarrow V$, $f(u) = \sin{u}$. Определить вид отображения и исследовать на обратимость.

Решение

Определим вид отображения. Это отображение является инъективным, поскольку $\forall v \in V$ имеет не более одного прообраза. Это отображение также является сюръективным, поскольку $\forall v \in V$ является образом.

$\Rightarrow$ Отображение биективно.

Исследуем отображение на обратимость. Для этого, воспользуемся критерием обратимости. Поскольку отображение биективно, то, согласно критерию, оно обратимо. Действительно, для данного отображения существует обратное: $f^{-1}=\arcsin{u}$.

[свернуть]

Задача №4
Условие задачи: Заданы $f: \mathbb Q \rightarrow \mathbb Q$, $g: \mathbb Q \rightarrow \mathbb Q$, $f(u)=2u$, $g(u)=\frac{u}{2}$. Определить, обладает ли композиция этих отображений свойством коммутативности.

Решение

Проверим значение $(g \circ f)(u)$:

$(g \circ f)(u)=g(f(u))=g(2u)=u$

Проверим значение $(f \circ g)(u)$:

$(f \circ g)(u)=f(g(u))=f(\frac{u}{2})=u$

Получили, что $f \circ g = g \circ f$. Следовательно, композиция этих отображений обладает свойством коммутативности.

[свернуть]

Литература

  • Белозеров Г.С. Конспект лекций по линейной алгебре
  • Кострикин А.И. Введение в алгебру. Часть 1, ФИЗМАТЛИТ, 2001г., стр. 35-38

Виды отображений. Обратимость

Тест