Автор: Константин Мысов

Смешанные задачи на комплексные числа

Для того чтобы приступить к работе над этим пунктом, необходимо иметь понимание о том, что написано в 3 предыдущих пунктах этой темы, а так-же соответствующий теоретический материал.

Здесь представлены некоторые примеры задач в которых нужно преобразовать комплексное число из одной формы в другую для их решения.

Пример 1
Представим число $z=\sqrt{3}+i$ в геометрической и тригонометрической форме.

Вспомним если $a+ib$ и $r(\cos{\alpha}+i\sin{\alpha})$ два представления одного и того-же комплексного числа, то $r=\sqrt{a^2+b^2}$, $\cos{\alpha}=\frac{a}{r}$ и $\sin{\alpha}=\frac{b}{r}$.

Получаем $r=\sqrt{3+1}=2$ и $\alpha = \frac{\pi}{6}$, то-есть $z_1=2(\cos{\frac{\pi}{6}}+i\sin{\frac{\pi}{6}})$ — тригонометрическая форма комплексного числа.

Зная, что в представлении $z=a+ib$, $Re(z)=a$, $Im(z)=b$, получаем что в комплексной плоскости точка представляющая комплексное число имеет координаты $(a,b)$.

Получаем $Z_2(\sqrt{3},1)$ — геометрическая форма комплексного числа.

Пример 2
Найдем г.м.т. точек $z$, если $z=4(\cos{\alpha}+i\sin{\alpha})$ и $0\leq \alpha \leq \frac{\pi}{2}$.

Имеем $|z|=r=4$, $a=4\cos{\alpha}=Re(z)$, $b=4\sin{\alpha}=Im(z)$, отсюда и из условия получаем $0\leq a \leq 4$, $0\leq b \leq 4, a^2+b^2=16$. Получаем четверть круга радиуса $4$, расположенная в первой четверти декартовых координат. Так-же решение очевидно, если использовать полярную систему координат.

imgc2

Пример 3
Найдем комплексное число $z=\frac{(1-i\sqrt{3})(\cos{\alpha}+i\sin{\alpha})}{(1-i)(\cos{\alpha}-i\sin{\alpha})}$.

Для на чала преобразуем комплексные числа $z_1=1-i\sqrt{3},z_2=1-i$ в тригонометрическую форму. Получим $z_1=2(\cos{\frac{5\pi}{3}}+i\sin{\frac{5\pi}{3}})$ и $x_2=\sqrt{2}(\cos{\frac{7\pi}{4}}+i\sin{\frac{7\pi}{4}})$.

Подставив найденное в исходное выражение, получим что оно состоит только из комплексных чисел в тригонометрической форме. Решим полученное.
$$\frac{2(\cos{\frac{5\pi}{3}}+i\sin{\frac{5\pi}{3}})(\cos{\alpha}+i\sin{\alpha})}{\sqrt{2}(\cos{\frac{7\pi}{4}}+i\sin{\frac{7\pi}{4}})(\cos{\alpha}-i\sin{\alpha})}=$$
$$=\frac{1}{\sqrt{2}}\cdot\frac{\cos{(\alpha+\frac{5\pi}{3})}+i\sin{(\alpha+\frac{5\pi}{3})}}{\cos{(-\alpha+\frac{7\pi}{4})}+i\sin{(-\alpha+\frac{7\pi}{4})}}=$$
$$=\frac{2}{\sqrt{2}}\cdot(\cos {( — \frac{\pi}{12}+2\alpha )}+i\sin {( — \frac{\pi}{12}+2\alpha )})=z$$

В этой задаче удобно привести комплексное число к тригонометрической форме, так как операции с ними выполняются проще.

Литература

Смешанные задачи на комплексные числа.

Тест на тему «Смешанные задачи на комплексные числа».


Таблица лучших: Смешанные задачи на комплексные числа.

максимум из 5 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных

Композиция отображений, свойство ассоциативности

Определение 1
Композицией отображений $f:U \to V$ и $g:V \to W$ называется такое отображение $ h:U \to W $ $ h = g \circ f $, что $ \forall u \in U $ $ h(u)=(g \circ f)(u)=g(f(u))=w $.
$\circ$ — символ композиции.

Определение 2
Бинарная операция «$*$» на $A$(непустом множестве) обладает свойством ассоциативности, если $\forall a,b,c \in A$ верно равенство $(a*b)*c=a*(b*c)$.

Лемма
Композиция отображений обладает свойством ассоциативности. То-есть $\forall f,g,h (f \circ g)\circ h= f\circ (g\circ h)$, где $f:W\to Q$, $g:V\to W$, $h:U\to V$, если левая и правая части существуют.

Доказательство
Нужно доказать, что $\forall f,g,h $ $ (f \circ g)\circ h=f\circ (g\circ h)$, где $f:W\to Q$, $g:V\to W$, $h:U\to V$.
$\forall u \in U $ $ [(f\circ g)\circ h](u)=(f\circ g)(h(u))=f(g(h(u)))$ и $\forall u \in U $ $ [f\circ (g\circ h)](u)=f ((g\circ h)(u))=f(g(h(u)))$, получаем что левая и правая части равны, что и доказывает теорему.

Пример 1
Пусть $f:\mathbb{R}^* \to \mathbb{R}^+$, $g:\mathbb{R}^+ \to \mathbb{R}$ и $f(u)=u^2$, $h(u)=\log{v}$, где $u\in \mathbb{R}^*$, $v\in \mathbb{R}^+$, тогда $h(u)=(g\circ f)(u)=\log{u^2}$, где $h:\mathbb{R}^* \to \mathbb{R}$.

Пример 2
Пусть $f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $g:\mathbb{R} \to \mathbb{R}^*$, $h:\mathbb{R}^* \to \mathbb{R}^+$ и $f(u)=2u, g(v)=v^2, h(w)=2^w$, где $u,v \in \mathbb{R}$, $w \in \mathbb{R}^*$, тогда $t_1(u)=(h\circ g)(u)=2^{u^2}, t_2(u)=((h \circ g)\circ f)(u)=2^{(2u)^2}$, где $t_2:\mathbb{R} \to \mathbb{R}^+$ и $t_3(u)=(g \circ h)(u)=(2u)^2$, $t_4(u)=(h\circ (g\circ f))(u)=2^{(2u)^2}$, где $t_4:\mathbb{R} \to \mathbb{R}^+$. Как видим области определений, области значений и законы отображений совпадают, поэтому они равны, то-есть $t_2=t_4$, $ (h \circ g)\circ f=h\circ (g\circ f)$.

Литература

Композиция отображений, свойство ассоциативности.

Тест на тему: «Композиция отображений, свойство ассоциативности.»


Таблица лучших: Композиция отображений, свойство ассоциативности.

максимум из 5 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных

Определение непрерывности функции в точке. Непрерывность по отдельным переменным

Примечание к статье
В последующих определениях точка это элемент $\mathbb{R}^n$, то-есть $x=(x_1,\cdots,x_n)$ и $x^0=(x_1^0,\cdots,x_n^0)$, а значение функции в точке это элемент $\mathbb{R}^m$, то-есть $f(x)=(f_1(x),\cdots,f_m(x))$ и $f(x^0)=(f_1(x^0),\cdots,f_m(x^0))$. Определим метрику $\rho_n(x,y)=\sqrt{\sum\limits_{i=1}^n(x_i-y_i)^2}$ на пространстве $\mathbb{R}^n$. Нумерация последовательности будет обозначаться верхним индексом в скобках.

Дадим три эквивалентных определения непрерывности функции в точке.

Определение 1.
Функция $f:X \to \mathbb{R}^m$, где $X \subset \mathbb{R}^n$, называется непрерывной в точке $x^0 \in X$, если для любого $\varepsilon>0$ существует такое $\delta=\delta(\varepsilon)>0$, что для всех $x \in X$, удовлетворяющих условию $\rho_n(x,x^0)<\delta$, выполняется неравенство$$\rho_m(f(x),f(x^0))<\varepsilon.$$ В кванторах $$\forall \varepsilon>0 \: \exists \delta=\delta(\varepsilon)>0 \: \forall x \in X:\rho_n(x,x^0)<\delta \Rightarrow \rho_m(f(x),f(x^0))<\varepsilon.$$ Как следует из определения точка $x^0$ не обязана быть предельной точкой множества $X$ (как того требует определение предела в многомерном случае), а может быть и изолированной точкой. Так же верным является и следующее определение.

Определение 2.
Функция $f:X \to \mathbb{R}^m$, где $X \subset \mathbb{R}^n$, называется непрерывной в предельной точке $x^0 \in X$, если $$\lim_{x \to x^0,x \in X}f(x)=f(x^0).$$

Из сказанного выше следует, что если функция $f$, определена на множестве $X$ и непрерывна в точке $x^0 \in X$, то $x^0$ либо предельная точка множества $X$, либо изолированная.

Дадим определение понятия непрерывности функции в точке на языке последовательностей.

Определение 3.
Функция $f:X \to \mathbb{R}^m$, где $X \subset \mathbb{R}^n$, непрерывна в предельной точке $x^0 \in X$, если для любой последовательности точек $\{x^{(k)}\}_{k=1}^{\infty}$, для которой $x^{(k)} \in X,\: x^{(k)}\neq x^0,\: x^{(k)} \to x^{0} \: (k \to \infty)$ $$\lim_{k \to \infty}f(x^{(k)})=f(x^0).$$

Теперь дадим определение функции непрерывной по отдельной переменной.

Определение 4
Функция $f:X \to \mathbb{R}^m$, где $X \subset \mathbb{R}^n$, непрерывна по переменной $x_i$ в точке $x^0 \in X$, если для любого $\varepsilon>0$ существует такое $\delta=\delta(\varepsilon)>0$, что для всех $x \in X$, удовлетворяющих условию $|x_i-x_i^0|<\delta$, выполняется неравенство $$\rho_m(f(x_i)-f(x_i^0))<\varepsilon.$$ Очевидно, что если функция является непрерывной, то она так же непрерывна и по каждой переменной в отдельности. Обратное не верно. Пример 1.
Покажем, что функция
$$f(x,y)=
\begin{cases}
\frac{2xy}{x^2+y^2}, & \text{если $x^2+y^2\neq 0$,}\\
0, & \text{если $x^2+y^2=0$,}
\end{cases}
$$ непрерывна по каждой переменной в отдельности, но не является непрерывной в точке $(0,0)$.

Спойлер

Рассмотрим, непрерывна ли функция по переменной $x$? Пусть $y \neq 0$ и $x_0$ — любые фиксированный числа. Тогда $$\lim_{x \to x_0}f(x,y)=\lim_{x \to x_0}\frac{2xy}{x^2+y^2}=\frac{2x_0y}{x_0^2+y^2}=f(x_0,y).$$

Если же $y=0$, то при любом $x_0 \neq 0$, $\lim_{x \to x_0}f(x,0)=0=f(x_0,0)$. Наконец, если $y=0$ и $x_0=0$, то $\lim_{x \to 0}f(x,0)=0=f(0,0)$.

Таким образом, при каждом фиксированном $y$ функция $f$ непрерывна по переменной $x$. Ввиду симметрии функции относительно $x$ и $y$ при любом фиксированном $x$ функция $f$ непрерывна по переменной $y$.

Однако функция $f$ не является непрерывной в точке $(0,0)$. Действительно, обе последовательности $\left(\frac{1}{n},\frac{1}{n}\right) \to (0,0)$ и $\left(\frac{2}{n},\frac{1}{n}\right) \to (0,0)$ при $n \to \infty$, а соответствующие им последовательности значений функции стремятся к различным пределам:
$$f\left(\frac{1}{n},\frac{1}{n}\right)=\frac{\frac{2}{n^2}}{\frac{1}{n^2}+\frac{1}{n^2}} \to 1, \hspace{4pt} f\left(\frac{2}{n},\frac{1}{n}\right)=\frac{\frac{4}{n^2}}{\frac{4}{n^2}+\frac{1}{n^2}} \to \frac{4}{5} (n \to \infty).$$

[свернуть]

Пример 2.
Показать, что функция
$$
f(x,y)=
\begin{cases}
\frac{x^2y}{x^4+y^2}, & \text{если $x^2+y^2\neq 0$,}\\
0, & \text{если $x^2+y^2=0$,}
\end{cases}
$$
в точке $O(0,0)$ непрерывна вдоль каждого луча $x=t\cos{\alpha}, y=t\sin{\alpha}, (0 \le t < +\infty),$ проходящего через эту точку, т. е. существует $\lim_{t \to 0}f(t\cos{\alpha},t\sin{\alpha})=f(0,0),$ однако эта функция не является непрерывной в точке $(0,0)$. [spoiler] Имеем $$\lim_{t \to 0}f(t\cos{\alpha},t\sin{\alpha})=\lim_{t \to 0}\frac{t\cos^2{\alpha}\sin{\alpha}}{t^2\cos^2{\alpha}+\sin^2{\alpha}}.$$ Поскольку $f(t\cos{\alpha},t\sin{\alpha}) \equiv 0$ при $\alpha=\frac{k\pi}{2},k \in \mathbb{Z}_0$, то при этих значениях $\alpha$ $$\lim_{t \to 0}f(t\cos{\alpha},t\sin{\alpha})=0=f(0,0).$$ Если $0<\alpha<2\pi, \alpha \ne \frac{k\pi}{2}, k \in \mathbb{N}$,то $t^2\cos^2{\alpha}+\sin^2{\alpha}>0$ и $t^2\cos^2{\alpha}+\sin^2{\alpha} \to \sin^2{\alpha}>0$ при $t \to 0$. Следовательно, $\lim_{t \to 0}f(t\cos{\alpha},t\sin{\alpha})=0=f(0,0)$. Таким образом, вдоль любого луча, проходящего через точку $(0,0)$, функция $f$ непрерывна в этой точке.

То, что функция $f$ имеет разрыв в точке $(0,0)$, следует из того, что последовательность $\left(\frac{1}{n},\frac{1}{n^2}\right) \to (0,0) \: (n \to \infty)$, а
$$\lim_{n \to \infty}f\left(\frac{1}{n},\frac{1}{n^2}\right)=\lim_{n \to \infty}\frac{\frac{1}{n^4}}{\frac{1}{n^4}+\frac{1}{n^4}}=\frac{1}{2} \neq f(0,0).$$
[/spoiler]

Литература.

  • Вартанян Г.М. Конспект лекций по математическому анализу, Часть 2(1). (с.9)
  • Коляда В.И., Кореновский А.А. Курс лекций по математическому анализу, Часть 1. (с.252-253)
  • Шилов Г. Е. Математический анализ. Функции одного переменного. В 3-х ч. Ч.1-2 -М.:Наука, 1969, Ч.3 -М.:Наука, 1970. (с.15-17)
  • Берс Л.И. Математический анализ в 2-х томах, перевод с английского. М, Высшая школа. 1975. (с.325)
  • Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления, Том 1. (с.362-363)
  • Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа — М.: Высш.школа, 1981, Том 1.(с.327-329)

      • Определение непрерывности функции в точке. Непрерывность по отдельным переменным.

      Тест на тему: «Определение непрерывности функции в точке. Непрерывность по отдельным переменным.»


      Таблица лучших: Определение непрерывности функции в точке. Непрерывность по отдельным переменным.

      максимум из 5 баллов
      Место Имя Записано Баллы Результат
      Таблица загружается
      Нет данных