Для того чтобы приступить к работе над этим пунктом, необходимо иметь понимание о том, что написано в 3 предыдущих пунктах этой темы, а так-же соответствующий теоретический материал.
Здесь представлены некоторые примеры задач в которых нужно преобразовать комплексное число из одной формы в другую для их решения.
Пример 1
Представим число $z=\sqrt{3}+i$ в геометрической и тригонометрической форме.
Вспомним если $a+ib$ и $r(\cos{\alpha}+i\sin{\alpha})$ два представления одного и того-же комплексного числа, то $r=\sqrt{a^2+b^2}$, $\cos{\alpha}=\frac{a}{r}$ и $\sin{\alpha}=\frac{b}{r}$.
Получаем $r=\sqrt{3+1}=2$ и $\alpha = \frac{\pi}{6}$, то-есть $z_1=2(\cos{\frac{\pi}{6}}+i\sin{\frac{\pi}{6}})$ — тригонометрическая форма комплексного числа.
Зная, что в представлении $z=a+ib$, $Re(z)=a$, $Im(z)=b$, получаем что в комплексной плоскости точка представляющая комплексное число имеет координаты $(a,b)$.
Получаем $Z_2(\sqrt{3},1)$ — геометрическая форма комплексного числа.
Пример 2
Найдем г.м.т. точек $z$, если $z=4(\cos{\alpha}+i\sin{\alpha})$ и $0\leq \alpha \leq \frac{\pi}{2}$.
Имеем $|z|=r=4$, $a=4\cos{\alpha}=Re(z)$, $b=4\sin{\alpha}=Im(z)$, отсюда и из условия получаем $0\leq a \leq 4$, $0\leq b \leq 4, a^2+b^2=16$. Получаем четверть круга радиуса $4$, расположенная в первой четверти декартовых координат. Так-же решение очевидно, если использовать полярную систему координат.
Пример 3
Найдем комплексное число $z=\frac{(1-i\sqrt{3})(\cos{\alpha}+i\sin{\alpha})}{(1-i)(\cos{\alpha}-i\sin{\alpha})}$.
Для на чала преобразуем комплексные числа $z_1=1-i\sqrt{3},z_2=1-i$ в тригонометрическую форму. Получим $z_1=2(\cos{\frac{5\pi}{3}}+i\sin{\frac{5\pi}{3}})$ и $x_2=\sqrt{2}(\cos{\frac{7\pi}{4}}+i\sin{\frac{7\pi}{4}})$.
Подставив найденное в исходное выражение, получим что оно состоит только из комплексных чисел в тригонометрической форме. Решим полученное.
$$\frac{2(\cos{\frac{5\pi}{3}}+i\sin{\frac{5\pi}{3}})(\cos{\alpha}+i\sin{\alpha})}{\sqrt{2}(\cos{\frac{7\pi}{4}}+i\sin{\frac{7\pi}{4}})(\cos{\alpha}-i\sin{\alpha})}=$$
$$=\frac{1}{\sqrt{2}}\cdot\frac{\cos{(\alpha+\frac{5\pi}{3})}+i\sin{(\alpha+\frac{5\pi}{3})}}{\cos{(-\alpha+\frac{7\pi}{4})}+i\sin{(-\alpha+\frac{7\pi}{4})}}=$$
$$=\frac{2}{\sqrt{2}}\cdot(\cos {( — \frac{\pi}{12}+2\alpha )}+i\sin {( — \frac{\pi}{12}+2\alpha )})=z$$
В этой задаче удобно привести комплексное число к тригонометрической форме, так как операции с ними выполняются проще.
Литература
- Фаддеев Д.К., Соминский И.С. Сборник задач по высшей алгебре $—$ М.:Наука, 1972.(c.18-22)
- Фаддеев Д.К Лекции по алгебре $—$ М.:Наука, 1984.(c.26-39)
Смешанные задачи на комплексные числа.
Навигация (только номера заданий)
0 из 5 заданий окончено
Вопросы:
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
Информация
Тест на тему «Смешанные задачи на комплексные числа».
Вы уже проходили тест ранее. Вы не можете запустить его снова.
Тест загружается...
Вы должны войти или зарегистрироваться для того, чтобы начать тест.
Вы должны закончить следующие тесты, чтобы начать этот:
Результаты
Правильных ответов: 0 из 5
Ваше время:
Время вышло
Вы набрали 0 из 0 баллов (0)
Рубрики
- Алгебра 0%
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
- С ответом
- С отметкой о просмотре
-
Задание 1 из 5
1.
Сократить (дать ответ в тригонометрической форме) $z=(1+i\sqrt{3})(1+i)(\cos{\alpha}+i\sin{\alpha})$.
Правильно
Неправильно
-
Задание 2 из 5
2.
Упорядочить по возрастанию модуля числа:
-
$1+i\sqrt{3}$
-
$\frac{3}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{4}$
-
$4(\cos{\frac{\pi}{6}}+i\sin{\frac{\pi}{6}})$
-
$\frac{\lg^4{100}}{3}(\cos{\frac{4\pi}{7}}+i\sin{\frac{4\pi}{7}})$
Правильно
Неправильно
-
-
Задание 3 из 5
3.
Выбрать два представления отвечающие одному и тому же комплексному числу.
Правильно
Неправильно
-
Задание 4 из 5
4.
Поставить в соответствие комплексным числам в алгебраической форме их тригонометрическое представление.
Элементы сортировки
- $4(\cos{\frac{\pi}{6}}+i\sin{\frac{\pi}{6}})$
- $4(\cos{\frac{5\pi}{3}}+i\sin{\frac{5\pi}{3}})$
- $2(\cos{\frac{11\pi}{6}}+i\sin{\frac{11\pi}{6}})$
- $8\sqrt{2}(\cos{\frac{5\pi}{6}}+i\sin{\frac{5\pi}{6}})$
-
$2\sqrt{3}+i2$
-
$2-i2\sqrt{3}$
-
$\sqrt{3}-i$
-
$-4\sqrt{3}+i4$
Правильно
Неправильно
-
Задание 5 из 5
5.
Указать число с полярными координатами $(2,\frac{11\pi}{6})$.
Правильно
Неправильно
Таблица лучших: Смешанные задачи на комплексные числа.
Место | Имя | Записано | Баллы | Результат |
---|---|---|---|---|
Таблица загружается | ||||
Нет данных | ||||