Определение и примеры линейных операторов. Действия над линейными операторами. Задания

На странице «Определение и примеры линейных операторов. Действия над линейными операторами. Теория» Вы можете ознакомиться с теоретическим материалом.

Упражнение 1.
Проверка оператора на линейность

Проверить, является ли оператор $A$ линейным в $R^3$
$Ax=\left(x_{2}+ x_{3}, 5x_{2}-x_{1}, x_{1}+8x_{3}\right)$

Решение

Оператор является линейным, если $\forall a,b\in \mathbb{R}^{3}$ , $\forall \alpha\in \mathbb{R}$ выполняются условия:

$A\left(a+b\right)=Aa+Ab$
$A\left(\lambda a\right)=\lambda Aa$

Проверим условие 1:
$A\left(a+b\right)=A\left(a_1+b_1,a_2+b_2,a_3+b_3\right)=$
$=\left(a_2+b_2+a_3+b_3,5a_2+5_b2-a_1-b_1,a_1+b_1+8a_3+8b_3\right)=$
$=\left(a_2+a_3,5a_2-a_1,a_1+8a_3\right)+\left(b_2+b_3,5_b2-b_1,b_1+8b_3\right)=$
$=A\left(a_1,a_2,a_3\right)+A\left(b_1,b_2,b_3\right)=Aa+Bb$

Проверим условие 2:
$A\left(\lambda a\right)=A\left(\lambda a_{1},\lambda a_{2},\lambda a_{3}\right)=\left(\lambda a_{2}+\lambda a_{3},5\lambda a_{2}-\lambda a_{1},\lambda a_{1}+8\lambda a_{3}\right)=$
$=\lambda\left(a_{2}+a_{3},5a_{2}-a_{1},a_{1}+8a_{3}\right)=\lambda Aa$

Ответ: оба условия выполняются, значит оператор $A$ — линейный.

[свернуть]

Упражнение 2.
Найти значение выражения $4A+7B$

$A,B$ — линейные операторы из $\Omega\left(\mathbb{R}^3\right)$ , $A\left(x_1,x_2,x_3\right)=\left(x_1-x_2+x_3,x_2,x_3-x_1\right)$ , $B\left(x_1,x_2,x_3\right)=\left(0,x_2,1\right)$

Решение

$4A\left(x_1,x_2,x_3\right)=\left(4x_1-4x_2+4x_3,4x_2,4x_3-4x_1\right)$
$7B\left(x_1,x_2,x_3\right)=\left(0,7x_2,7\right)$
$4A+7B=\left(4x_1-4x_2+4x_3,11x_2,4x_3-4x_1+7\right)$
Ответ: $4A+7B=\left(4x_1-4x_2+4x_3,11x_2,4x_3-4x_1+7\right)$

[свернуть]

Упражнение 3.
Найти значение выражения $B\cdot 4A$

$A,B$ — линейные операторы из $\Omega\left(\mathbb{R}^3\right)$ , $A\left(x_1,x_2,x_3\right)=\left(0,x_2+\frac{1}{4}x_3,x_3\right)$ , $B\left(x_1,x_2,x_3\right)=\left(x_1+x_3,x_2,1\right)$

Решение

$4A\left(x_1,x_2,x_3\right)=\left(0,4x_2+x_3,4x_3\right)$
$B\cdot 4A\left(x_1,x_2,x_3\right)=\left(4x_3,4x_2+x_3,1\right)$
Ответ: $B\cdot 4A\left(x_1,x_2,x_3\right)=\left(4x_3,4x_2+x_3,1\right)$

[свернуть]

Упражнение 4.
Найти значение выражения $Ax-3Bx$

$A, B$ — линейные операторы из $\Omega\left(M_2\left(\mathbb{R}\right)\right)$ ,
$A=\begin{Vmatrix}2& 2\\ 0 & 0\end{Vmatrix}$ , $B=\begin{Vmatrix}1 & 1 \\ 2 & 0\end{Vmatrix}$

Решение

$Ax=\begin{Vmatrix}2& 2\\ 0 & 0\end{Vmatrix}\cdot\begin{Vmatrix}x_1& x_2\\ x_3 & x_4\end{Vmatrix}=$ $\begin{Vmatrix}2x_1+2x_3& 2x_2+2x_4\\ 0 & 0\end{Vmatrix}$

$3Bx=\begin{Vmatrix}3& 3\\ 6 & 0\end{Vmatrix}\cdot\begin{Vmatrix}x_1& x_2\\ x_3 & x_4\end{Vmatrix}=\begin{Vmatrix}3x_1+3x_3& 3x_2+3x_4\\ 6x_1 & 6x_2\end{Vmatrix}$

$Ax-3Bx=\begin{Vmatrix}2x_1+2x_3& 2x_2+2x_4\\ 0 & 0\end{Vmatrix}-$ $\begin{Vmatrix}3x_1+3x_3& 3x_2+3x_4\\ 6x_1 & 6x_2\end{Vmatrix}=$

$=\begin{Vmatrix}-x_1-x_3& -x_2-x_4\\ -6x_1 & -6x_2\end{Vmatrix}=-\begin{Vmatrix}x_1+x_3& x_2+x_4\\ 6x_1 & 6x_2\end{Vmatrix}$

Ответ: $Ax-3Bx=-\begin{Vmatrix}x_1+x_3& x_2+x_4\\ 6x_1 & 6x_2\end{Vmatrix}$

[свернуть]

Определение и примеры линейных операторов

Выполните тест и проверьте хорошо ли Вы усвоили материал.

Задание 1 из 3

1.
Является ли оператор $D:P_{n}[x]\rightarrow P_{n-1}[x]$ линейным?
$X=P_n[x]$ , $Y=P_{n-1}[x]$
- Да
- Нет
- Невозможно определить
Задание 2 из 3

2.
Какие из операторов являются линейными?
- $Ax=x_{1}+x_{2}+x_{4}, x_{3}, x_{1}+x_{3}, x_{4}$
- $Ax=x_{1}*x_{2}*x_{4}, x_{3}, x_{1}*x_{3}, x_{4}$
- $\frac{x_{1}}{x_{3}},\frac{x_{2}}{x_{4}},\frac{x_{1}}{x_{3}},\frac{x_{2}}{x_{4}}$
- $x_{4}, x_{3}, x_{2}, x_{1}$
Задание 3 из 3

3.
Найти значение выражения: $Ax+BCx$ , при $A\left(x_{1},x_{2}\right)=\left(x_{1}+x_{2}, x_{1}-x_{2}\right)$ , $B\left(x_{1},x_{2}\right)=\left(x_{2},x_{1}\right)$ , $c\left(x_{1},x_{2}\right)=\left(x_{2}+x_{1},0\right)$ .
$(x_{1}$ запишите в виде x1, аналогично с $x_{2}$ )

Таблица лучших: Определение и примеры линейных операторов

максимум из 3 баллов
Место	Имя	Записано	Баллы	Результат
Таблица загружается
Нет данных

Список использованной литературы:

Проскуряков И.В. Сборник задач по линейной алгебре. М.: Наука, 1984, стр.187
Личный конспект, составленный на основе лекций Г.С. Белозерова

Определение и примеры линейных операторов. Действия над линейными операторами. Теория

Определение

Пусть $\left(X,\mathbb{P}\right)$ , $\left(Y,\mathbb{P}\right)$ — линейные пространства.
Отображение $A:X\rightarrow Y$ называется линейным оператором, если $\forall a,b\in X$ $\forall\alpha,\beta\in \mathbb P$ выполняется равенство:
$A\left(\alpha a+\beta b\right)=\alpha A a+\beta A b$ .

Примеры часто используемых операторов:

$\theta:X\rightarrow Y$ — нулевой оператор $\forall x\in X$ $\theta x=0$ ;
$\varepsilon:X\rightarrow X$ — тождественный (единичный) оператор $\forall x\in X$ $\varepsilon x=x$ ;
$\alpha\varepsilon:X\rightarrow X$ — скалярный оператор $\forall x\in X$ $\left(\alpha\varepsilon\right)x=\alpha x,$ $\alpha\in\mathbb{P}$ ;
$\rho:X\rightarrow L_{1}$ — оператор прямого проектирования, где $X=L_{1}+L_{2}$ ,
$\forall x\in X$ $x=x_{1}+x_{2}$ , $x_{1}\in L_{1}$ , $x_{2}\in L_{2}$ , $\rho x=x_{1}$ .

Операции над линейными операторами

Сумма линейных операторов

Пусть $A,B$ — линейные операторы из $\Omega\left(X,Y\right)$
$C:X\rightarrow Y$ , $C=A+B$
$Cx=\left(A+B\right)x=Ax+Bx$ $\forall x\in X$ .

Произведение оператора и скаляра

Пусть $A$ — линейный оператор из $\Omega\left(X,Y\right)$ , $\lambda\in\mathbb{P}$ .
Тогда произведением $\lambda A$ называется отображение $C:X\rightarrow Y$
$\forall x\in X$ $Cx=\left(\lambda A\right)x=\lambda\left(Ax\right)$ .

Произведение линейных операторов

Пусть $A,B$ — линейные операторы из $\Omega\left(X,Y\right)$ и из $\Omega\left(Y,Z\right)$
$X$ , $Y$ , $Z$ — линейные пространства над полем $\mathbb{P}$ .
Оператор $BA:X\rightarrow Z$ , определяемый соотношением $BAx=B\left(Ax\right)$ $\forall x\in X$ ,
называется произведением операторов $A$ и $B$ .

Линейные операторы

Пройдите тест, чтоб узнать насколько хорошо Вы усвоили материал.

Задание 1 из 3

1.
Количество баллов: 1
Заполните пропуски в определении:
Пусть $\left(X,P\right)$ , $\left(Y,P\right)$ — линейные пространства.
Если $\forall a,b\in X$ $\forall\alpha,\beta\in P$ $A\left(\alpha a+\beta b\right)=\alpha A a+\beta A b$ , то чем является $A:X\rightarrow Y$ ?
- (линейным оператором)
Правильно

Неправильно
Задание 2 из 3

2.
Количество баллов: 1
Указать в заданном порядке, что называется суммой операторов, их произведением, произведением оператора на скаляр:
- Пусть $A,B$ — линейные операторы из $\Omega\left(X,Y\right)$ $C:X\rightarrow Y$ , $C=A+B$ $\forall x\in X$ $Cx=\left(A+B\right)x=Ax+Bx$
- Пусть $A,B$ — линейные операторы из $\Omega\left(X,Y\right)$ и из $\Omega\left(Y,Z\right)$ $X$ , $Y$ , $Z$ — линейные пространства над полем $\mathbb{P}$ $BA=C$ $C:X\rightarrow Z$ $\forall x\in X$ $Cx=\left(BA\right)x=b\left(Ax\right)$ $B\circ A$
- Пусть $A$ — линейный оператор из $\Omega\left(X,Y\right)$ , $\lambda\in\mathbb{P}$ . Тогда произведением $\lambda A$ называется отображение: $C:X\rightarrow Y$ $\forall x\in X$ $Cx=\left(\lambda A\right)x=\lambda\left(Ax\right)$ .
Правильно

Неправильно

Задание 3 из 3

3.

Количество баллов: 1

Сопоставить обозначение часто используемого оператора и его название:

Элементы сортировки

Нулевой оператор
Тождественный оператор
Скалярный оператор
Дифференциальный оператор

$\Theta$

$\varepsilon$

$\alpha$

$D$

Таблица лучших: Линейные операторы

максимум из 3 баллов
Место	Имя	Записано	Баллы	Результат
Таблица загружается
Нет данных

Список использованной литературы:

Федорчук В.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. М.: изд. Московского ун-та, 1990, часть 2 «Линейная алгебра и геометрия», §10, стр.214-216.
Проскуряков И.В. Сборник задач по линейной алгебре. М.: Наука, 1984, стр.187
Личный конспект, составленный на основе лекций Г.С. Белозерова

Тригонометрическая форма комплексного числа

Зададим декартову систему координат на плоскости. Изобразим комплексное число в его геометрической форме.
Угол $\varphi$ — аргумент числа $z$ .

Между координатами точки существует взаимосвязь, которая верна при различных расположениях точек на плоскости:
$a=r\cos\varphi$ , $b=r\sin\varphi$ , где $r$ — это модуль комплексного числа $z$ .
Эта взаимосвязь получена из определения геометрического представления комплексного числа.
Применив полученные формулы к алгебраической форме комплексного числа $\left(z=a+ib\right)$ , мы получим: $z=a+ib=r\cos\varphi+i\left(r\sin\varphi\right)$ , таким образом:
$z=r\left(\cos\varphi+i\sin\varphi\right)$ — тригонометрическая форма комплексного числа $z$ .

Замечание!

Следует различать запись числа в тригонометрической форме и форме на него похожей:
$z=r\left(\cos\varphi-i\sin\varphi\right)$ — не тригонометрическая форма комплексного числа;
$z=r\left(\sin\varphi+i\cos\varphi\right)$ — не тригонометрическая форма комплексного числа;
$z=r\left(\cos\left(-\varphi\right)+i\sin\varphi\right)$ — не тригонометрическая форма комплексного числа.

Действия над комплексными числами в тригонометрической форме

$z_1=r_1\left(\cos\varphi_1+i\sin\varphi_1\right)$
$z_2=r_2\left(\cos\varphi_2+i\sin\varphi_2\right)$

Умножение

$z_1z_2=r_1r_2\left(\cos\varphi_1\cos\varphi_2-\sin\varphi_1\sin\varphi_2\right)+i\left(\cos\varphi_1\sin\varphi_2+\cos\varphi_2\sin\varphi_1\right)=$ $r_1r_2\left(\cos\left(\varphi_1+\varphi_2\right)+i\sin\left(\varphi_1+\varphi_2\right)\right)$

Деление

$\frac{z_1}{z_2}$ = $\frac{r_1\left(\cos\varphi_1+i\sin\varphi_1\right)}{r_2\left(\cos\varphi_2+i\sin\varphi_2\right)}=$ $\frac{r_1}{r_2}\cdot\frac{\left(\cos\varphi_1+i\sin\varphi_1\right)\left(\cos\left(-\varphi_2\right)+i\sin\left(-\varphi_2\right)\right)}{\cos^{2}\varphi_2+\sin^{2}\varphi_2}=$ $\frac{r_1}{r_2}\left(\cos\left(\varphi_1-\varphi_2\right)+i\sin\left(\varphi_1-\varphi_2\right)\right)$

Возведение в степень (Формула Муавра)

$z\in\mathbb{C}$ , $z=r\left(\cos\varphi+i\sin\varphi\right)$ , $\forall n\in\mathbb{Z}$ :
$z^{n}=r^{n}\left(\cos\left(n\varphi\right)+i\sin\left(n\varphi\right)\right)$

Тригонометрическое представление комплексных чисел

Пройдите тест, чтобы узнать хорошо ли Вы поняли материал.

Таблица лучших: Тригонометрическое представление комплексных чисел

максимум из 4 баллов
Место	Имя	Записано	Баллы	Результат
Таблица загружается
Нет данных

Список использованной литературы:

Курош А.Г. Курс высшей алгебры. М.: Наука, 1968, Глава 4, § 18, «Дальнейшее изучение комплексных чисел» стр.117-118;
Личный конспект, составленный на основе лекций Г.С.Белозерова
Фаддеев Д.К. Лекции по алгебре. М.: Наука, 1984, Глава 2, §2, стр.31-39

Средний результат
Ваш результат

Средний результат
Ваш результат

Средний результат
Ваш результат

Упражнение 1. Проверка оператора на линейность

Упражнение 2. Найти значение выражения 4A+7B4A+7B

Упражнение 3. Найти значение выражения B⋅4AB\cdot 4A

Упражнение 4. Найти значение выражения Ax−3BxAx-3Bx

Определение и примеры линейных операторов

Навигация (только номера заданий)

Информация

Результаты

Рубрики

1.

2.

3.

Таблица лучших: Определение и примеры линейных операторов

Список использованной литературы:

Определение

Примеры часто используемых операторов:

Операции над линейными операторами

Сумма линейных операторов

Произведение оператора и скаляра

Произведение линейных операторов

Линейные операторы

Навигация (только номера заданий)

Информация

Результаты

Рубрики

1.

2.

3.

Элементы сортировки

Таблица лучших: Линейные операторы

Список использованной литературы:

Замечание!

Действия над комплексными числами в тригонометрической форме

Умножение

Деление

Возведение в степень (Формула Муавра)

Тригонометрическое представление комплексных чисел

Навигация (только номера заданий)

Информация

Пройдите тест, чтобы узнать хорошо ли Вы поняли материал.

Результаты

Рубрики

1.

2.

Элементы сортировки

3.

4.

Таблица лучших: Тригонометрическое представление комплексных чисел

Список использованной литературы:

Упражнение 1.
Проверка оператора на линейность

Упражнение 2.
Найти значение выражения $4A+7B$

Упражнение 3.
Найти значение выражения $B\cdot 4A$

Упражнение 4.
Найти значение выражения $Ax-3Bx$