Определение и примеры линейных операторов. Действия над линейными операторами. Задания

На странице «Определение и примеры линейных операторов. Действия над линейными операторами. Теория» Вы можете ознакомиться с теоретическим материалом.

Упражнение 1.
Проверка оператора на линейность

Проверить, является ли оператор $A$ линейным в $R^3$
$Ax=\left(x_{2}+ x_{3}, 5x_{2}-x_{1}, x_{1}+8x_{3}\right)$

Решение

Оператор является линейным, если $\forall a,b\in \mathbb{R}^{3}$, $\forall \alpha\in \mathbb{R}$ выполняются условия:

$A\left(a+b\right)=Aa+Ab$
$A\left(\lambda a\right)=\lambda Aa$

Проверим условие 1:
$A\left(a+b\right)=A\left(a_1+b_1,a_2+b_2,a_3+b_3\right)=$
$=\left(a_2+b_2+a_3+b_3,5a_2+5_b2-a_1-b_1,a_1+b_1+8a_3+8b_3\right)=$
$=\left(a_2+a_3,5a_2-a_1,a_1+8a_3\right)+\left(b_2+b_3,5_b2-b_1,b_1+8b_3\right)=$
$=A\left(a_1,a_2,a_3\right)+A\left(b_1,b_2,b_3\right)=Aa+Bb$

Проверим условие 2:
$A\left(\lambda a\right)=A\left(\lambda a_{1},\lambda a_{2},\lambda a_{3}\right)=\left(\lambda a_{2}+\lambda a_{3},5\lambda a_{2}-\lambda a_{1},\lambda a_{1}+8\lambda a_{3}\right)=$
$=\lambda\left(a_{2}+a_{3},5a_{2}-a_{1},a_{1}+8a_{3}\right)=\lambda Aa$

Ответ: оба условия выполняются, значит оператор $A$ — линейный.

[свернуть]

Упражнение 2.
Найти значение выражения $4A+7B$

$A,B$ — линейные операторы из $\Omega\left(\mathbb{R}^3\right)$, $A\left(x_1,x_2,x_3\right)=\left(x_1-x_2+x_3,x_2,x_3-x_1\right)$, $B\left(x_1,x_2,x_3\right)=\left(0,x_2,1\right)$

Решение

$4A\left(x_1,x_2,x_3\right)=\left(4x_1-4x_2+4x_3,4x_2,4x_3-4x_1\right)$
$7B\left(x_1,x_2,x_3\right)=\left(0,7x_2,7\right)$
$4A+7B=\left(4x_1-4x_2+4x_3,11x_2,4x_3-4x_1+7\right)$
Ответ: $4A+7B=\left(4x_1-4x_2+4x_3,11x_2,4x_3-4x_1+7\right)$

[свернуть]

Упражнение 3.
Найти значение выражения $B\cdot 4A$

$A,B$ — линейные операторы из $\Omega\left(\mathbb{R}^3\right)$, $A\left(x_1,x_2,x_3\right)=\left(0,x_2+\frac{1}{4}x_3,x_3\right)$, $B\left(x_1,x_2,x_3\right)=\left(x_1+x_3,x_2,1\right)$

Решение

$4A\left(x_1,x_2,x_3\right)=\left(0,4x_2+x_3,4x_3\right)$
$B\cdot 4A\left(x_1,x_2,x_3\right)=\left(4x_3,4x_2+x_3,1\right)$
Ответ: $B\cdot 4A\left(x_1,x_2,x_3\right)=\left(4x_3,4x_2+x_3,1\right)$

[свернуть]

Упражнение 4.
Найти значение выражения $Ax-3Bx$

$A, B$ — линейные операторы из $\Omega\left(M_2\left(\mathbb{R}\right)\right)$,
$A=\begin{Vmatrix}2& 2\\ 0 & 0\end{Vmatrix}$, $B=\begin{Vmatrix}1 & 1 \\ 2 & 0\end{Vmatrix}$

Решение

$Ax=\begin{Vmatrix}2& 2\\ 0 & 0\end{Vmatrix}\cdot\begin{Vmatrix}x_1& x_2\\ x_3 & x_4\end{Vmatrix}=$$\begin{Vmatrix}2x_1+2x_3& 2x_2+2x_4\\ 0 & 0\end{Vmatrix}$

$3Bx=\begin{Vmatrix}3& 3\\ 6 & 0\end{Vmatrix}\cdot\begin{Vmatrix}x_1& x_2\\ x_3 & x_4\end{Vmatrix}=\begin{Vmatrix}3x_1+3x_3& 3x_2+3x_4\\ 6x_1 & 6x_2\end{Vmatrix}$

$Ax-3Bx=\begin{Vmatrix}2x_1+2x_3& 2x_2+2x_4\\ 0 & 0\end{Vmatrix}-$$\begin{Vmatrix}3x_1+3x_3& 3x_2+3x_4\\ 6x_1 & 6x_2\end{Vmatrix}=$

$=\begin{Vmatrix}-x_1-x_3& -x_2-x_4\\ -6x_1 & -6x_2\end{Vmatrix}=-\begin{Vmatrix}x_1+x_3& x_2+x_4\\ 6x_1 & 6x_2\end{Vmatrix}$

Ответ: $Ax-3Bx=-\begin{Vmatrix}x_1+x_3& x_2+x_4\\ 6x_1 & 6x_2\end{Vmatrix}$

[свернуть]