Определение и примеры линейных операторов. Действия над линейными операторами


На странице «Определение и примеры линейных операторов. Действия над линейными операторами.Теория» Вы можете ознакомиться с теоретическим материалом.

Упражнение 1

Проверка операторов на линейность

Проверить, является ли оператор $latex=A$ линейным в $latex=R^3$
$latex=Ax=\left(x_{2}+ x_{3}, 5x_{2}-x_{1}, x_{1}+8x_{3}\right)$

Решение:

Спойлер

Проверим оператор на линейность:
Если выполняются условия:
$latex=\forall a,b\in \mathbb{R}^{3}$, $latex=\forall \alpha\in \mathbb{R}$

  1. $latex=A\left(a+b\right)=Aa+Bb$
    Проверим условие 1:
    $latex=A\left(a+b\right)=A\left(a_1+b_1,a_2+b_2,a_3+b_3\right)=\left(a_2+b_2+a_3+b_3,5a_2+5_b2-a_1-b_1,a_1+b_1+8a_3+8b_3\right)=\left(a_2+a_3,5a_2-a_1,a_1+8a_3\right)+\left(b_2+b_3,5_b2-b_1,b_1+8b_3\right)=A\left(a_1,a_2,a_3\right)+A\left(b_1,b_2,b_3\right)=Aa+Bb$
  2. $latex=A\left(\lambda a\right)=\lambda Aa$
    Проверим условие 2:
    $latex=A\left(\lambda a\right)=A\left(\lambda a_{1},\lambda a_{2},\lambda a_{3}\right)=\left(\lambda a_{2}+\lambda a_{3},5\lambda a_{2}-\lambda a_{1},\lambda a_{1}+8\lambda a_{3}\right)=\lambda\left(a_{2}+a_{3},5a_{2}-a_{1},a_{1}+8a_{3}\right)=\lambda Aa$

Так как оба условия выполняются, то оператор линейный.

[свернуть]

Упражнение 2

Найти значение выражения

$latex=4A+7B$.
$latex=A,B$ — линейные операторы из $latex=\Omega\left(\mathbb{R}^3\right)$, $latex=A\left(x_1,x_2,x_3\right)=\left(x_1-x_2+x_3,x_2,x_3-x_1\right)$, $latex=B\left(x_1,x_2,x_3\right)=\left(0,x_2,1\right)$

Решение:

Спойлер

$latex=4A\left(x_1,x_2,x_3\right)=\left(4x_1-4x_2+4x_3,4x_2,4x_3-4x_1\right)$
$latex=7B\left(x_1,x_2,x_3\right)=\left(0,7x_2,7\right)$
$latex=4A+7B=\left(4x_1-4x_2+4x_3,11x_2,4x_3-4x_1+7\right)$

Ответ:

$latex=4A+7B=\left(4x_1-4x_2+4x_3,11x_2,4x_3-4x_1+7\right)$

[свернуть]

Упражнение 3

Найти значение выражения

$latex=B\cdot 4A$.
$latex=A,B$ — линейные операторы из $latex=\Omega\left(\mathbb{R}^3\right)$, $latex=A\left(x_1,x_2,x_3\right)=\left(0,x_2+\frac{1}{4}x_3,x_3\right)$, $latex=B\left(x_1,x_2,x_3\right)=\left(x_1+x_3,x_2,1\right)$

Решение:

Спойлер

$latex=4A\left(x_1,x_2,x_3\right)=\left(0,4x_2+x_3,4x_3\right)$
$latex=B\cdot 4A\left(x_1,x_2,x_3\right)=\left(4x_3,4x_2+x_3,1\right)$

Ответ:

$latex=B\cdot 4A\left(x_1,x_2,x_3\right)=\left(4x_3,4x_2+x_3,1\right)$

[свернуть]

Упражнение 4

Найти значение выражения

$latex=Ax-3Bx$.
$latex=A,B$ — линейные операторы из $latex=\Omega\left(M_2\left(\mathbb{R}\right)\right)$, $latex=A=\begin{Vmatrix}2& 2\\ 0 & 0\end{Vmatrix}$,
$latex=B=\begin{Vmatrix}1 & 1 \\ 2 & 0\end{Vmatrix}$

Решение:

Спойлер

$latex=Ax=\begin{Vmatrix}2& 2\\ 0 & 0\end{Vmatrix}\cdot\begin{Vmatrix}x_1& x_2\\ x_3 & x_4\end{Vmatrix}=$$latex=\begin{Vmatrix}2x_1+2x_3& 2x_2+2x_4\\ 0 & 0\end{Vmatrix}$
$latex=3Bx=\begin{Vmatrix}3& 3\\ 6 & 0\end{Vmatrix}\cdot\begin{Vmatrix}x_1& x_2\\ x_3 & x_4\end{Vmatrix}=$ $latex=\begin{Vmatrix}3x_1+3x_3& 3x_2+3x_4\\ 6x_1 & 6x_2\end{Vmatrix}$
$latex=Ax-3Bx=\begin{Vmatrix}2x_1+2x_3& 2x_2+2x_4\\ 0 & 0\end{Vmatrix}-$$latex=\begin{Vmatrix}3x_1+3x_3& 3x_2+3x_4\\ 6x_1 & 6x_2\end{Vmatrix}=$ $latex=\begin{Vmatrix}-x_1-x_3& -x_2-x_4\\ -6x_1 & -6x_2\end{Vmatrix}$

Ответ:

$latex=Ax-3Bx=-\begin{Vmatrix}x_1+x_3& x_2+x_4\\ 6x_1 & 6x_2\end{Vmatrix}$

[свернуть]

Определение и примеры линейных операторов

Выполните тест и проверьте хорошо ли Вы усвоили материал.


Таблица лучших: Определение и примеры линейных операторов

максимум из 3 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных

 Список использованной литературы :

Определение и примеры линейных операторов. Действия над линейными операторами

Определение

Пусть $latex=\left(X,\mathbb{P}\right)$, $latex=\left(Y,\mathbb{P}\right)$ — линейные пространства.
$latex=A:X\rightarrow Y$-линейный оператор, если $latex=\forall a,b\in X$ $latex=\forall\alpha,\beta\in \mathbb P$ $latex=A\left(\alpha a+\beta b\right)=\alpha A a+\beta A b$.

Примеры часто используемых операторов:

  • $latex=\theta:X\rightarrow Y$ — нулевой оператор
    $latex=\forall x\in X$ $latex=\theta x=0$;
  • $latex=\varepsilon:X\rightarrow X$ — тождественный (единичный) оператор
    $latex=\forall x\in X$ $latex=\varepsilon x=x$;
  • $latex=\alpha\varepsilon:X\rightarrow X$ — скалярный оператор
    $latex=\forall x\in X$ $latex=\left(\alpha\varepsilon\right)x=\alpha x,$ $latex=\alpha\in\mathbb{P}$;
  • $latex=X=L_{1}+L_{2}$ — оператор прямого проектирования
    $latex=\rho:X\rightarrow L_{1}$ $latex=\forall x\in X$ $latex=x=x_{1}+x_{2},$ $latex=x_{1}\in L_{1},$ $latex=x_{2}\in L_{2},$ $latex=\rho_{x}=x_{1}$.

Операции над линейными операторами

Сумма

Пусть $latex=A,B$ — линейные операторы из $latex=\Omega\left(X,Y\right)$
$latex=C:X\rightarrow Y$, $latex=C=A+B$
$latex=\forall x\in X$ $latex=Cx=\left(A+B\right)x=Ax+Bx$

Произведение оператора и скаляра

Пусть $latex=A$ — линейный оператор из $latex=\Omega\left(X,Y\right)$, $latex=\lambda\in\mathbb{P}$.
Тогда произведением $latex=\lambda A$ называется отображение: $latex=C:X\rightarrow Y$
$latex=\forall x\in X$ $latex=Cx=\left(\lambda A\right)x=\lambda\left(Ax\right)$.

Произведение линейных операторов

Пусть $latex=A,B$ — линейные операторы из $latex=\Omega\left(X,Y\right)$ и из $latex=\Omega\left(Y,Z\right)$
$latex=X$, $latex=Y$, $latex=Z$ — линейные пространства над полем $latex=\mathbb{P}$
$latex=BA=C,$ $latex=C:X\rightarrow Z$
$latex=\forall x\in X$ $latex=Cx=\left(BA\right)x=B\left(Ax\right)$
$latex=B\circ A$

Линейные операторы

Пройдите тест, чтоб узнать насколько хорошо Вы усвоили материал.


Таблица лучших: Линейные операторы

максимум из 3 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных

 Список использованной литературы :

Тригонометрическая форма комплексного числа


Зададим декартову систему координат на плоскости. Изобразим комплексное число в его геометрической форме.
Угол $latex=\varphi$ — аргумент числа $latex=z$.
Screenshot_3

Между координатами точки существует взаимосвязь, которая верна при различных расположениях точек на плоскости:
$latex=a=r\cos\varphi$, $latex=b=r\sin\varphi$, где $latex=r$ — это модуль комплексного числа $latex=z$.
Эта взаимосвязь получена из определения геометрического представления комплексного числа.
Применив полученные формулы к алгебраической форме комплексного числа $latex=\left(z=a+ib\right)$, мы получим: $latex=z=a+ib=r\cos\varphi+i\left(r\sin\varphi\right)$, таким образом:
$latex=z=r\left(\cos\varphi+i\sin\varphi\right)$ — тригонометрическая форма комплексного числа $latex=z$.

Замечание!

Следует различать запись числа в тригонометрической форме и форме на него похожей:
$latex=z=r\left(\cos\varphi-i\sin\varphi\right)$ — не тригонометрическая форма комплексного числа;
$latex=z=r\left(\sin\varphi+i\cos\varphi\right)$ — не тригонометрическая форма комплексного числа;
$latex=z=r\left(\cos\left(-\varphi\right)+i\sin\varphi\right)$ — не тригонометрическая форма комплексного числа;

Действия над комплексными числами в тригонометрической форме

$latex=z_1=r_1\left(\cos\varphi_1+i\sin\varphi_1\right)$
$latex=z_2=r_2\left(\cos\varphi_2+i\sin\varphi_2\right)$

Умножение

$latex=z_1z_2=r_1r_2\left(\cos\varphi_1\cos\varphi_2-\sin\varphi_1\sin\varphi_2\right)+i\left(\cos\varphi_1\sin\varphi_2+\cos\varphi_2\sin\varphi_1\right)=$ $latex=r_1r_2\left(\cos\left(\varphi_1+\varphi_2\right)+i\sin\left(\varphi_1+\varphi_2\right)\right)$

Деление

$latex=\frac{z_1}{z_2}$=$latex=\frac{r_1\left(\cos\varphi_1+i\sin\varphi_1\right)}{r_2\left(\cos\varphi_2+i\sin\varphi_2\right)}=$ $latex=\frac{r_1}{r_2}\cdot\frac{\left(\cos\varphi_1+i\sin\varphi_1\right)\left(\cos\left(-\varphi_2\right)+i\sin\left(-\varphi_2\right)\right)}{\cos^{2}\varphi_2+\sin^{2}\varphi_2}=$ $latex=\frac{r_1}{r_2}\left(\cos\left(\varphi_1-\varphi_2\right)+i\sin\left(\varphi_1-\varphi_2\right)\right)$

Возведение в степень (Формула Муавра)

$latex=z\in\mathbb{C}$, $latex=z=r\left(\cos\varphi+i\sin\varphi\right)$, $latex=\forall n\in\mathbb{Z}$:
$latex=z^{n}=r^{n}\left(\cos\left(n\varphi\right)+i\sin\left(n\varphi\right)\right)$

Доказательство

Проверим для:
$latex=n\in\mathbb{N}$:
Математическая индукция.
1.База индукции:
$latex=r=1$, $latex=n=2$ $latex=z^{2}=r^{2}\left(\cos 2\varphi+i\sin 2\varphi\right)$
2.Шаг индукции:
Предположим, что формула верна для $latex=n\leq k$, $latex=k\geq 2$. Докажем справедливость формулы для $latex=z^{k+1}=$ $latex=z^{k}\cdot z=$ $latex=r^{k}\left(\cos k\varphi+i\sin k\varphi\right)\cdot r\left(\cos\varphi+i\sin\varphi\right)=$ $latex=r^{k+1}\left(\cos\left(k+1\right)\varphi+i\sin\left(k+1\right)\varphi\right)$
$latex=n=0$:
$latex=z^{0}=1=$ $latex=r^{0}\left(\cos\left(0\varphi\right)+i\sin\left(0\varphi\right)\right)=$ $latex=1\cdot\left(\cos0+isin0\right)$
$latex=-n\in\mathbb{N}$:
$latex=z^{n}=$ $latex=\frac{1}{z^{-n}}=$ $latex=\frac{\cos0+i\sin)}{r^{-n}\left(\cos\left(-n\varphi\right)+i\sin\left(-n\varphi\right)\right)}=$ $latex=r^{n}\frac{\cos\left(-n\varphi\right)-i\sin\left(-n\varphi\right)}{1}=$ $latex=r^{n}\left(\cos\left(n\varphi\right)+i\sin\left(n\varphi\right)\right)$
Таким образом можно заключить, что формула справедлива для всех целых $latex=n$.

Тригонометрическое представление комплексных чисел

Пройдите тест, чтобы узнать хорошо ли Вы поняли материал.


Таблица лучших: Тригонометрическое представление комплексных чисел

максимум из 4 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных

 Список использованной литературы :

  • Курош А.Г. Курс высшей алгебры. М.: Наука, 1968, Глава 4, § 18, «Дальнейшее изучение комплексных чисел» стр.117-118;
  •  Личный конспект, составленный на основе лекций Г.С.Белозерова
  • Фаддеев Д.К. Лекции по алгебре. М.: Наука, 1984, Глава 2, §2, стр.31-39