Автор: Марина Кривошеева

Определение и примеры линейных операторов. Действия над линейными операторами. Задания

На странице «Определение и примеры линейных операторов. Действия над линейными операторами. Теория» Вы можете ознакомиться с теоретическим материалом.

Упражнение 1.
Проверка оператора на линейность

Проверить, является ли оператор $A$ линейным в $R^3$
$Ax=\left(x_{2}+ x_{3}, 5x_{2}-x_{1}, x_{1}+8x_{3}\right)$

Решение

Оператор является линейным, если $\forall a,b\in \mathbb{R}^{3}$, $\forall \alpha\in \mathbb{R}$ выполняются условия:

  1. $A\left(a+b\right)=Aa+Ab$
  2. $A\left(\lambda a\right)=\lambda Aa$

Проверим условие 1:
$A\left(a+b\right)=A\left(a_1+b_1,a_2+b_2,a_3+b_3\right)=$
$=\left(a_2+b_2+a_3+b_3,5a_2+5_b2-a_1-b_1,a_1+b_1+8a_3+8b_3\right)=$
$=\left(a_2+a_3,5a_2-a_1,a_1+8a_3\right)+\left(b_2+b_3,5_b2-b_1,b_1+8b_3\right)=$
$=A\left(a_1,a_2,a_3\right)+A\left(b_1,b_2,b_3\right)=Aa+Bb$

Проверим условие 2:
$A\left(\lambda a\right)=A\left(\lambda a_{1},\lambda a_{2},\lambda a_{3}\right)=\left(\lambda a_{2}+\lambda a_{3},5\lambda a_{2}-\lambda a_{1},\lambda a_{1}+8\lambda a_{3}\right)=$
$=\lambda\left(a_{2}+a_{3},5a_{2}-a_{1},a_{1}+8a_{3}\right)=\lambda Aa$

Ответ: оба условия выполняются, значит оператор $A$ — линейный.

[свернуть]

Упражнение 2.
Найти значение выражения $4A+7B$

$A,B$ — линейные операторы из $\Omega\left(\mathbb{R}^3\right)$, $A\left(x_1,x_2,x_3\right)=\left(x_1-x_2+x_3,x_2,x_3-x_1\right)$, $B\left(x_1,x_2,x_3\right)=\left(0,x_2,1\right)$

Решение

$4A\left(x_1,x_2,x_3\right)=\left(4x_1-4x_2+4x_3,4x_2,4x_3-4x_1\right)$
$7B\left(x_1,x_2,x_3\right)=\left(0,7x_2,7\right)$
$4A+7B=\left(4x_1-4x_2+4x_3,11x_2,4x_3-4x_1+7\right)$
Ответ: $4A+7B=\left(4x_1-4x_2+4x_3,11x_2,4x_3-4x_1+7\right)$

[свернуть]

Упражнение 3.
Найти значение выражения $B\cdot 4A$

$A,B$ — линейные операторы из $\Omega\left(\mathbb{R}^3\right)$, $A\left(x_1,x_2,x_3\right)=\left(0,x_2+\frac{1}{4}x_3,x_3\right)$, $B\left(x_1,x_2,x_3\right)=\left(x_1+x_3,x_2,1\right)$

Решение

$4A\left(x_1,x_2,x_3\right)=\left(0,4x_2+x_3,4x_3\right)$
$B\cdot 4A\left(x_1,x_2,x_3\right)=\left(4x_3,4x_2+x_3,1\right)$
Ответ: $B\cdot 4A\left(x_1,x_2,x_3\right)=\left(4x_3,4x_2+x_3,1\right)$

[свернуть]

Упражнение 4.
Найти значение выражения $Ax-3Bx$

$A, B$ — линейные операторы из $\Omega\left(M_2\left(\mathbb{R}\right)\right)$,
$A=\begin{Vmatrix}2& 2\\ 0 & 0\end{Vmatrix}$, $B=\begin{Vmatrix}1 & 1 \\ 2 & 0\end{Vmatrix}$

Решение

$Ax=\begin{Vmatrix}2& 2\\ 0 & 0\end{Vmatrix}\cdot\begin{Vmatrix}x_1& x_2\\ x_3 & x_4\end{Vmatrix}=$$\begin{Vmatrix}2x_1+2x_3& 2x_2+2x_4\\ 0 & 0\end{Vmatrix}$

$3Bx=\begin{Vmatrix}3& 3\\ 6 & 0\end{Vmatrix}\cdot\begin{Vmatrix}x_1& x_2\\ x_3 & x_4\end{Vmatrix}=\begin{Vmatrix}3x_1+3x_3& 3x_2+3x_4\\ 6x_1 & 6x_2\end{Vmatrix}$

$Ax-3Bx=\begin{Vmatrix}2x_1+2x_3& 2x_2+2x_4\\ 0 & 0\end{Vmatrix}-$$\begin{Vmatrix}3x_1+3x_3& 3x_2+3x_4\\ 6x_1 & 6x_2\end{Vmatrix}=$

$=\begin{Vmatrix}-x_1-x_3& -x_2-x_4\\ -6x_1 & -6x_2\end{Vmatrix}=-\begin{Vmatrix}x_1+x_3& x_2+x_4\\ 6x_1 & 6x_2\end{Vmatrix}$

Ответ: $Ax-3Bx=-\begin{Vmatrix}x_1+x_3& x_2+x_4\\ 6x_1 & 6x_2\end{Vmatrix}$

[свернуть]

Определение и примеры линейных операторов

Выполните тест и проверьте хорошо ли Вы усвоили материал.


Таблица лучших: Определение и примеры линейных операторов

максимум из 3 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных

Список использованной литературы:

Определение и примеры линейных операторов. Действия над линейными операторами. Теория

Определение

Пусть $\left(X,\mathbb{P}\right)$, $\left(Y,\mathbb{P}\right)$ — линейные пространства.
Отображение $A:X\rightarrow Y$ называется линейным оператором, если $\forall a,b\in X$ $\forall\alpha,\beta\in \mathbb P$ выполняется равенство:
$A\left(\alpha a+\beta b\right)=\alpha A a+\beta A b$.

Примеры часто используемых операторов:

  • $\theta:X\rightarrow Y$ — нулевой оператор $\forall x\in X$ $\theta x=0$;
  • $\varepsilon:X\rightarrow X$ — тождественный (единичный) оператор $\forall x\in X$ $\varepsilon x=x$;
  • $\alpha\varepsilon:X\rightarrow X$ — скалярный оператор $\forall x\in X$ $\left(\alpha\varepsilon\right)x=\alpha x,$ $\alpha\in\mathbb{P}$;
  • $\rho:X\rightarrow L_{1}$ — оператор прямого проектирования, где $X=L_{1}+L_{2}$,
    $\forall x\in X$ $x=x_{1}+x_{2}$, $x_{1}\in L_{1}$, $x_{2}\in L_{2}$, $\rho x=x_{1}$.

Операции над линейными операторами

Сумма линейных операторов

Пусть $A,B$ — линейные операторы из $\Omega\left(X,Y\right)$
$C:X\rightarrow Y$, $C=A+B$
$Cx=\left(A+B\right)x=Ax+Bx$ $\forall x\in X$.

Произведение оператора и скаляра

Пусть $A$ — линейный оператор из $\Omega\left(X,Y\right)$, $\lambda\in\mathbb{P}$.
Тогда произведением $\lambda A$ называется отображение $C:X\rightarrow Y$
$\forall x\in X$ $Cx=\left(\lambda A\right)x=\lambda\left(Ax\right)$.

Произведение линейных операторов

Пусть $A,B$ — линейные операторы из $\Omega\left(X,Y\right)$ и из $\Omega\left(Y,Z\right)$
$X$, $Y$, $Z$ — линейные пространства над полем $\mathbb{P}$.
Оператор $BA:X\rightarrow Z$, определяемый соотношением $BAx=B\left(Ax\right)$ $\forall x\in X$,
называется произведением операторов $A$ и $B$.

Линейные операторы

Пройдите тест, чтоб узнать насколько хорошо Вы усвоили материал.


Таблица лучших: Линейные операторы

максимум из 3 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных

Список использованной литературы:

Тригонометрическая форма комплексного числа


Зададим декартову систему координат на плоскости. Изобразим комплексное число в его геометрической форме.
Угол $\varphi$ — аргумент числа $z$.
Screenshot_3

Между координатами точки существует взаимосвязь, которая верна при различных расположениях точек на плоскости:
$a=r\cos\varphi$, $b=r\sin\varphi$, где $r$ — это модуль комплексного числа $z$.
Эта взаимосвязь получена из определения геометрического представления комплексного числа.
Применив полученные формулы к алгебраической форме комплексного числа $\left(z=a+ib\right)$, мы получим: $z=a+ib=r\cos\varphi+i\left(r\sin\varphi\right)$, таким образом:
$z=r\left(\cos\varphi+i\sin\varphi\right)$ — тригонометрическая форма комплексного числа $z$.

Замечание!

Следует различать запись числа в тригонометрической форме и форме на него похожей:
$z=r\left(\cos\varphi-i\sin\varphi\right)$ — не тригонометрическая форма комплексного числа;
$z=r\left(\sin\varphi+i\cos\varphi\right)$ — не тригонометрическая форма комплексного числа;
$z=r\left(\cos\left(-\varphi\right)+i\sin\varphi\right)$ — не тригонометрическая форма комплексного числа.

Действия над комплексными числами в тригонометрической форме

$z_1=r_1\left(\cos\varphi_1+i\sin\varphi_1\right)$
$z_2=r_2\left(\cos\varphi_2+i\sin\varphi_2\right)$

Умножение

$z_1z_2=r_1r_2\left(\cos\varphi_1\cos\varphi_2-\sin\varphi_1\sin\varphi_2\right)+i\left(\cos\varphi_1\sin\varphi_2+\cos\varphi_2\sin\varphi_1\right)=$ $r_1r_2\left(\cos\left(\varphi_1+\varphi_2\right)+i\sin\left(\varphi_1+\varphi_2\right)\right)$

Деление

$\frac{z_1}{z_2}$=$\frac{r_1\left(\cos\varphi_1+i\sin\varphi_1\right)}{r_2\left(\cos\varphi_2+i\sin\varphi_2\right)}=$ $\frac{r_1}{r_2}\cdot\frac{\left(\cos\varphi_1+i\sin\varphi_1\right)\left(\cos\left(-\varphi_2\right)+i\sin\left(-\varphi_2\right)\right)}{\cos^{2}\varphi_2+\sin^{2}\varphi_2}=$ $\frac{r_1}{r_2}\left(\cos\left(\varphi_1-\varphi_2\right)+i\sin\left(\varphi_1-\varphi_2\right)\right)$

Возведение в степень (Формула Муавра)

$z\in\mathbb{C}$, $z=r\left(\cos\varphi+i\sin\varphi\right)$, $\forall n\in\mathbb{Z}$:
$z^{n}=r^{n}\left(\cos\left(n\varphi\right)+i\sin\left(n\varphi\right)\right)$

Тригонометрическое представление комплексных чисел

Пройдите тест, чтобы узнать хорошо ли Вы поняли материал.


Таблица лучших: Тригонометрическое представление комплексных чисел

максимум из 4 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных

Список использованной литературы:

  • Курош А.Г. Курс высшей алгебры. М.: Наука, 1968, Глава 4, § 18, «Дальнейшее изучение комплексных чисел» стр.117-118;
  • Личный конспект, составленный на основе лекций Г.С.Белозерова
  • Фаддеев Д.К. Лекции по алгебре. М.: Наука, 1984, Глава 2, §2, стр.31-39