Определение и примеры линейных операторов. Действия над линейными операторами

На странице «Определение и примеры линейных операторов. Действия над линейными операторами.Теория» Вы можете ознакомиться с теоретическим материалом.

Упражнение 1

Проверка операторов на линейность

Проверить, является ли оператор $A$ линейным в $R^3$
$Ax=\left(x_{2}+ x_{3}, 5x_{2}-x_{1}, x_{1}+8x_{3}\right)$

Решение:

Спойлер

Проверим оператор на линейность:
Если выполняются условия:
$\forall a,b\in \mathbb{R}^{3}$ , $\forall \alpha\in \mathbb{R}$

$A\left(a+b\right)=Aa+Bb$
Проверим условие 1:
$A\left(a+b\right)=A\left(a_1+b_1,a_2+b_2,a_3+b_3\right)=\left(a_2+b_2+a_3+b_3,5a_2+5_b2-a_1-b_1,a_1+b_1+8a_3+8b_3\right)=\left(a_2+a_3,5a_2-a_1,a_1+8a_3\right)+\left(b_2+b_3,5_b2-b_1,b_1+8b_3\right)=A\left(a_1,a_2,a_3\right)+A\left(b_1,b_2,b_3\right)=Aa+Bb$

$A\left(\lambda a\right)=\lambda Aa$
Проверим условие 2:
$A\left(\lambda a\right)=A\left(\lambda a_{1},\lambda a_{2},\lambda a_{3}\right)=\left(\lambda a_{2}+\lambda a_{3},5\lambda a_{2}-\lambda a_{1},\lambda a_{1}+8\lambda a_{3}\right)=\lambda\left(a_{2}+a_{3},5a_{2}-a_{1},a_{1}+8a_{3}\right)=\lambda Aa$

Так как оба условия выполняются, то оператор линейный.

[свернуть]

Упражнение 2

Найти значение выражения

$4A+7B$ .
$A,B$ — линейные операторы из $\Omega\left(\mathbb{R}^3\right)$ , $A\left(x_1,x_2,x_3\right)=\left(x_1-x_2+x_3,x_2,x_3-x_1\right)$ , $B\left(x_1,x_2,x_3\right)=\left(0,x_2,1\right)$

Решение:

Спойлер

$4A\left(x_1,x_2,x_3\right)=\left(4x_1-4x_2+4x_3,4x_2,4x_3-4x_1\right)$
$7B\left(x_1,x_2,x_3\right)=\left(0,7x_2,7\right)$
$4A+7B=\left(4x_1-4x_2+4x_3,11x_2,4x_3-4x_1+7\right)$

Ответ:

$4A+7B=\left(4x_1-4x_2+4x_3,11x_2,4x_3-4x_1+7\right)$

[свернуть]

Упражнение 3

Найти значение выражения

$B\cdot 4A$ .
$A,B$ — линейные операторы из $\Omega\left(\mathbb{R}^3\right)$ , $A\left(x_1,x_2,x_3\right)=\left(0,x_2+\frac{1}{4}x_3,x_3\right)$ , $B\left(x_1,x_2,x_3\right)=\left(x_1+x_3,x_2,1\right)$

Решение:

Спойлер

$4A\left(x_1,x_2,x_3\right)=\left(0,4x_2+x_3,4x_3\right)$
$B\cdot 4A\left(x_1,x_2,x_3\right)=\left(4x_3,4x_2+x_3,1\right)$

Ответ:

$B\cdot 4A\left(x_1,x_2,x_3\right)=\left(4x_3,4x_2+x_3,1\right)$

[свернуть]

Упражнение 4

Найти значение выражения

$Ax-3Bx$ .
$A,B$ — линейные операторы из $\Omega\left(M_2\left(\mathbb{R}\right)\right)$ , $A=\begin{Vmatrix}2& 2\\ 0 & 0\end{Vmatrix}$ ,
$B=\begin{Vmatrix}1 & 1 \\ 2 & 0\end{Vmatrix}$

Решение:

Спойлер

$Ax=\begin{Vmatrix}2& 2\\ 0 & 0\end{Vmatrix}\cdot\begin{Vmatrix}x_1& x_2\\ x_3 & x_4\end{Vmatrix}=$ $\begin{Vmatrix}2x_1+2x_3& 2x_2+2x_4\\ 0 & 0\end{Vmatrix}$
$3Bx=\begin{Vmatrix}3& 3\\ 6 & 0\end{Vmatrix}\cdot\begin{Vmatrix}x_1& x_2\\ x_3 & x_4\end{Vmatrix}=$ $\begin{Vmatrix}3x_1+3x_3& 3x_2+3x_4\\ 6x_1 & 6x_2\end{Vmatrix}$
$Ax-3Bx=\begin{Vmatrix}2x_1+2x_3& 2x_2+2x_4\\ 0 & 0\end{Vmatrix}-$ $\begin{Vmatrix}3x_1+3x_3& 3x_2+3x_4\\ 6x_1 & 6x_2\end{Vmatrix}=$ $\begin{Vmatrix}-x_1-x_3& -x_2-x_4\\ -6x_1 & -6x_2\end{Vmatrix}$

Ответ:

$Ax-3Bx=-\begin{Vmatrix}x_1+x_3& x_2+x_4\\ 6x_1 & 6x_2\end{Vmatrix}$

[свернуть]

Определение и примеры линейных операторов

Выполните тест и проверьте хорошо ли Вы усвоили материал.

Таблица лучших: Определение и примеры линейных операторов

максимум из 3 баллов
Место	Имя	Записано	Баллы	Результат
Таблица загружается
Нет данных

Список использованной литературы :

Проскуряков И.В. Сборник задач по линейной алгебре. М.: Наука, 1984, стр.187
Личный конспект, составленный на основе лекций Г.С. Белозерова

Определение и примеры линейных операторов. Действия над линейными операторами

Определение

Пусть $\left(X,\mathbb{P}\right)$ , $\left(Y,\mathbb{P}\right)$ — линейные пространства.
$A:X\rightarrow Y$ -линейный оператор, если $\forall a,b\in X$ $\forall\alpha,\beta\in \mathbb P$ $A\left(\alpha a+\beta b\right)=\alpha A a+\beta A b$ .

Примеры часто используемых операторов:

$\theta:X\rightarrow Y$ — нулевой оператор
$\forall x\in X$ $\theta x=0$ ;
$\varepsilon:X\rightarrow X$ — тождественный (единичный) оператор
$\forall x\in X$ $\varepsilon x=x$ ;
$\alpha\varepsilon:X\rightarrow X$ — скалярный оператор
$\forall x\in X$ $\left(\alpha\varepsilon\right)x=\alpha x,$ $\alpha\in\mathbb{P}$ ;
$X=L_{1}+L_{2}$ — оператор прямого проектирования
$\rho:X\rightarrow L_{1}$ $\forall x\in X$ $x=x_{1}+x_{2},$ $x_{1}\in L_{1},$ $x_{2}\in L_{2},$ $\rho_{x}=x_{1}$ .

Операции над линейными операторами

Сумма

Пусть $A,B$ — линейные операторы из $\Omega\left(X,Y\right)$
$C:X\rightarrow Y$ , $C=A+B$
$\forall x\in X$ $Cx=\left(A+B\right)x=Ax+Bx$

Произведение оператора и скаляра

Пусть $A$ — линейный оператор из $\Omega\left(X,Y\right)$ , $\lambda\in\mathbb{P}$ .
Тогда произведением $\lambda A$ называется отображение: $C:X\rightarrow Y$
$\forall x\in X$ $Cx=\left(\lambda A\right)x=\lambda\left(Ax\right)$ .

Произведение линейных операторов

Пусть $A,B$ — линейные операторы из $\Omega\left(X,Y\right)$ и из $\Omega\left(Y,Z\right)$
$X$ , $Y$ , $Z$ — линейные пространства над полем $\mathbb{P}$
$BA=C,$ $C:X\rightarrow Z$
$\forall x\in X$ $Cx=\left(BA\right)x=B\left(Ax\right)$
$B\circ A$

Линейные операторы

Пройдите тест, чтоб узнать насколько хорошо Вы усвоили материал.

Таблица лучших: Линейные операторы

максимум из 3 баллов
Место	Имя	Записано	Баллы	Результат
Таблица загружается
Нет данных

Список использованной литературы :

Федорчук В.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. М.: изд. Московского ун-та, 1990, часть 2 «Линейная алгебра и геометрия», §10, стр.214-216.
Проскуряков И.В. Сборник задач по линейной алгебре. М.: Наука, 1984, стр.187
Личный конспект, составленный на основе лекций Г.С. Белозерова

Тригонометрическая форма комплексного числа

Зададим декартову систему координат на плоскости. Изобразим комплексное число в его геометрической форме.
Угол $\varphi$ — аргумент числа $z$ .

Между координатами точки существует взаимосвязь, которая верна при различных расположениях точек на плоскости:
$a=r\cos\varphi$ , $b=r\sin\varphi$ , где $r$ — это модуль комплексного числа $z$ .
Эта взаимосвязь получена из определения геометрического представления комплексного числа.
Применив полученные формулы к алгебраической форме комплексного числа $\left(z=a+ib\right)$ , мы получим: $z=a+ib=r\cos\varphi+i\left(r\sin\varphi\right)$ , таким образом:
$z=r\left(\cos\varphi+i\sin\varphi\right)$ — тригонометрическая форма комплексного числа $z$ .

Замечание!

Следует различать запись числа в тригонометрической форме и форме на него похожей:
$z=r\left(\cos\varphi-i\sin\varphi\right)$ — не тригонометрическая форма комплексного числа;
$z=r\left(\sin\varphi+i\cos\varphi\right)$ — не тригонометрическая форма комплексного числа;
$z=r\left(\cos\left(-\varphi\right)+i\sin\varphi\right)$ — не тригонометрическая форма комплексного числа;

Действия над комплексными числами в тригонометрической форме

$z_1=r_1\left(\cos\varphi_1+i\sin\varphi_1\right)$
$z_2=r_2\left(\cos\varphi_2+i\sin\varphi_2\right)$

Умножение

$z_1z_2=r_1r_2\left(\cos\varphi_1\cos\varphi_2-\sin\varphi_1\sin\varphi_2\right)+i\left(\cos\varphi_1\sin\varphi_2+\cos\varphi_2\sin\varphi_1\right)=$ $r_1r_2\left(\cos\left(\varphi_1+\varphi_2\right)+i\sin\left(\varphi_1+\varphi_2\right)\right)$

Деление

$\frac{z_1}{z_2}$ = $\frac{r_1\left(\cos\varphi_1+i\sin\varphi_1\right)}{r_2\left(\cos\varphi_2+i\sin\varphi_2\right)}=$ $\frac{r_1}{r_2}\cdot\frac{\left(\cos\varphi_1+i\sin\varphi_1\right)\left(\cos\left(-\varphi_2\right)+i\sin\left(-\varphi_2\right)\right)}{\cos^{2}\varphi_2+\sin^{2}\varphi_2}=$ $\frac{r_1}{r_2}\left(\cos\left(\varphi_1-\varphi_2\right)+i\sin\left(\varphi_1-\varphi_2\right)\right)$

Возведение в степень (Формула Муавра)

$z\in\mathbb{C}$ , $z=r\left(\cos\varphi+i\sin\varphi\right)$ , $\forall n\in\mathbb{Z}$ :
$z^{n}=r^{n}\left(\cos\left(n\varphi\right)+i\sin\left(n\varphi\right)\right)$

Доказательство

Проверим для:
$n\in\mathbb{N}$ :
Математическая индукция.
1.База индукции:
$r=1$ , $n=2$ $z^{2}=r^{2}\left(\cos 2\varphi+i\sin 2\varphi\right)$
2.Шаг индукции:
Предположим, что формула верна для $n\leq k$ , $k\geq 2$ . Докажем справедливость формулы для $z^{k+1}=$ $z^{k}\cdot z=$ $r^{k}\left(\cos k\varphi+i\sin k\varphi\right)\cdot r\left(\cos\varphi+i\sin\varphi\right)=$ $r^{k+1}\left(\cos\left(k+1\right)\varphi+i\sin\left(k+1\right)\varphi\right)$
$n=0$ :
$z^{0}=1=$ $r^{0}\left(\cos\left(0\varphi\right)+i\sin\left(0\varphi\right)\right)=$ $1\cdot\left(\cos0+isin0\right)$
$-n\in\mathbb{N}$ :
$z^{n}=$ $\frac{1}{z^{-n}}=$ $\frac{\cos0+i\sin)}{r^{-n}\left(\cos\left(-n\varphi\right)+i\sin\left(-n\varphi\right)\right)}=$ $r^{n}\frac{\cos\left(-n\varphi\right)-i\sin\left(-n\varphi\right)}{1}=$ $r^{n}\left(\cos\left(n\varphi\right)+i\sin\left(n\varphi\right)\right)$
Таким образом можно заключить, что формула справедлива для всех целых $n$ .

Тригонометрическое представление комплексных чисел

Пройдите тест, чтобы узнать хорошо ли Вы поняли материал.

Таблица лучших: Тригонометрическое представление комплексных чисел

максимум из 4 баллов
Место	Имя	Записано	Баллы	Результат
Таблица загружается
Нет данных

Список использованной литературы :

Курош А.Г. Курс высшей алгебры. М.: Наука, 1968, Глава 4, § 18, «Дальнейшее изучение комплексных чисел» стр.117-118;
Личный конспект, составленный на основе лекций Г.С.Белозерова
Фаддеев Д.К. Лекции по алгебре. М.: Наука, 1984, Глава 2, §2, стр.31-39

Средний результат
Ваш результат

Средний результат
Ваш результат

Средний результат
Ваш результат

Упражнение 1

Проверка операторов на линейность

Решение:

Упражнение 2

Найти значение выражения

Решение:

Ответ:

Упражнение 3

Найти значение выражения

Решение:

Ответ:

Упражнение 4

Найти значение выражения

Решение:

Ответ:

Определение и примеры линейных операторов

Навигация (только номера заданий)

Информация

Результаты

Рубрики

1.

2.

3.

Таблица лучших: Определение и примеры линейных операторов

Список использованной литературы :

Поделиться ссылкой:

Определение

Примеры часто используемых операторов:

Операции над линейными операторами

Сумма

Произведение оператора и скаляра

Произведение линейных операторов

Линейные операторы

Навигация (только номера заданий)

Информация

Результаты

Рубрики

1.

2.

3.

Элементы сортировки

Таблица лучших: Линейные операторы

Список использованной литературы :

Поделиться ссылкой:

Замечание!

Действия над комплексными числами в тригонометрической форме

Умножение

Деление

Возведение в степень (Формула Муавра)

Доказательство

Тригонометрическое представление комплексных чисел

Навигация (только номера заданий)

Информация

Пройдите тест, чтобы узнать хорошо ли Вы поняли материал.

Результаты

Рубрики

1.

2.

Элементы сортировки

3.

4.

Таблица лучших: Тригонометрическое представление комплексных чисел

Список использованной литературы :

Поделиться ссылкой: