На странице «Определение и примеры линейных операторов. Действия над линейными операторами. Теория» Вы можете ознакомиться с теоретическим материалом.
Упражнение 1
Проверка операторов на линейность
Проверить, является ли оператор $latex A$ линейным в $latex R^3$
$latex Ax=\left(x_{2}+ x_{3}, 5x_{2}-x_{1}, x_{1}+8x_{3}\right)$
Решение:
Проверим оператор на линейность:
Если выполняются условия:
$latex \forall a,b\in \mathbb{R}^{3}$, $latex \forall \alpha\in \mathbb{R}$
-
$latex A\left(a+b\right)=Aa+Bb$
Проверим условие 1:
$latex
\begin{equation}
A\left(a+b\right)=A\left(a_1+b_1,a_2+b_2,a_3+b_3\right)=\left(a_2+b_2+a_3+b_3,5a_2+5_b2-a_1-b_1,a_1+b_1+8a_3+8b_3\right)=\left(a_2+a_3,5a_2-a_1,a_1+8a_3\right)+\left(b_2+b_3,5_b2-b_1,b_1+8b_3\right)=A\left(a_1,a_2,a_3\right)+A\left(b_1,b_2,b_3\right)=Aa+Bb
\end{equation}$ - $latex A\left(\lambda a\right)=\lambda Aa$
Проверим условие 2:
$latex A\left(\lambda a\right)=A\left(\lambda a_{1},\lambda a_{2},\lambda a_{3}\right)=\left(\lambda a_{2}+\lambda a_{3},5\lambda a_{2}-\lambda a_{1},\lambda a_{1}+8\lambda a_{3}\right)=\lambda\left(a_{2}+a_{3},5a_{2}-a_{1},a_{1}+8a_{3}\right)=\lambda Aa$
Так как оба условия выполняются, то оператор линейный.
Упражнение 2
Найти значение выражения
$latex 4A+7B$.
$latex A,B$ — линейные операторы из $latex \Omega\left(\mathbb{R}^3\right)$, $latex A\left(x_1,x_2,x_3\right)=\left(x_1-x_2+x_3,x_2,x_3-x_1\right)$, $latex B\left(x_1,x_2,x_3\right)=\left(0,x_2,1\right)$
Решение:
$latex 4A\left(x_1,x_2,x_3\right)=\left(4x_1-4x_2+4x_3,4x_2,4x_3-4x_1\right)$
$latex 7B\left(x_1,x_2,x_3\right)=\left(0,7x_2,7\right)$
$latex 4A+7B=\left(4x_1-4x_2+4x_3,11x_2,4x_3-4x_1+7\right)$
Ответ:
$latex 4A+7B=\left(4x_1-4x_2+4x_3,11x_2,4x_3-4x_1+7\right)$
Упражнение 3
Найти значение выражения
$latex B\cdot 4A$.
$latex A,B$ — линейные операторы из $latex \Omega\left(\mathbb{R}^3\right)$, $latex A\left(x_1,x_2,x_3\right)=\left(0,x_2+\frac{1}{4}x_3,x_3\right)$, $latex B\left(x_1,x_2,x_3\right)=\left(x_1+x_3,x_2,1\right)$
Решение:
$latex 4A\left(x_1,x_2,x_3\right)=\left(0,4x_2+x_3,4x_3\right)$
$latex B\cdot 4A\left(x_1,x_2,x_3\right)=\left(4x_3,4x_2+x_3,1\right)$
Ответ:
$latex B\cdot 4A\left(x_1,x_2,x_3\right)=\left(4x_3,4x_2+x_3,1\right)$
Упражнение 4
Найти значение выражения
$latex Ax-3Bx$.
$latex A, B$ — линейные операторы из $latex \Omega\left(M_2\left(\mathbb{R}\right)\right)$, $latex A=\begin{Vmatrix}2& 2\\ 0 & 0\end{Vmatrix}$,
$latex B=\begin{Vmatrix}1 & 1 \\ 2 & 0\end{Vmatrix}$
Решение:
$latex Ax=\begin{Vmatrix}2& 2\\ 0 & 0\end{Vmatrix}\cdot\begin{Vmatrix}x_1& x_2\\ x_3 & x_4\end{Vmatrix}=$$latex \begin{Vmatrix}2x_1+2x_3& 2x_2+2x_4\\ 0 & 0\end{Vmatrix}$
$latex 3Bx=\begin{Vmatrix}3& 3\\ 6 & 0\end{Vmatrix}\cdot\begin{Vmatrix}x_1& x_2\\ x_3 & x_4\end{Vmatrix}=$ $latex \begin{Vmatrix}3x_1+3x_3& 3x_2+3x_4\\ 6x_1 & 6x_2\end{Vmatrix}$
$latex Ax-3Bx=\begin{Vmatrix}2x_1+2x_3& 2x_2+2x_4\\ 0 & 0\end{Vmatrix}-$$latex \begin{Vmatrix}3x_1+3x_3& 3x_2+3x_4\\ 6x_1 & 6x_2\end{Vmatrix}=$ $latex \begin{Vmatrix}-x_1-x_3& -x_2-x_4\\ -6x_1 & -6x_2\end{Vmatrix}$
Ответ:
$latex Ax-3Bx=-\begin{Vmatrix}x_1+x_3& x_2+x_4\\ 6x_1 & 6x_2\end{Vmatrix}$
Определение и примеры линейных операторов
Выполните тест и проверьте хорошо ли Вы усвоили материал.
Таблица лучших: Определение и примеры линейных операторов
| Место | Имя | Записано | Баллы | Результат |
|---|---|---|---|---|
| Таблица загружается | ||||
Список использованной литературы:
- Проскуряков И.В. Сборник задач по линейной алгебре. М.: Наука, 1984, стр.187
- Личный конспект, составленный на основе лекций Г.С. Белозерова
