Автор: Даниил Кулык

Свойства сопряженного оператора

Рассмотрим свойства сопряженного оператора, которые связывают его с исходным линейным оператором:

  1. $\Theta^*=\Theta$ $($в том случае, если $\Theta \in \Omega\left(X\right)),$
  2. $E=E^*,$
  3. ${\left(A^* \right)}^*=A,$
  4. $\lambda A=\overline{\lambda} A^*, \ \forall \lambda \in C,$
  5. $\left(A+B\right)^*=A^*+B^*,$
  6. $\left(AB\right)^*=B^*A^*,$
  7. ${\left(A^{-1} \right)}^*={\left(A^*\right)}^{-1}.$

Заметим, что операторы $A$ и $B$ — произвольные, а черта над $\lambda$ означает комплексное сопряжение.

За исключением первых двух свойств, доказательство которых тривиально, докажем остальные свойства. Все они легко доказываются по одному шаблону, используя свойства линейных операторов, определение сопряженного оператора и свойства скалярного произведения.

  1. $\left(A^*\right)^*=A$

    $\forall x \in X$ и $\forall y \in Y$ имеем:
    $$\left({\left(A^*\right)}^*x,y\right)=$$ (по определению сопряженного оператора) $$=\left(x,A^*y\right)= \overline{\left(A^*y,x\right)}=$$ (по определению сопряженного оператора) $$= \overline{\left(y,Ax\right)} = \overline {\overline{\left(Ax,y\right)}} = (Ax,y).$$

    Получили равенство $$\left({\left(A^*\right)}^*x,y\right)=\left(Ax,y\right).$$ Так как данное равенство выполняется для $\forall y \in Y,$ то получаем $${\left(A^*\right)}^*x = Ax.$$ Аналогично, так как равенство выполняется для $\forall x \in X,$ то $${\left(A^*\right)}^*=A.$$

  2. $\lambda A=\overline{\lambda} A^*, \ \forall \lambda \in C$

    Если $A$ действует из $X \to Y,$ то $A^* \colon Y \to X$ и тогда $\overline{\lambda} A^*$ действует из $Y \to X.$ Рассмотрим скалярное произведение:

    $$\left(x, \overline{\lambda} \left(A^*y\right)\right) =$$ (по определению операции над линейными операторами) $$= \left(x,\left(\overline{\lambda} A^*\right)y\right) =$$ (по свойству линейного оператора) $$ = \left(\left(\lambda A \right)x,y\right) = \lambda \left(Ax,y\right) = $$ (по определению сопряженного оператора) $$ = \lambda \left(x,A^*y\right) = $$ (по свойству скалярного произведения в унитарных пространствах) $$ = \left(x, \overline{\lambda} \left(A^*y\right)\right) = $$ (по операции умножения линейного оператора на константу) $$ = \left(x, \left(\overline{\lambda} A^*\right)y\right).$$

    Так как для $\forall x \in X,$ выполняется равенство $$\left(x,\left(\lambda A\right)^*y\right) = \left(x, \left(\overline{\lambda} A^*\right)y\right),$$ получаем $$\left(\lambda A\right)^*y=\left(\overline{\lambda} A^*\right)y.$$ И так как полученное равенство выполняется для $\forall y \in Y,$ то получаем $$\left(\lambda A\right)^* = \overline{\lambda} A^*.$$

  3. $\left(A+B\right)^*=A^*+B^*$

    $\forall x \in X$ и $\forall y \in Y$ имеем:

    $$\left(\left(A+B\right)x,y\right)=$$ (по определению операции сложения линейных операторов) $$= \left(Ax+Bx,y\right) = $$ (по свойству скалярного произведения) $$ = \left(Ax,y\right) + \left(Bx,y\right) = $$ (по определению сопряженного оператора) $$ = \left(x,A^*y\right) + \left(x,B^*y\right) = $$ (по по свойству скалярного произведения) $$ = \left(x,A^*y+B^*y\right) = $$ (по определению операции сложения линейного оператора) $$ = \left(x,\left(A^*+B^*\right)y\right).$$

    Получили $$\left(x\left(A+B\right),y\right) = \left(x,\left(A^*+B^*\right)y\right),$$ или же $$\left(x,\left(A+B\right)^*y\right) = \left(x,\left(A^*+B^*\right)y\right).$$ Так как полученное равенство выполнимо $\forall x \in X,$ $$\left(A+B\right)^*y = \left(A^*+B^*\right)y.$$ И так как равенство также выполнимо для $\forall y \in Y,$ $$\left(A+B\right)^* = \left(A^*+B^*\right).$$

  4. $\left(AB\right)^*=B^*A^*$

    Для доказательства этого свойства необходимо взять три унитарных пространства — $\left(X,C\right), \left(Y,C\right), \left(Z,C\right),$ и пусть существуют операторы $A \in \Omega\left(Z,Y\right),$ $B \in \Omega\left(X,Z\right),$ где $AB \in \Omega\left(X,Y\right).$ Следовательно, по определению сопряженного оператора, $A^* \in \Omega\left(Y,Z\right),$ $B \in \Omega\left(Z,X\right),$ и $B^*A^* \in \Omega\left(Y,X\right).$ Так же, пусть $\forall x \in X$ и $\forall y \in Y.$ Тогда:

    $$\left(x,\left(AB\right)^*y\right) = $$ (по определению сопряженного оператора) $$ = \left(\left(AB\right)x,y\right) = $$ (по свойству скалярного произведения в унитарном пространстве) $$ =\left(A\left(Bx\right),y\right) = $$ (по определению сопряженного оператора) $$ =\left(Bx,A^*y\right) = $$ (по определению сопряженного оператора) $$ =\left(x,B^*\left(A^*y\right)\right) = $$ (по свойству скалярного произведения в унитарном пространстве) $$ =\left(x,\left(B^*A^*\right)y\right).$$

    Кратко запишем из равенства выше: $$\left(x,\left(AB\right)^*y\right) = \left(x,\left(B^*A^*\right)y\right).$$ Следовательно, так как равенство выполнимо для $\forall x \in X,$ $$\left(AB\right)^*y = \left(B^*A^*\right)y.$$ И так как равенство выполнимо для $\forall y \in Y,$ $$\left(AB\right)^* = \left(B^*A^*\right).$$

  5. ${\left(A^{-1} \right)}^*={\left(A^*\right)}^{-1}$

    Для этого доказательства нам потребуется обратимый оператор $A.$ Так же следует доказать обратимость оператора $A^*,$ но она следует из равенства единственности в теореме о существовании и единственности сопряженного оператора. Теперь, пусть $\forall x,y \in X,$ $\exists u,v \in X,$ для которых выполняется $Au=x,$ $A^*v=y.$ Составим равенство:

    $$\left(x,{\left(A^{-1}\right)}^*y \right) = $$ (по определению сопряженного оператора) $$ = \left(A^{-1}x,y\right) = $$ (по условию) $$ = \left(u,A^*v \right) = $$ (по определению сопряженного оператора) $$ = \left(Au,y\right) = $$ (по условию) $$ = \left(x,{\left(A^*\right)}^{-1}y\right).$$

    Следуя шаблону решений, так как равенство выполняется для $\forall x \in X,$ получаем $${\left(A^{-1}\right)}^*y = {\left(A^*\right)}^{-1}y,$$ и так как это равенство выполняется $\forall y \in Y,$ получаем $${\left(A^{-1}\right)}^* = {\left(A^*\right)}^{-1}.$$

Примеры решения задач

  1. Найти сопряженный оператор для $AB+C.$
    Решение

    Воспользуемся $5$-м и $6$-м свойствами сопряженного оператора для решения этого примера. Тогда, $\forall x \in X,$ $\forall y \in Y,$ запишем равенство:

    $$\left(\left(AB+C\right)x,y\right) =$$ (по определению операции сложения линейных операторов) $$= \left(\left(AB\right)x+Cx,y\right) =$$ (по свойству скалярного произведения) $$=\left(\left(AB\right)x,y\right)+\left(Cx,y\right)=$$ (для первой части воспользуемся свойством скалярного произведения в унитарном пространстве, а для второй — определением сопряженного оператора) $$= \left(A\left(Bx\right),y\right)+\left(x,C^*y\right)=$$ (для первой части воспользуемся определением сопряженного оператора) $$=\left(Bx,A^*y\right)+\left(x,C^*y\right)=$$ (для первой части воспользуемся определением сопряженного оператора) $$=\left(x,B^*A^*y\right)+\left(x,C^*y\right)=$$ (по по свойству скалярного произведения) $$=\left(x,B^*A^*y+C^*y\right)=$$ (по определению операции сложения линейного оператора) $$=\left(x,\left(B^*A^*+C^*\right)y\right).$$

    Ответ: $\left(x,\left(B^*A^*+C^*\right)y\right).$

    [свернуть]
  2. Доказать, что $\left(\lambda A+BC\right)^*=\left(\overline{\lambda} A^*+C^*B^*\right).$
    Решение

    Доказываем по аналогии с доказательством свойств сопряженного оператора. А именно, пользуясь определением операции сложения линейных операторов, свойством скалярного произведения в унитарных пространствах, определением сопряженного оператора и $4$-м свойством сопряженного оператора. Тогда $\forall x \in X,$ и $\forall y \in Y:$

    $$\left(\left(\lambda A+BC\right)x,y \right)=\left(\left(\lambda A\right)x+\left(BC\right)x,y\right)=$$ $$=\left(\left(\lambda A\right)x,y\right)+\left(\left(BC\right)x,y\right)= \lambda \left(Ax,y\right)+\left(B\left(Cx\right),y\right)=$$ $$= \lambda \left(x,A^*y\right)+\left(Cx,B^*y\right)=\left(x,\left(\overline{\lambda} A^*\right)y\right)+\left(x,\left(C^*B^*\right)y\right)=$$ $$=\left(x,\left(\overline{\lambda} A^*\right)y+\left(C^*B^*\right)y\right)=\left(x,\left(\overline{\lambda} A^*+C^*B^*\right)y\right).$$

    Получаем, что: $$\left(x,\left(\lambda A+BC\right)^*y\right)=\left(x,\left(\overline{\lambda} A^*+C^*B^*\right)y\right).$$ Так как равенство выполняется $\forall x \in X \Rightarrow$ $$\left(\lambda A+BC\right)^*y=\left(\overline{\lambda} A^*+C^*B^*\right)y.$$ И так как равенство выполняется $\forall y \in Y \Rightarrow$ $$\left(\lambda A+BC\right)^*=\left(\overline{\lambda} A^*+C^*B^*\right).$$

    [свернуть]
  3. Найти сопряженный оператор для $\overline{\lambda} B+ \lambda CD+{\left(A^*\right)}^*.$
    Решение

    Доказываем пользуясь определением операции сложения линейных операторов, свойством скалярного произведения в унитарных пространствах, определением и свойствами сопряженного оператора.

    $$\left(\overline{\lambda} B+ \lambda CD+{\left(A^*\right)}^*x,y \right)=\left(\left(\overline{\lambda} B\right)x + \left(\lambda CD\right)x + Ax,y\right) =$$ $$=\left(\left(\overline{\lambda} B\right)x,y\right) + \left(\left(\lambda CD\right)x,y\right) + \left(Ax,y\right) = \overline{\lambda} \left(Bx,y\right) + \lambda \left(C\left(Dx\right),y\right) +$$ $$+ \left(Ax,y\right) = \overline{\lambda} \left(x,B^*y\right) + \lambda \left(x,\left(D^*C^*\right)y\right) + \left(x,A^*y\right) = \left(x,\left( \lambda B^*\right)y\right) +$$ $$+ \left(x,\left( \overline{\lambda} D^*C^*\right)y\right) + \left(x,A^*y\right) = \left(x,\left( \lambda B^*\right)y + \left( \overline{\lambda} D^*C^*\right)y + A^*y\right) =$$ $$= \left(x,\left(\lambda B^* + \overline{\lambda} D^*C^* + A^*\right)y\right).$$

    Ответ: $\left(x,\left(\lambda B^* + \overline{\lambda} D^*C^* + A^*\right)y\right).$

    [свернуть]

Свойства сопряженного оператора

Тест на знание темы «Свойства сопряженного оператора»

Смотрите также

  1. Личный конспект, составленный на основе лекций Г. С. Белозерова.
  2. Воеводин В.В. Линейная алгебра. М.: Наука, 1994, Глава 9, $§$ 75, «Сопряженный оператор» (стр. 241)
  3. Фаддеев Д.К. Лекции по алгебре. М.: Наука, 1984, Глава 13, $§$ 4, «Евклидово и унитарное пространства» (стр. 356)
  4. Федорчук В.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. М.: изд. московского ун-та, 1990, Часть 2, Глава 5, $§$ 30, «Линейные отображения евклидовых пространств. Изоморфизмы. Сопряженные операторы»(стр. 269-271)

Сопряженный оператор: существование и единственность

Определение. Пусть $X,Y$ — унитарные пространства. Отображение $Y \to X$ называется линейным оператором $A^*,$ сопряженным с оператором $A,$ действующим из $X \to Y,$ если для любых $x \in X$ и $y \in Y$ выполняется условие: $$\left(Ax,y\right)_y=\left(x,A^*y\right)_x.$$

Так как определение не может гарантировать существование сопряженного оператора, введем следующую теорему.

Теорема (существование и единственность сопряженного оператора). Пусть $X,Y$ — унитарные пространства. Для всякого линейного оператора $A,$ действующего из $X \to Y,$ существует и притом единственный сопряженный ему оператор $A^*,$ действующий из $Y \to X.$

Доказательство. Единственность. В любом пространстве можно выбрать ортонормированный базис, то есть базис, векторы которого попарно ортогональны (произведение любых двух не равных векторов будет равно $0$). Тогда длины всех векторов будут равны $1.$ Обозначим этот базис как $\langle e_1, e_2,…, e_m\rangle.$ Пусть $A^*$ — линейный оператор, действующий из пространства $Y \to X,$ сопряженный с оператором $A.$ Возьмем произвольный вектор из пространства $Y.$ Образ этого вектора будет принадлежать пространству $X,$ а значит может быть представлен в виде линейной комбинации базисных векторов пространства $X.$ Тогда

$$ A^*y = \sum_{j=1}^m \left(A^*y,e_j\right)e_j =$$ (по свойству скалярного произведения) $$= \sum_{j=1}^m \overline{\left(e_j,A^*y\right)}e_j =$$ (по определению сопряженного оператора) $$= \sum_{j=1}^m \overline{\left(Ae_j,y\right)}e_j =$$ (по свойству скалярного произведения) $$= \sum_{j=1}^m \overline{ \overline{\left(y,Ae_j\right)}}e_j = \sum_{j=1}^m \left(y, Ae_j\right)e_j.$$

Получили отображение, которое может быть задано единственным образом. Прослеживается это через вектор $A^*y \in X,$ который может быть однозначно определен правой частью полученного соотношения, если применить к нему теорему о координатах вектора в ортонормированном базисе (скалярное произведение двух векторов в ортонормированном базисе равно сумме попарных произведений координат этих векторов).

Существование. С помощью полученного равенства можем определить линейное отображение $A^*,$ ибо для $\forall \alpha, \beta \in C$ и $\forall y_1,y_2 \in Y$

$$A^*\left(\alpha y_1+\beta y_2 \right) = \sum_{j=1}^m \left(\alpha y_1+\beta y_2,Ae_j \right)e_j = \\ = \alpha\sum_{j=1}^m \left(y_1,Ae_j \right)e_j + \beta\sum_{j=1}^m \left(y_2,Ae_j \right)e_j = \alpha A^*y_1+\beta A^*y_2.$$

Проверим, что оператор $A^*,$ заданный равенством выше, удовлетворяет определению сопряженного оператора, то есть $\forall x \in X, \forall y \in Y$

$$\left(Ax,y\right)=$$ (согласно разложению вектора $x$ по ортонормированному базису) $$= \left(A \sum_{i=1}^m \left(x,e_i \right)e_i,y \right) =$$ (по определению линейного оператора) $$= \left(\sum_{i=1}^m \left(x,e_i \right)Ae_j,y \right) =$$ (по свойству скалярного произведения) $$= \sum_{i=1}^m \left(x,e_i \right)\left(Ae_j,y\right).$$

Найдем скалярное произведение:

$$\left(x,A^*y\right)=$$ (согласно разложению вектора $x$ по ортонормированному базису и полученному ранее равенству) $$= \left(\sum_{i=1}^m \left(x,e_i \right)e_i, \sum_{j=1}^m \left(y, Ae_j \right)e_j \right) =$$ (по свойству скалярного произведения) $$= \sum_{i=1}^m \sum_{j=1}^m \left(x,e_i \right) \overline{\left(y,Ae_j \right)}\left(e_i,e_j \right)=$$ (по свойству скалярного произведения) $$=\sum_{i=1}^m \left(x,e_i \right) \overline{\left(y,Ae_i \right)} = \sum_{i=1}^m \left(x,e_i \right) \overline{\overline{\left(Ae_i,y\right)}} = \sum_{i=1}^m \left(x,e_i \right)\left(Ae_i,y\right).$$

Получили $$\left(Ax,y\right)=\left(x,A^*y\right).$$ Следовательно, оператор $A^*,$ определенный в равенстве, удовлетворяет определению сопряженного оператора, и полученные результаты совпадают.

Примеры решения задач

  1. Пусть оператор $A$ действует в некотором геометрическом пространстве векторов, и задан следующим равенством $$Ax=\left[a,x\right].$$ Найти сопряженный оператор.
    Решение

    Для решения возьмем произвольные вектора $x,y,$ так, что:

    $\left(Ax,y\right) = \left(\left[a,x\right],y\right) = \left \langle a,x,y \right \rangle = \left \langle x,y,a \right \rangle = \left(x,\left[y,a\right]\right) = \left(x,A^*y\right).$

    Получили, что $A^*y = \left[y,a\right] = -\left[a,y\right] = -Ay \Leftrightarrow A^*=-A.$

    Ответ: $-A.$

    [свернуть]
  2. Доказать, что если некоторое подпространство инвариантно относительно оператора $A,$ то его ортогональное дополнение инвариантно относительно оператора $A^*.$
    Решение

    Пусть $A$ — линейный оператор, и пусть $B$ — его инвариантное подпространство. Тогда $L$ — ортогональное дополнение. Пусть $x \in B, y \in L.$ Таким образом, из $Ax \in B \Rightarrow \left(Ax,y\right)=0,$ а в силу того, что по определению сопряженного оператора $\left(Ax,y\right)=\left(x,A^*y\right),$ получаем, что $\left(x,A^*y\right)=0.$ И так как $x$ это произвольный вектор из $B,$ то $A^*y \in L.$

    [свернуть]
  3. Доказать, что оператор $A^*$ — линейный.
    Решение

    Для этого необходимо проверить условие линейного оператора . А именно для $A \colon X \to Y,$ $\forall x,y \in X$ и для любого числа $\alpha$ выполняется:
    $$A^*\left(x+y\right)=A^*\left(x\right)+A^*\left(y\right),$$ $$A^*\left(\alpha x\right)= \alpha A^*\left(x\right).$$

    Проверим сначала для $A\left(x+y\right)=A\left(x\right)+A\left(y\right).$ Тогда $\forall x,y,z \in X$ имеем
    $$\left(Ax,y+z\right)=\left(x,A^*\left(y+z\right)\right).$$

    Подробно распишем правую часть

    $$\left(Ax,y+z\right)=\left(Ax,y\right)+\left(Ax,z\right)=$$ $$=\left(x,A^*y\right)+\left(x,A^*z\right)=\left(x,A^*y+A^*z\right).$$

    Получили, что $\left(x,A^*\left(y+z\right)\right)=\left(x,A^*y+A^*z\right),$ и, следовательно по условию, что равенство выполняется для $\forall x \in X$ $\Rightarrow$ $$A^*\left(y+z\right)=A^*y+A^*z.$$

    Теперь докажем вторую часть, $A^*\left(\alpha x\right)= \alpha A^*\left(x\right).$ Тогда $\forall x,y \in X$ и для любого числа $\alpha$ имеем:
    $$\left(Ax, \alpha y\right)=\left(x,A^*\left(\alpha y\right)\right).$$

    По аналогии с первой частью

    $$\left(Ax, \alpha y\right)= \overline{\alpha}\left(Ax,y\right) = \overline{\alpha}\left(x,A^*y\right) = \left(x, \alpha A^*y\right).$$

    Получаем, что $\left(x,A^*\left(\alpha y\right)\right)=\left(x, \alpha A^*y\right),$ и, следовательно по условию, что равенство выполняется для $\forall x \in X$ $\Rightarrow$ $$A^*\left(\alpha y\right)=\alpha A^*y.$$

    [свернуть]

Сопряженный оператор

Тест на знание темы «Сопряженный оператор: существование и единственность»

Смотрите также

  1. Личный конспект, составленный на основе лекций Г. С. Белозерова.
  2. Воеводин В.В. Линейная алгебра. М.: Наука, 1994, Глава 9, $§$ 75, «Сопряженный оператор» (стр. 241)
  3. Фаддеев Д.К. Лекции по алгебре. М.: Наука, 1984, Глава 13, $§$ 4, «Евклидово и унитарное пространства» (стр. 356)
  4. Федорчук В.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. М.: изд. московского ун-та, 1990, Часть 2, Глава 5, $§$ 30, «Линейные отображения евклидовых пространств. Изоморфизмы. Сопряженные операторы»(стр. 269-271)

Ф1803. О вычислении угла полета камня в промежутке ускорения

Задача из журнала «Квант» (2001 год, 6 выпуск)

Условие

Под каким углом к горизонту следует бросить камень, чтобы расстояние от него до точки бросания в течение полета все время возрастало? Камень бросают с небольшой скоростью, сопротивлением воздуха можно пренебречь.

Решение

Если бросить камень почти вертикально, то расстояние до него вначале будет увеличиваться, а затем начнет уменьшаться. Ясно, что нужно найти «граничное» значение угла бросания $\alpha_\Gamma.$ Ясно также, что «подозрительная» точка траектории находится на спадающем ее участке. В этой точке вектор скорости $\overline{v}$ перпендикулярен радиусу-вектору $\overline{R}$ (см. рисунок).

Тогда $$\frac{y}{x} = \frac{v_x}{-v_y}, или \frac{v_0t\sinα_Γ-\frac{gt^2}{2}}{v_0t\cosα_Γ} = \frac{v_0\cosα_Γ}{gt-v_0\sinα_Γ}.$$

Отсюда получаем квадратное уравнение:

$$t^2- \frac{3v_0\sinα_Γ}{g}t + \frac{2v^2_0}{g^2} = 0.$$

У этого уравнения есть корень при условии, что дискриминант $D \geqslant 0$. Тогда условие задачи будет выполнено, если это уравнение не имеет корней, т.е. если

$$\frac{9v^2_0-\sin^2α_Γ}{g^2} − \frac{8v^2_0}{g^2} \leqslant 0.$$

Для граничного угла находим

$$\sinα_Γ = \sqrt{\frac{8}{9}} = \frac{2\sqrt{2}}{3}.$$

Если $α<α_Γ = \arcsin\frac{2\sqrt{2}}{3} = 70,5^o,$ то все хорошо.

З.Рафаилов