Processing math: 100%

Сопряженные числа и их свойства

Определение Пусть дано комплексное число z=a+bi, число имеющее противоположный знак при мнимой части называется сопряженным числом с z и обозначается ¯z. В общем случае, сопряженным к z=a+bi (где a,bR) является ¯z=abi

Геометрическая интерпретация

На комплексной плоскости сопряженные числа представлены точками, симметричными относительно действительной оси.

В полярной системе координат сопряженные числа имеют следующий вид — reiϕ и reiϕ, следует из формулы Эйлера

Корнями квадратного уравнения с действительными коэффициентами и отрицательным дискриминантом является пара сопряженных чисел.

Перейдем к рассмотрению свойств комплексно сопряженных чисел

Свойства

  1. ¯¯z=z

    Пусть z=a+bi. ¯z=¯a+bi=abi ¯¯z=¯abi=a+bi=z

  2. ¯(z1+z2)=¯z1+¯z2

    z1=a+bi,z2=c+di
    ¯(z1+z2)=¯(a+c+(b+d)i)=a+c(b+d)i ¯z1+¯z2=¯(a+bi)+¯(c+di)=abi+cdi=a+c(b+d)i=¯(z1+z2)

  3. ¯z1¯z2=¯z1z2

    z1=a+bi,z2=c+di
    ¯z1¯z2=¯(a+bi)¯(c+di)=(abi)(cdi)=acbd(bc+ad)i ¯z1z2=¯(a+bi)(c+di)=¯(acbd)+(bc+ad)i= =acbd(bc+ad)i=¯z1¯z2

  4. ¯(z1z2)=¯z1¯z2

    z1=a+bi,z2=c+di ¯(z1z2)=¯(a+bic+di)=¯((a+bi)(cdi)c2+d2)=¯(ac+bd+(bcad)i)c2+d2)= =ac+bd(bcad)ic2+d2 ¯z1¯z2=¯a+bi¯c+di=abicdi=(abi)(c+di)c2+d2=ac+bd(bcad)ic2+d2=¯(z1z2)

  5. z=¯zzR

    z=a+bi,¯z=abi z=¯zz¯z=0 (a+bi)(abi)=0 2bi=0b=0zR

  6. z+¯zR

    z=a+bi,¯z=abi z+¯z=(a+bi)+(abi)=2a 2aR

  7. z¯ziR

    z=a+bi,¯z=abi z¯z=(a+bi)(abi)=2biiR

  8. z¯z0

    z=a+bi,¯z=abi z¯z=(a+bi)(abi)=a2+abiabibi2=a2+b20

  9. ¯ki=1zi=ki=1¯zi

    Докажем ММИ предполагая, что свойство 2 доказано, оно и будет базой индукции. Предположим, что справедливо для km,m2. Докажем, что оно справедливо для k=m+1 ¯m+1i=1zi=¯mi=1zi+zm+1=¯mi=1zi+¯zm+1=mi=1¯zi+¯zm+1=m+1i=1¯zi

  10. ¯ki=1zi=ki=1¯zi

    Докажем ММИ предполагая, что свойство 3 доказано, оно и будет базой индукции. Предположим, что справедливо для km,m2. Докажем, что оно справедливо для k=m+1 ¯m+1i=1zi=¯mi=1zi+zm+1=¯mi=1zi+¯zm+1=mi=1¯zi+¯zm+1=m+1i=1¯zi

Примеры решения задач

  1. Решить квадратное уравнение 2x22x+5=0
    Решение
  2. Вычислить: Re2(z1+¯z2)z1z2, при z1=2+i,z2=42i
    Решение
  3. Найти число сопряженное данному z=(5+7i)(7+5i)
    Решение
  4. К какой координатной четверти принадлежит ¯z, если z=23i?
    Решение
  5. Выписать действительную и мнимую части для сопряженного заданному комплексному числу z1=5+i
    Решение

Сопряженные числа

Тест на знание темы «Сопряженные числа»

Смотрите также

  1.  Курош А.Г. Курс высшей алгебры М.: Наука, 1968, Глава 4, § 18, «Дальнейшее изучение комплексных чисел» (стр. 121-123)
  2. А. И. Кострикин Введение в алгебру М.: Наука, 1994, Глава 5, §1, «Геометрическое истолкование действий с комплексными числами»(стр. 197-198)
  3. К. Д. Фадеев Лекции по алгебре М.: Наука, 1984, Глава 2, §1, «Обоснование комплексных чисел» (стр. 30)

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *