Определение Пусть дано комплексное число z=a+bi, число имеющее противоположный знак при мнимой части называется сопряженным числом с z и обозначается ¯z. В общем случае, сопряженным к z=a+bi (где a,b∈R) является ¯z=a−bi
Геометрическая интерпретация
На комплексной плоскости сопряженные числа представлены точками, симметричными относительно действительной оси.
В полярной системе координат сопряженные числа имеют следующий вид — reiϕ и re−iϕ, следует из формулы Эйлера
Корнями квадратного уравнения с действительными коэффициентами и отрицательным дискриминантом является пара сопряженных чисел.
Перейдем к рассмотрению свойств комплексно сопряженных чисел
Свойства
- ¯¯z=z
Пусть z=a+bi. ¯z=¯a+bi=a−bi ¯¯z=¯a−bi=a+bi=z
- ¯(z1+z2)=¯z1+¯z2
z1=a+bi,z2=c+di
¯(z1+z2)=¯(a+c+(b+d)i)=a+c−(b+d)i ¯z1+¯z2=¯(a+bi)+¯(c+di)=a−bi+c−di=a+c−(b+d)i=¯(z1+z2) - ¯z1⋅¯z2=¯z1⋅z2
z1=a+bi,z2=c+di
¯z1⋅¯z2=¯(a+bi)⋅¯(c+di)=(a−bi)(c−di)=ac−bd−(bc+ad)i ¯z1⋅z2=¯(a+bi)(c+di)=¯(ac−bd)+(bc+ad)i= =ac−bd−(bc+ad)i=¯z1⋅¯z2 - ¯(z1z2)=¯z1¯z2
z1=a+bi,z2=c+di ¯(z1z2)=¯(a+bic+di)=¯((a+bi)(c−di)c2+d2)=¯(ac+bd+(bc−ad)i)c2+d2)= =ac+bd−(bc−ad)ic2+d2 ¯z1¯z2=¯a+bi¯c+di=a−bic−di=(a−bi)(c+di)c2+d2=ac+bd−(bc−ad)ic2+d2=¯(z1z2)
- z=¯z⇒z∈R
z=a+bi,¯z=a−bi z=¯z⇒z−¯z=0 (a+bi)−(a−bi)=0 2bi=0⇒b=0⇒z∈R
- z+¯z∈R
z=a+bi,¯z=a−bi z+¯z=(a+bi)+(a−bi)=2a 2a∈R
- z−¯z∈iR
z=a+bi,¯z=a−bi z−¯z=(a+bi)−(a−bi)=2bi∈iR
- z⋅¯z⩾0
z=a+bi,¯z=a−bi z⋅¯z=(a+bi)(a−bi)=a2+abi−abi−bi2=a2+b2⩾0
- ¯k∑i=1zi=k∑i=1¯zi
Докажем ММИ предполагая, что свойство 2 доказано, оно и будет базой индукции. Предположим, что справедливо для k⩽m,m⩾2. Докажем, что оно справедливо для k=m+1 ¯m+1∑i=1zi=¯m∑i=1zi+zm+1=¯m∑i=1zi+¯zm+1=m∑i=1¯zi+¯zm+1=m+1∑i=1¯zi
- ¯k∏i=1zi=k∏i=1¯zi
Докажем ММИ предполагая, что свойство 3 доказано, оно и будет базой индукции. Предположим, что справедливо для k⩽m,m⩾2. Докажем, что оно справедливо для k=m+1 ¯m+1∏i=1zi=¯m∏i=1zi+zm+1=¯m∏i=1zi+¯zm+1=m∏i=1¯zi+¯zm+1=m+1∏i=1¯zi
Примеры решения задач
- Решить квадратное уравнение 2x2−2x+5=0
РешениеВоспользуемся формулой дискриминанта для нахождения корней квадратного уравнения
D=b2−4ac,x1,2=−b±√D2a D=(−2)2−4⋅2⋅5=−36<0 √D=√−36=i√36=6i x1,2=2±6i4 x1,2=12±32i[свернуть] - Вычислить: Re2(z1+¯z2)z1z2, при z1=2+i,z2=4—2i
РешениеНадо понимать, что Rez — действительная часть комплексного числа
¯z2=4+2i Re2(z1+¯z2)z1z2=Re2(2+i+4+2i)(2+i)(4−2i)= =Re2(6+3i)8−2i2+4i−4i=3610=3.6[свернуть] - Найти число сопряженное данному z=(5+7i)(7+5i)
РешениеВычислим z, перемножив скобки z=35+35i2+49i+25i=35−35+74i=74i
¯z=¯74i=−74i[свернуть] - К какой координатной четверти принадлежит ¯z, если z=2−3i?
Решение¯z=¯(2−3i)=2+3i Значит координаты ¯z на комплексной плоскости (2;3). Это означает, что ¯z принадлежит I координатной четверти
Либо можно рассуждать таким образом: Координаты z на комплексной плоскости (2;−3),z принадлежит IV координатной четверти. Как нам известно, сопряженные числа симметричны относительно действительной оси из этого следует, что ¯z принадлежит I координатной четверти.
[свернуть] - Выписать действительную и мнимую части для сопряженного заданному комплексному числу z1=5+i
Решениеz1=5+i⇒¯z1=¯(5+i)=5−i Для комплексного числа z=a+bi:Rez=a,Imz=b
Для ¯z1=5−i имеем Re¯z1=5,Im¯z1=−1[свернуть]
Сопряженные числа
Навигация (только номера заданий)
0 из 6 заданий окончено
Вопросы:
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
- 6
Информация
Тест на знание темы «Сопряженные числа»
Вы уже проходили тест ранее. Вы не можете запустить его снова.
Тест загружается...
Вы должны войти или зарегистрироваться для того, чтобы начать тест.
Вы должны закончить следующие тесты, чтобы начать этот:
Результаты
Правильных ответов: 0 из 6
Ваше время:
Время вышло
Вы набрали 0 из 0 баллов (0)
Средний результат |
|
Ваш результат |
|
Рубрики
- Алгебра 0%
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
- 6
- С ответом
- С отметкой о просмотре
-
Задание 1 из 6
1.
Количество баллов: 1Чему будет равно произведение мнимой и действительной части числа z, z=Re3(z1z2)Im¯z1, при z1=i,z2=5+2i
Правильно
Неправильно
Правильный ответ — 0
-
Задание 2 из 6
2.
Количество баллов: 1Заполните пропуск
- Пусть дано комплексное число, число имеющее противоположный знак при мнимой части называется (сопряженным) числом
Правильно
Неправильно
-
Задание 3 из 6
3.
Количество баллов: 1При z=25−7i, чему будет равняться Re(¯z)−Im(z)?
Правильно
Неправильно
-
Задание 4 из 6
4.
Количество баллов: 2Выберите все правильные утверждения если известно, что z=5+i
Правильно
Неправильно
-
Задание 5 из 6
5.
Количество баллов: 4Установите соответствие между числами, сопряженными к нижеприведенным и координатными четвертями к которым они принадлежат.
Элементы сортировки
- 2−3i
- −1−5i
- −2+i
- 1+i
-
1
-
2
-
3
-
4
Правильно
Неправильно
-
Задание 6 из 6
6.
Количество баллов: 4Отсортируйте по убыванию отношение Im¯zRe¯z, для нижеприведенных чисел
-
z3=1−2i
-
z1=−2+i
-
z4=2+i
-
z2=1+2i
Правильно
Неправильно
-
Смотрите также
- Курош А.Г. Курс высшей алгебры М.: Наука, 1968, Глава 4, § 18, «Дальнейшее изучение комплексных чисел» (стр. 121-123)
- А. И. Кострикин Введение в алгебру М.: Наука, 1994, Глава 5, §1, «Геометрическое истолкование действий с комплексными числами»(стр. 197-198)
- К. Д. Фадеев Лекции по алгебре М.: Наука, 1984, Глава 2, §1, «Обоснование комплексных чисел» (стр. 30)