Сопряженные числа и их свойства

Пусть дано комплексное число $z = a + bi$ , число имеющее противоположный знак при мнимой части называется с $z$ и обозначается $\overline{z}$ . В общем случае, сопряженным к $z = a + bi$ (где $a,\:b\in \mathbb{R}$ ) является $\overline{z} = a-bi$

Геометрическая интерпретация

На комплексной плоскости сопряженные числа представлены точками, симметричными относительно действительной оси.

В полярной системе координат сопряженные числа имеют следующий вид — $re^{i\phi }$ и $re^{-i\phi }$ , следует из формулы Эйлера

Корнями квадратного уравнения с действительными коэффициентами и отрицательным дискриминантом является пара сопряженных чисел.

Перейдем к рассмотрению свойств комплексно сопряженных чисел

Свойства

$\overline{\overline{z}}=z$

Пусть $z = a + bi$ . $\overline{z} = \overline{a+bi} = a-bi$ $\overline{\overline{z}} = \overline{a-bi} = a + bi =z$
$\overline{\left(z_{1}+z_{2}\right)} = \overline{z_{1}} + \overline{z_{2}}$

$z_{1} = a + bi,\:z_{2} = c + di$
$\overline{\left(z_{1}+z_{2}\right)}=\overline{\left(a+c+ \left (b+d\right)i\right)}=a+c-\left( b+d\right)i$ $\overline{z_{1}}+\overline{z_{2}} = \overline{\left(a+bi\right)}+\overline{\left(c+di\right)} = a-bi+c-di = a+c-\left(b+d\right)i = \overline{\left(z_{1}+z_{2}\right)}$
$\overline{z_{1}} \cdot \overline{z_{2}} =\overline{z_{1}\cdot z_{2}}$

$z_{1} = a + bi,\:z_{2} = c + di$
$\overline{z_{1}}\cdot \overline{z_{2}}=\overline{\left(a+bi\right)}\cdot \overline{\left(c+di\right)}=\left(a-bi\right)\left(c-di\right)=ac-bd-\left(bc+ad\right)i$ $\overline{z_{1}\cdot z_{2}}=\overline{\left(a+bi\right)\left(c+di\right)}=\overline{\left(ac-bd\right)+\left(bc+ad\right)i}=$ $=ac-bd-\left(bc+ad\right)i=\overline{z_{1}}\cdot \overline{z_{2}}$
$\overline{\left(\displaystyle\frac{z_{1}}{z_{2}}\right)}=\displaystyle\frac{\overline{z_{1}}}{\overline{z_{2}}}$

$z_{1} = a + bi,\:z_{2} = c + di$ $\overline{\left(\frac{z_{1}}{z_{2}}\right)}=\overline{\left(\frac{a+bi}{c+di} \right )}=\overline{\left(\frac{\left(a+bi\right)\left(c-di \right)}{c^{2}+d^{2}} \right )}=\overline{\left(\frac{ac+bd+\left(bc-ad\right)i)}{c^{2}+d^{2}} \right )}=$ $=\frac{ac+bd-\left(bc-ad\right)i}{c^{2}+d^{2}}$ $\frac{\overline{z_{1}}}{\overline{z_{2}}}=\frac{\overline{a+bi}}{\overline{c+di}}=\frac{a-bi}{c-di}=\frac{\left(a-bi \right)\left(c+di \right ) }{c^{2}+d^{2}}=\frac{ac+bd-\left(bc-ad\right)i}{c^{2}+d^{2}}=\overline{\left(\frac{z_{1}}{z_{2}}\right)}$
$z=\overline{z}\Rightarrow z\in \mathbb{R}$

$z=a+bi,\:\overline{z}=a-bi$ $z=\overline{z}\Rightarrow z-\overline{z}=0$ $\left(a+bi\right)-\left(a-bi\right)=0$ $2bi=0\Rightarrow b=0\Rightarrow z\in \mathbb{R}$
$z+\overline{z}\in \mathbb{R}$

$z=a+bi,\:\overline{z}=a-bi$ $z+\overline{z}=\left(a+bi \right )+\left(a-bi \right )=2a$ $2a\in \mathbb{R}$
$z-\overline{z}\in i\mathbb{R}$

$z=a+bi,\:\overline{z}=a-bi$ $z-\overline{z}=\left(a+bi\right)-\left(a-bi\right)=2bi\in i\mathbb{R}$
$z\cdot \overline{z}\geqslant 0$

$z=a+bi,\:\overline{z}=a-bi$ $z\cdot \overline{z}=\left(a+bi \right )\left(a-bi \right )=a^{2}+abi-abi-bi^{2}=a^{2}+b^{2}\geqslant 0$
$\displaystyle\overline{\sum_{i=1}^{k}z_{i}}=\sum_{i=1}^{k}\overline{z_{i}}$

Докажем ММИ предполагая, что свойство 2 доказано, оно и будет базой индукции. Предположим, что справедливо для $k\leqslant m,\:m\geqslant 2.$ Докажем, что оно справедливо для $k=m+1$ $\overline{\sum_{i=1}^{m+1}z_{i}}=\overline{\sum_{i=1}^{m}z_{i}+z_{m+1}}=\overline{\sum_{i=1}^{m}z_{i}}+\overline{z_{m+1}}=\sum_{i=1}^{m}\overline{z_{i}}+\overline{z_{m+1}}=\sum_{i=1}^{m+1}\overline{z_{i}}$
$\displaystyle\overline{\prod_{i=1}^{k}z_{i}}=\prod_{i=1}^{k}\overline{z_{i}}$

Докажем ММИ предполагая, что свойство 3 доказано, оно и будет базой индукции. Предположим, что справедливо для $k\leqslant m,\:m\geqslant 2.$ Докажем, что оно справедливо для $k = m + 1$ $\overline{\prod_{i=1}^{m+1}z_{i}} = \overline{\prod_{i=1}^{m}z_{i}+z_{m+1}} = \overline{\prod_{i=1}^{m}z_{i}}+\overline{z_{m+1}} = \prod_{i=1}^{m}\overline{z_{i}} + \overline{z_{m+1}} = \prod_{i=1}^{m+1}\overline{z_{i}}$

Примеры решения задач

Решить квадратное уравнение $2x^{2}-2x+5=0$

Решение

Воспользуемся формулой дискриминанта для нахождения корней квадратного уравнения
$D=b^{2}-4ac,\: x_{1,2}=\frac{-b\pm \sqrt{D}}{2a}$ $D=\left(-2\right)^{2}-4\cdot 2\cdot 5=-36<0$ $\sqrt{D}=\sqrt{-36}=i\sqrt{36}=6i$ $x_{1,2}=\frac{2\pm 6i}{4}$ $x_{1,2}=\frac{1}{2}\pm \frac{3}{2}i$

[свернуть]
Вычислить: $\frac{Re^{2}\left(z_{1}+\overline{z_{2}}\right)}{z_{1}z_{2}}_{,}$ при $z_{1} = 2 + i,\:z_{2} = 4 — 2i$

Решение

Надо понимать, что $Re\,z$ — действительная часть комплексного числа
$\overline{z_{2}}=4+2i$ $\frac{Re^{2}\left(z_{1}+\overline{z_{2}}\right)}{z_{1}z_{2}}=\frac{Re^{2}\left(2+i+4+2i\right)}{\left(2+i \right )\left(4-2i \right )}=$ $=\frac{Re^{2}\left(6+3i\right)}{8-2i^{2}+4i-4i}=\frac{36}{10}=3.6$

[свернуть]
Найти число сопряженное данному $z=\left(5+7i\right)\left(7+5i\right)$

Решение

Вычислим $z,$ перемножив скобки $z=35+35i^{2}+49i+25i=35-35+74i=74i$
$\overline{z}=\overline{74i}=-74i$

[свернуть]
К какой координатной четверти принадлежит $\overline{z}$ , если $z=2-3i?$

Решение

$\overline{z}=\overline{\left(2-3i\right)}=2+3i$ Значит координаты $\overline{z}$ на комплексной плоскости $\left(2;3\right).$ Это означает, что $\overline{z}$ принадлежит I координатной четверти

Либо можно рассуждать таким образом: Координаты $z$ на комплексной плоскости $\left(2;-3\right),\: z$ принадлежит IV координатной четверти. Как нам известно, сопряженные числа симметричны относительно действительной оси из этого следует, что $\overline{z}$ принадлежит I координатной четверти.

[свернуть]
Выписать действительную и мнимую части для сопряженного заданному комплексному числу $z_1=5+i$

Решение

$z_1=5+i\Rightarrow \overline{z_1}=\overline{\left ( 5+i \right )}=5-i$ Для комплексного числа $z=a+bi\::\:Re\,z=a,\:Im\,z=b$
Для $\overline{z_1}=5-i$ имеем $Re\,\overline{z_1}=5,\:Im\,\overline{z_1}=-1$

[свернуть]