Processing math: 100%

M1442. Равенство отрезков касательных

Задача из журнала «Квант» (М1442)

Условие

Две окружности пересекаются в точках A и B. В точке A к обеим проведены касательные, пересекающие окружности в точках M и N. Прямые BM и BN пересекают окружности еще раз в точках P и Q(P — на прямой BM, Q — на прямой BN). Докажите, что отрезки MP и NQ равны.

Решение

Легко доказать, что треугольники MAP и QAN подобны. Несколько труднее — что они равны. Но и это можно сделать, используя лишь теоремы о величине вписанного угла, о величине угла между касательной и хордой, а также о величине угла между касательной и секущей (он равен полуразности дуг, заключенных между сторонами угла, рис. 1).

Рис.1
Рис.1

Пусть величины дуг AB двух кругов (заключенных внутри кругов) равны 2ϕ и 2ψ (для дуг, лежащих внутри углов MAB и NAB соответственно). Легко видеть, что BNA=QNA=ϕ, а также MPA=ϕ — как в случае, когда точки P и N лежат по одну сторону от прямой AB (рис. 2), так и в случае, когда по разные (рис. 3, где BPA=πϕ). Аналогично, BMA=PMA=ψ=NQA. Отсюда следует подобие MAPQAN.

рис. 2
Рис. 2

рис. 3
Рис. 3

Докажем, что AP=AN. Проверим, что эти хорды стягивают разные дуги. Величина дуги ABN (как и ABM) равна 2ϕ+2ψ, т. е. точки A и N делят окружности на дуги 2ϕ+2ψ и 2π2ϕ2ψ. Дугу AP можно найти рассмотрев угол AMB=ϕ как угол между касательной и секущей : величина этой дуги, лежащей внутри угла, равна 2ϕ+2ψ на рисунке 2 и 2π2ϕ2ψ на рисунке 3, т. е. точки A и P делят окружность на такие же дуги 2ϕ+2ψ и 2π2ϕ2ψ.  Аналогично, AQ=AM. Отсюда следует, что MAP=QAN и MP=QN.

      И. Нагель

Почленное дифференцирование и интегрирование степенного ряда

Часть первая: Почленное интегрирование степенного ряда

Замечание

Радиусом сходимости степенного ряда n=0anxn называется такое число R при котором ряд сходится при |x|<R и расходится при |x|>R.
сх

Теорема

Степенной ряд n=0anxn=a0+a1x+a2x2++anxn+ (в дальнейшем ряд 1), на промежутке [0,x], где |x|<R, всегда можно интегрировать почленно, так что x0f(x)dx=a0x+a12x2+a23x3++an1nxn+

Доказательство

Спойлер

Пример

Спойлер

Почленное интегрирование степенного ряда

Часть вторая: Почленное дифференцирование степенного ряда

Теорема

Степенной ряд (1) внутри его промежутка сходимости можно дифференцировать почленно, так что для суммы ряда f(x) существует производная которая выражается:f(x)=n=1nanx(n1)=a1+2a2x++nanx(n1)+

Доказательство

Спойлер

Замечание

Мы доказали что ряд x0f(x)dx=a0x+a12x2+a23x3++an1nxn+ и f(x)=n=1nanxn1=a1+2a2x++nanx(n1)+ сходятся на промежутке (R,R), следовательно их радиусы сходимости не меньше R. В свою очередь ряд (1) получается почленным дифференцированием ряда x0f(x)dx=a0x+a12x2+a23x3++an1nxn+ и почленным интегрированием ряда f(x)=n=1nanxn1=a1+2a2x++nanx(n1)+ следовательно R не может быть меньше упомянутых радиусов сходимости. Из вышеупомянутого следует, что радиусы сходимости всех трех рядов равны между собой.

Пример

Спойлер

Список литературы

Почленное дифференцирование степенного ряда