Признак Даламбера

Признак Даламбера сходимости ряда в форме неравенств

Формулировка

Пусть дан ряд с положительными слагаемыми:

[latex]\sum\limits_{n=1}^{\infty} a_{n}=a_{1}+a_{2}+…+a_{n}+…[/latex]
[latex]a_{n}>0[/latex]

Если начиная с какого-то номера [latex]n_{0}\epsilon \mathbb{N}[/latex] [latex]\forall n>n_{0}[/latex] выполняется неравенство [latex]\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\leq q<1[/latex] [latex]q\epsilon \mathbb{R}[/latex], то ряд сходится.
Если же [latex]\exists n_{0}\epsilon \mathbb{N}:\forall n>n_{0}[/latex] [latex]\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\geq 1[/latex], то ряд расходится.

Доказательство

Рассмотрим неравенство [latex]\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\leq q[/latex] для [latex]n=1[/latex] и [latex]n=2[/latex].

[latex]n=1:\frac{a_{2}}{a_{1}}\leq q\Leftrightarrow a_{2}\leq q*a_{1}[/latex]
[latex]n=2:\frac{a_{3}}{a_{2}}\leq q\Leftrightarrow a_{3}\leq q*a_{2}\leq q^{2}*a_{1}[/latex]

Таким образом [latex]\forall n[/latex] будет справедливо неравенство [latex]a_{n}\leq q^{n-1}*a_{1}[/latex]. При этом ряд [latex]\sum_{n=1}^{\infty} q^{n-1}*a_{1}[/latex] является сходящимся, а значит по признаку сравнения в форме неравенств ряд [latex]\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}[/latex] тоже сходится.

Если [latex]\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\geq 1[/latex], то справедливо неравенство [latex]a_{n+1}\geq a_{n}>0[/latex], что противоречит необходимому условию сходимости ряда ([latex]\lim_{n\rightarrow \infty }a_{n}=0[/latex]). Значит ряд [latex]\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}[/latex] расходится.

Иногда на практике удобнее использовать следствие из данной теоремы.

Следствие(признак Даламбера сходимости ряда в предельной форме)

Формулировка

Пусть дан ряд с положительными слагаемыми:

[latex]\sum\limits_{n=1}^{\infty} a_{n}=a_{1}+a_{2}+…+a_{n}+…[/latex]
[latex]a_{n}>0[/latex]

Если существует предел:

[latex]\lim\limits_{n\rightarrow\infty}{\frac{a_{n+1}}{a_{n}}}=K[/latex]

Тогда:

  1. Если [latex]K<1[/latex], то ряд сходится.
  2. Если [latex]K>1[/latex], то ряд расходится.
  3. Если [latex]K=1[/latex], то признак не дает возможности сказать что-либо о сходимости данного ряда.

Доказательство

Пусть [latex]\lim_{n\rightarrow \infty }{\frac{a_{n+1}}{a_{n}}}=K[/latex]. Из определения предела запишем: [latex]\forall \varepsilon >0 \exists N_{\varepsilon }:\forall n>N_{\varepsilon }\left |\frac{a_{n+1}}{a_{n}}-K \right |<\varepsilon \Leftrightarrow K-\varepsilon <\frac{a_{n+1}}{a_{n}}<K+\varepsilon[/latex]. Если [latex]K<1[/latex], то положим [latex]\varepsilon =\frac{1-K}{2}[/latex], тогда [latex]q=K+\varepsilon<1[/latex] и тогда по признаку Даламбера в форме неравенств ряд сходится. Если же [latex]K>1[/latex], то положим [latex]\varepsilon =\frac{K-1}{2}[/latex], тогда [latex]q=K-\varepsilon>1[/latex], а значит ряд расходится. Для случая [latex]K=1[/latex] приведем пример сходящегося и расходящегося рядов. Ряд вида [latex]\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}[/latex] расходится и при этом [latex]\lim_{n\rightarrow\infty}{\frac{n}{n+1}}=1[/latex]. В то же время ряд [latex]\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{2}}[/latex] сходится и при этом [latex]\lim_{n\rightarrow\infty}{\frac{n^{2}}{(n+1)^{2}}}=\lim_{n\rightarrow\infty}{\frac{n^{2}}{n^{2}+2n+1}}=1[/latex].

Пример

Дан ряд [latex]\sum_{n=1}^{\infty}\frac{a^{n}}{n!}[/latex]. Определить характер сходимости ряда.

Воспользуемся  признаком Даламбера в предельной форме.

[latex]\lim\limits_{n\rightarrow\infty}{\frac{\frac{a^{n+1}}{(n+1)!}}{\frac{a^{n}}{n!}}}=\lim\limits_{n\rightarrow\infty}{\frac{a}{n+1}}=0<1[/latex].

Значит исходный ряд сходится.

Тест

Предлагаем пройти тесты и закрепить пройденный материал

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *