Подструктуры

Подгруппа

Пусть [latex]H\neq\varnothing[/latex]. Множество [latex]H[/latex] является подгруппой группы [latex]G[/latex], если само [latex]H[/latex] является группой относительно сужения операции, определённой на [latex]G[/latex].

Критерий подгруппы

Пусть [latex]G[/latex] — группа. [latex] H\in G. H\neq\varnothing[/latex]
Тогда [latex]H[/latex] является подгруппой [latex]G \Leftrightarrow \forall a,b\in H ab^{-1}\in H ((a-b)\in H).[/latex], где [latex]b^{-1}[/latex] — элемент, обратный к [latex]b[/latex].

Задача

Проверить, являеется ли группа [latex](mZ,+) (m\geq 1)[/latex] подгруппой группы [latex](Z, +)[/latex], где [latex]Z[/latex] — множество целых чисел.

Спойлер

То, что [latex](mZ,+)[/latex] — группа, легко доказывается по определению.
Рассмотрим любые два элемента, принадлежищие множеству [latex]mZ[/latex].
[latex]\forall a,b\in mZ a=ma_1, b=mb_1 a,b,m\in Z[/latex]
[latex]a-b=ma_1-mb_1=m(a_1-b_1)\in mZ[/latex]
[latex]\Rightarrow[/latex] по критерию [latex](mZ,+)[/latex] подгруппы является подгруппой [latex](Z,+).[/latex]

[свернуть]

Подкольцо

Рассмотрим кольцо [latex]\mathcal{R}=(R,+,\cdot ,0,1)[/latex]. Если множество [latex]Q[/latex] есть подмножество множества [latex]R[/latex], замкнутое относительно операций сложения и умножения кольца [latex]R[/latex], содержащее нуль и единицу кольца [latex]R[/latex], а также вместе с каждым [latex]x\in Q[/latex] содержащее противоположный к нему элемент [latex](-x)[/latex], то [latex]\mathcal{Q}=(Q,+,\cdot ,0,1)[/latex] также есть кольцо. Его называют подкольцом кольца [latex]\mathcal{R}[/latex].

Другими словами, [latex]\mathcal{Q}[/latex] называется подкольцом в [latex]\mathcal{R}[/latex], если оно само является кольцом относительно сужения операций, определенных на [latex]R[/latex].

Критерий подкольца

Непустое подмножество [latex]R_1[/latex] кольца [latex]R[/latex] будет его подкольцом [latex]\Leftrightarrow[/latex]

  1. [latex]\forall a,b\in R_1 (a+b)\in R_1[/latex]
  2. [latex]\forall a,b\in R_1 ab\in R_1[/latex]

Подполе

Пусть [latex]P[/latex]-поле. [latex]L\subset P, L\neq\varnothing.[/latex]
[latex]L[/latex] называется подполем [latex]P[/latex], если [latex]L[/latex] само является полем относительно сужения операций, определённых на [latex]P[/latex].
При этом [latex]P[/latex] называется расширением [latex]L[/latex].
Понятие подполя определяется аналогично понятию подкольца.Единственное по сравнению с определением подкольца дополнительное требование состоит в том, что носитель подполя должен вместе с каждым элементом [latex]x[/latex] содержать обратный к нему по умножению поля элемент [latex]x^{-1}[/latex] . Это значит, что мультипликативная группа подполя должна быть подгруппой мультипликативной группы всего поля.

Пример

Спойлер

Если [latex]a[/latex] и [latex]b[/latex] — различные элементы поля [latex]F[/latex], то мы можем определить новое сложение [latex]\oplus[/latex] и новое умножение [latex]\odot[/latex] в [latex]F[/latex] следующим образом:
[latex]x\oplus y=x+y-a, x\odot y=a-(x-a)(y-a)/(b-a).[/latex]
(В геометрических терминах: мы меняем начало координат и масштаб.) Легко видеть, что элементы множества [latex]F[/latex] образуют также поле и относительно новых операций. Мы обозначаем это новое поле через [latex]F'[/latex]. Ясно, что подмножество поля [latex]F[/latex], которое является подкольцом поля [latex]F'[/latex], не будет, вообще говоря, подкольцом поля [latex]F[/latex]. Отметим, что [latex]a[/latex] и [latex]b[/latex] будут соответственно нулем и единицей поля [latex]F'[/latex].

[свернуть]

Источники

Структуры и подструктуры

Тест на тему «Простейшие задачи на определение структур группы, кольца, поля. Подструктуры.Циклическая группа. Симметрическая группа.». Прочтите все четыре статьи, прежде чем проходить тест.

Таблица лучших: Структуры и подструктуры

максимум из 7 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных

Подгруппы. Критерий подгруппы

Определение

Подмножество [latex]H[/latex] группы [latex]G[/latex] называется подгруппой этой группы (обозначают [latex]H \le G[/latex]), если оно само является группой относительно сужения операции, определенной в группе [latex]G[/latex].

Теорема (Критерий подгруппы)

Непустое подмножество [latex]H[/latex] группы [latex]G[/latex] будет подгруппой тогда и только тогда, когда [latex]h_{1}h_{2}\in H[/latex] и [latex]h_{1}^{-1}\in H[/latex] для всех [latex]h_{1},h_{2} \in H[/latex]

Обозначается

[latex]<G, \ast>[/latex] — группа.

[latex]H \subseteq G[/latex]

[latex]H \le G \Leftrightarrow[/latex] [latex](\forall h_{1}, h_{2}\in H)[h_{1}\ast h_{2}^{-1}\in H][/latex]

Спойлер

Пусть [latex]H[/latex] — подгруппа группы [latex]G[/latex], т. е. [latex]H[/latex] — группа  относительно сужения операции, определенной в группе [latex]G[/latex]. Определена алгебраическая операция в [latex]H[/latex], поэтому [latex]h_{1}h_{2}\in H[/latex] для всех [latex]h_{1},h_{2}\in H[/latex].

Проверим что единица [latex]e_{1}[/latex] подгруппы [latex]H[/latex] совпадает с единицей [latex]e[/latex] группы [latex]G[/latex]. Ясно, что [latex]e_{1}e=[/latex] [latex]ee_{1}=[/latex] [latex]e_{1}[/latex], т. к. [latex]e_{1}[/latex] — элемент из [latex]G[/latex].  В группе [latex]G[/latex] для [latex]e_{1}[/latex] имеется обратный элемент [latex]e_{1}^{-1}[/latex], то есть [latex]e_{1}^{-1}e_{1}=[/latex] [latex]e_{1}e_{1}^{-1}=[/latex] [latex]e[/latex]. Так как [latex]e_{1}[/latex] — единица в [latex]H[/latex], то [latex]e_{1}e_{1}=e [/latex]. Умножив обе части последнего равенства  на [latex]e_{1}^{-1}[/latex], получим: [latex]e_{1}^{-1}e_{1}e_{1}=[/latex] [latex]e_{1}^{-1}e_{1}[/latex] или [latex]ee_{1}=e[/latex], поэтому [latex]e_{1}=e[/latex]. Таким образом, единицы подгруппы [latex]H[/latex] и группы [latex]G[/latex] совпадают.

Так как [latex]H[/latex] подгруппа, то для каждого [latex]h\in H[/latex] существует в подгруппе [latex]H[/latex] обратный элемент [latex]h^{-1}[/latex], то есть такой элемент, что [latex]h^{-1}h=[/latex] [latex]hh^{-1}=[/latex] [latex]e_{1}=[/latex] [latex]e[/latex]. Это означает, что [latex]h^{-1}[/latex] является обратным элементом в группе [latex]G[/latex] для элемента [latex]h\in H[/latex].

Обратно, пусть [latex]h_{1}h_{2}[/latex] и [latex]h_{1}^{-1}\in H[/latex] для всех [latex]h_{1}, h_{2}\in H[/latex]. Тогда алгебраическая операция определенна на [latex]H[/latex]. Она ассоциативна в [latex]H[/latex], так как ассоциативность справедлива для всех элементов из [latex]G[/latex]. Элемент [latex]h^{-1}[/latex] обратный [latex]h \in H[/latex] также принадлежит [latex]H[/latex], поэтому [latex]h^{-1}h \in H[/latex] и [latex]hh^{-1}[/latex]. Поскольку [latex]h^{-1}h=[/latex] [latex]e=[/latex] [latex]hh^{-1}[/latex], то [latex]e \in H[/latex] и [latex]H[/latex] — группа.

[свернуть]

 

Спойлер

[latex]<\mathbb{Z}, +>[/latex] — группа,

[latex]3\mathbb{Z} \subseteq \mathbb{Z}[/latex],

Z

[latex]3\mathbb{Z} \overset{?}{\le} \mathbb{Z}[/latex],

[latex] a,b \in 3\mathbb{Z} \Rightarrow[/latex] [latex]a=3m_{1} \wedge b=3m_{2}[/latex],

[latex]-b=-(3m_{2})[/latex],

[latex]a+(-b)=[/latex] [latex]3m_{1}+(-3m_{2})=[/latex] [latex]3m_{1}-3m_{2}=[/latex] [latex] 3(m_{1}-m_{2})=[/latex] [latex]3m_{3}\in 3\mathbb{Z}[/latex],

[latex]3\mathbb{Z} \le \mathbb{Z}[/latex]

[свернуть]

Тест

Подгруппы. Критерий подгруппы.

Таблица лучших: Подгруппа

максимум из 10 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных

Источник

Г. С. Белозеров. Конспект лекций по линейной алгебре.

В. С. Монахов. Учебное пособие «Введение в теорию конечных групп и их классов». Гомель 2003 (стр. 20-21)

А. Г. Курош. Курс высшей алгебры. Издание десятое. Стереотипное. Москва «Наука» 1971. (стр. 398-399)

И. В. Проскуряков.  Сборник задач по линейной алгебре. Издание шестое. Стереотипное. Москва «Наука», 1984. (стр. 218-220)