Свойства определенного интеграла, связанные с отрезками интегрирования

Определение

Если f(x) интегрируема в промежутке \left [ a,b \right ], то она интегрируема и в промежутке \left [ b,a \right ], причем

$$\underset{a}{\overset{b}{\int}}f(x)dx=-\underset{b}{\overset{a}{\int}}f(x)dx$$

Пример

Вычислить определённый интеграл \underset{4}{\overset{-2}{\int}}(8+2x-x^{2})dx.

Преобразуем интеграл и затем применим свойство линейности интеграла.

$\underset{4}{\overset{-2}{\int}}(8+2x-x^{2})dx=\underset{-2}{\overset{4}{\int}}(8+2x-x^{2})dx=8\underset{-2}{\overset{4}{\int}}dx+2\underset{-2}{\overset{4}{\int}}xdx-\underset{-2}{\overset{4}{\int}}x^{2}dx=$$=8x|_{-2}^{4}+2\cdot \frac{1}{2}(x^{2})|_{-2}^{4}-\frac{1}{3}(x^{3})|_{-2}^{4}=48+12-24=36$.

Свойство 1

Если функция f(x) интегрируема на отрезке \left [ a,b \right ], то она интегрируема на произвольном отрезке \left [ \alpha,\beta \right ] \subset \left [ a,b \right ].

Спойлер

Рассмотрим произвольное разбиение \tau _{\left [ \alpha ,\beta \right ]}=\left \{ x_{k} \right \}_{k=0}^{n} отрезка \left [ \alpha,\beta \right ].  Добавив к нему \left [ a,\alpha \right ] и \left [ \beta,b \right ], мы получим разбиение  \tau _{\left [ a ,b \right ]} отрезка  \left [ a,b \right ]. По условию интегрируемости f(x) получим :

$$0\leq \sum_{x_{k}\in \tau_{\left [ \alpha ,\beta \right ]}}^{n}\omega _{k}\Delta x_{k}\leq \sum_{x_{k}\in \tau \left [ a ,b \right ]}\omega _{k}\Delta x_{k}\rightarrow 0$$,

когда диаметр разбиения  \tau_{\left [ \alpha ,\beta \right ]} стремится к нулю. Этот факт и доказывает наше свойство.

[свернуть]

Пример

 Ранее мы уже показали, что функция $f(x)=8+2x-x^{2}$ интегрируема на отрезке \left [ -2, 4 \right ]. Согласно первому свойству она также интегрируема на промежутке \left [ 0,2 \right ].

$\underset{0}{\overset{2}{\int}}(8+2x-x^{2})dx=8\underset{0}{\overset{2}{\int}}dx+2\underset{0}{\overset{2}{\int}}xdx-\underset{0}{\overset{2}{\int}}x^{2}dx=$$=8x|_{0}^{2}+2\cdot \frac{1}{2}(x^{2})|_{0}^{2}-\frac{1}{3}(x^{3})|_{0}^{2}=\frac{52}{3}$

 

Свойство 2 (аддитивность интеграла)

Если функция f(x) интегрируема на отрезках  \left [ a,c \right ] и \left [ c,b \right ], то она также интегрируема на отрезке \left [ a,b \right ] и имеет место равенство

$$\underset{a}{\overset{b}{\int}}f(x)dx=\underset{a}{\overset{c}{\int}}f(x)dx+\underset{c}{\overset{b}{\int}}f(x)dx$$.

Спойлер

Пусть функция интегрируема в промежутке \left [ a,b \right ]. Интегрируемость функции в промежутках \left [ a,c \right ] и \left [ c,b \right ], следует из Свойства 1. Рассмотрим разбиение промежутка  \left [ a,b \right ] на части \tau _{\left [ \alpha ,\beta \right ]}=\left \{ x_{k} \right \}_{k=0}^{n}, причем точку  c будем считать одной из точек деления. Составив интегральную сумму, будем иметь

$$\sum_{a}^{b}f(\xi )\Delta x=\sum_{a}^{c}f(\xi )\Delta x + \sum_{c}^{b}f(\xi )\Delta x$$

Каждая из этих сумм имеет предел, который равен соответствующему  интегралу для любых точек

$$\xi _{k}\in \left [ x_{k},x_{k-1} \right ],(k=1,2,\dots,n)$$,

когда диаметр разбиения стремится к нулю. Т.е.

$$\underset{a}{\overset{b}{\int}}f(x)dx=\underset{a}{\overset{c}{\int}}f(x)dx+\underset{c}{\overset{b}{\int}}f(x)dx$$

 

[свернуть]

Пример

Снова возьмём функцию $f(x)=8+2x-x^{2}$ и рассмотрим значения интеграла на промежутках \left [ -2, 1 \right ] и \left [ 1, 4 \right ].

$\underset{-2}{\overset{1}{\int}}(8+2x-x^{2})dx=8\underset{-2}{\overset{1}{\int}}dx+2\underset{-2}{\overset{1}{\int}}xdx-\underset{-2}{\overset{1}{\int}}x^{2}dx=$$=8x|_{-2}^{1}+2\cdot \frac{1}{2}(x^{2})|_{-2}^{1}-\frac{1}{3}(x^{3})|_{-2}^{1}=18$

$\underset{1}{\overset{4}{\int}}(8+2x-x^{2})dx=8\underset{1}{\overset{4}{\int}}dx+2\underset{1}{\overset{4}{\int}}xdx-\underset{1}{\overset{4}{\int}}x^{2}dx=$$=8x|_{1}^{4}+2\cdot \frac{1}{2}(x^{2})|_{1}^{4}-\frac{1}{3}(x^{3})|_{1}^{4}=18$

Т.е. $$\underset{a}{\overset{b}{\int}}f(x)dx=\underset{a}{\overset{c}{\int}}f(x)dx+\underset{c}{\overset{b}{\int}}f(x)dx$$.

Литература

Свойства определенного интеграла, связанные с отрезками интегрирования

Начало теста

Свойства определенного интеграла, связанные с операциями над функциями

Свойство  1

Если f,g\in \mathbb{R}[a;b] , то \forall \alpha ,\beta \in \mathbb{R}  \varphi (x)=\alpha f+\beta g\in \mathbb{R}[a;b] \int\limits_{a}^{b}(\alpha f(x)+\beta g(x))dx=\alpha \int\limits_{a}^{b}f(x)dx+\beta \int\limits_{a}^{b}g(x)dx .

Доказательство:

Пусть \delta _{T}(\xi ,f),\delta _{T}(\xi ,g),\delta _{T}(\xi ,\varphi )   — интегральные суммы для соответствующих функций, тогда: \delta _{T}(\xi ,\varphi )=\alpha \delta _{T}(\xi ,f)+\beta \delta _{T}(\xi ,g) . Если \lambda (T)\rightarrow 0 , то \alpha \delta _{T}(\xi ,t)\rightarrow \alpha \int\limits_{a}^{b}f(x)dx,  \beta \delta _{T}(\xi ,g)\rightarrow \beta \int\limits_{a}^{b}g(x)dx .

Свойство 2

Если f,g\in \mathbb{R}[a;b] , то fg\in \mathbb{R}[a;b]

Доказательство:

Воспользуемся критерием интегрируемости:

1) fg  — ограничены, так как  f  — ограничена по условию,  g  — ограничена по условию. \left | f(x) \right |\leq C_{1}, \left | g(x) \right |\leq C_{2}, \left | fg(x) \right |=\left | f(x) \right |*\left | g(x) \right |\leq C_{1}*C_{2}

2) В терминах колебаний:

fg=\varphi; x^{1},x^{n}\in \Delta _{i}[x_{i-1};x_{i}];

\varphi(x^{n})-\varphi(x^{1})=f(x^{n})g(x^{n})-f(x^{1})g(x^{1})=

f(x^{2})g(x^{2})-f(x^{1})f(x^{n})+f(x^{1})g(x^{n})-f(x^{1})g(x^{1})\leq

g(x^{n})(f(x^{n})-f(x^{1}))+f(x^{1})(g(x^{n})-g(x^{1}))\leq

C((f(x^{n})-f(x^{1}))+(g(x^{n})-g(x^{1}));

\omega _{i}(f)=M_{i}-m_{i}=\underset{x^{1},x^{2}\in \Delta _{i}}\sup\left(f(x^{1})-f(x^{n})\right)\leq

C(\underset{x^{1},x^{2}\in \Delta _{i}}\sup(f(x^{1})-f(x^{n}))+\underset{x^{1},x^{2}\in \Delta _{i}}\sup(g(x^{1})-g(x^{n})))=

C(\omega_{i}(f)+\omega_{i}(g)) \Rightarrow \varphi(x^{n})-\varphi(x^{1})\leq

C(\omega_{i}(f)+\omega_{i}(g)) \Rightarrow \omega_{i}(\varphi )=  \sup(\varphi(x^{2})  -\varphi(x^{1}))

Свойство  3

Если f\left(x \right)\in \mathbb{R}[a;b] , тогда  \left| f\left(x \right)\right|\in \mathbb{R}[a;b]  и

\left| \int\limits_{a}^{b}{}f\left(x \right)dx\right|\leq \int\limits_{a}^{b}{}\left|f\left(x \right) \right|dx

Доказательство:

f=\begin{cases}-1, & \text{ } x\in\mathbb{R}/\mathbb{Q} \\ 1, & \text{ } x\in \mathbb{Q} \end{cases}

По свойству модуля:

\forall x^{1}, x^{2}\in B_{i}=[x_{i-1};x_{i}]=\left | \left | f(x^{2}) \right |\left | f(x^{1}) \right | \right |\leq \left | f(x^{2})-f(x^{1}) \right |\Rightarrow

\left | \left | f(x^{2}) \right |-\left | g(x^{1}) \right | \right |\leq \omega_{i}(\left | f\right |)\leq\omega (f); i=\overline{1,n}\Rightarrow

0\leq\sum\limits_{i=1}^{n}{}\omega_{i}(\left | f\right |)\Delta x_{i}\leq\sum\limits_{i=1}^{n}\omega_{i}(f)\Delta x_{i} .

Список литературы:

 

Свойства определенного интеграла, связанные с операциями над функциями

Начало теста

Таблица лучших: Свойства определенного интеграла, связанные с операциями над функциями

максимум из 5 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных