1. Единственность предела функции
Как мы говорили с Вами в прошлой статье, единственность предела следует из определения предела функции по Гейне. Однако давайте сформулируем и докажем теорему о единственности предела.
Теорема о единственности предела
Формулировка:
Если функция [latex]f(x)[/latex] в точке [latex]a[/latex] имеет предел, то этот предел единственный.
Доказательство:
Докажем методом от противного. Предположим, что [latex]\lim\limits_{x\rightarrow a } f(x) = b[/latex], [latex]\lim\limits_{x\rightarrow a } f(x) = c[/latex], [latex]b \neq c[/latex]. Возьмём [latex]\varepsilon = \frac{|b-c|}{2}[/latex], по определению и свойству окрестности найдётся такая проколотая
[latex]\delta[/latex]-окрестность точки [latex]a[/latex] ([latex]\dot{U}_{\delta }(a)[/latex]), в которой одновременно будут выполнятся неравенства [latex]|f(x)-b|<\frac{|b-c|}{2}[/latex], [latex]|f(x)-c|<\frac{|b-c|}{2}[/latex] , тогда в точках этой же окрестности [latex]|b-c|=[/latex][latex]|(b-f(x))+[/latex][latex](f(x)-c)| \leq[/latex][latex] |f(x)-b|+[/latex][latex]|f(x)-c|<[/latex][latex] \frac{|b-c|}{2}+[/latex][latex]\frac{|b-c|}{2}=[/latex][latex]|b-c|.[/latex] Получили противоречие [latex]|b-c| < |b-c|[/latex]. Отсюда, функция [latex]f(x)[/latex] в точке [latex]a[/latex] имеет единственный предел.
2. Локальная ограниченность функции, имеющей предел
Теорема о локальной ограниченности функции, имеющей предел
Формулировка:
Если предел функции [latex]f(x)[/latex] при [latex]x\rightarrow a[/latex] равняется [latex]A[/latex], то найдётся окрестность точки [latex]a[/latex], во всех точках которой функция [latex]f(x)[/latex] ограничена.
Доказательство:
Из определения предела по Коши получим: [latex]\forall \varepsilon >0[/latex] [latex] \exists \delta=\delta(\varepsilon) >0:[/latex][latex]\forall x\in \dot{U}_{\delta }(a)\Rightarrow |f(x)-A|<\varepsilon.[/latex] Возьмём [latex]\varepsilon =1[/latex]. Из условия теоремы следует существование окрестности [latex]\dot{U}_{\delta }(a)[/latex]. Следовательно, [latex]|f(x)-A|<1[/latex]. Перепишем это следующим образом:[latex]A-1<f(x)<A+1[/latex]. Легко видеть, что это и означает ограниченность функции [latex]f(x)[/latex].
Литература
- Лысенко З.М. Конспект лекций по математическому анализу. Тема «Предел функции»
- Г.М. Фихтенгольц Курс дифференциального и интегрального исчисления. Глава 2. Функции одной переменной. 2.52. Определение предела функции. (с. 115-117)
Тест
Тест по теме Единственность предела, локальная ограниченность функции, имеющей предел.
Таблица лучших: Единственность предела
Место | Имя | Записано | Баллы | Результат |
---|---|---|---|---|
Таблица загружается |