Теорема Кантора

Если функция $f$ определена и непрерывна на сегменте $[a,b]$ , то она равномерно непрерывна на $[a,b]$ .

Доказательство

Проведем доказательство методом от противного. Пусть $f$ не равномерно непрерывна на $[a,b]$ , тогда

$\exists \varepsilon > 0,~ \forall \delta > 0$ $\exists~ x’,~x»~ \epsilon~[a,b]$ , $|x’-x»| < \delta$ : $|f(x’) — f(x»)| \geq \varepsilon$ .

Выберем последовательность $\delta_n = \frac{1}{n}$ , $n = \overline{1,+\infty}$ . Согласно допущению, найдутся такие последовательности $\left\{x’_n \right\}_{n=1}^\infty$ , $\left\{x»_n \right\}_{n=1}^\infty$ , что:

$x’_n,~x»_n~\epsilon~[a,b]$ , $|x’_n-x»_n|<\delta_n = \frac{1}{n}$ : $|x’-x»| < \delta$ : $|f(x’_n) — f(x»_n)| \geq \varepsilon$ .

Последовательность $\left\{x’_n \right\}_{n=1}^\infty$ ограничена и поэтому имеет подпоследовательность $\left\{x’_{n_{i}} \right\}_{i=1}^\infty$ , которая сходится к элементу $x_0$ , причем что $x_0~\epsilon~[a,b]$ . Тогда для подпоследовательности $\left\{x»_{n_{i}} \right\}_{n=1}^\infty$ $x_0~\epsilon~[a,b]$ так же является пределом.

По условию теоремы $f$ — непрерывна на $[a,b]$ , поэтому

$\lim\limits_{i\rightarrow \infty} f(x’_{n_{i}}) = f(x_0) = \lim\limits_{i\rightarrow \infty} f(x»_{n_{i}})$ .

Это противоречит тому, что $|f(x’_{n_{i}}-f(x»_{n_{i}})| \geq \varepsilon > 0$ , $\forall i = \overline{1,+\infty}$ .

Это противоречие и доказывает теорему.

$\blacksquare$

Решим таким же методом, каким было проведено доказательство теоремы, пример.

Спойлер

Доказать, что ограниченная и непрерывная функция $f(x)=\sin{\frac{\pi}{x}}$ не является равномерно непрерывной на $(0,1)$ .

$f(x)$ — ограничена и непрерывна. Тогда $\exists \varepsilon > 0,~ \forall \delta > 0$ $\exists~ x’,~x»~ \epsilon~(0,1)$ $|x’-x»| < \delta$ : $|f(x’) — f(x»)| \geq \varepsilon$ . Выберем такие подпоследовательности $x’_n = \frac{1}{n},~x»_n = \frac{2}{2n-1}$ .

$|f(x’) — f(x»)|$ $=$ $|\sin{\pi n} — \sin{\frac{(2n-1)\pi}{2}}| = 1$ .
$|x’ — x»| = |\frac{1}{n} — \frac{2}{2n-1}$ $=$ $|\frac{2n-1-2n}{n(2n-1)}|$ $=$ $\frac{1}{n(2n-1)}$ $\rightarrow 0$ .

$\exists \varepsilon = 1 ~ \forall \delta$ можно выделить такие подпоследовательности $x’_n=\frac{1}{n},~x»_n = \frac{2}{2n-1}$ $|x’_n-x»_n| < \frac{1}{n}$ .

$n > \frac{1}{\delta}$ : $|f(x’_n)-f(x»_n)| = 1 \geq \varepsilon$ . Следовательно, функция не является равномерно непрерывной на $(0,1)$ .

[свернуть]

Список использованной литературы:

Равномерная непрерывность

Определение

Пусть функция $f$ определена на $[a,b]$ . Тогда $f$ называется равномерно непрерывной, если $\forall~\varepsilon>0$ $\exists~\delta=\delta(\varepsilon)~>0\$ такие, что $\forall x_1,~x_2~\epsilon~[a,b]$ , $|x_1 — x_2| < \delta$ , выполняется неравенство $| f(x_1) — f(x_2) | < \varepsilon$ .

Очевидно, что равномерно непрерывная в своей области определения функция непрерывна в ней. Но обратное не всегда верно.

Рассмотрим некоторые примеры.

Спойлер

Показать, что равномерная функция $f(x)=\frac{1}{x}$ на $(0,1)$ не является равномерно непрерывной.
$\forall \varepsilon > 0$ $\exists \delta > 0$ , что $|\frac{1}{n} — \frac{1}{n_0}| < \varepsilon$ $\forall~n$ , что $|x-x_0| < \delta$ .
$|\frac{1}{n}-\frac{1}{n_0}|<\varepsilon$ $\Rightarrow$ $\frac{1}{n}-\varepsilon < \frac{1}{n} < \frac{1}{n_0} + \varepsilon$ $\Rightarrow \frac{n_0}{1+\varepsilon n_0} < n < \frac{n_0}{1-\varepsilon n_0}$ $\Rightarrow$ $n_o — \frac{\varepsilon n^2_0}{1+\varepsilon n_0} < n < n_0 + \frac{\varepsilon n^2_0}{1-\varepsilon n_0}$ $\rightarrow 0$ , $n \rightarrow \infty$ .
Это значит, что $|x-x_0|$ может быть меньше заданного положительного числа, но какое бы мы не взяли положительное $\delta$ , мы можем приближать $n_0$ к $0$ так близко, что $|\frac{1}{n}-\frac{1}{n_0}| > \varepsilon$ , однако $|n — n_0| < \delta$ . Следовательно, функция $f(x)=\frac{1}{x}$ является непрерывной, но не равномерно непрерывной на $(0,1)$ .
Исследовать на равномерную непрерывность функцию $f(x) = \frac{x}{4-x^2}$ на отрезке $[-1,1]$ .

$|f(x_1) — f(x_2)|$ $=$ $|\frac{x_1}{4-x_1^2} — \frac{x_2}{4-x_2^2}|$ $=$ $|\frac{4+x_1x_2}{(4-x_1^2)(4-x_2^2)}| \cdot |x_1-x_2|$ .

$|\frac{4+x_1x_2}{(4-x_1^2)(4-x_2^2)}| < \frac{4+1}{3 \cdot 3}$ $= \frac{5}{9} < 1$ .

Зафиксируем произвольное $\varepsilon > 0$ и положим $\delta = \varepsilon$ .

Тогда $|x_1 — x_2| < \delta$ , $\forall x_1,~x_2$ $(x_1,~x_2~\epsilon ~ [-1,1])$ $| f(x_1) — f(x_2) | < \varepsilon$ .

Следовательно, функция $f(x)$ на $[-1,1]$ равномерно непрерывна.
Доказать, что функция $f(x)=\sqrt{x}$ равномерно непрерывна на $[1,+\infty]$ .
По теореме Лагранжа $\forall x_1\geq 1$ и $\forall x_2\geq 1$

$|f(x_2)-f(x_1)|$ $=$ $|f(\xi)||x_2-x_1|$ $=$ $\frac{1}{2\sqrt\xi)}|x_2-x_1|<\frac{1}{2}|x_2-x_1|$

Если для $\varepsilon>0$ выбрать любое $\delta$ , $0<\delta\leq2\varepsilon$ , то при $|x_2-x_1|<\delta$ выполняется $~$ $|f(x_2)-f(x_1)|<\varepsilon$ , иначе говоря, $f(x)=\sqrt{x}$ является равномерно непрерывной на $[1,+\infty]$ .

[свернуть]

Список использованной литературы:

Вычисление площадей и объемов

Задача 1

Пирамида $ABCD$ задана координатами своих вершин: $A(4,-1,~0)$ , $B(2,~3,~4)$ , $latex C(-1,~4,~1)$ , $D(4,-3,~5)$ . Найти:

объем пирамиды;
площадь грани $latex ABC$ .

Спойлер

Найдем координаты векторов:

$latex \overline{AB}=(x_B-x_A,~y_B-y_A,~z_B-z_A)$ $latex =$ $latex (2-4,~3-(-1),~4-0)$ $latex =$ $latex (-2, ~4, ~4)$ .
$latex \overline{AC}=(x_C-x_A,~y_C-y_A,~z_C-z_A)$ $latex =$ $latex (-1-4,~4-(-1),~1-0)$ $latex =$ $latex (-5,-3, ~1)$ .
$latex \overline{AD}=(x_D-x_A,~y_D-y_A,~z_D-z_A)$ $latex =$ $latex (4-4,-3-(-1),~5-0)$ $latex =$ $latex (0,-2, ~5)$ .

Вычислим смешанное произведение:

$latex (\overline{AB},~\overline{AC},~\overline{AD})$ $latex =$ $latex \begin{vmatrix} -2 & 4 & 4 \\ -5 & -3 & 1 \\ 0 & -2 & 5 \end{vmatrix}$ $latex =$ $latex -2 \begin{vmatrix} -3 & 1 \\ -2 & 5 \end{vmatrix} + 5 \begin{vmatrix} 4 & 4 \\ -2 & 5 \end{vmatrix}$ $latex =$ $latex -2(-15+2)+5(20+8)$ = $latex 166$ .

Найдем объем пирамиды по формуле:

$latex V_{ABCD}$ $latex =$ $latex \frac{1}{6} |(\overline{AB},Ё\overline{AC}, \overline{AD})|$ $latex =$ $latex \frac{1}{6} \cdot 166$ $latex =$ $latex \frac{166}{6} \approx 27,7$ (куб.ед.).

Найдем векторное произведение:

$latex [\overline{AB},\overline{AC}]$ = $latex \begin{vmatrix} \overline{i} & \overline{j} & \overline{k} \\ -2 & 4 & 4 \\ -5 & -3 & 1 \end{vmatrix}$ $latex =$ $latex \overline{i} \begin{vmatrix} 4 & 4 \\ -3 & 1 \end{vmatrix} -\overline{j} \begin{vmatrix} -2 & 4 \\ -5 & 1 \end{vmatrix} + \overline{k} \begin{vmatrix} -2 & 4 \\ -5 & -3 \end{vmatrix}$ $latex =$ $latex \overline{i}(4+12) — \overline{j}(-2+20) + \overline{k}(6+20)$ $latex =$ $latex 16 \overline{i} — 18 \overline{j} + 26\overline{k}$ = $latex (16,-18,~26)$ .

Найдем площадь плоскости $latex \mathbf{(ABC)}$ :

$latex S_{(ABC)} = \frac{1}{2} |[\overline{AB},~\overline{AC}]|$ $latex =$ $latex \frac{1}{2} \sqrt{x^2+y^2+z^2}$ $latex =$ $latex \frac{1}{2} \sqrt{16^2+(-18)^2+26^2}$ $latex =$ $latex \frac{1}{2} \sqrt{1256}$ $latex \approx$ $latex \frac{1}{2} \cdot 35,4$ $latex =$ $latex 17,7$ .

Ответ: $latex \mathbf{27,7}$ куб.ед., $latex \mathbf{17,7}$ .

[свернуть]

Задача 2

Найти объем пирамиды, у которой три грани принадлежат плоскостям $latex XOY,~XOZ,~YOZ$ , четвертая проходит через плоскость $latex P=4x+6y+3z-12=0$ , и имеет вершину в точке $latex O(0,~0,~0)$ .

Спойлер

Найдем точки пересечения плоскости $latex \mathbf{P}$ с осями координат.

Это точки $latex A(3,~0,~0)$ , $latex B(0,~2,~0)$ и $latex C(0,~0,~4)$ .

Найдем векторы $latex \mathbf{\overline{AB}}$ и $latex \mathbf{\overline{AC}}$ .

$latex \overline{AB} = (-3,~2,~0)$ ;
$latex \overline{AC} = (-3,~0,~4)$ .

Найдем площадь основания:

$latex S_{(ABC)}=\frac{1}{2} |[\overline{AB},\overline{AC}]|$ $latex =$ $latex \frac{1}{2} \sqrt{\begin{vmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 4 \end{vmatrix}^2 + \begin{vmatrix} 0 & -3 \\ 4 & -3 \end{vmatrix}^2 + \begin{vmatrix} -3 & 2 \\ 3 & 0 \end{vmatrix}^2}$ $latex =$ $latex \frac{1}{2} \sqrt{8^2+12^2+6^2}$ $latex =$ $latex \frac{1}{2} \sqrt{16+144+36}$ $latex =$ $latex \sqrt{61}$ .

Найдем расстояние от точки $latex \mathbf{O}$ до плоскости $latex \mathbf{P}$ :

$latex \rho(O,~P) = \frac{|Ax_O+By_O+Cy_O+D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}$ $latex =$ $latex \frac{12}{\sqrt{16+36+9}}$ $latex =$ $latex \frac{12}{\sqrt{61}}$ .

Расстояние от точки $latex O$ до плоскости $latex P$ является высотой $latex h$ пирамиды, опущенной из ее вершины на основание.

Найдем объем пирамиды:

$latex V=\frac{1}{3} S \cdot h$ $latex =$ $latex \frac{1}{3} \cdot \sqrt{61} \cdot \frac{12}{\sqrt{61}}$ $latex =$ $latex 4$ .

Ответ: $latex \mathbf{4}$ .

[свернуть]

Список использованной литературы:

О.Н.Цубербиллер «Задачи и упражнения по аналитической геометрии», Санкт-Петербург, 2003г., изд-во «Лань», стр.214

Построение поля комплексных чисел

Спойлер

Большой вклад в развитие алгебры внес Джероламо Кардано, итальянский математик, который стал первым в Европе использовать отрицательные корни уравнений. В 1545 году Кардано опубликовал трактат, в котором описал алгоритм нахождения таких корней.

Наследователем Кардано стал еще один итальянский математик и инженер-механик Рафаэль Бомбелли, который, вдохновившись научной работы Кардано, окончательно ввел комплексные числа в математику и описал в своей научной работе «Алгебра» (1572) основные действия над такими числами.

В 1637 году вышла переломная в истории математики и науки книга «Рассуждение о методе, позволяющем направлять свой разум и отыскивать истину в науках» французского математика и философа Рене Декарта. В этой работе Декарт и ввел название «мнимые числа», а спустя 140 лет (1777 год) Леонард Эйлер — российский, немецкий и швейцарский математики механик — ввел букву « $latex i$ » (первая буква французского слова «imaginaire» — «мнимый») для обозначения таких чисел.

[свернуть]

Спойлер

Множеством комплексных чисел называется множество $latex \mathbb{R}^2$ при условии выполнения следующих требований:

$latex (a,b)=(c,d)$ $latex \Leftrightarrow$ $latex a=c$ и $latex b=d$ ;
$latex (a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)$ ;
$latex (a,b)(c,d)=(ac-bd,ad+bc)$ .

[свернуть]

Необходимость в комплексных числах появилась, когда стало понятно, что не каждый многочлен имеет вещественные корни. Например, уравнение

$latex x^2+1=0$ не имеет корней среди вещественных чисел, так как еще в школе учили, что извлечь квадратный корень из отрицательного числа невозможно.

Для построения поля комплексных чисел — расширения множества вещественных, в котором уравнение разрешимо, — необходимо доказать следующее:

$latex \mathbb{C}$ — поле;
$latex \mathbb{R} \subset \mathbb{C}$ ;
$latex x^2+1=0$ — разрешимо в $latex \mathbb{C}$ (1);
$latex \mathbb{C}$ минимально по включениям.

Спойлер

$latex \mathbf{I.}$ $latex \mathbf{(\mathbb{C},+)}$ — абелева группа.

Алгебраичность сложения;
Ассоциативность:
$latex [(a,b)+(c,d)]+(e,f)$ $latex =$ $latex (a+c,b+d)+(e,f)$ $latex =$ $latex ((a+c)+e,(b+d)+f)$ $latex =$ $latex (a+(c+e),b+(d+f))$ $latex =$ $latex (a,b)+(c+e,d+f)$ $latex =$ $latex (a,b)+[(c,d)+(e,f)]$ ;
Коммутативность:

$latex (a,b)+(c,d)=(c,d)+(a,b)$ ;

Нейтральный элемент:

$latex (0,0)+(a,b)=(a,b)$ ;

Обратный элемент:

$latex \forall(a,b)~\epsilon~\mathbb{C}$ $latex \exists(-a,-b)~\epsilon~\mathbb{C}$

$latex (a,b)+(-a,-b)=(0,0)$ ;

$latex \mathbf{II.}$ $latex \mathbf{(\mathbb{C}^{*},\cdot)}$ — абелева группа.

Алгебраичность умножения;
Ассоциативность умножения;
Коммутативность умножения;
Единица: $latex e=(1,0)$

$latex \exists(x,y)~\epsilon~\mathbb{C}$ , $latex \forall(a,b)~\epsilon~\mathbb{C}$

$latex (a,b)(x,y)=(a,b)$ $latex \Rightarrow (ax-by,ay+bx)=(a,b)$

$latex \begin{cases} ax-by=a & \\ ay+bx = b & \end{cases}$

Рассмотрим возможные решения системы:

1) $latex a\neq0,~b\neq0$

$latex \begin{cases} a^2x-bay=a^2 & \\ b^2x+bay=b^2 & \end{cases}$

$latex (a^2+b^2)x=a^2+b^2$ $latex \Rightarrow x=1,~y=0$ .

2) $latex a\neq0,~b=0$

$latex \begin{cases} ax=1 & \\ ay=0 & \end{cases}$

$latex x=1,~y=0$ .

3) $latex a=0,~b\neq0$ $latex \Rightarrow x=1,~y=0$ .

Следовательно, $latex e=(1,0)$ .

Обратный элемент:

$latex \forall a,b~\epsilon~\mathbb{C}^{*}$ $latex \exists(x,y)~\epsilon~\mathbb{C}^{*}$ :

$latex (a,b)(x,y)=(1,0)$

$latex (ax-by,bx+ay)=(1,0)$

$latex \begin{cases} ax-by=1 & \\ ay+bx = 0 & \end{cases}$

Домножим первое уравнение системы на $latex a$ , а второе — на $latex b$ , $latex a\neq0,~b\neq0$ .

$latex \begin{cases} a^2x-bay=a & \\ b^2x+bay = 0 & \end{cases}$
$latex (a^2+b^2)x = a$ $latex \Rightarrow x=\frac{a}{a^2+b^2}$ .

$latex \frac{a^2}{a^2+b^2}-by=1$ $latex \Rightarrow \frac{a^2}{a^2+b^2}-1=by$ $latex \Rightarrow \frac{a^2-a^2-b^2}{a^2+b^2}=by$ $latex \Rightarrow y=\frac{-b}{a^2+b^2}$ .

$latex (a,b)^{-1}=(\frac{a}{a^2+b^2},\frac{-b}{a^2+b^2})$ .

$latex \mathbf{III.}$ Дистрибутивность.

Проверим выполнение законов дистрибутивности. В самом деле,
$latex (a,b)[(c,d)+(e,f)]$ $latex =$ $latex (a,b)(c,d)+(a,b)(e,f)$ .

$latex \blacksquare$

[свернуть]

Спойлер

Покажем, что множество комплексных чисел является расширением множества вещественных.

$latex M \subset \mathbb{C}$ , $latex M=\left\{(a,b)~\epsilon~\mathbb{C}~|~b=0 \right\}$ $latex =$ $latex \left\{(a,0)~|~a~\epsilon~\mathbb{R} \right\}$ .

Рассмотрим точки, лежащие на оси абсцисс (точки вида $latex (a,0)$ ), где $latex x$ является реальной частью комплексного числа, и их свойства:

$latex (a,0)+(b,0) = (a+b,0)$ $latex \epsilon~M$ ;
$latex (a,0)(b,0) = (ab-00,00+0b) = (ab,0)$ $latex \epsilon~M$ ;
$latex (0,0)~\epsilon~M$ , $latex (1,0)~\epsilon~M$ ;
$latex -(a,0) = (-a,0)~\epsilon~M$ ;
$latex (a,0)^{-1},~a\neq0$ , $latex (a,0)^{-1} = (\frac{1}{a},0)~\epsilon~M$ .

Таким образом, $latex f:\mathbb{R}~\rightarrow~ M$

$latex f(a)=(a,0)~\forall a~\epsilon~\mathbb{R}$ .

$latex f$ — биекция;
$latex f(a,b)=(a+b,0)=(a,0)+(b,0)=f(a)+f(b)$ ;
$latex f(ab)=f(a)\cdot f(b)$ ; $latex f(-a)=-(a,0)$ ;
$latex f(a^{-1})=(f(a))^{-1}$ .

$latex a \to (a,0)$ . Поле вещественных чисел вкладывается во множество комплексных.

$latex \blacksquare$

[свернуть]

Спойлер

$latex x^2+1=0$ . Обозначим $latex 0 = (0,0)$ , $latex 1 = (1,0)$ и $latex x = (u,v)$ $latex \Rightarrow$

$latex (u,v)^2+(1,0)=(1,0)$

$latex (u^2-v^2,2uv)=(0,0)$

Решим систему уравнений на основе этого выражения:

$latex \begin{cases} u^2-v^2=-1 & \\ 2uv=0 & \end{cases}$

$latex v\neq0,~u=0$ ,

$latex v^2=1 \Rightarrow v=\pm (-1)$ ,

Следовательно, возможные решения уравнения — $latex (0,1),~(0,-1)$ .

$latex i=(0,1),~-i=(0,-1)$ — мнимая единица $latex i$ .

$latex \blacksquare$

[свернуть]

Спойлер

Любое подмножество $latex \mathbb{C’}$ множества $latex \mathbb{C}$ совпадает с $latex \mathbb{C}$ , если для $latex \mathbb{C’}$ выполнимо:

$latex \mathbb{R}\subset\mathbb{C’}$ ;
разрешимо уравнение $latex x^2+1=0$ ;
$latex \forall a,b~\epsilon~\mathbb{C’}$ , $latex (a+b)~\epsilon~\mathbb{C’}$ ;
$latex a \cdot b~\epsilon~\mathbb{C’}$ .

$latex \blacksquare$

[свернуть]

Список источников:

А.Г.Курош «Курс высшей алгебры», изд-е.9, «Наука», г.Москва, 1968г., стр.110-113
Г.С.Белозеров, конспект лекций курса алгебры и геометрии

Тест на знание теории о построении поля комплексных чисел.

Задание 1 из 7

1.
Расположить множества по возрастанию числа включений в него:
- множество натуральных чисел
- множество целых чисел
- множество рациональных чисел
- множество вещественных чисел
- множество комплексных чисел
Правильно

Неправильно
Задание 2 из 7

2.
Выбрать условия, имеющие смысл
- множество комплексных чисел является полем
- расширение множества вещественных чисел является множеством комплексных чисел
- уравнение $x^2+1=0$ разрешимо в множестве комплексных чисел
- модулем комплексного числа называется корень суммы квадратов его действительной и мнимой частей
Правильно

Неправильно

Выбрать те варианты, которые имеют смысл в рамках данной статьи:
Задание 3 из 7

3.
Комплексное число, квадрат которого равен -1
Правильно

Неправильно
Задание 4 из 7

4.
О расширении какого множества идет речь в плане построении поля комплексных чисел?
- множества действительных чисел
- множества рациональных чисел
- множества целых чисел
- множества натуральных чисел
Правильно

Неправильно

Задание 5 из 7

5.

Сопоставить ученого и его вклад в развитие комплексных чисел:

Элементы сортировки

Ввел комплексные числа для решения кубических уравнений в 1545 г.
В 1572 г. вышла книга этого ученого, в которой были установлены первые правила арифметических операций над комплексными числами, вплоть до извлечения из них кубических корней
В 1637 г. ввел название "мнимые числа"
В 1777 г. предложил использовать первую букву слова "imaginaire" (с фр. - "мнимый") для обозначения мнимой единицы

Джероламо Кардано

Рафаэль Бомбелли

Рене Декарт

Леонард Эйлер

Задание 6 из 7

6.
Дополнить определение:
- Абсцисса точки системы координат является частью комплексного числа, а ордината точки - (мнимой).
Правильно

Неправильно

Задание 7 из 7

7.

Сопоставить условия:

Элементы сортировки

$(0, 0) + (a, b) = (a, b)$
$(a, b) + (-a, -b) = (0, 0)$
$[(a, b) + (c, d)] + (e, f) = (a, b) + [(c, d) + (e, f)]$
$(a, b) + (c, d) = (c, d) + (a, b)$

Нейтральный элемент

Обратный элемент

Ассоциативность

Коммутативность

Место	Имя	Записано	Баллы	Результат
Таблица загружается
Нет данных

Автор: Ольга Слободянюк

Теорема Кантора

Доказательство

Список использованной литературы:

Равномерная непрерывность

Определение

Список использованной литературы:

Вычисление площадей и объемов

Задача 1

Задача 2

Список использованной литературы:

Построение поля комплексных чисел

Список источников:

Навигация (только номера заданий)

Информация

Результаты

Рубрики

1.

2.

3.

4.

5.

Элементы сортировки

6.

7.

Элементы сортировки

Средний результат
Ваш результат