Теорема Кантора

Если функция f определена и непрерывна на сегменте [a,b] , то она равномерно непрерывна на [a,b] .

Доказательство

Проведем доказательство методом от противного. Пусть f не равномерно непрерывна на [a,b] , тогда

\exists \varepsilon > 0,~ \forall \delta > 0 \exists~ x',~x''~ \epsilon~[a,b] , |x'-x''| < \delta : |f(x') - f(x'')| \geq \varepsilon .

Выберем последовательность \delta_n = \frac{1}{n} , n = \overline{1,+\infty} . Согласно допущению, найдутся такие последовательности \left\{x'_n \right\}_{n=1}^\infty , \left\{x''_n \right\}_{n=1}^\infty , что:

x'_n,~x''_n~\epsilon~[a,b] , |x'_n-x''_n|<\delta_n = \frac{1}{n} : |x'-x''| < \delta : |f(x'_n) - f(x''_n)| \geq \varepsilon .

Последовательность \left\{x'_n \right\}_{n=1}^\infty ограничена и поэтому имеет подпоследовательность \left\{x'_{n_{i}} \right\}_{i=1}^\infty , которая сходится к элементу x_0 , причем что x_0~\epsilon~[a,b] . Тогда для подпоследовательности \left\{x''_{n_{i}} \right\}_{n=1}^\infty x_0~\epsilon~[a,b] так же является пределом.

По условию теоремы f — непрерывна на [a,b] , поэтому

\lim\limits_{i\rightarrow \infty} f(x'_{n_{i}}) = f(x_0) = \lim\limits_{i\rightarrow \infty} f(x''_{n_{i}}) .

Это противоречит тому, что |f(x'_{n_{i}}-f(x''_{n_{i}})| \geq \varepsilon > 0 , \forall i = \overline{1,+\infty}.

Это противоречие и доказывает теорему.

\blacksquare

Решим таким же методом, каким было проведено доказательство теоремы, пример.

Спойлер

Доказать, что ограниченная и непрерывная функция f(x)=\sin{\frac{\pi}{x}} не является равномерно непрерывной на (0,1) .

f(x) — ограничена и непрерывна. Тогда \exists \varepsilon > 0,~ \forall \delta > 0 \exists~ x',~x''~ \epsilon~(0,1) |x'-x''| < \delta : |f(x') - f(x'')| \geq \varepsilon . Выберем такие подпоследовательности x'_n = \frac{1}{n},~x''_n = \frac{2}{2n-1} .

|f(x') - f(x'')| = |\sin{\pi n} - \sin{\frac{(2n-1)\pi}{2}}| = 1 .
|x' - x''| = |\frac{1}{n} - \frac{2}{2n-1} = |\frac{2n-1-2n}{n(2n-1)}| = \frac{1}{n(2n-1)} \rightarrow 0 .

\exists \varepsilon = 1 ~ \forall \delta можно выделить такие подпоследовательности x'_n=\frac{1}{n},~x''_n = \frac{2}{2n-1} |x'_n-x''_n| < \frac{1}{n} .

n > \frac{1}{\delta} : |f(x'_n)-f(x''_n)| = 1 \geq \varepsilon . Следовательно, функция не является равномерно непрерывной на (0,1) .

[свернуть]

Список использованной литературы:

Равномерная непрерывность

Определение

Пусть функция f определена на [a,b] . Тогда f называется равномерно непрерывной, если \forall~\varepsilon>0 \exists~\delta=\delta(\varepsilon)~>0\ такие, что \forall x_1,~x_2~\epsilon~[a,b] , |x_1 - x_2| < \delta , выполняется неравенство | f(x_1) - f(x_2) | < \varepsilon .

Очевидно, что равномерно непрерывная в своей области определения функция непрерывна в ней. Но обратное не всегда верно.

Рассмотрим некоторые примеры.

Спойлер

  1. Показать, что равномерная функция f(x)=\frac{1}{x} на (0,1) не является равномерно непрерывной.
    \forall \varepsilon > 0 \exists \delta > 0 , что |\frac{1}{n} - \frac{1}{n_0}| < \varepsilon \forall~n , что |x-x_0| < \delta .
    |\frac{1}{n}-\frac{1}{n_0}|<\varepsilon \Rightarrow \frac{1}{n}-\varepsilon < \frac{1}{n} < \frac{1}{n_0} + \varepsilon \Rightarrow \frac{n_0}{1+\varepsilon n_0} < n < \frac{n_0}{1-\varepsilon n_0} \Rightarrow n_o - \frac{\varepsilon n^2_0}{1+\varepsilon n_0} < n < n_0 + \frac{\varepsilon n^2_0}{1-\varepsilon n_0} \rightarrow 0 , n \rightarrow \infty .
    Это значит, что |x-x_0| может быть меньше заданного положительного числа, но какое бы мы не взяли положительное \delta , мы можем приближать n_0 к 0 так близко, что |\frac{1}{n}-\frac{1}{n_0}| > \varepsilon , однако |n - n_0| < \delta . Следовательно, функция f(x)=\frac{1}{x} является непрерывной, но не равномерно непрерывной на (0,1) .

  2. Исследовать на равномерную непрерывность функцию f(x) = \frac{x}{4-x^2} на отрезке [-1,1] .

    |f(x_1) - f(x_2)| = |\frac{x_1}{4-x_1^2} - \frac{x_2}{4-x_2^2}| = |\frac{4+x_1x_2}{(4-x_1^2)(4-x_2^2)}| \cdot |x_1-x_2| .

    |\frac{4+x_1x_2}{(4-x_1^2)(4-x_2^2)}| < \frac{4+1}{3 \cdot 3} = \frac{5}{9} < 1 .

    Зафиксируем произвольное \varepsilon > 0 и положим \delta = \varepsilon .

    Тогда |x_1 - x_2| < \delta, \forall x_1,~x_2 (x_1,~x_2~\epsilon ~ [-1,1]) | f(x_1) - f(x_2) | < \varepsilon .

    Следовательно, функция f(x) на [-1,1] равномерно непрерывна.

  3. Доказать, что функция f(x)=\sqrt{x} равномерно непрерывна на [1,+\infty] .

    По теореме Лагранжа \forall x_1\geq 1 и \forall x_2\geq 1

    |f(x_2)-f(x_1)| = |f(\xi)||x_2-x_1| = \frac{1}{2\sqrt\xi)}|x_2-x_1|<\frac{1}{2}|x_2-x_1|

    Если для \varepsilon>0 выбрать любое \delta , 0<\delta\leq2\varepsilon , то при |x_2-x_1|<\delta выполняется ~ |f(x_2)-f(x_1)|<\varepsilon , иначе говоря, f(x)=\sqrt{x} является равномерно непрерывной на [1,+\infty] .

[свернуть]

Список использованной литературы:

Вычисление площадей и объемов

Задача 1

Пирамида $ ABCD$ задана координатами своих вершин: $ A(4,-1,~0)$, $ B(2,~3,~4)$, C(-1,~4,~1), $D(4,-3,~5) $. Найти:

  • объем пирамиды;
  • площадь грани ABC .


Спойлер

Найдем координаты векторов:

\overline{AB}=(x_B-x_A,~y_B-y_A,~z_B-z_A) = (2-4,~3-(-1),~4-0) = (-2, ~4, ~4) .
\overline{AC}=(x_C-x_A,~y_C-y_A,~z_C-z_A) = (-1-4,~4-(-1),~1-0) = (-5,-3, ~1) .
\overline{AD}=(x_D-x_A,~y_D-y_A,~z_D-z_A) = (4-4,-3-(-1),~5-0) = (0,-2, ~5) .

Вычислим смешанное произведение:

(\overline{AB},~\overline{AC},~\overline{AD}) = \begin{vmatrix} -2 & 4 & 4 \\ -5 & -3 & 1 \\ 0 & -2 & 5 \end{vmatrix} = -2 \begin{vmatrix} -3 & 1 \\ -2 & 5 \end{vmatrix} + 5 \begin{vmatrix} 4 & 4 \\ -2 & 5 \end{vmatrix} = -2(-15+2)+5(20+8) = 166 .

Найдем объем пирамиды по формуле:

V_{ABCD} = \frac{1}{6} |(\overline{AB},Ё\overline{AC}, \overline{AD})| = \frac{1}{6} \cdot 166 = \frac{166}{6} \approx 27,7 (куб.ед.).

Найдем векторное произведение:

[\overline{AB},\overline{AC}] = \begin{vmatrix} \overline{i} & \overline{j} & \overline{k} \\ -2 & 4 & 4 \\ -5 & -3 & 1 \end{vmatrix} = \overline{i} \begin{vmatrix} 4 & 4 \\ -3 & 1 \end{vmatrix} -\overline{j} \begin{vmatrix} -2 & 4 \\ -5 & 1 \end{vmatrix} + \overline{k} \begin{vmatrix} -2 & 4 \\ -5 & -3 \end{vmatrix} = \overline{i}(4+12) - \overline{j}(-2+20) + \overline{k}(6+20) = 16 \overline{i} - 18 \overline{j} + 26\overline{k} = (16,-18,~26) .

Найдем площадь плоскости \mathbf{(ABC)} :

S_{(ABC)} = \frac{1}{2} |[\overline{AB},~\overline{AC}]| = \frac{1}{2} \sqrt{x^2+y^2+z^2} = \frac{1}{2} \sqrt{16^2+(-18)^2+26^2} = \frac{1}{2} \sqrt{1256} \approx \frac{1}{2} \cdot 35,4 = 17,7 .

Ответ: \mathbf{27,7} куб.ед., \mathbf{17,7} .

[свернуть]

Задача 2

 

Найти объем пирамиды, у которой три грани принадлежат плоскостям XOY,~XOZ,~YOZ , четвертая проходит через плоскость P=4x+6y+3z-12=0 , и имеет вершину в точке O(0,~0,~0) .

Спойлер

Найдем точки пересечения плоскости \mathbf{P} с осями координат.

Это точки A(3,~0,~0), B(0,~2,~0) и C(0,~0,~4) .

Найдем векторы \mathbf{\overline{AB}} и \mathbf{\overline{AC}} .

\overline{AB} = (-3,~2,~0) ;
\overline{AC} = (-3,~0,~4) .

Найдем площадь основания:

S_{(ABC)}=\frac{1}{2} |[\overline{AB},\overline{AC}]| = \frac{1}{2} \sqrt{\begin{vmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 4 \end{vmatrix}^2 + \begin{vmatrix} 0 & -3 \\ 4 & -3 \end{vmatrix}^2 + \begin{vmatrix} -3 & 2 \\ 3 & 0 \end{vmatrix}^2} = \frac{1}{2} \sqrt{8^2+12^2+6^2} = \frac{1}{2} \sqrt{16+144+36} = \sqrt{61} .

Найдем расстояние от точки \mathbf{O} до плоскости \mathbf{P} :

\rho(O,~P) = \frac{|Ax_O+By_O+Cy_O+D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}} = \frac{12}{\sqrt{16+36+9}} = \frac{12}{\sqrt{61}} .

Расстояние от точки O до плоскости P является высотой h пирамиды, опущенной из ее вершины на основание.

Найдем объем пирамиды:

V=\frac{1}{3} S \cdot h = \frac{1}{3} \cdot \sqrt{61} \cdot \frac{12}{\sqrt{61}} = 4 .

Ответ: \mathbf{4} .

[свернуть]

Список использованной литературы:

О.Н.Цубербиллер «Задачи и упражнения по аналитической геометрии», Санкт-Петербург, 2003г., изд-во «Лань», стр.214

Построение поля комплексных чисел

Спойлер

Большой вклад в развитие алгебры внес Джероламо Кардано, итальянский математик, который стал первым в Европе использовать отрицательные корни уравнений. В 1545 году Кардано опубликовал трактат, в котором описал алгоритм нахождения таких корней.

Наследователем Кардано стал еще один итальянский математик и инженер-механик Рафаэль Бомбелли, который, вдохновившись научной работы Кардано, окончательно ввел комплексные числа в математику и описал в своей научной работе «Алгебра» (1572) основные действия над такими числами.

В 1637 году вышла переломная в истории математики и науки книга «Рассуждение о методе, позволяющем направлять свой разум и отыскивать истину в науках» французского математика и философа Рене Декарта. В этой работе Декарт и ввел название «мнимые числа», а спустя 140 лет (1777 год) Леонард Эйлер — российский, немецкий и швейцарский математики механик — ввел букву «i» (первая буква французского слова «imaginaire» — «мнимый») для обозначения таких чисел.

[свернуть]

Спойлер

Множеством комплексных чисел называется множество \mathbb{R}^2 при условии выполнения следующих требований:

  1. (a,b)=(c,d) \Leftrightarrow a=c и b=d ;
  2. (a,b)+(c,d)=(a+c,b+d) ;
  3. (a,b)(c,d)=(ac-bd,ad+bc) .

[свернуть]
Расширение числовых множества Необходимость в комплексных числах появилась, когда стало понятно, что не каждый многочлен имеет вещественные корни. Например, уравнение x^2+1=0 не имеет корней среди вещественных чисел, так как еще в школе учили, что извлечь квадратный корень из отрицательного числа невозможно.

Для построения поля комплексных чисел — расширения множества вещественных, в котором уравнение разрешимо, — необходимо доказать следующее:

  1. \mathbb{C} — поле;
  2. \mathbb{R} \subset \mathbb{C} ;
  3. x^2+1=0 — разрешимо в \mathbb{C} (1);
  4. \mathbb{C} минимально по включениям.
Спойлер

\mathbf{I.} \mathbf{(\mathbb{C},+)} — абелева группа.

(a,b)+(c,d)=(c,d)+(a,b) ;

  • Нейтральный элемент:

(0,0)+(a,b)=(a,b) ;

  • Обратный элемент:

\forall(a,b)~\epsilon~\mathbb{C}  \exists(-a,-b)~\epsilon~\mathbb{C}

(a,b)+(-a,-b)=(0,0) ;

\mathbf{II.} \mathbf{(\mathbb{C}^{*},\cdot)} — абелева группа.

  • Алгебраичность умножения;
  • Ассоциативность умножения;
  • Коммутативность умножения;
  • Единица:  e=(1,0)

\exists(x,y)~\epsilon~\mathbb{C} , \forall(a,b)~\epsilon~\mathbb{C}

(a,b)(x,y)=(a,b) \Rightarrow (ax-by,ay+bx)=(a,b)

\begin{cases} ax-by=a & \\ ay+bx = b & \end{cases}

Рассмотрим возможные решения системы:

1) a\neq0,~b\neq0

\begin{cases} a^2x-bay=a^2 & \\ b^2x+bay=b^2 & \end{cases}

(a^2+b^2)x=a^2+b^2 \Rightarrow x=1,~y=0 .

2) a\neq0,~b=0

\begin{cases} ax=1 & \\ ay=0 & \end{cases}

x=1,~y=0 .

3) a=0,~b\neq0 \Rightarrow x=1,~y=0 .

Следовательно, e=(1,0) .

  • Обратный элемент:

\forall a,b~\epsilon~\mathbb{C}^{*} \exists(x,y)~\epsilon~\mathbb{C}^{*} :

(a,b)(x,y)=(1,0)

(ax-by,bx+ay)=(1,0)

\begin{cases} ax-by=1 & \\ ay+bx = 0 & \end{cases}

Домножим первое уравнение системы на a , а второе — на b , a\neq0,~b\neq0 .

\begin{cases} a^2x-bay=a & \\ b^2x+bay = 0 & \end{cases}
(a^2+b^2)x = a \Rightarrow x=\frac{a}{a^2+b^2} .

\frac{a^2}{a^2+b^2}-by=1 \Rightarrow \frac{a^2}{a^2+b^2}-1=by \Rightarrow \frac{a^2-a^2-b^2}{a^2+b^2}=by \Rightarrow y=\frac{-b}{a^2+b^2} .

(a,b)^{-1}=(\frac{a}{a^2+b^2},\frac{-b}{a^2+b^2}) .

\mathbf{III.} Дистрибутивность.

Проверим выполнение законов дистрибутивности. В самом деле,
(a,b)[(c,d)+(e,f)] = (a,b)(c,d)+(a,b)(e,f).

\blacksquare

[свернуть]

Спойлер

Покажем, что множество комплексных чисел является расширением множества вещественных.

M \subset \mathbb{C} , M=\left\{(a,b)~\epsilon~\mathbb{C}~|~b=0 \right\} = \left\{(a,0)~|~a~\epsilon~\mathbb{R} \right\} .

Рассмотрим точки, лежащие на оси абсцисс (точки вида (a,0) ), где x  является  реальной частью комплексного числа, и их свойства:

  • (a,0)+(b,0) = (a+b,0) \epsilon~M ;
  • (a,0)(b,0) = (ab-00,00+0b) = (ab,0) \epsilon~M ;
  • (0,0)~\epsilon~M , (1,0)~\epsilon~M ;
  • -(a,0) = (-a,0)~\epsilon~M ;
  • (a,0)^{-1},~a\neq0 , (a,0)^{-1} = (\frac{1}{a},0)~\epsilon~M .

Таким образом, f:\mathbb{R}~\rightarrow~ M

f(a)=(a,0)~\forall a~\epsilon~\mathbb{R} .

a \to (a,0). Поле вещественных чисел вкладывается во множество комплексных.

\blacksquare

[свернуть]

Спойлер

x^2+1=0 . Обозначим 0 = (0,0) , 1 = (1,0) и x = (u,v) \Rightarrow

(u,v)^2+(1,0)=(1,0)

(u^2-v^2,2uv)=(0,0)

Решим систему уравнений на основе этого выражения:

\begin{cases} u^2-v^2=-1 & \\ 2uv=0 & \end{cases}

v\neq0,~u=0 ,

v^2=1 \Rightarrow v=\pm (-1),

Следовательно, возможные решения уравнения — (0,1),~(0,-1) .

i=(0,1),~-i=(0,-1) — мнимая единица i .

\blacksquare

[свернуть]

Спойлер

Любое подмножество \mathbb{C'} множества \mathbb{C} совпадает с \mathbb{C} , если для \mathbb{C'} выполнимо:

    • \mathbb{R}\subset\mathbb{C'} ;
    • разрешимо уравнение x^2+1=0 ;
    • \forall a,b~\epsilon~\mathbb{C'} , (a+b)~\epsilon~\mathbb{C'} ;
    • a \cdot b~\epsilon~\mathbb{C'} .

\blacksquare

[свернуть]

Список источников:

Тест на знание теории о построении поля комплексных чисел.