Теорема Кантора

Если функция $latex f $ определена и непрерывна на сегменте $latex [a,b] $, то она равномерно непрерывна на $latex [a,b] $.

Доказательство

Проведем доказательство методом от противного. Пусть $latex f $ не равномерно непрерывна на $latex [a,b] $, тогда

$latex \exists \varepsilon > 0,~ \forall \delta > 0 $ $latex \exists~ x’,~x»~ \epsilon~[a,b] $, $latex |x’-x»| < \delta $ : $latex |f(x’) — f(x»)| \geq \varepsilon $.

Выберем последовательность $latex \delta_n = \frac{1}{n} $, $latex n = \overline{1,+\infty} $. Согласно допущению, найдутся такие последовательности $latex \left\{x’_n \right\}_{n=1}^\infty $, $latex \left\{x»_n \right\}_{n=1}^\infty $, что:

$latex x’_n,~x»_n~\epsilon~[a,b] $, $latex |x’_n-x»_n|<\delta_n = \frac{1}{n} $ : $latex |x’-x»| < \delta $ : $latex |f(x’_n) — f(x»_n)| \geq \varepsilon $.

Последовательность $latex \left\{x’_n \right\}_{n=1}^\infty $ ограничена и поэтому имеет подпоследовательность $latex \left\{x’_{n_{i}} \right\}_{i=1}^\infty $, которая сходится к элементу $latex x_0 $, причем что $latex x_0~\epsilon~[a,b] $. Тогда для подпоследовательности $latex \left\{x»_{n_{i}} \right\}_{n=1}^\infty $ $latex x_0~\epsilon~[a,b] $ так же является пределом.

По условию теоремы $latex f $ — непрерывна на $latex [a,b] $, поэтому

$latex \lim\limits_{i\rightarrow \infty} f(x’_{n_{i}}) = f(x_0) = \lim\limits_{i\rightarrow \infty} f(x»_{n_{i}}) $.

Это противоречит тому, что $latex |f(x’_{n_{i}}-f(x»_{n_{i}})| \geq \varepsilon > 0 $, $latex \forall i = \overline{1,+\infty}$.

Это противоречие и доказывает теорему.

$latex \blacksquare $

Решим таким же методом, каким было проведено доказательство теоремы, пример.

Спойлер

Доказать, что ограниченная и непрерывная функция $latex f(x)=\sin{\frac{\pi}{x}} $ не является равномерно непрерывной на $latex (0,1) $.

$latex f(x) $ — ограничена и непрерывна. Тогда $latex \exists \varepsilon > 0,~ \forall \delta > 0 $ $latex \exists~ x’,~x»~ \epsilon~(0,1) $ $latex |x’-x»| < \delta $: $latex |f(x’) — f(x»)| \geq \varepsilon $. Выберем такие подпоследовательности $latex x’_n = \frac{1}{n},~x»_n = \frac{2}{2n-1} $.

$latex |f(x’) — f(x»)| $ $latex = $ $latex |\sin{\pi n} — \sin{\frac{(2n-1)\pi}{2}}| = 1 $.
$latex |x’ — x»| = |\frac{1}{n} — \frac{2}{2n-1} $ $latex = $ $latex |\frac{2n-1-2n}{n(2n-1)}| $ $latex = $ $latex \frac{1}{n(2n-1)} $ $latex \rightarrow 0 $.

$latex \exists \varepsilon = 1 ~ \forall \delta $ можно выделить такие подпоследовательности $latex x’_n=\frac{1}{n},~x»_n = \frac{2}{2n-1} $ $latex |x’_n-x»_n| < \frac{1}{n} $.

$latex n > \frac{1}{\delta} $: $latex |f(x’_n)-f(x»_n)| = 1 \geq \varepsilon $. Следовательно, функция не является равномерно непрерывной на $latex (0,1) $.

[свернуть]

Список использованной литературы:

Равномерная непрерывность

Определение

Пусть функция $latex f $ определена на $latex [a,b] $. Тогда $latex f $ называется равномерно непрерывной, если $latex \forall~\varepsilon>0 $ $latex \exists~\delta=\delta(\varepsilon)~>0\ $ такие, что $latex \forall x_1,~x_2~\epsilon~[a,b] $, $latex |x_1 — x_2| < \delta $, выполняется неравенство $latex | f(x_1) — f(x_2) | < \varepsilon $.

Очевидно, что равномерно непрерывная в своей области определения функция непрерывна в ней. Но обратное не всегда верно.

Рассмотрим некоторые примеры.

Спойлер

  1. Показать, что равномерная функция $latex f(x)=\frac{1}{x} $ на $latex (0,1) $ не является равномерно непрерывной.
    $latex \forall \varepsilon > 0 $ $latex \exists \delta > 0 $, что $latex |\frac{1}{n} — \frac{1}{n_0}| < \varepsilon $ $latex \forall~n $, что $latex |x-x_0| < \delta $.
    $latex |\frac{1}{n}-\frac{1}{n_0}|<\varepsilon $ $latex \Rightarrow $ $latex \frac{1}{n}-\varepsilon < \frac{1}{n} < \frac{1}{n_0} + \varepsilon $ $latex \Rightarrow \frac{n_0}{1+\varepsilon n_0} < n < \frac{n_0}{1-\varepsilon n_0} $ $latex \Rightarrow $ $latex n_o — \frac{\varepsilon n^2_0}{1+\varepsilon n_0} < n < n_0 + \frac{\varepsilon n^2_0}{1-\varepsilon n_0} $ $latex \rightarrow 0 $, $latex n \rightarrow \infty $.
    Это значит, что $latex |x-x_0| $ может быть меньше заданного положительного числа, но какое бы мы не взяли положительное $latex \delta $, мы можем приближать $latex n_0 $ к $latex 0 $ так близко, что $latex |\frac{1}{n}-\frac{1}{n_0}| > \varepsilon $, однако $latex |n — n_0| < \delta $. Следовательно, функция $latex f(x)=\frac{1}{x} $ является непрерывной, но не равномерно непрерывной на $latex (0,1) $.

  2. Исследовать на равномерную непрерывность функцию $latex f(x) = \frac{x}{4-x^2} $ на отрезке $latex [-1,1] $.

    $latex |f(x_1) — f(x_2)| $ $latex = $ $latex |\frac{x_1}{4-x_1^2} — \frac{x_2}{4-x_2^2}| $ $latex = $ $latex |\frac{4+x_1x_2}{(4-x_1^2)(4-x_2^2)}| \cdot |x_1-x_2| $.

    $latex |\frac{4+x_1x_2}{(4-x_1^2)(4-x_2^2)}| < \frac{4+1}{3 \cdot 3} $ $latex = \frac{5}{9} < 1 $.

    Зафиксируем произвольное $latex \varepsilon > 0 $ и положим $latex \delta = \varepsilon $.

    Тогда $latex |x_1 — x_2| < \delta$, $latex \forall x_1,~x_2 $ $latex (x_1,~x_2~\epsilon ~ [-1,1]) $ $latex | f(x_1) — f(x_2) | < \varepsilon $.

    Следовательно, функция $latex f(x) $ на $latex [-1,1] $ равномерно непрерывна.

  3. Доказать, что функция $latex f(x)=\sqrt{x} $ равномерно непрерывна на $latex [1,+\infty] $.

    По теореме Лагранжа $latex \forall x_1\geq 1 $ и $latex \forall x_2\geq 1 $

    $latex |f(x_2)-f(x_1)| $ $latex = $ $latex |f(\xi)||x_2-x_1| $ $latex = $ $latex \frac{1}{2\sqrt\xi)}|x_2-x_1|<\frac{1}{2}|x_2-x_1| $

    Если для $latex \varepsilon>0 $ выбрать любое $latex \delta $, $latex 0<\delta\leq2\varepsilon $, то при $latex |x_2-x_1|<\delta $ выполняется $latex ~ $ $latex |f(x_2)-f(x_1)|<\varepsilon $, иначе говоря, $latex f(x)=\sqrt{x} $ является равномерно непрерывной на $latex [1,+\infty] $.

[свернуть]

Список использованной литературы:

Вычисление площадей и объемов

Задача 1

Пирамида $ ABCD$ задана координатами своих вершин: $ A(4,-1,~0)$, $ B(2,~3,~4)$, $latex C(-1,~4,~1)$, $D(4,-3,~5) $. Найти:

  • объем пирамиды;
  • площадь грани $latex ABC $.


Спойлер

Найдем координаты векторов:

$latex \overline{AB}=(x_B-x_A,~y_B-y_A,~z_B-z_A)$ $latex = $ $latex (2-4,~3-(-1),~4-0)$ $latex = $ $latex (-2, ~4, ~4) $.
$latex \overline{AC}=(x_C-x_A,~y_C-y_A,~z_C-z_A)$ $latex = $ $latex (-1-4,~4-(-1),~1-0)$ $latex = $ $latex (-5,-3, ~1) $.
$latex \overline{AD}=(x_D-x_A,~y_D-y_A,~z_D-z_A)$ $latex = $ $latex (4-4,-3-(-1),~5-0)$ $latex = $ $latex (0,-2, ~5) $.

Вычислим смешанное произведение:

$latex (\overline{AB},~\overline{AC},~\overline{AD}) $ $latex = $ $latex \begin{vmatrix} -2 & 4 & 4 \\ -5 & -3 & 1 \\ 0 & -2 & 5 \end{vmatrix}$ $latex = $ $latex -2 \begin{vmatrix} -3 & 1 \\ -2 & 5 \end{vmatrix} + 5 \begin{vmatrix} 4 & 4 \\ -2 & 5 \end{vmatrix} $ $latex = $ $latex -2(-15+2)+5(20+8)$ = $latex 166 $.

Найдем объем пирамиды по формуле:

$latex V_{ABCD}$ $latex = $ $latex \frac{1}{6} |(\overline{AB},Ё\overline{AC}, \overline{AD})| $ $latex = $ $latex \frac{1}{6} \cdot 166 $ $latex = $ $latex \frac{166}{6} \approx 27,7 $ (куб.ед.).

Найдем векторное произведение:

$latex [\overline{AB},\overline{AC}] $ = $latex \begin{vmatrix} \overline{i} & \overline{j} & \overline{k} \\ -2 & 4 & 4 \\ -5 & -3 & 1 \end{vmatrix} $ $latex = $ $latex \overline{i} \begin{vmatrix} 4 & 4 \\ -3 & 1 \end{vmatrix} -\overline{j} \begin{vmatrix} -2 & 4 \\ -5 & 1 \end{vmatrix} + \overline{k} \begin{vmatrix} -2 & 4 \\ -5 & -3 \end{vmatrix} $ $latex = $ $latex \overline{i}(4+12) — \overline{j}(-2+20) + \overline{k}(6+20) $ $latex = $ $latex 16 \overline{i} — 18 \overline{j} + 26\overline{k} $ = $latex (16,-18,~26) $.

Найдем площадь плоскости $latex \mathbf{(ABC)} $:

$latex S_{(ABC)} = \frac{1}{2} |[\overline{AB},~\overline{AC}]| $ $latex = $ $latex \frac{1}{2} \sqrt{x^2+y^2+z^2} $ $latex = $ $latex \frac{1}{2} \sqrt{16^2+(-18)^2+26^2} $ $latex = $ $latex \frac{1}{2} \sqrt{1256} $ $latex \approx $ $latex \frac{1}{2} \cdot 35,4 $ $latex = $ $latex 17,7 $.

Ответ: $latex \mathbf{27,7} $ куб.ед., $latex \mathbf{17,7} $.

[свернуть]

Задача 2

 

Найти объем пирамиды, у которой три грани принадлежат плоскостям $latex XOY,~XOZ,~YOZ $, четвертая проходит через плоскость $latex P=4x+6y+3z-12=0 $, и имеет вершину в точке $latex O(0,~0,~0) $.

Спойлер

Найдем точки пересечения плоскости $latex \mathbf{P} $ с осями координат.

Это точки $latex A(3,~0,~0)$, $latex B(0,~2,~0) $ и $latex C(0,~0,~4) $.

Найдем векторы $latex \mathbf{\overline{AB}} $ и $latex \mathbf{\overline{AC}} $.

$latex \overline{AB} = (-3,~2,~0) $;
$latex \overline{AC} = (-3,~0,~4) $.

Найдем площадь основания:

$latex S_{(ABC)}=\frac{1}{2} |[\overline{AB},\overline{AC}]| $ $latex = $ $latex \frac{1}{2} \sqrt{\begin{vmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 4 \end{vmatrix}^2 + \begin{vmatrix} 0 & -3 \\ 4 & -3 \end{vmatrix}^2 + \begin{vmatrix} -3 & 2 \\ 3 & 0 \end{vmatrix}^2} $ $latex = $ $latex \frac{1}{2} \sqrt{8^2+12^2+6^2} $ $latex = $ $latex \frac{1}{2} \sqrt{16+144+36} $ $latex = $ $latex \sqrt{61} $.

Найдем расстояние от точки $latex \mathbf{O} $ до плоскости $latex \mathbf{P} $:

$latex \rho(O,~P) = \frac{|Ax_O+By_O+Cy_O+D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}} $ $latex = $ $latex \frac{12}{\sqrt{16+36+9}} $ $latex = $ $latex \frac{12}{\sqrt{61}} $.

Расстояние от точки $latex O $ до плоскости $latex P $ является высотой $latex h $ пирамиды, опущенной из ее вершины на основание.

Найдем объем пирамиды:

$latex V=\frac{1}{3} S \cdot h $ $latex = $ $latex \frac{1}{3} \cdot \sqrt{61} \cdot \frac{12}{\sqrt{61}} $ $latex = $ $latex 4 $.

Ответ: $latex \mathbf{4} $.

[свернуть]

Список использованной литературы:

О.Н.Цубербиллер «Задачи и упражнения по аналитической геометрии», Санкт-Петербург, 2003г., изд-во «Лань», стр.214

Построение поля комплексных чисел

Спойлер

Большой вклад в развитие алгебры внес Джероламо Кардано, итальянский математик, который стал первым в Европе использовать отрицательные корни уравнений. В 1545 году Кардано опубликовал трактат, в котором описал алгоритм нахождения таких корней.

Наследователем Кардано стал еще один итальянский математик и инженер-механик Рафаэль Бомбелли, который, вдохновившись научной работы Кардано, окончательно ввел комплексные числа в математику и описал в своей научной работе «Алгебра» (1572) основные действия над такими числами.

В 1637 году вышла переломная в истории математики и науки книга «Рассуждение о методе, позволяющем направлять свой разум и отыскивать истину в науках» французского математика и философа Рене Декарта. В этой работе Декарт и ввел название «мнимые числа», а спустя 140 лет (1777 год) Леонард Эйлер — российский, немецкий и швейцарский математики механик — ввел букву «$latex i$» (первая буква французского слова «imaginaire» — «мнимый») для обозначения таких чисел.

[свернуть]

Спойлер

Множеством комплексных чисел называется множество $latex \mathbb{R}^2$ при условии выполнения следующих требований:

  1. $latex (a,b)=(c,d) $ $latex \Leftrightarrow $ $latex a=c $ и $latex b=d $;
  2. $latex (a,b)+(c,d)=(a+c,b+d) $;
  3. $latex (a,b)(c,d)=(ac-bd,ad+bc) $.

[свернуть]
Расширение числовых множества Необходимость в комплексных числах появилась, когда стало понятно, что не каждый многочлен имеет вещественные корни. Например, уравнение $latex x^2+1=0 $ не имеет корней среди вещественных чисел, так как еще в школе учили, что извлечь квадратный корень из отрицательного числа невозможно.

Для построения поля комплексных чисел — расширения множества вещественных, в котором уравнение разрешимо, — необходимо доказать следующее:

  1. $latex \mathbb{C} $ — поле;
  2. $latex \mathbb{R} \subset \mathbb{C} $;
  3. $latex x^2+1=0 $ — разрешимо в $latex \mathbb{C} $ (1);
  4. $latex \mathbb{C} $ минимально по включениям.
Спойлер

$latex \mathbf{I.} $ $latex \mathbf{(\mathbb{C},+)} $ — абелева группа.

  • Алгебраичность сложения;
  • Ассоциативность:

    $latex [(a,b)+(c,d)]+(e,f) $ $latex = $ $latex (a+c,b+d)+(e,f) $ $latex = $ $latex ((a+c)+e,(b+d)+f) $ $latex = $ $latex (a+(c+e),b+(d+f)) $ $latex = $ $latex (a,b)+(c+e,d+f) $ $latex = $ $latex (a,b)+[(c,d)+(e,f)] $;

  • Коммутативность:

$latex (a,b)+(c,d)=(c,d)+(a,b) $;

  • Нейтральный элемент:

$latex (0,0)+(a,b)=(a,b) $;

  • Обратный элемент:

$latex \forall(a,b)~\epsilon~\mathbb{C} $  $latex \exists(-a,-b)~\epsilon~\mathbb{C} $

$latex (a,b)+(-a,-b)=(0,0) $;

$latex \mathbf{II.} $ $latex \mathbf{(\mathbb{C}^{*},\cdot)} $ — абелева группа.

  • Алгебраичность умножения;
  • Ассоциативность умножения;
  • Коммутативность умножения;
  • Единица:  $latex e=(1,0) $

$latex \exists(x,y)~\epsilon~\mathbb{C} $, $latex \forall(a,b)~\epsilon~\mathbb{C} $

$latex (a,b)(x,y)=(a,b) $ $latex \Rightarrow (ax-by,ay+bx)=(a,b) $

$latex \begin{cases} ax-by=a & \\ ay+bx = b & \end{cases} $

Рассмотрим возможные решения системы:

1) $latex a\neq0,~b\neq0 $

$latex \begin{cases} a^2x-bay=a^2 & \\ b^2x+bay=b^2 & \end{cases} $

$latex (a^2+b^2)x=a^2+b^2 $ $latex \Rightarrow x=1,~y=0 $.

2) $latex a\neq0,~b=0 $

$latex \begin{cases} ax=1 & \\ ay=0 & \end{cases} $

$latex x=1,~y=0 $.

3) $latex a=0,~b\neq0 $ $latex \Rightarrow x=1,~y=0 $.

Следовательно, $latex e=(1,0) $.

  • Обратный элемент:

$latex \forall a,b~\epsilon~\mathbb{C}^{*} $ $latex \exists(x,y)~\epsilon~\mathbb{C}^{*} $:

$latex (a,b)(x,y)=(1,0) $

$latex (ax-by,bx+ay)=(1,0) $

$latex \begin{cases} ax-by=1 & \\ ay+bx = 0 & \end{cases} $

Домножим первое уравнение системы на $latex a $, а второе — на $latex b $, $latex a\neq0,~b\neq0 $.

$latex \begin{cases} a^2x-bay=a & \\ b^2x+bay = 0 & \end{cases} $
$latex (a^2+b^2)x = a $ $latex \Rightarrow x=\frac{a}{a^2+b^2} $.

$latex \frac{a^2}{a^2+b^2}-by=1 $ $latex \Rightarrow \frac{a^2}{a^2+b^2}-1=by $ $latex \Rightarrow \frac{a^2-a^2-b^2}{a^2+b^2}=by $ $latex \Rightarrow y=\frac{-b}{a^2+b^2} $.

$latex (a,b)^{-1}=(\frac{a}{a^2+b^2},\frac{-b}{a^2+b^2}) $.

$latex \mathbf{III.} $ Дистрибутивность.

Проверим выполнение законов дистрибутивности. В самом деле,
$latex (a,b)[(c,d)+(e,f)] $ $latex = $ $latex (a,b)(c,d)+(a,b)(e,f)$.

$latex \blacksquare $

[свернуть]

Спойлер

Покажем, что множество комплексных чисел является расширением множества вещественных.

$latex M \subset \mathbb{C} $, $latex M=\left\{(a,b)~\epsilon~\mathbb{C}~|~b=0 \right\} $ $latex = $ $latex \left\{(a,0)~|~a~\epsilon~\mathbb{R} \right\} $.

Рассмотрим точки, лежащие на оси абсцисс (точки вида $latex (a,0) $), где $latex x $ является  реальной частью комплексного числа, и их свойства:

  • $latex (a,0)+(b,0) = (a+b,0) $ $latex \epsilon~M $;
  • $latex (a,0)(b,0) = (ab-00,00+0b) = (ab,0) $ $latex \epsilon~M $;
  • $latex (0,0)~\epsilon~M $, $latex (1,0)~\epsilon~M $;
  • $latex -(a,0) = (-a,0)~\epsilon~M $;
  • $latex (a,0)^{-1},~a\neq0 $, $latex (a,0)^{-1} = (\frac{1}{a},0)~\epsilon~M $.

Таким образом, $latex f:\mathbb{R}~\rightarrow~ M $

$latex f(a)=(a,0)~\forall a~\epsilon~\mathbb{R} $.

  • $latex f $ — биекция;
  • $latex f(a,b)=(a+b,0)=(a,0)+(b,0)=f(a)+f(b) $;
  • $latex f(ab)=f(a)\cdot f(b) $;$latex f(-a)=-(a,0) $;
    $latex f(a^{-1})=(f(a))^{-1} $.

$latex a \to (a,0)$. Поле вещественных чисел вкладывается во множество комплексных.

$latex \blacksquare $

[свернуть]

Спойлер

$latex x^2+1=0 $. Обозначим $latex 0 = (0,0) $, $latex 1 = (1,0) $ и $latex x = (u,v)$ $latex \Rightarrow $

$latex (u,v)^2+(1,0)=(1,0) $

$latex (u^2-v^2,2uv)=(0,0) $

Решим систему уравнений на основе этого выражения:

$latex \begin{cases} u^2-v^2=-1 & \\ 2uv=0 & \end{cases} $

$latex v\neq0,~u=0 $,

$latex v^2=1 \Rightarrow v=\pm (-1)$,

Следовательно, возможные решения уравнения — $latex (0,1),~(0,-1) $.

$latex i=(0,1),~-i=(0,-1) $ — мнимая единица $latex i $.

$latex \blacksquare $

[свернуть]

Спойлер

Любое подмножество $latex \mathbb{C’} $ множества $latex \mathbb{C} $ совпадает с $latex \mathbb{C} $, если для $latex \mathbb{C’} $ выполнимо:

    • $latex \mathbb{R}\subset\mathbb{C’} $;
    • разрешимо уравнение $latex x^2+1=0 $;
    • $latex \forall a,b~\epsilon~\mathbb{C’} $, $latex (a+b)~\epsilon~\mathbb{C’} $;
    • $latex a \cdot b~\epsilon~\mathbb{C’} $.

$latex \blacksquare $

[свернуть]

Список источников:

Тест на знание теории о построении поля комплексных чисел.