Processing math: 100%

12.8.1 Квадратичные формы

Определение. Квадратичной формой на Rn называется каждая функция вида
Q(h)=ni,j=1aijhihj,

где aijдействительные числа. Матрица (aij) называется матрицей квадратичной формы.

Будем считать, что aij=aji, т. е. что матрица (aij) симметрична. Заметим, что Q — это многочлен второго порядка от n переменных h1,,hn. Ясно, что для любого действительного числа t
Q(th)=t2Q(h).

Это свойство называется свойством однородности второго порядка.

Определение Квадратичная форма Q называется положительно определенной, если для любого h0 справедливо неравенство Q(h)>0.

Аналогично, если для любого h0 имеем Q(h)<0, то такая квадратичная форма называется отрицательно определенной.

Если квадратичная форма принимает как положительные, так и отрицательные значения, то такая квадратичная форма называется неопределенной.

Если Q(h)0 для всех h, то форма называется положительно полуопределенной, а если Q(h)0 для всех h, то форма называется отрицательно полуопределенной.

Квадратичная форма называется знакоопределенной, если она положительно определенная или отрицательно определенная.

Пример 1. Если Q(x1,x2)=(x1)2+2(x2)2, то для всех x1,x2 кроме x1=x2=0, имеем Q(x1,x2)>0, т.е. эта форма положительно определенная.
Пример 2. Если Q(x1,x2)=(x1)2x1x2(x2)2 имеем Q(1,0)=1,Q(0,1)=1, так что эта форма неопределенная.
Пример 3. Если Q(x1,x2)=(x1)22x1x2+(x2)2 положительно полуопределенная, поскольку для любых x1,x2 имеем Q(x1,x2)0, но равенство Q(x1,x2)=0 имеет место не только в точке x1=x2=0, а в каждой точке вида x1=x2.
Пример 4. Форма Q(h)=(h1)2++(hn)2=|h|2, очевидно, положительно определенная.
Пример 5. Пусть Q(h)=(h1)2++(hm)2, где m<n. Эта форма положительно полуопределенная, поскольку Q(h)0, но при i>m значений этой формы на стандартном векторе ei равно нулю.
Пример 6. Пусть Q(h)=(h1)2++(hm)2(hm+1)2(hn)2, где m<n. Тогда эта форма неопределенная, поскольку Q(ei)=1 при im и Q(ei)=1, если i>m.

Для любой квадратичной формы Q |Q(h)|ni,j=1|aij||hi||hj||h2|ni,j=1|aij|K|h2|.

Эта оценка показывает, что при h0 квадратичная форма стремится к нулю. Если квадратичная форма знакоопределенная, то полученный порядок стремления к нулю оказывается точным. Именно, справедлива

Лемма 1. Пусть Q — положительно определенная квадратичная форма на Rn. Тогда существует такое положительное число λ, что Q(h)λ|h|2(hRn).
Обозначим через S единичную сферу в Rn, т.е. S={xRn:|x|=1}.
Легко видеть, что S — замкнутое и ограниченное множество и, следовательно, компактное. Поэтому, по второй теореме Вейерштрасса, непрерывная функция Q достигает своего наименьшего значения, которое мы обозначим через λ. Но на S форма Q принимает положительные значения, так что λ>0.
Итак, Q(x)λ(|x|=1). Если теперь h — произвольный вектор из Rn, то положим x=h|h|. Тогда |x|=1, т.е. x лежит на единичной сфере, а поэтому Q(x)λ. Если вместо x подставим его значение, то получим Q(h|h|)λ. Воспользовавшись свойством однородности второго порядка для формы Q, имеем Q(h)λ|h|2.

Теперь займемся таким вопросом. Как по матрице коэффициентов квадратичной формы судить о знакоопределенности формы? Рассмотрим подробно случай n=2.

Пусть Q(h,k)=a11h2+2a12hk+a22k2. Предположим сначала, что a110. Тогда Q(h,k)=1a11(a211h2+2a11a12hk+a11a22k2)=1a11[(a11h+a12k)2+k2],

где
=a11a22a212=|a11a12a21a22|.

  1. Если >0, то выражение в квадратных скобках положительно для любых h и k, не равных одновременно нулю, т.е. Q(h,k)0, причём sign(Q(h,k))=sign(a11). В этом случае форма является знакоопределенной, она сохраняет свой знак.
  2. Рассмотрим случай <0. Пусть, например, k0. Тогда вынося за скобки k2 и обозначая t=hk, получаем Q(h,k)=k2[a11t2+2a12t+a22].
    Если a110, то в скобках имеем квадратный трёхчлен относительно t. Его дискриминант 4>0. Поэтому этот квадратный трёхчлен имеет различные действительные корни, а значит принимает, как и положительные, так и отрицательные значения.

    Если же a11=0, то a120(так как иначе бы получили, что =0). Значит, в квадратных скобках линейный двучлен 2a12t+a22, который также принимает как положительные, так и отрицательные значения.

    Итак, если <0, то квадратичная форма Q является неопределенной.

  3. Пусть =0. Если a110, то получим Q(h,k)=1a11(a11h+a12k)2.
    Если, например, a11>0, то всегда Q(h,k)0, а при h=a12ka11 имеем Q(h,k)=0. Это означает, что существуют ненулевые векторы, на которых форма обращается в нуль, и получаем, что форма полуопределена.

    Если же a11=0, то в этом случае =a212. Значит a12=0 и Q(h,k)=a22k2. Это — тоже полуопределенная форма.

Итак, если =0, то форма полуопределенная.

Окончательно приходим к следующему выводу.

Лемма 2. Пусть

Q(h,k)=a11h2+2a12hk+a22k2. и =a11a22a212

Тогда:

1) если >0, то форма Q — знакоопределенная, причём sign(Q)=sign(a11);

2) если <0, то Q — неопределенная форма.

2) если =0, то Q — полуопределенная форма.

Определение. Пусть Q(h)=ni,j=1aijhihj — квадратичная форма на Rn с симметричной матрицей (a11a12a1na21a22a2nan1an2ann).

Миноры этой матрицы, расположенные в её левом верхнем углу, называют главными минорами, т.е. главные миноры — это 1=a11,2=|a11a12a21a22|,,n=|a11a1n an1ann|.

Критерий Сильвестра. Для того, чтобы квадратичная форма Q была положительно определенной, необходимо и достаточно, чтобы все её главные миноры были положительными.

Критерий отрицательной определенности. Для того, чтобы квадратичная форма Q была отрицательно определенной, необходимо и достаточно, чтобы были выполнены следующие условия: 1>0,2>0,,(1)nn>0, т.е. главные миноры должны иметь чередующиеся знаки, причём первый должен быть отрицательным.

Эти два критерия здесь мы доказывать не будем.

Примеры решения задач

  1. Найти матрицу квадратичной формы Q(x1,x2,x3)=2x214x1x2+x22+2x1x3x23

    Решение
    1. Запишем квадратичную форму в виде Q(x1,x2,x3)=2x212x1x22x2x1+x22+x1x3+x3x1x23.
    2. Здесь a11=2,a12=2,a13=1,a21=2,a22=1,a23=0,a31=1,a32=0,a33=1, следовательно, матрица этой квадратичной формы есть (221210101).
  2. Установить характер знакоопределенности квадратичной формы Q(x1,x2,x3)=4x21+6x22+2x23+6x1x2

    Решение
    1. Найдём матрицу квадратичной формы A=(430360002).
    2. Теперь проверим знакоопределенность формы по критерию Сильвестра 1=4>0,2=|4336|=15>0,3=|430360002|=215=30>0,
      значит, квадратичная форма положительно определенная.
  3. Найти все значения λ, при которых положительно определена квадратичная форма Q(x1,x2,x3)=2x21+λx22+5x23+4x1x2+4x1x3.

    Решение
    1. Найдём матрицу квадратичной формы A=(2222λ0205).
    2. Найдём главные миноры: 1=2,2=|222λ|=2λ4,3=|2222λ0205|=6λ20.

    3. По критерию Сильвестра, Q положительно определена тогда и только тогда, когда {2λ4>0,6λ20>0λ>103.

Проверка знаний по пройденной теме

Пройдите этот тест, чтобы проверить свои знания по только что прочитанной теме.

Список использованной литературы

12.7 Формула Тейлора

В одномерном случае формула Тейлора с остатком в форме Лагранжа содержится в следующей теореме.

Теорема. Пусть функция γ на отрезке [α,β] имеет непрерывные производные до порядка q включительно, а на интервале (α,β) существует производная порядка q+1. Тогда справедливо равенство γ(β)γ(α)=


γ(α)1!(βα)+γ(α)2!(βα)2++γ(q)(α)q!(βα)q+γ(q+1)(ξ)q+1!(βα)q+1,

где ξ — некоторая точка из интервала (α;β).

Аналог этой теоремы в многомерном случае может иметь следующий вид.

Теорема. Пусть действительная функция f класса Cq+1 на открытом множестве ERn и пусть отрезок [a,a+h]E. Тогда справедливо равенство: f(a+h)f(a)=

=ni=1fxi(a)hi+12!ni,j=12fxixj(a)hihj++

+1q!ni1,,iq=1qfxi1xiq(a)hi1hiq+Rq,

где Rq=1q+1!ni1,,iq+1=1q+1fxi1xiq+1(a+θh)hi1hiq+1,

а θ — некоторое число из отрезка [0,1].

Положим γ(t)=f(a+th)(0t1). Ранее была доказана лемма(12.4 стр.283), согласно которой функция γ дифференцируема и её производная

γ(t)=ni=1fxi(a+th)hi,(0t1).

Снова применяя эту лемму получим

γ(t)=ni,j=12fxixj(a+th)hihj.

По индукции получаем

γp(t)=ni,,ip=1pfxi1xip(a+th)hi1hip,(0pq+1)

Применяя теперь формулу Тейлора для функции γ, находим
γ(1)γ(0)=γ(0)+12!γ(0)++1q!γ(q)(0)+1(q+1)!γ(q+1)(θ),


где 0θ1 Если воспользуемся найденными выражениями для производных функции γ и учтем, что γ(1)γ(0)=f(a+h)f(a), то получим требуемое равенство.

Примеры решения задач

  1. Найти разложение функции по формуле Тейлора второго порядка в окрестности точки M0(2,1). f(x,y)=x22x3y,
    используя найденное разложение, найти приближенное значение функции в точке M(2,05;0,98).

    Решение

    Вычислим все необходимое для решения:
    f(2;1)=22223=2;


    fx=2x2x3y+x22x3yln2;fy=3x22x3yln2

    fx(2;1)=2223(2+2ln2)=2(1+ln2);
    fy(2;1)=34223ln2=61ln2

    2fx2=2x3y(2+4xln2+x2ln22);
    2fxy=3x2x3y(2+xln2)ln2;2fy2=9x22x3yln22;

    2fx2(2;1)=1+4ln2+2ln22;2fxy(2;1)=6(1+ln2)ln2;2fy2(2;1)=18ln22;

    Запишем формулу Тейлора второго порядка для заданной функции:f(x;y)2+(2(1+ln2)(x2)6ln2(y1))+

    12[(1+4ln2+2ln22)(x2)212(1+ln2)ln2(x2)(y1)+18ln22(y1)2]

    Найдём приближенное значение f(2,05;0,98)2,087.

Формула Тейлора для действительных функций

Пройдите этот тест, чтобы проверить свои знания по прочитанной теме.

Список использованной литературы

М4. О равенстве медианы и высоты

Задача из журнала «Квант» (1970 год, 1 выпуск)

Условие

Дан отрезок AB. Найти на плоскости множество точек C таких, что в треугольнике ABC медиана, проведенная из вершины A, равна высоте, проведенной из вершины B.

 

Решение

Введём прямоугольную систему координат с началом в точке A, пусть точка B имеет координаты (2;0), а искомая точка C — координаты (x;y). Пусть AF — медиана в треугольнике ABC, BKAC (рис.1). Легко показать, что точка F имеет координаты (x+22;y2). Тогда FA2=(x+22)2+y24.

рис. 1

По условию BK2=AF2, поэтому из подобия треугольников AKB и ACD следует, что BK2AK2=CD2AD2 или

(x+22)2+y244[(x+22)2+y24]=y2x2

Преобразовывая предыдущее равенство, получим:

y4+(2x2+4x12)y2+(2x+x2)2=0

Это и есть уравнение, связывающее координаты искомых точек. Может показаться, что оно определяет кривую четвертого порядка, нарисовать которую довольно трудно, но на самом деле левая часть уравнения легко раскладывается на множители:

[(x+1)2+(y+3)24][(x+1)2+(y3)24]=0

Задача решена.