12.8.1 Квадратичные формы

Определение. Квадратичной формой на

$\mathbb{R}^{n}$ называется каждая функция вида

$Q\left(h\right) = \sum_{i,j=1}^{n} a_{ij}h^{i}h^{j},$
где

$a_{ij}$ — действительные числа. Матрица

$\left(a_{ij}\right)$ называется матрицей квадратичной формы.

Будем считать, что $a_{ij}=a_{ji},$ т. е. что матрица $\left(a_{ij}\right)$ симметрична. Заметим, что $Q$ — это многочлен второго порядка от $n$ переменных $h_{1},\cdots ,h_{n}.$ Ясно, что для любого действительного числа $t$
$Q\left(th\right) = t^{2}Q\left(h\right).$

Это свойство называется свойством однородности второго порядка.

Квадратичная форма $Q$ называется положительно определенной, если для любого $h \neq 0$ справедливо неравенство $Q\left(h\right) \gt 0.$

Аналогично, если для любого $h \neq 0$ имеем $Q\left(h\right)\lt 0,$ то такая квадратичная форма называется отрицательно определенной.

Если квадратичная форма принимает как положительные, так и отрицательные значения, то такая квадратичная форма называется неопределенной.

Если $Q\left(h\right)\geqslant 0$ для всех $h,$ то форма называется положительно полуопределенной, а если $Q\left(h\right)\leqslant 0$ для всех $h,$ то форма называется отрицательно полуопределенной.

Квадратичная форма называется знакоопределенной, если она положительно определенная или отрицательно определенная.

Пример 1. Если

$Q\left(x^{1},x^{2}\right) = (x^{1})^{2} + 2(x^{2})^{2},$ то для всех

$x^{1},x^{2}$ кроме

$x^{1}=x^{2}=0$ , имеем

$Q\left(x^{1},x^{2}\right) \gt 0,$ т.е. эта форма положительно определенная.

Пример 2. Если

$Q\left(x^{1},x^{2}\right) = (x^{1})^{2} — x^{1}x^{2} — (x^{2})^{2}$ имеем

$Q(1,0)=1, Q(0,1)= -1,$ так что эта форма неопределенная.

Пример 3. Если

$Q\left(x^{1},x^{2}\right) = (x^{1})^{2} — 2x^{1}x^{2} + (x^{2})^{2}$ положительно полуопределенная, поскольку для любых

$x^{1},x^{2}$ имеем

$Q\left(x^{1},x^{2}\right) \geqslant 0,$ но равенство

$Q\left(x^{1},x^{2}\right) = 0$ имеет место не только в точке

$x^{1}=x^{2}=0,$ а в каждой точке вида

$x^{1}=x^{2}$ .

Пример 4. Форма

$Q\left(h\right) = (h^{1})^{2} + \cdots + (h^{n})^{2} = |h|^{2},$ очевидно, положительно определенная.

Пример 5. Пусть

$Q\left(h\right) = (h^{1})^{2} + \cdots + (h^{m})^{2},$ где

$m \lt n$ . Эта форма положительно полуопределенная, поскольку

$Q(h) \geqslant 0$ , но при

$i\gt m$ значений этой формы на стандартном векторе

$e_{i}$ равно нулю.

Пример 6. Пусть

$Q\left(h\right) = (h^{1})^{2} + \cdots + (h^{m})^{2} — (h^{m+1})^{2} — \cdots — (h^{n})^{2},$ где

$m \lt n$ . Тогда эта форма неопределенная, поскольку

$Q(e_{i})=1$ при

$i\leqslant m$ и

$Q(e_{i})=-1,$ если

$i\gt m.$

Для любой квадратичной формы $Q$ $|Q(h)| \leqslant \sum_{i,j=1}^{n} |a_{i j}| |h^{i}| |h^{j}| \leqslant | h^{2} | \sum_{i,j=1}^{n} |a_{i j}| \equiv K | h^{2} |.$

Эта оценка показывает, что при $h \rightarrow 0$ квадратичная форма стремится к нулю. Если квадратичная форма знакоопределенная, то полученный порядок стремления к нулю оказывается точным. Именно, справедлива

Лемма 1. Пусть

$Q$ — положительно определенная квадратичная форма на

$\mathbb{R}^{n}$ . Тогда существует такое положительное число

$\lambda ,$ что

$Q(h) \geqslant \lambda |h|^{2} (h \subset \mathbb{R}^{n}).$

Обозначим через

$S$ единичную сферу в

$\mathbb{R}^{n},$ т.е.

$S=\left\{x \in \mathbb{R}^{n} : |x|=1\right\}.$ Легко видеть, что

$S$ — замкнутое и ограниченное множество и, следовательно, компактное. Поэтому, по второй теореме Вейерштрасса, непрерывная функция

$Q$ достигает своего наименьшего значения, которое мы обозначим через

$\lambda.$ Но на

$S$ форма

$Q$ принимает положительные значения, так что

$\lambda \gt 0.$
Итак,

$Q(x)\geqslant \lambda (|x|=1).$ Если теперь

$h$ — произвольный вектор из

$\mathbb{R}^{n},$ то положим

$x = \frac{h}{|h|}.$ Тогда

$|x|=1,$ т.е.

$x$ лежит на единичной сфере, а поэтому

$Q(x)\geqslant \lambda .$ Если вместо

$x$ подставим его значение, то получим

$Q(\frac{h}{|h|})\geqslant \lambda .$ Воспользовавшись свойством однородности второго порядка для формы

$Q$ , имеем

$Q(h)\geqslant \lambda|h|^{2}.$

Теперь займемся таким вопросом. Как по матрице коэффициентов квадратичной формы судить о знакоопределенности формы? Рассмотрим подробно случай $n=2.$

Пусть $Q(h,k)=a_{11}h^{2}+2a_{12}hk+a_{22}k^{2}.$ Предположим сначала, что $a_{11}\neq 0.$ Тогда $Q(h,k)=\frac{1}{a_{11}}(a_{11}^{2} h^{2}+2a_{11}a_{12}hk+a_{11}a_{22}k^{2}) = \frac{1}{a_{11}}\left[(a_{11}h+a_{12}k)^{2}+\triangle k^{2} \right],$ где
$\triangle = a_{11}a_{22}-a_{12}^{2} = \begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} \\a_{21} & a_{22} \end{vmatrix}.$

Если $\triangle \gt 0,$ то выражение в квадратных скобках положительно для любых $h$ и $k,$ не равных одновременно нулю, т.е. $Q(h,k)\neq 0,$ причём $sign (Q(h,k)) = sign (a_{11}).$ В этом случае форма является знакоопределенной, она сохраняет свой знак.
Рассмотрим случай $\triangle \lt 0.$ Пусть, например, $k\neq 0.$ Тогда вынося за скобки $k^{2}$ и обозначая $t=\frac{h}{k},$ получаем $Q(h,k) = k^{2}\left[a_{11}t^{2}+2a_{12}t+a_{22} \right].$ Если $a_{11}\neq 0,$ то в скобках имеем квадратный трёхчлен относительно $t.$ Его дискриминант $-4\triangle \gt 0.$ Поэтому этот квадратный трёхчлен имеет различные действительные корни, а значит принимает, как и положительные, так и отрицательные значения.
Если же $a_{11}=0,$ то $a_{12}\neq 0$ (так как иначе бы получили, что $\triangle = 0$ ). Значит, в квадратных скобках линейный двучлен $2a_{12}t+a_{22},$ который также принимает как положительные, так и отрицательные значения.

Итак, если $\triangle \lt 0,$ то квадратичная форма $Q$ является неопределенной.
Пусть $\triangle = 0.$ Если $a_{11}\neq 0,$ то получим $Q(h,k) = \frac{1}{a_{11}}(a_{11}h+a_{12}k)^{2}.$ Если, например, $a_{11} \gt 0,$ то всегда $Q(h,k) \geqslant 0,$ а при $h = -\frac{a_{12}k}{a_{11}}$ имеем $Q(h,k)=0.$ Это означает, что существуют ненулевые векторы, на которых форма обращается в нуль, и получаем, что форма полуопределена.
Если же $a_{11}=0,$ то в этом случае $\triangle = -a_{12}^{2}.$ Значит $a_{12}=0$ и $Q(h,k) = a_{22}k^{2}.$ Это — тоже полуопределенная форма.

Итак, если $\triangle = 0,$ то форма полуопределенная.

Окончательно приходим к следующему выводу.

Лемма 2. Пусть

$Q(h,k)=a_{11}h^{2}+2a_{12}hk+a_{22}k^{2}.$ и $\triangle = a_{11}a_{22}-a_{12}^{2}$

Тогда:

1) если $\triangle \gt 0$ , то форма $Q$ — знакоопределенная, причём $sign (Q) = sign (a_{11});$

2) если $\triangle \lt 0 ,$ то $Q$ — неопределенная форма.

2) если $\triangle = 0 ,$ то $Q$ — полуопределенная форма.

Пусть $Q(h)=\sum_{i,j=1}^{n}a_{ij}h^{i}h^{j}$ — квадратичная форма на $\mathbb{R}^{n}$ с симметричной матрицей $\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{pmatrix}.$

Миноры этой матрицы, расположенные в её левом верхнем углу, называют главными минорами, т.е. главные миноры — это $\triangle_{1} = a_{11}, \triangle_{2} = \begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} \\a_{21} & a_{22} \end{vmatrix}, \cdots , \triangle_{n} =\begin{vmatrix} a_{11} & \cdots & a_{1n} \\ \cdots & \cdots & \cdots \ \\ a_{n1} & \cdots & a_{nn} \end{vmatrix}.$

Для того, чтобы квадратичная форма $Q$ была положительно определенной, необходимо и достаточно, чтобы все её главные миноры были положительными.

Для того, чтобы квадратичная форма $Q$ была отрицательно определенной, необходимо и достаточно, чтобы были выполнены следующие условия: $-\triangle_{1} \gt 0,\triangle_{2} \gt 0,\cdots ,(-1)^{n}\triangle_{n} \gt 0,$ т.е. главные миноры должны иметь чередующиеся знаки, причём первый должен быть отрицательным.

Эти два критерия здесь мы доказывать не будем.

Примеры решения задач

Найти матрицу квадратичной формы Q(x1,x2,x3)=2x21—4x1x2+x22+2x1x3—x23
Решение
1. Запишем квадратичную форму в виде $Q(x_{1},x_{2},x_{3}) = 2x_{1}^{2} — 2x_{1}x_{2} — 2x_{2}x_{1} + x_{2}^{2} + x_{1}x_{3} + x_{3}x_{1} — x_{3}^{2}.$
2. Здесь $a_{11}=2,a_{12}=-2,a_{13}=1,a_{21}=-2,a_{22}=1,a_{23}=0,a_{31}=1,a_{32}=0,a_{33}=-1,$ следовательно, матрица этой квадратичной формы есть $\begin{pmatrix} 2 & -2 &1 \\ -2 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & -1\\ \end{pmatrix}.$
Установить характер знакоопределенности квадратичной формы Q(x1,x2,x3)=4x21+6x22+2x23+6x1x2
Решение
1. Найдём матрицу квадратичной формы $A = \begin{pmatrix} 4 & 3 & 0 \\ 3 & 6 & 0 \\ 0 & 0 & 2\\ \end{pmatrix}.$
2. Теперь проверим знакоопределенность формы по критерию Сильвестра $\triangle_{1} = 4 \gt 0, \triangle_{2} = \begin{vmatrix}4 & 3 \\3 & 6 \end{vmatrix} = 15 \gt 0, \triangle_{3} =\begin{vmatrix} 4 & 3 & 0 \\ 3 & 6 & 0 \\ 0 & 0 & 2\\ \end{vmatrix} = 2\cdot15 = 30 \gt 0,$ значит, квадратичная форма положительно определенная.
Найти все значения λ, при которых положительно определена квадратичная форма Q(x1,x2,x3)=2x21+λx22+5x23+4x1x2+4x1x3.
Решение
1. Найдём матрицу квадратичной формы $A = \begin{pmatrix} 2 & 2 & 2 \\ 2 & \lambda & 0 \\ 2 & 0 & 5\\ \end{pmatrix}.$
2. Найдём главные миноры: $\triangle_{1} = 2 , \triangle_{2} = \begin{vmatrix}2 & 2 \\2 & \lambda \end{vmatrix} = 2\lambda — 4 , \triangle_{3} =\begin{vmatrix} 2 & 2 & 2 \\ 2 & \lambda & 0 \\ 2 & 0 & 5\\ \end{vmatrix} = 6\lambda — 20.$
3. По критерию Сильвестра, $Q$ положительно определена тогда и только тогда, когда $\begin{cases}2\lambda -4 \gt 0, \\6\lambda — 20 \gt 0\end{cases}\Leftrightarrow \lambda \gt \frac{10}{3}.$

Проверка знаний по пройденной теме

Пройдите этот тест, чтобы проверить свои знания по только что прочитанной теме.

Задание 1 из 4

1.
Какое условие должно быть выполнено, для того чтобы квадратичная форма была положительно определенной?
- Главные миноры должны иметь чередующиеся знаки, причём первый должен быть отрицательным.
- Главные миноры должны быть положительными.
- Главные миноры должны быть отрицательными.
- Ничего из выше перечисленного.
Правильно

Неправильно

Задание 2 из 4

2.

Установить соответствие между квадратичной формой и характером её знакоопределенности.

Элементы сортировки

Отрицательно определенная
Неопределенная
Положительно определенная

$Q(x_{1},x_{2})=-3x_{1}^{2}+8x_{1}x_{2}-7x_{2}^{2}$

$Q(x_{1},x_{2},x_{3})=9x_{1}^{2}+4x_{2}^{2}-12x_{1}x_{2}+4x_{1}x_{3}-8x_{2}x_{3}$

$Q(x_{1},x_{2})=13x_{1}^{2}-6x_{1}x_{2} + 5 x_{2}^{2}$

Задание 3 из 4

3.
Является ли функция $f(x_{1},x_{2})=x_{1}^{2}+2x_{1}x_{2}+x_{2}^{2}$ квадратичной формой?
- Да
- Нет
Правильно

Неправильно
Задание 4 из 4

4.
Вставьте пропущенные слова.
- Для того, чтобы квадратичная форма $Q$ была (отрицательно) определенной, , чтобы было выполнено следующее условие: (главные миноры) должны иметь чередующиеся знаки, причём первый должен быть отрицательным.
Правильно

Неправильно

Список использованной литературы

В. И. Коляда, А. А. Кореновский КУРС ЛЕКЦИЙ по МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ часть 1 (2009 года) глава 12.8.1 стр. 293
Лысенко З.М. Конспект лекций по математическому анализу

12.7 Формула Тейлора

В одномерном случае формула Тейлора с остатком в форме Лагранжа содержится в следующей теореме.

Пусть функция $\gamma$ на отрезке $\left[\alpha,\beta\right]$ имеет непрерывные производные до порядка $q$ включительно, а на интервале $\left(\alpha,\beta\right)$ существует производная порядка $q+1$ . Тогда справедливо равенство $\begin{equation}\gamma\left(\beta\right) — \gamma\left(\alpha\right) =\end{equation}$
$\frac{\gamma \prime\left(\alpha\right)}{1\,!}\cdot(\beta-\alpha) + \frac{\gamma\prime\prime\left(\alpha\right)}{2\,!}\cdot(\beta-\alpha)^{2} + + \frac{\gamma^{(q)}\left(\alpha\right)}{q\,!}\cdot(\beta-\alpha)^{q} + \frac{\gamma^{(q+1)}\left(\xi\right)}{q+1\,!}\cdot(\beta-\alpha)^{q+1},$
где $\xi$ — некоторая точка из интервала $\left(\alpha;\beta\right)$ .

Аналог этой теоремы в многомерном случае может иметь следующий вид.

Пусть действительная функция $f$ класса $C^{q+1}$ на открытом множестве $E \subset \mathbb{R}^{n}$ и пусть отрезок $\left[a,a+h\right] \subset E$ . Тогда справедливо равенство: $\begin{equation}f\left(a+h\right)-f\left(a\right)=\end{equation}$

$= \sum_{i=1}^{n} \frac{\partial f}{\partial x^{i}}(a)h^{i}+\frac{1}{2\,!}\sum_{i,j = 1}^{n}\frac{\partial^{2} f}{\partial x^{i} x^{j}}(a)h^{i}h^{j}+\cdots +$

$+\frac{1}{q\,!}\sum_{i_{1},\cdots,i_{q}=1}^{n} \frac{\partial^{q} f}{\partial x^{i_{1}}\cdots\partial x^{i_{q}}}(a)h^{i_1}\cdots h^{i_q}+R_{q},$

где $R_{q} = \frac{1}{q+1\,!}\sum_{i_{1},\cdots ,i_{q+1}=1}^{n} \frac{\partial^{q+1} f}{\partial x^{i_{1}}\cdots \partial x^{i_{q+1}}}(a+\theta h)h^{i_1}\cdots h^{i_{q+1}},$

а $\theta$ — некоторое число из отрезка $\left[0,1\right].$

Положим $\gamma(t) = f\left(a+th\right) \left(0\leqslant t\leqslant1\right).$ Ранее была доказана лемма(12.4 стр.283), согласно которой функция $\gamma$ дифференцируема и её производная

$\gamma\prime(t)=\sum_{i=1}^{n} \frac{\partial f}{\partial x^{i}}(a+th)h^{i}, \left(0\leqslant t\leqslant1\right).$

Снова применяя эту лемму получим

$\gamma\prime\prime(t)=\sum_{i,j=1}^{n} \frac{\partial^{2} f}{\partial x^{i} \partial x^{j}}(a+th)h^{i}h^{j}.$

По индукции получаем

$\gamma^{p}(t)=\sum_{i,\cdots,i_{p} = 1}^{n} \frac{\partial^{p} f}{\partial x^{i_{1}}\cdots\partial x^{i_{p}}}(a+th)h^{i_{1}}\cdots h^{i_{p}}, \left(0 \leqslant p \leqslant q+1 \right)$

Применяя теперь формулу Тейлора для функции $\gamma$ , находим
$\gamma(1)-\gamma(0) = \gamma\prime(0)+\frac{1}{2\,!}\gamma\prime\prime(0)+\cdots+\frac{1}{q\,!}\gamma^{(q)}(0)+\frac{1}{(q+1)\,!}\gamma^{(q+1)}(\theta),$
где $0\leqslant\theta\leqslant 1$ Если воспользуемся найденными выражениями для производных функции $\gamma$ и учтем, что $\gamma(1)-\gamma(0)=f(a+h)-f(a),$ то получим требуемое равенство.

Примеры решения задач

Найти разложение функции по формуле Тейлора второго порядка в окрестности точки $M_{0}(2,1).$ $f(x,y)=x^{2} \cdot 2^{x-3y},$ используя найденное разложение, найти приближенное значение функции в точке $M(2,05;0,98).$

Решение

Вычислим все необходимое для решения:
$f\left(2;1\right)=2^{2}\cdot 2^{2-3}=2;$
$\frac{\partial f}{\partial x}=2x\cdot 2^{x-3y}+x^{2}\cdot 2^{x-3y}\cdot \ln {2}; \frac{\partial f}{\partial y}=-3x^{2}\cdot 2^{x-3y} \cdot \ln {2}$
$\frac{\partial f}{\partial x}(2;1)=2\cdot 2^{2-3}(2+2\ln{2})=2(1+\ln{2});$ $\frac{\partial f}{\partial y}(2;1)=-3\cdot 4 \cdot 2^{2-3} \cdot \ln{2}=-61\ln{2}$
$\frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}=2^{x-3y}(2+4x\ln{2}+x^{2}\ln^{2}2);$ $\frac{\partial^{2} f}{\partial x \partial y}= -3x\cdot2^{x-3y}(2+x\ln{2})\ln{2}; \frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}}=9x^{2}-2^{x-3y}\cdot \ln^{2}{2};$
$\frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}(2;1)=1+4 \ln{2} + 2 \ln^{2}{2}; \frac{\partial^{2} f}{\partial x \partial y}(2;1)=-6(1+\ln{2})\ln{2}; \frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}}(2;1)=18 \ln^{2}{2};$

Запишем формулу Тейлора второго порядка для заданной функции: $f(x;y)\approx 2+\left(2(1+\ln{2})(x-2)-6\ln{2}(y-1)\right)+$ $\frac{1}{2}\left[(1+4\ln{2}+2\ln^{2}{2})(x-2)^{2}-12(1+\ln{2})\ln{2}(x-2)(y-1)+18\ln^{2}{2}(y-1)^{2}\right]$

Найдём приближенное значение $f(2,05;0,98)\approx 2,087.$

Формула Тейлора для действительных функций

Пройдите этот тест, чтобы проверить свои знания по прочитанной теме.

Список использованной литературы

Лысенко З.М. Конспект лекций по математическому анализу
В. И. Коляда, А. А. Кореновский КУРС ЛЕКЦИЙ по МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ часть 1 (2009 года) глава 12.7 стр. 292

М4. О равенстве медианы и высоты

Задача из журнала «Квант» (1970 год, 1 выпуск)

Условие

Дан отрезок $AB$ . Найти на плоскости множество точек $C$ таких, что в треугольнике $ABC$ медиана, проведенная из вершины $A$ , равна высоте, проведенной из вершины $B$ .

Решение

Введём прямоугольную систему координат с началом в точке $A$ , пусть точка $B$ имеет координаты $(2;0)$ , а искомая точка $C$ — координаты $(x;y)$ . Пусть $AF$ — медиана в треугольнике $ABC$ , $BK \bot AC$ (рис.1). Легко показать, что точка F имеет координаты $\left(\frac{x+2}{2};\frac{y}{2}\right)$ . Тогда $FA^{2}=\left(\frac{x+2}{2} \right)^{2}+\frac{y^{2}}{4}$ .

рис. 1

По условию $BK^{2}=AF^{2}$ , поэтому из подобия треугольников $AKB$ и $ACD$ следует, что $\frac{BK^{2}}{AK^{2}} = \frac{CD^{2}}{AD^{2}}$ или

$\frac{ \left(\frac{x+2}{2}\right )^{2}+\frac{y^{2}}{4} }{4-\left[ \left(\frac{x+2}{2} \right)^{2}+\frac{y^{2}}{4}\right]} = \frac{y^{2}}{x^{2}}$

Преобразовывая предыдущее равенство, получим:

$y^{4}+\left(2x^{2}+4x-12\right)\cdot y^{2}+\left(2x+x^{2}\right)^{2}=0$

Это и есть уравнение, связывающее координаты искомых точек. Может показаться, что оно определяет кривую четвертого порядка, нарисовать которую довольно трудно, но на самом деле левая часть уравнения легко раскладывается на множители:

$\left[\left(x+1\right)^{2}+\left(y+\sqrt{3}\right)^{2}-4\right] \left[\left(x+1\right)^{2}+\left(y-\sqrt{3}\right)^{2}-4\right]=0$

Задача решена.

Автор: Богдан Павлов

12.8.1 Квадратичные формы

Примеры решения задач

Проверка знаний по пройденной теме

Навигация (только номера заданий)

Информация

Результаты

Рубрики

1.

2.

Элементы сортировки

3.

4.

Список использованной литературы

12.7 Формула Тейлора

Примеры решения задач

Формула Тейлора для действительных функций

Навигация (только номера заданий)

Информация

Результаты

Рубрики

1.

Элементы сортировки

2.

3.

4.

Список использованной литературы

М4. О равенстве медианы и высоты

Условие

Решение