Автор: Богдан Павлов

12.8.1 Квадратичные формы

Определение. Квадратичной формой на $\mathbb{R}^{n}$ называется каждая функция вида
$$Q\left(h\right) = \sum_{i,j=1}^{n} a_{ij}h^{i}h^{j}, $$
где $a_{ij}$ — действительные числа. Матрица $\left(a_{ij}\right)$ называется матрицей квадратичной формы.

Будем считать, что $a_{ij}=a_{ji},$ т. е. что матрица $\left(a_{ij}\right)$ симметрична. Заметим, что $Q$ — это многочлен второго порядка от $n$ переменных $h_{1},\cdots ,h_{n}.$ Ясно, что для любого действительного числа $t$
$$Q\left(th\right) = t^{2}Q\left(h\right). $$

Это свойство называется свойством однородности второго порядка.

Определение Квадратичная форма $Q$ называется положительно определенной, если для любого $h \neq 0$ справедливо неравенство $Q\left(h\right) \gt 0.$

Аналогично, если для любого $h \neq 0$ имеем $Q\left(h\right)\lt 0,$ то такая квадратичная форма называется отрицательно определенной.

Если квадратичная форма принимает как положительные, так и отрицательные значения, то такая квадратичная форма называется неопределенной.

Если $Q\left(h\right)\geqslant 0$ для всех $h,$ то форма называется положительно полуопределенной, а если $Q\left(h\right)\leqslant 0$ для всех $h,$ то форма называется отрицательно полуопределенной.

Квадратичная форма называется знакоопределенной, если она положительно определенная или отрицательно определенная.

Пример 1. Если $Q\left(x^{1},x^{2}\right) = (x^{1})^{2} + 2(x^{2})^{2},$ то для всех $x^{1},x^{2}$ кроме $x^{1}=x^{2}=0$, имеем $Q\left(x^{1},x^{2}\right) \gt 0,$ т.е. эта форма положительно определенная.
Пример 2. Если $Q\left(x^{1},x^{2}\right) = (x^{1})^{2} — x^{1}x^{2} — (x^{2})^{2}$ имеем $Q(1,0)=1, Q(0,1)= -1, $ так что эта форма неопределенная.
Пример 3. Если $Q\left(x^{1},x^{2}\right) = (x^{1})^{2} — 2x^{1}x^{2} + (x^{2})^{2}$ положительно полуопределенная, поскольку для любых $x^{1},x^{2}$ имеем $Q\left(x^{1},x^{2}\right) \geqslant 0,$ но равенство $Q\left(x^{1},x^{2}\right) = 0$ имеет место не только в точке $x^{1}=x^{2}=0,$ а в каждой точке вида $x^{1}=x^{2}$.
Пример 4. Форма $Q\left(h\right) = (h^{1})^{2} + \cdots + (h^{n})^{2} = |h|^{2},$ очевидно, положительно определенная.
Пример 5. Пусть $Q\left(h\right) = (h^{1})^{2} + \cdots + (h^{m})^{2},$ где $m \lt n$. Эта форма положительно полуопределенная, поскольку $Q(h) \geqslant 0 $, но при $i\gt m$ значений этой формы на стандартном векторе $e_{i}$ равно нулю.
Пример 6. Пусть $Q\left(h\right) = (h^{1})^{2} + \cdots + (h^{m})^{2} — (h^{m+1})^{2} — \cdots — (h^{n})^{2},$ где $m \lt n$. Тогда эта форма неопределенная, поскольку $Q(e_{i})=1$ при $i\leqslant m$ и $Q(e_{i})=-1,$ если $i\gt m.$

Для любой квадратичной формы $Q$ $$|Q(h)| \leqslant \sum_{i,j=1}^{n} |a_{i j}| |h^{i}| |h^{j}| \leqslant | h^{2} | \sum_{i,j=1}^{n} |a_{i j}| \equiv K | h^{2} |.$$

Эта оценка показывает, что при $h \rightarrow 0$ квадратичная форма стремится к нулю. Если квадратичная форма знакоопределенная, то полученный порядок стремления к нулю оказывается точным. Именно, справедлива

Лемма 1. Пусть $Q$ — положительно определенная квадратичная форма на $\mathbb{R}^{n}$. Тогда существует такое положительное число $\lambda ,$ что $$Q(h) \geqslant \lambda |h|^{2} (h \subset \mathbb{R}^{n}). $$
Обозначим через $S$ единичную сферу в $\mathbb{R}^{n},$ т.е. $$ S=\left\{x \in \mathbb{R}^{n} : |x|=1\right\}.$$Легко видеть, что $S$ — замкнутое и ограниченное множество и, следовательно, компактное. Поэтому, по второй теореме Вейерштрасса, непрерывная функция $Q$ достигает своего наименьшего значения, которое мы обозначим через $\lambda.$ Но на $S$ форма $Q$ принимает положительные значения, так что $\lambda \gt 0.$
Итак, $Q(x)\geqslant \lambda (|x|=1).$ Если теперь $h$ — произвольный вектор из $\mathbb{R}^{n},$ то положим $ x = \frac{h}{|h|}.$ Тогда $|x|=1,$ т.е. $x$ лежит на единичной сфере, а поэтому $Q(x)\geqslant \lambda .$ Если вместо $x$ подставим его значение, то получим $Q(\frac{h}{|h|})\geqslant \lambda .$ Воспользовавшись свойством однородности второго порядка для формы $Q$, имеем $Q(h)\geqslant \lambda|h|^{2}.$

Теперь займемся таким вопросом. Как по матрице коэффициентов квадратичной формы судить о знакоопределенности формы? Рассмотрим подробно случай $n=2.$

Пусть $Q(h,k)=a_{11}h^{2}+2a_{12}hk+a_{22}k^{2}.$ Предположим сначала, что $a_{11}\neq 0.$ Тогда $$Q(h,k)=\frac{1}{a_{11}}(a_{11}^{2} h^{2}+2a_{11}a_{12}hk+a_{11}a_{22}k^{2}) = \frac{1}{a_{11}}\left[(a_{11}h+a_{12}k)^{2}+\triangle k^{2} \right],$$ где
$$\triangle = a_{11}a_{22}-a_{12}^{2} = \begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} \\a_{21} & a_{22} \end{vmatrix}.$$

  1. Если $\triangle \gt 0,$ то выражение в квадратных скобках положительно для любых $h$ и $k,$ не равных одновременно нулю, т.е. $Q(h,k)\neq 0,$ причём $sign (Q(h,k)) = sign (a_{11}).$ В этом случае форма является знакоопределенной, она сохраняет свой знак.
  2. Рассмотрим случай $\triangle \lt 0.$ Пусть, например, $k\neq 0.$ Тогда вынося за скобки $k^{2}$ и обозначая $t=\frac{h}{k},$ получаем $$ Q(h,k) = k^{2}\left[a_{11}t^{2}+2a_{12}t+a_{22} \right].$$ Если $a_{11}\neq 0,$ то в скобках имеем квадратный трёхчлен относительно $t.$ Его дискриминант $-4\triangle \gt 0.$ Поэтому этот квадратный трёхчлен имеет различные действительные корни, а значит принимает, как и положительные, так и отрицательные значения.

    Если же $a_{11}=0,$ то $a_{12}\neq 0$(так как иначе бы получили, что $\triangle = 0$). Значит, в квадратных скобках линейный двучлен $2a_{12}t+a_{22},$ который также принимает как положительные, так и отрицательные значения.

    Итак, если $\triangle \lt 0,$ то квадратичная форма $Q$ является неопределенной.

  3. Пусть $\triangle = 0.$ Если $a_{11}\neq 0,$ то получим $$Q(h,k) = \frac{1}{a_{11}}(a_{11}h+a_{12}k)^{2}.$$ Если, например, $a_{11} \gt 0,$ то всегда $Q(h,k) \geqslant 0,$ а при $h = -\frac{a_{12}k}{a_{11}}$ имеем $Q(h,k)=0.$ Это означает, что существуют ненулевые векторы, на которых форма обращается в нуль, и получаем, что форма полуопределена.

    Если же $a_{11}=0,$ то в этом случае $\triangle = -a_{12}^{2}.$ Значит $a_{12}=0$ и $Q(h,k) = a_{22}k^{2}.$ Это — тоже полуопределенная форма.

Итак, если $\triangle = 0,$ то форма полуопределенная.

Окончательно приходим к следующему выводу.

Лемма 2. Пусть

$Q(h,k)=a_{11}h^{2}+2a_{12}hk+a_{22}k^{2}.$ и $\triangle = a_{11}a_{22}-a_{12}^{2} $

Тогда:

1) если $\triangle \gt 0$, то форма $Q$ — знакоопределенная, причём $sign (Q) = sign (a_{11});$

2) если $\triangle \lt 0 ,$ то $Q$ — неопределенная форма.

2) если $\triangle = 0 ,$ то $Q$ — полуопределенная форма.

Определение. Пусть $Q(h)=\sum_{i,j=1}^{n}a_{ij}h^{i}h^{j}$ — квадратичная форма на $\mathbb{R}^{n}$ с симметричной матрицей $$\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{pmatrix}.$$

Миноры этой матрицы, расположенные в её левом верхнем углу, называют главными минорами, т.е. главные миноры — это $$
\triangle_{1} = a_{11}, \triangle_{2} = \begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} \\a_{21} & a_{22} \end{vmatrix}, \cdots , \triangle_{n} =\begin{vmatrix} a_{11} & \cdots & a_{1n} \\ \cdots & \cdots & \cdots \ \\ a_{n1} & \cdots & a_{nn} \end{vmatrix}.
$$

Критерий Сильвестра. Для того, чтобы квадратичная форма $Q$ была положительно определенной, необходимо и достаточно, чтобы все её главные миноры были положительными.

Критерий отрицательной определенности. Для того, чтобы квадратичная форма $Q$ была отрицательно определенной, необходимо и достаточно, чтобы были выполнены следующие условия: $-\triangle_{1} \gt 0,\triangle_{2} \gt 0,\cdots ,(-1)^{n}\triangle_{n} \gt 0,$ т.е. главные миноры должны иметь чередующиеся знаки, причём первый должен быть отрицательным.

Эти два критерия здесь мы доказывать не будем.

Примеры решения задач

  1. Найти матрицу квадратичной формы $$Q(x_{1},x_{2},x_{3}) = 2x_{1}^{2} — 4x_{1}x_{2} + x_{2}^{2} + 2x_{1}x_{3} — x_{3}^{2}$$
    Решение
    1. Запишем квадратичную форму в виде $$Q(x_{1},x_{2},x_{3}) = 2x_{1}^{2} — 2x_{1}x_{2} — 2x_{2}x_{1} + x_{2}^{2} + x_{1}x_{3} + x_{3}x_{1} — x_{3}^{2}.$$
    2. Здесь $a_{11}=2,a_{12}=-2,a_{13}=1,a_{21}=-2,a_{22}=1,a_{23}=0,a_{31}=1,a_{32}=0,a_{33}=-1,$ следовательно, матрица этой квадратичной формы есть $$\begin{pmatrix} 2 & -2 &1 \\ -2 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & -1\\ \end{pmatrix}.$$
  2. Установить характер знакоопределенности квадратичной формы $$Q(x_{1},x_{2},x_{3})=4x_{1}^{2}+6x_{2}^{2}+2x_{3}^{2}+6x_{1}x_{2}$$

    Решение
    1. Найдём матрицу квадратичной формы $$A = \begin{pmatrix} 4 & 3 & 0 \\ 3 & 6 & 0 \\ 0 & 0 & 2\\ \end{pmatrix}.$$
    2. Теперь проверим знакоопределенность формы по критерию Сильвестра $$
      \triangle_{1} = 4 \gt 0, \triangle_{2} = \begin{vmatrix}4 & 3 \\3 & 6 \end{vmatrix} = 15 \gt 0, \triangle_{3} =\begin{vmatrix} 4 & 3 & 0 \\ 3 & 6 & 0 \\ 0 & 0 & 2\\ \end{vmatrix} = 2\cdot15 = 30 \gt 0,$$ значит, квадратичная форма положительно определенная.
  3. Найти все значения $\lambda,$ при которых положительно определена квадратичная форма $$Q(x_{1},x_{2},x_{3}) = 2x_{1}^{2} + \lambda x_{2}^{2} + 5x_{3}^{2} + 4x_{1}x_{2} + 4x_{1}x_{3}. $$

    Решение
    1. Найдём матрицу квадратичной формы $$A = \begin{pmatrix} 2 & 2 & 2 \\ 2 & \lambda & 0 \\ 2 & 0 & 5\\ \end{pmatrix}.$$
    2. Найдём главные миноры: $$
      \triangle_{1} = 2 , \triangle_{2} = \begin{vmatrix}2 & 2 \\2 & \lambda \end{vmatrix} = 2\lambda — 4 , \triangle_{3} =\begin{vmatrix} 2 & 2 & 2 \\ 2 & \lambda & 0 \\ 2 & 0 & 5\\ \end{vmatrix} = 6\lambda — 20.$$

    3. По критерию Сильвестра, $Q$ положительно определена тогда и только тогда, когда $$\begin{cases}2\lambda -4 \gt 0, \\6\lambda — 20 \gt 0\end{cases}\Leftrightarrow \lambda \gt \frac{10}{3}.$$

Проверка знаний по пройденной теме

Пройдите этот тест, чтобы проверить свои знания по только что прочитанной теме.

Список использованной литературы

12.7 Формула Тейлора

В одномерном случае формула Тейлора с остатком в форме Лагранжа содержится в следующей теореме.

Теорема. Пусть функция $\gamma$ на отрезке $\left[\alpha,\beta\right]$ имеет непрерывные производные до порядка $q$ включительно, а на интервале $\left(\alpha,\beta\right)$ существует производная порядка $q+1$. Тогда справедливо равенство $$\begin{equation}\gamma\left(\beta\right) — \gamma\left(\alpha\right) =\end{equation}$$
$$\frac{\gamma \prime\left(\alpha\right)}{1\,!}\cdot(\beta-\alpha) + \frac{\gamma\prime\prime\left(\alpha\right)}{2\,!}\cdot(\beta-\alpha)^{2} + + \frac{\gamma^{(q)}\left(\alpha\right)}{q\,!}\cdot(\beta-\alpha)^{q} + \frac{\gamma^{(q+1)}\left(\xi\right)}{q+1\,!}\cdot(\beta-\alpha)^{q+1},$$
где $\xi$ — некоторая точка из интервала $\left(\alpha;\beta\right)$.

Аналог этой теоремы в многомерном случае может иметь следующий вид.

Теорема. Пусть действительная функция $f$ класса $C^{q+1}$ на открытом множестве $E \subset \mathbb{R}^{n} $ и пусть отрезок $\left[a,a+h\right] \subset E$. Тогда справедливо равенство: $$\begin{equation}f\left(a+h\right)-f\left(a\right)=\end{equation}$$

$$= \sum_{i=1}^{n} \frac{\partial f}{\partial x^{i}}(a)h^{i}+\frac{1}{2\,!}\sum_{i,j = 1}^{n}\frac{\partial^{2} f}{\partial x^{i} x^{j}}(a)h^{i}h^{j}+\cdots +$$

$$+\frac{1}{q\,!}\sum_{i_{1},\cdots,i_{q}=1}^{n} \frac{\partial^{q} f}{\partial x^{i_{1}}\cdots\partial x^{i_{q}}}(a)h^{i_1}\cdots h^{i_q}+R_{q},$$

где $$R_{q} = \frac{1}{q+1\,!}\sum_{i_{1},\cdots ,i_{q+1}=1}^{n} \frac{\partial^{q+1} f}{\partial x^{i_{1}}\cdots \partial x^{i_{q+1}}}(a+\theta h)h^{i_1}\cdots h^{i_{q+1}},$$

а $\theta$ — некоторое число из отрезка $\left[0,1\right].$

Положим $\gamma(t) = f\left(a+th\right) \left(0\leqslant t\leqslant1\right).$ Ранее была доказана лемма(12.4 стр.283), согласно которой функция $\gamma$ дифференцируема и её производная

$$
\gamma\prime(t)=\sum_{i=1}^{n} \frac{\partial f}{\partial x^{i}}(a+th)h^{i}, \left(0\leqslant t\leqslant1\right).
$$

Снова применяя эту лемму получим

$$
\gamma\prime\prime(t)=\sum_{i,j=1}^{n} \frac{\partial^{2} f}{\partial x^{i} \partial x^{j}}(a+th)h^{i}h^{j}.
$$

По индукции получаем

$$\gamma^{p}(t)=\sum_{i,\cdots,i_{p} = 1}^{n} \frac{\partial^{p} f}{\partial x^{i_{1}}\cdots\partial x^{i_{p}}}(a+th)h^{i_{1}}\cdots h^{i_{p}}, \left(0 \leqslant p \leqslant q+1 \right)$$

Применяя теперь формулу Тейлора для функции $\gamma$, находим
$$\gamma(1)-\gamma(0) = \gamma\prime(0)+\frac{1}{2\,!}\gamma\prime\prime(0)+\cdots+\frac{1}{q\,!}\gamma^{(q)}(0)+\frac{1}{(q+1)\,!}\gamma^{(q+1)}(\theta),$$
где $0\leqslant\theta\leqslant 1$ Если воспользуемся найденными выражениями для производных функции $\gamma$ и учтем, что $\gamma(1)-\gamma(0)=f(a+h)-f(a),$ то получим требуемое равенство.

Примеры решения задач

  1. Найти разложение функции по формуле Тейлора второго порядка в окрестности точки $M_{0}(2,1).$ $$f(x,y)=x^{2} \cdot 2^{x-3y},$$ используя найденное разложение, найти приближенное значение функции в точке $M(2,05;0,98).$

    Решение

    Вычислим все необходимое для решения:
    $$f\left(2;1\right)=2^{2}\cdot 2^{2-3}=2;$$
    $$\frac{\partial f}{\partial x}=2x\cdot 2^{x-3y}+x^{2}\cdot 2^{x-3y}\cdot \ln {2}; \frac{\partial f}{\partial y}=-3x^{2}\cdot 2^{x-3y} \cdot \ln {2}$$
    $$\frac{\partial f}{\partial x}(2;1)=2\cdot 2^{2-3}(2+2\ln{2})=2(1+\ln{2});$$ $$ \frac{\partial f}{\partial y}(2;1)=-3\cdot 4 \cdot 2^{2-3} \cdot \ln{2}=-61\ln{2}$$
    $$\frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}=2^{x-3y}(2+4x\ln{2}+x^{2}\ln^{2}2); $$$$\frac{\partial^{2} f}{\partial x \partial y}= -3x\cdot2^{x-3y}(2+x\ln{2})\ln{2}; \frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}}=9x^{2}-2^{x-3y}\cdot \ln^{2}{2};$$
    $$\frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}(2;1)=1+4 \ln{2} + 2 \ln^{2}{2}; \frac{\partial^{2} f}{\partial x \partial y}(2;1)=-6(1+\ln{2})\ln{2}; \frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}}(2;1)=18 \ln^{2}{2};$$

    Запишем формулу Тейлора второго порядка для заданной функции:$$f(x;y)\approx 2+\left(2(1+\ln{2})(x-2)-6\ln{2}(y-1)\right)+$$ $$\frac{1}{2}\left[(1+4\ln{2}+2\ln^{2}{2})(x-2)^{2}-12(1+\ln{2})\ln{2}(x-2)(y-1)+18\ln^{2}{2}(y-1)^{2}\right]$$

    Найдём приближенное значение $f(2,05;0,98)\approx 2,087.$

Формула Тейлора для действительных функций

Пройдите этот тест, чтобы проверить свои знания по прочитанной теме.

Список использованной литературы

М4. О равенстве медианы и высоты

Задача из журнала «Квант» (1970 год, 1 выпуск)

Условие

Дан отрезок $AB$. Найти на плоскости множество точек $C$ таких, что в треугольнике $ABC$ медиана, проведенная из вершины $A$, равна высоте, проведенной из вершины $B$.

 

Решение

Введём прямоугольную систему координат с началом в точке $A$, пусть точка $B$ имеет координаты $(2;0)$, а искомая точка $C$ — координаты $(x;y)$. Пусть $AF$ — медиана в треугольнике $ABC$, $BK \bot AC$ (рис.1). Легко показать, что точка F имеет координаты $\left(\frac{x+2}{2};\frac{y}{2}\right)$. Тогда $FA^{2}=\left(\frac{x+2}{2} \right)^{2}+\frac{y^{2}}{4}$.

рис. 1

По условию $BK^{2}=AF^{2}$, поэтому из подобия треугольников $AKB$ и $ACD$ следует, что $\frac{BK^{2}}{AK^{2}} = \frac{CD^{2}}{AD^{2}}$ или

$\frac{ \left(\frac{x+2}{2}\right )^{2}+\frac{y^{2}}{4} }{4-\left[ \left(\frac{x+2}{2} \right)^{2}+\frac{y^{2}}{4}\right]} = \frac{y^{2}}{x^{2}}$

Преобразовывая предыдущее равенство, получим:

$y^{4}+\left(2x^{2}+4x-12\right)\cdot y^{2}+\left(2x+x^{2}\right)^{2}=0$

Это и есть уравнение, связывающее координаты искомых точек. Может показаться, что оно определяет кривую четвертого порядка, нарисовать которую довольно трудно, но на самом деле левая часть уравнения легко раскладывается на множители:

$\left[\left(x+1\right)^{2}+\left(y+\sqrt{3}\right)^{2}-4\right] \left[\left(x+1\right)^{2}+\left(y-\sqrt{3}\right)^{2}-4\right]=0$

Задача решена.