Непрерывность функции на множестве

Определение

Непрерывность функции нескольких переменных:

Пусть точка A принадлежит области определения функции  u=f(M) нескольких переменных и любая \varepsilonокрестность точки A содержит отличные от A точки области определения этой функции.

Функция  u=f(M) называется непрерывной на множестве \left \{ M \right \}, если она непрерывна в каждой точке этого множества.

Основные свойства непрерывных функций нескольких переменных:

Теорема об устойчивости знака непрерывной функции:

Если функция  u=f(M) непрерывна в точке A евклидова пространства  E^m и если  f(A)\neq0 , тo существует такая   \delta  окрестность точки A, в пределах которой во всех точках области своего задания  f(M) не обращается в нуль и имеет знак совпадающий со знаком f(M). Справедливость этой теоремы непосредственно вытекает из определения непрерывности функции в терминах « \varepsilon - \delta ».

Теорема о прохождении непрерывной функции через любое промежуточное значение:

Пусть функция  u=f(M) непрерывна во всех точках связного множества \left \{ M \right \} евклидова пространства E^{m}, причем  f(A) и  f(B) — значения этой функции в точках A и B этого множества. Пусть, далее, C — любое число, заключенное между  f(A) и  f(B) . Тогда на любой непрерывной кривой L, соединяющей точки A и B и целиком располагающейся в  \left \{ M \right \} , найдется точка N такая, что  f(N)=C .

Спойлер

Пусть

x_{1}=\varphi_{1}t, x_{2}=\varphi_{2}t, \ldots, x_{m}=\varphi_{m}t, \alpha \le t \le \beta,

— уравнения непрерывной кривой L, соединяющий точки A и B множества \left \{ M \right \} и целиком располагающейся в \left \{ M \right \}.

На сегменте [\alpha, \beta] определена сложная функция  u=f(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{m}), где и x_{i}=\varphi_{i}ti=1, 2, \ldots, m\alpha \le t \le \beta. Очевидно, значение этой функции на сегменте [\alpha, \beta] совпадают со значениями функции  u=f(M) на кривой L. Указанная сложная функция одной переменной t, в силу непрерывности сложной функции, непрерывна на сегменте [\alpha, \beta] и согласно второй теореме Больцано-Коши, в некоторой точке \xi сегмента [\alpha, \beta] принимает значение C. По этому в точке N кривой L с координатами \varphi_{1}(\xi)\varphi_{2}(\xi), \ldots, \varphi_{m}(\xi) справедливо равенство f(N)=C. Теорема доказана.

\blacksquare

[свернуть]

Литература:

Непрерывная функция

Тест на тему «непрерывные функции»

Таблица лучших: Непрерывная функция

максимум из 6 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных

Непрерывность функции на множестве: 1 комментарий

  1. Довольно много замечаний.
    1. Темы страниц нельзя менять по собственному желанию. Если в программе курса стоит «предел», то так и должно быть. В общей странице «Математический анализ» Вы имеете право добавлять только гиперссылку, но не текст, который я там написал. Править мой текст жуткое преступление.
    2. Что иллюстрирует Ваш рисунок. Нет к SVG претензий нет, но что он поясняет?
    3. Нельзя расставлять стилевую разметку (например, style). И тем более BR в середине предложения. Разметка должна быть семантической (смысловой). Т.е. выделяете заголовки, определения и т.п. Как они будут отображаться определит CSS сайта.
    4. Где примеры?
    5. Где тесты?

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *