Евгений Колодин

Задача

Дана матрица линейного оператора, заданного в некотором базисе. Найти собственное подпростанство линейного оператора.

$A=\begin{pmatrix} 3 & -2 & 2\\ 2 & -1 & 2\\ 2 & -2 & 3 \end{pmatrix}$

Решение

Решим характерестическое уравнение:

$\det\left| {A-\lambda E}\right| =$ $\left| \begin{array}{ccc}3-\lambda &-2 &2\\2 &-1-\lambda &2\\2 &-2 &3-\lambda\end{array}\right| =$

$= (3-\lambda) \left| \begin{array}{ccc}-1-\lambda & 2\\-2 & 3-\lambda\end{array}\right| + 2 \left| \begin{array}{ccc}2 &2\\2 & 3 -\lambda \end{array}\right| + 2 \left| \begin{array}{ccc}2 &-1-\lambda\\2 &-2 \end{array}\right| =$

$=(3-\lambda)(\lambda^2 — 2\lambda +1) + 2(-2\lambda +2) + 2(2\lambda — 2) =$

$=(3-\lambda)(\lambda^2 — 2\lambda +1)=0$

Решая уравнение, мы нашли собственные значения $\lambda_{1}=3,$ $\lambda_{2} =\lambda_{3}=1 \Rightarrow$ спектр оператора $A$ состорит из двух собственных значений.

Теперь найдём собственные вектора:

1.Пусть $\lambda = 1$ .
$\begin{cases}2x_1 — 2x_2 + 2x_3 = 0\\2x_1 — 2x_2 + 2x_3 = 0\\2x_1 — 2x_2 + 2x_3 = 0\end{cases}$

Пусть $x_2$ и $x_3$ — свободные переменные, а $x_1$ — зависимая, т.е. $x_1=x_2-x_3$ :

$x_1$	$x_2$	$x_3$
1	2	1
0	1	1

Собственный вектор: $X_1=A_1\left(\begin{matrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{matrix} \right)$ , $X_2 = {A_{2} \left( \begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{matrix} \right)}$

2.Пусть $\lambda = 3$ .
$\begin{cases}-2x_2 + 2x_3 = 0\\2x_1 — 4x_2 + 2x_3 = 0\\2x_1 — 2x_2 = 0\end{cases}$

Пусть $x_2$ — свободная переменные, а $x_1$ и $x_3$ — зависимые:

	$x_1$	$x_2$	$x_3$
	1	1	1

Собственный вектор: $X_3=A_3\left(\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix} \right)$

Так как собственные векторы при собственных значениях образуют базис собственного подпрастранства $\Rightarrow$
$E_{\lambda_{1}} =$ $\langle {A_{3} \left( \begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix} \right)}\rangle$
$E_{\lambda_{2}} =$ $\langle {A_{1} \left( \begin{matrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{matrix} \right)}$ , ${A_{2} \left( \begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{matrix} \right)}\rangle$

Список литературы:

Нахождение собственных подпространств линейного оператора

Тест по теме «Нахождение собственных подпространств линейного оператора »

Задание 1 из 1

1.
Найти собственные значения линейного оператора , заданного в некотором базисе матрицей $A$ .

$A=\begin{pmatrix} 3 & -2 & 2\\ 2 & -1 & 2\\ 2 & -2 & 3 \end{pmatrix}$
- \( \lambda_1 = 2, \lambda_2 = 3, \lambda_3 = 4 )\
- \( \lambda_1 = 1, \lambda_2 = 3, \lambda_3 = 4 )\
- \( \lambda_1 = 1, \lambda_2 = 2, \lambda_3 = 3 )\
- <script type="text/javascript" src="http://cdn.mathjax.org/mathjax/latest/MathJax.js?config=TeX-AMS-MML_HTMLorMML"></script> \( \lambda_1 = 1, \lambda_2 = 2, \lambda_3 = 4 )\
Правильно

Неправильно

Таблица лучших: Нахождение собственных подпространств линейного оператора

максимум из 6 баллов
Место	Имя	Записано	Баллы	Результат
Таблица загружается
Нет данных

Определение:

Любое взаимно однозначное отображение

$A$ множества первых

$n$ натуральных чисел на себя называется подстановкой

$n$ -й степени. Всякая подстановка

$A$ может быть записана при помощи двух перестановок, подписанных одна под другой:

$\begin{pmatrix} i_{1} & i_{2} & \ldots & i_{n}\\ a_{i_{1}} & a_{i_{2}} & \ldots & a_{i_{n}} \end{pmatrix}$
через

$a_{i}$ здесь обозначается то число, в которое при подстановке

$A$ переходит число

$i$ ,

$i = 1,2,$

$\ldots , n$ .

Замечание:

От одной записи подстановки $A$ к другой можно перейти при помощи транспозиций столбиков. Любая подстановка

$n$ -й степени может быть записана в виде:

$\begin{pmatrix} 1 & 2 & \ldots & n\\ a_{1} & a_{2} & \ldots & a_{n} \end{pmatrix}$
Т.е. с натуральным расположением чисел в верхней строке. При такой записи различные подстановки различаются друг от друга перестановками, стоящими в нижней строке, и поэтому число перестановок из

$n$ чисел равно

$n!$ .

Переход к любой другой записи подстановки

$A$ можно осуществить, как мы знаем, путём последовательного выполнения нескольких транспозиций в верхней строке и соответствующих им транспозиций в нижней строке. Мы одновременно меняем чётность и поэтому сохраняем совпадение или противоположность этих чётностей.

Отсюда следует, что либо при всех записях подстановки $A$ чётности верхней и нижней строк совпадают, либо же при всех записях они противоположны. В первом случае подстановка

$A$ называется чётной, а во втором — нечётной. В частности тождественная подстановка(

$E$ ) будет чётной:

$E = \begin{pmatrix} 1 & 2 & \ldots & n\\ 1 & 2 & \ldots & n \end{pmatrix}$ Число чётных подстановок равно числу нечётных, равно

${\frac12 n!}$

Пример

$\begin{pmatrix} 4 & 3 & 5 & 2 &1\\ 3 & 5 & 2 & 1 &4 \end{pmatrix}$ всегда можно представить в виде

$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 &5\\ 4 & 1 & 5 & 3 &2 \end{pmatrix}$

Подстановки степени n

Тест по теме «Подстановки степени $n$ ».

Задание 1 из 2

1.
Количество баллов: 1
Всякая подстановка $A$ может быть записана при помощи двух
- (перестановок)
Правильно

Неправильно
Задание 2 из 2

2.
Количество баллов: 1
При всех записях подстановки чётности верхней и нижней строк могут :
- Совпадать, но не быть противоположными
- Не совпадать, но быть противоположными
- Совпадать и быть противоположными
Правильно

Неправильно

Таблица лучших: Подстановки степени n

максимум из 2 баллов
Место	Имя	Записано	Баллы	Результат
Таблица загружается
Нет данных

Список литературы:

Автор: Евгений Колодин

Нахождение собственных подпространств линейного оператора

Задача

Решение

Решим характерестическое уравнение:

Теперь найдём собственные вектора:

Список литературы:

Нахождение собственных подпространств линейного оператора

Навигация (только номера заданий)

Информация

Результаты

Рубрики

1.

Таблица лучших: Нахождение собственных подпространств линейного оператора

Подстановки степени n

Определение:

Замечание:

Пример

Подстановки степени n

Навигация (только номера заданий)

Информация

Результаты

Рубрики

1.

2.

Таблица лучших: Подстановки степени n

Список литературы:

Средний результат
Ваш результат