Определение:
Любое взаимно однозначное отображение $latex A$ множества первых $latex n$ натуральных чисел на себя называется подстановкой $latex n$-й степени. Всякая подстановка $latex A$ может быть записана при помощи двух перестановок, подписанных одна под другой:
$latex
\begin{pmatrix}
i_{1} & i_{2} & \ldots & i_{n}\\
a_{i_{1}} & a_{i_{2}} & \ldots & a_{i_{n}}
\end{pmatrix} $
через $latex a_{i}$ здесь обозначается то число, в которое при подстановке $latex A$ переходит число $latex i$, $latex i = 1,2,$ $latex \ldots , n$.
Замечание:
От одной записи подстановки $latex A$ к другой можно перейти при помощи транспозиций столбиков. Любая подстановка $latex n$-й степени может быть записана в виде:
$latex \begin{pmatrix}
1 & 2 & \ldots & n\\
a_{1} & a_{2} & \ldots & a_{n}
\end{pmatrix} $
Т.е. с натуральным расположением чисел в верхней строке. При такой записи различные подстановки различаются друг от друга перестановками, стоящими в нижней строке, и поэтому число перестановок из $latex n$ чисел равно $latex n!$ .
Переход к любой другой записи подстановки $latex A$ можно осуществить, как мы знаем, путём последовательного выполнения нескольких транспозиций в верхней строке и соответствующих им транспозиций в нижней строке. Мы одновременно меняем чётность и поэтому сохраняем совпадение или противоположность этих чётностей.
Отсюда следует, что либо при всех записях подстановки $latex A$ чётности верхней и нижней строк совпадают, либо же при всех записях они противоположны. В первом случае подстановка $latex A$ называется чётной, а во втором — нечётной. В частности тождественная подстановка($latex E$) будет чётной:
$latex E =
\begin{pmatrix}
1 & 2 & \ldots & n\\
1 & 2 & \ldots & n
\end{pmatrix} $Число чётных подстановок равно числу нечётных, равно $latex {\frac12 n!}$
Пример
$latex \begin{pmatrix}
4 & 3 & 5 & 2 &1\\
3 & 5 & 2 & 1 &4
\end{pmatrix}$ всегда можно представить в виде $latex \begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 & 4 &5\\
4 & 1 & 5 & 3 &2
\end{pmatrix}$
Подстановки степени n
Тест по теме «Подстановки степени $latex n$».
Таблица лучших: Подстановки степени n
Место | Имя | Записано | Баллы | Результат |
---|---|---|---|---|
Таблица загружается |
Список литературы:
- А.Г. Курош «Курс высшей алгебры», 9-е издание, глава 1, §3(стр.30-33);
- Г.С.Белозёров «Конспект лекций по алгебре и геометрии».