Несобственные интегралы, зависящие от параметра, равномерная сходимость.

Оглавление

  1. Несобственный интеграл, зависящий от параметра. Определение.
  2. Равномерная сходимость
  3. Примеры
  4. Список литературы
  5. Тесты

Несобственный интеграл, зависящий от параметра

Пусть функция двух переменных $f(x,y)$ определена на данной области: $\{a \leq x < + \infty, c \leq y \leq d\}$ (см. рисунок), и при каждом фиксированном $y \, \epsilon \, [c,d]$ существует несобственный интеграл $ \int\limits_{a}^{+\infty} f(x,y)\,dx$, являющийся функцией от $y$. Тогда функция $I(y) = \int\limits_{a}^{+\infty} f(x,y)\,dx$ $y \, \epsilon \, [c,d]$ называется несобственным интегралом первого рода, зависящим от параметра $y$. Также, интервал $[c,d]$ может быть бесконечным.

Возьмем функцию $f(x,y)$. Интеграл вида $ \int\limits_a^b f(x,y)\,dx$ является сходящимся на множестве $Y$, при выполнении следующих условий:

  1. $- \infty < a < b   \leq + \infty $
  2. функция $f(x,y)$ определена на $[a, b)   \times Y$, где $Y$ является множеством параметров.
  3. $ \forall \eta$ $\epsilon$ $[a,b)$ и $y$ $\epsilon$ $Y$ функция $f(x,y)$ интегрируема по Риману на отрезке $[a, \eta ]$.
  4. $ \forall y$ $\epsilon$ $Y$ несобственный интеграл $ \int\limits_a^b f(x,y)dx$ сходится.

Можно сделать вывод, что несобственный интеграл $ \int\limits_a^b f(x,y)dx$ сходится на $Y$, при условии, что $\forall y$ $\epsilon$ $Y$ и для любого числа $\varepsilon > 0$ существует такое $\eta(y, \varepsilon) < b$, такое, что для любого $\eta^\prime \, \epsilon (\eta, b)$ выполняется неравенство  $$\left|\int\limits_{\eta^\prime}^{b} f(x,y)dx\right| <\varepsilon .$$


Равномерная сходимость

Если несобственный интеграл $\int\limits_a^b f(x,y)dx$ сходится на множестве $Y$ и  если для любого $\varepsilon > 0$ найдется такое $a \leq \eta < b$, что для любого $y$ $\epsilon$ $Y$ и для любого $\eta \leq \eta^\prime < b$ справедливо следующее неравенство $$\left|\int\limits_{\eta^\prime}^{b} f(x,y)dx\right| <\varepsilon,$$

то такой интеграл называют равномерно сходящимся  по параметру $y$ на данном множестве.

Примеры

Пример 1

Проверить интеграл на равномерную сходимость. $$\int\limits_{0}^{+\infty}e^{-x}\cos xy\,dx $$

Решение

Для любого $\varepsilon \, > \, 0$ существует $\eta = \ln \frac{2}{\varepsilon}$ такое, что для любого $\eta^\prime \, \epsilon \, [\eta, +\infty)$ и любого $y \, \epsilon \, R$ выполняется неравенство $$\left|\int\limits_{\eta^\prime}^{+\infty}e^{-x}\cos xy\,dx \right|\leq \int\limits_{\eta^\prime}^{+\infty}e^{-x}\,dx = e^{-\eta^\prime} \leq e^{-\eta} = \frac{\varepsilon}{2} < \varepsilon .$$ Следовательно, интеграл исходный интеграл сходится равномерно по параметру $y$ на интервале $(-\infty, +\infty)$. $\Box$

[свернуть]

Пример 2

Проверить интеграл на неравномерную сходимость.

$$\int\limits_{0}^{+ \infty} ye^{-xy}\,dx$$

Решение

Возьмем $\varepsilon = e^{-1}$. Тогда для любого $\eta \, \epsilon \, (0, +\infty)$ существует $\eta^\prime = \eta$ и $y = \frac{1}{\eta}$ такие, что $$\int\limits_{\eta^\prime}^{+ \infty} ye^{-xy}\,dx = \int\limits_{\eta}^{+ \infty} ye^{-xy}\,dx =$$ $$=\int\limits_{\eta y}^{+ \infty} e^{-t}\,dt = \int\limits_{1}^{+ \infty} e^{-t}\,dt = e^{-1} = \varepsilon,$$ и поэтому исходный интеграл сходится неравномерно по параметру $y$ на множестве $Y = [0, +\infty)$.

[свернуть]

Список литературы

Тест

Рекомендую проверить насколько хорошо усвоен материал, пройдя следующий тест.

Таблица лучших: Несобственные интегралы, зависящие от параметра

максимум из 6 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *