Оглавление
- Несобственный интеграл, зависящий от параметра. Определение.
- Равномерная сходимость
- Примеры
- Список литературы
- Тесты
Несобственный интеграл, зависящий от параметра
Пусть функция двух переменных $f(x,y)$ определена на данной области: $\{a \leq x < + \infty, c \leq y \leq d\}$ (см. рисунок), и при каждом фиксированном $y \, \epsilon \, [c,d]$ существует несобственный интеграл $ \int\limits_{a}^{+\infty} f(x,y)\,dx$, являющийся функцией от $y$. Тогда функция $I(y) = \int\limits_{a}^{+\infty} f(x,y)\,dx$ $y \, \epsilon \, [c,d]$ называется несобственным интегралом первого рода, зависящим от параметра $y$. Также, интервал $[c,d]$ может быть бесконечным.
Возьмем функцию $f(x,y)$. Интеграл вида $ \int\limits_a^b f(x,y)\,dx$ является сходящимся на множестве $Y$, при выполнении следующих условий:
- $- \infty < a < b \leq + \infty $
- функция $f(x,y)$ определена на $[a, b) \times Y$, где $Y$ является множеством параметров.
- $ \forall \eta$ $\epsilon$ $[a,b)$ и $y$ $\epsilon$ $Y$ функция $f(x,y)$ интегрируема по Риману на отрезке $[a, \eta ]$.
- $ \forall y$ $\epsilon$ $Y$ несобственный интеграл $ \int\limits_a^b f(x,y)dx$ сходится.
Можно сделать вывод, что несобственный интеграл $ \int\limits_a^b f(x,y)dx$ сходится на $Y$, при условии, что $\forall y$ $\epsilon$ $Y$ и для любого числа $\varepsilon > 0$ существует такое $\eta(y, \varepsilon) < b$, такое, что для любого $\eta^\prime \, \epsilon (\eta, b)$ выполняется неравенство $$\left|\int\limits_{\eta^\prime}^{b} f(x,y)dx\right| <\varepsilon .$$
Равномерная сходимость
Если несобственный интеграл $\int\limits_a^b f(x,y)dx$ сходится на множестве $Y$ и если для любого $\varepsilon > 0$ найдется такое $a \leq \eta < b$, что для любого $y$ $\epsilon$ $Y$ и для любого $\eta \leq \eta^\prime < b$ справедливо следующее неравенство $$\left|\int\limits_{\eta^\prime}^{b} f(x,y)dx\right| <\varepsilon,$$
то такой интеграл называют равномерно сходящимся по параметру $y$ на данном множестве.
Примеры
Пример 1
Проверить интеграл на равномерную сходимость. $$\int\limits_{0}^{+\infty}e^{-x}\cos xy\,dx $$
Для любого $\varepsilon \, > \, 0$ существует $\eta = \ln \frac{2}{\varepsilon}$ такое, что для любого $\eta^\prime \, \epsilon \, [\eta, +\infty)$ и любого $y \, \epsilon \, R$ выполняется неравенство $$\left|\int\limits_{\eta^\prime}^{+\infty}e^{-x}\cos xy\,dx \right|\leq \int\limits_{\eta^\prime}^{+\infty}e^{-x}\,dx = e^{-\eta^\prime} \leq e^{-\eta} = \frac{\varepsilon}{2} < \varepsilon .$$ Следовательно, интеграл исходный интеграл сходится равномерно по параметру $y$ на интервале $(-\infty, +\infty)$. $\Box$
Пример 2
Проверить интеграл на неравномерную сходимость.
$$\int\limits_{0}^{+ \infty} ye^{-xy}\,dx$$
Возьмем $\varepsilon = e^{-1}$. Тогда для любого $\eta \, \epsilon \, (0, +\infty)$ существует $\eta^\prime = \eta$ и $y = \frac{1}{\eta}$ такие, что $$\int\limits_{\eta^\prime}^{+ \infty} ye^{-xy}\,dx = \int\limits_{\eta}^{+ \infty} ye^{-xy}\,dx =$$ $$=\int\limits_{\eta y}^{+ \infty} e^{-t}\,dt = \int\limits_{1}^{+ \infty} e^{-t}\,dt = e^{-1} = \varepsilon,$$ и поэтому исходный интеграл сходится неравномерно по параметру $y$ на множестве $Y = [0, +\infty)$.
Список литературы
- Тер-Крикоров А.М. и Шабунин М.И. Курс математического анализа, стр. 618-623
- В.И.Коляда, А.А.Кореновский. Курс лекций по математическому анализу т.2, стр. 101-103
- Л.Д. Кудрявцев. Курс математического анализа, том 2, стр. 668-673
- Б.П. Демидович. Сборник задач и упражнений по математическому анализу, стр. 386 — 389
Тест
Рекомендую проверить насколько хорошо усвоен материал, пройдя следующий тест.
Таблица лучших: Несобственные интегралы, зависящие от параметра
| Место | Имя | Записано | Баллы | Результат |
|---|---|---|---|---|
| Таблица загружается | ||||