М685. О конгруэнтных подмножествах

Два подмножества множества натуральных чисел назовем конгруэнтными, если одно получается из другого сдвигом на целое число. (Например, множества четных и нечетных чисел конгруэнтны.) Можно ли разбить множество натуральных чисел на бесконечное число (непересекающихся) бесконечных конгруэнтных подмножеств?

Ответ

Предположим, что задача уже решена. Пусть $A$ — то из множеств разбиения, которое содержит единицу. Остальные множествa разбиения получаются из $A$ сдвигами на некоторые натуральные числа, множество которых, дополненное нулем, мы обозначим через $B$. Пусть для каждого $b\in B$ множество $A_{b}$ — результат сдвига множества $A$ на $b,$ то есть множество всех чисел вида $a+b,$ где $a\in A$. По условию, если $b_{1}\neq b_{2},$ то $A_{b_{1}}\cap A_{b_{2}}=\oslash$ и всякое натуральное число $n$ принадлежит одному из множеств $A_{b},$ то есть каждое натуральное число единственным образом представляется в виде суммы $n=a+b$.

Построение множеств $A$ и $B$ мы осуществим двумя способами.

Первый способ. Пусть множества $A$ и $B$. обладающие свойством $n=a+b$ построены. Поставим в соответствие каждому натуральному числу $n=a+b$ точку плоскости $Oxy$ с координатами $\left ( a;b \right )$.

    Пусть $M$ — множество всех полученных точек плоскости. Множество $M,$ очевидно, обладает следующими свойствами:

  1. если $A$ — проекция множества $M$ на ось $Ox,$ а $B$ — проекция $M$ на ось $O,y$ то множество $M$ совпадает со всем множеством пар $\left ( a;b \right )$.
  2. пересечение множества $M$ с каждой прямой $x+y=n$ состоит из единственной точки: в частности, при $n=1$ — это точка $\left ( 1;0 \right )$.

Ясно, что, построив хотя бы одно множество $M$ обладающее свойствами 1) и 2), мы получим нужное разбиение множества натуральных чисел.

Множество $M$ построим как объединение множеств $M_{0}\subset M_{1}\subset M_{2}\subset …\subset M_{n}\subset \ldots,$ которые, в свою очередь, будем строить так:

Пусть $M_{0}=\left \{ \left ( 1;0 \right ) \right \}$. Назовем $n$-ой диагональю прямую $x+y=n$. Точка $\left ( 1;0 \right )$ попадает на первую диагональ: вычеркнем ее и в дальнейшем, строя множества $M_{1}$ будем последовательно вычеркивать диагонали, на которые попадают построенные точки.

Сдвинем множество $M_{0}$ на единицу вправо и положим $M_{1} = \left \{ \left ( 1;0 \right ), \left ( 2;0 \right ) \right \}$ при этом вычеркнем вторую диагональ(Рис.1). Затем сдвинем множество $M_{1}$ на две единицы вверх и присоединим полученные точки к $M_{1}$: это будет множество $M_{2}$: при этом вычеркнем третью и четвертую диагонали.

144
144

Множество $M_{2}$ сдвинем на четыре единицы вправо — так, чтобы вычеркнуть следующие четыре диагонали: получим множество $M_{3}$

144
144

Вообще. множество $M_{k+1}$ строим так: сдвигаем множество $M_{k}$ на $2^{k}$ единиц вправо или вверх — так, чтобы вычеркнуть диагонали с номерами $2^{k} + 1, 2^{k} + 2, 2^{k+1}$.

Легко видеть, что объединение множеств $M_{0}, M_{1},\ldots M_{n}\ldots$ обладает свойствами 1) и 2).

Второй способ. Как известно всякое натуральное число $n$ представляется в виде $$n=a_{0}\cdot 2^{k}+a_{1}\cdot 2^{k-1}+\ldots+a_{k-1}\cdot 2+a_{k},$$ где $a_{i}$ равно 0 или 1. причем такое представление единственно. На этом основана двоичная запись числа $n$: $n_{2} = \overline{a_{0}a_{1}\ldots a_{k-1}a_{k}}$

Рассмотрим теперь два множества натуральных чисел: множество $A,$ состоящее из чисел, в двоичной записи которых единица находится в нечетных разрядах, и множество $B$ состоящее из 0 и чисел, в двоичной записи которых единица находится в четных разрядах.

Очевидно, любое натуральное $n$ единственным образом представляется в виде суммы $n=a+b$.

Множества $A$ и $B$ обладают свойством $n=a+b$. и поэтому множества $A_{b}$ дают нужное разбиение.

Сторона и ориентация поверхности. Односторонние и двусторонние поверхности. Край поверхности.

Определим понятие стороны поверхности. Выберем на гладкой поверхности (замкнутой или ограниченной гладким контуром) точку [latex]M_{0}[/latex] и проведем в ней нормаль к поверхности, выбрав для нее определенное направление (одно из двух возможных). Проведем по поверхности замкнутый контур, начинающийся и заканчивающийся в точке [latex]M_{0}[/latex]. Рассмотрим точку [latex]M[/latex], обходящую этот контур, и в каждом из ее положений проведем нормаль того направления, в которое непрерывно переходит нормаль из предыдущей точки. Если после обхода контура нормаль вернется в точке [latex]M_{0}[/latex] в первоначальное положение при любом выборе точки [latex]M_{0}[/latex] на поверхности, поверхность называется двусторонней. Если же направление нормали после обхода хотя бы одной точки изменится на противоположное, поверхность называется односторонней. Поверхность может быть задана уравнением [latex]F\left ( x,y,z \right ) = 0[/latex], не разрешенным относительно ни одной из переменных (неявное задание). При этом поверхность представляет собой множество всех точек. Например, уравнение [latex]x^{2}+y^{2}+z^{2}-R^{2} = 0[/latex] задает сферу радиуса [latex]R[/latex] с центром в начале координат. Наконец, поверхность может быть задана параметрически: $$x = \varphi \left ( u,v \right ), y = \psi \left ( u,v \right ), z = \chi \left ( u,v \right ), \forall \left ( u,v \right )\in g,$$ где [latex]\psi ,\chi ,\varphi[/latex]− непрерывные функции в области [latex]g[/latex]. Переменные $u$ и $v$ называются параметрами.
На рисунке ниже изображен вектор нормали к поверхности $A$.
188

Определение

Совокупность всех точек поверхности с одинаковым направлением нормали называется стороной поверхности.

Дальше введем понятие ориентации поверхности. Рассмотрим незамкнутую гладкую двустороннюю поверхность [latex]S[/latex], ограниченную контуром [latex]L[/latex], и выберем одну сторону этой поверхности.

Определение

Назовем положительным направление обхода контура [latex]L[/latex], при котором движение по контуру происходит против часовой стрелки относительно наблюдателя, находящегося в конечной точке нормали к какой-либо точке поверхности [latex]S[/latex], соответствующей выбранной стороне поверхности. Обратное направление обхода контура назовем отрицательным.

Определение

Спойлер

Пусть [latex]S[/latex] — ограниченное связное замкнутое множество трехмерного пространства. Пусть для любой точки [latex]M\in S[/latex] существует замкнутый шар [latex]Q[/latex]
с центром в этой точке и существует непрерывное взаимно однозначное отображение [latex]r\left ( u,v \right )[/latex] некоторого замкнутого круга или полукруга [latex]K[/latex] на множество [latex]S \cap Q[/latex], при чем если [latex]\left ( u_{0},v_{0}\right )[/latex] центр крута или полукруга [latex]K[/latex], то [latex]r\left ( u_{0},v_{0} \right )=M[/latex]. Если [latex]K[/latex]- полукруг, и [latex]\left ( u_{0},v_{0}\right )[/latex]- его центр, то точка [latex]r\left ( u_{0},v_{0} \right ) = M\in S[/latex] называется краевой точкой множества [latex]S[/latex].Совокупность всех краевых точек множества [latex]S[/latex] называется его краем и обозначается [latex]\partial S[/latex]. Множество [latex]S[/latex], удовлетворяющее указанным выше условиям, и такое, что его край [latex]\partial S[/latex] не пуст, называется поверхностью с краем.

[свернуть]

Список литературы

Небольшая викторина

Равномерная сходимость и интегрирование

Теорема (об интегрировании)

Если последовательность непрерывных на сегменте [latex]\left [ a,b \right ][/latex] функций [latex]s_{1}(x), s_{2}(x),…s_{n}(x),…[/latex] сходиться равномерно в этом сегменте к предельной функции [latex]S(x)[/latex], то при любых [latex]a\leq \alpha \leq \beta \leq b[/latex] $$\lim_{n\rightarrow \infty }\int_{\alpha }^{\beta }S_{n}(x)dx = \int_{\alpha }^{\beta }S(x)dx$$

Доказательство. Заметим прежде всего, что в наших условиях предельная функция [latex]S(x)[/latex] является непрерывной, и поэтому интеграл $$ \int_{\alpha }^{\beta }S(x)dx$$

имеет смысл.

Ввиду обусловленной равномерной сходимости последовательности к предельной функции [latex]S(x)[/latex] по любому [latex]\varepsilon < 0[/latex] найдется такое [latex]n_{0}[/latex], что при [latex]n\geq n_{0}[/latex] для любого [latex]a\leq x\leq b[/latex] будет выполняться неравенство $$\left | S(x) — S_{n}(x) \right |< \frac{\varepsilon }{b-a}$$

поэтому $$\left | \int_{\alpha }^{\beta }S_{n}(x)dx — \int_{\alpha }^{\beta }S(x)dx \right | = \left | \int_{\alpha }^{\beta }(S_{n}(x)-S(x))dx \right | \leq $$ $$\leq \int_{\alpha }^{\beta }\left | S_{n}(x) — S(x)dx \right |< \int_{\alpha }^{\beta }\frac{\varepsilon }{b-a}dx = \varepsilon \frac{\beta - \alpha }{b-a} \leq \varepsilon $$

Таким образом, по произвольному [latex]\varepsilon < 0[/latex] нашлось такое [latex]n_{0}[/latex], что при [latex]n\geq n_{0}[/latex] $$\left | \int_{\alpha }^{\beta }S_{n}(x)dx — \int_{\alpha }^{\beta }S(x)dx \right | < \varepsilon $$

а это и означает сходимость.

Теорема (о почленном интегрировании рядов).

Если функциональный ряд [latex]u_{1}(x) + u_{2}(x) + … + u_{n}(x) +…[/latex] сходиться равномерно на некотором сегменте [latex]\left [ a,b \right ][/latex], и имеет суммой функцию [latex]S(x)[/latex], то функциональный ряд интегралов $$\int_{\alpha }^{y }u_{1}(x)dx + \int_{\alpha }^{y }u_{2}(x)dx + … +\int_{\alpha }^{y }u_{n}(x)dx + …$$

так же сходится равномерно на этом сегменте и имеет суммой функцию $$\int_{\alpha }^{y}S(x)dx$$

Доказательство. Пусть [latex]S_{n}(x) — n[/latex]-ая частичная сумма ряда. Тогда $$\int_{\alpha }^{y}S_{n}(x)dx = \int_{\alpha }^{y}(u_{1}(x)+u_{2}(x)+…+u_n{x}(x))dx$$

будет, очевидно, [latex]n[/latex]-ой частной суммой ряда. По условию теоремы последовательность [latex]S_{1}(x), S_{2}(x),…S_{n}(x),…[/latex] частичных сумм ряда сходиться на сегменте [latex]\left [ a,b \right ][/latex] равномерно. Следовательно, на основании теоремы о предельном переходе под знаком интеграла с переменным верхним пределом последовательность интегралов $$\int_{\alpha }^{y}S_{1}(x)dx, \int_{\alpha }^{y}S_{2}(x)dx, … ,\int_{\alpha }^{y}S_{n}(x)dx, …$$

так же сходиться и имеет пределом $$\int_{\alpha }^{y}S(x)dx$$

маленькая викторина

Равномерная сходимость и дифференцирование

Теорема о почленном дифференцировании

Если каждая функция [latex]f_n(x)[/latex] имеет производную на сегменте [latex]\left[a,b\right][/latex], при чем последовательность производных сходиться равномерно на сегменте [latex]\left[a,b\right][/latex], а сама последовательность [latex]\left\{ f_n(x)\right\}[/latex] сходиться хотя бы в одной точке [latex]x_{0}[/latex] сегмента [latex]\left[a,b\right][/latex],то последовательность [latex]\left\{ f_n(x)\right\}[/latex] сходиться к некоторой предельной функции [latex]f_n(x)[/latex] равномерно на сегменте [latex]\left[a,b\right][/latex], причем эту последовательность можно дифференцировать на сегменте [latex]\left[a,b\right][/latex] почленно, т.е. всюду на сегменте [latex]\left[a,b\right][/latex] предельная функция имеет производную [latex]f'(x)[/latex] являющуюся предельной функцией последовательности [latex]\left\{ f’_n(x)\right\}[/latex]

Доказательство. Докажем сначала, что последовательность [latex]\left\{ f_n(x)\right\}[/latex] сходится равномерно на сегменте [latex]\left[a,b\right][/latex]. Из сходимости числовой последовательности [latex]\left\{ f_n(x_{0})\right\}[/latex] и из равномерной сходимости [latex]\left\{ f’_n(x)\right\}[/latex] на сегменте [latex]\left[a,b\right][/latex] следует, что для любого [latex]\varepsilon>0[/latex] найдется номер [latex]N(\varepsilon)[/latex] такой, что $$\mid f_{n+p}(x_{0})- f_{n}(x_{0})\mid<\frac{\varepsilon}{2}, \mid f'_{n+p}(x)- f_{n}(x)\mid<\frac{\varepsilon}{2(b-a)}$$

для всех [latex]n\geq N(\varepsilon)[/latex], всех натуральных [latex]p[/latex] и для всех [latex]x[/latex] из сегмента [latex]\left[a,b\right][/latex] Так как для функции [latex]\left[f_{n+p}(t)-f_{n}(t)\right][/latex] при любых фиксированных номерах [latex]n[/latex] и [latex]p[/latex] выполнены на сегменте, ограниченном точками [latex]x[/latex] и [latex]x_{0}[/latex] все условия теоремы Лагранжа, то между [latex]x[/latex] и [latex]x_{0}[/latex] найдется такая точка [latex]\varepsilon[/latex] такая, что $$\left | f_{n+p}(x)-f_{n}(x) \right |-\left | f_{n+p}(x_{0})-f_{n}(x_{0}) \right |=\left | f’_{n+p}(\varepsilon )-f’_{n}(\varepsilon ) \right |(x-x_{0})$$

Из этого равенства и из того, что модуль суммы двух величин не превосходит сумму их модулей, получим $$\left | f_{n+p}(x)-f_{n}(x) \right |<\varepsilon $$

Это и означает в силу критерия Коши, что последовательность [latex]\left\{ f_n(x)\right\}[/latex] сходиться равномерно на сегменте [latex]\left[a,b\right][/latex] к некоторой предельной функции [latex]f(x)[/latex]

Остается доказать, что эта предельная функция в любой фиксированной точке [latex]x[/latex] сегмента [latex]\left[a,b\right][/latex] имеет производную.

Фиксируем произвольную точку [latex]x[/latex] сегмента [latex]\left[a,b\right][/latex] и по ней [latex]\delta>0[/latex] такое, что бы [latex]\delta[/latex]-окрестность точки [latex]x[/latex] целиком содержалась в [latex]\left[a,b\right][/latex]

Обозначим символом [latex]\left \{ \Delta x \right \}[/latex] множество всех чисел [latex]\Delta x[/latex], удовлетворяющих условию [latex]0 < \left | \Delta x \right | < \delta[/latex], при [latex]a < x < b[/latex], условию [latex]0 < \Delta x < \delta[/latex] при [latex]x=a[/latex] и условию [latex] -\delta <\Delta x < 0 [/latex] при [latex]x=b[/latex] и докажем, что последовательность функций аргумента [latex]\Delta x[/latex] $$\varphi_{n}(\Delta x) = \frac{f_{n}(x + \Delta x) — f_{n}(x)}{\Delta x}$$

сходится равномерно на указанном множестве [latex]\left \{ \Delta x \right \}[/latex]

Для произвольного [latex]\varepsilon>0[/latex] в силу критерия Коши равномерной сходимости последовательности [latex]\left\{ f’_n(x)\right\}[/latex] найдется номер [latex]N(\varepsilon)[/latex] такой, что $$\left | f’_{n+p}(x)-f’_{n}(x) \right | < \varepsilon$$

Фиксируем теперь произвольное [latex]\Delta x[/latex] из множества [latex]\left
\{ \Delta x \right \}[/latex] и при любых фиксированных номерах [latex]n[/latex] и [latex]p[/latex] применим к функции $$\left [ f_{n+p}(t)-f_{n}(t) \right ]$$

по сегменту, ограниченному точками [latex]x[/latex] и [latex]\left ( x+\Delta x \right )[/latex], теорему Лагранжа. Согласно этой теореме найдется число [latex]\Theta[/latex] из интервала [latex]0 < \Theta < 1[/latex] такое, что $$\frac{\left [ f_{n+p}(x+\Delta x) — f_{n}(x+\Delta x) \right ] — \left [ f_{n+p}(x) — f_{n}(x) \right ]}{\Delta x}=$$ $$= f’_{n+p}(x + \Theta \Delta x) — f’_{n}(x + \Theta \Delta x)$$

Последнее равенство можно переписать в виде $$\varphi _{n+p}(\Delta x) — \varphi _{n}(\Delta x) = f’_{n+p}(x + \Theta \Delta x) — f’_{n}(x + \Theta \Delta x)$$

Из этого равенства заключаем, что $$\left | \varphi _{n+p}(\Delta x) — \varphi _{n}(\Delta x) \right | < \varepsilon$$

В силу критерия Коши последовательность [latex]\left \{ \varphi _{n}(\Delta x) \right \}[/latex] сходится равномерно на множестве [latex]\left \{ \Delta x \right \}[/latex]. Но тогда к этой последовательности можно применить теорему о почленном предельном переходе в точке [latex]\Delta x = 0[/latex]. Согласно этой теореме функция $$\frac{f(x + \Delta x) — f(x)}{\Delta x}$$

являющаяся предельной функцией последовательности имеет предел в точке [latex]\Delta x = 0[/latex], причем этот предел можно вычислять почленно, т.е. $$\lim_{\Delta x\rightarrow 0 }\frac{f(x+\Delta x) — f(x)}{\Delta x} = \lim_{\Delta x\rightarrow 0 }\left [ \lim_{n\rightarrow \infty } \varphi_{n}(\Delta x) \right ] = $$ $$=\lim_{n\rightarrow \infty }\left [ \lim_{\Delta x\rightarrow 0 }\varphi_{n}(\Delta x) \right ] = \lim_{n\rightarrow \infty }\left [ \lim_{\Delta x\rightarrow 0 } \frac{f_{n}(x + \Delta x) — f_{n}(x)}{\Delta x} \right ] = \lim_{n\rightarrow \infty }f’_{n}(x)$$

Это и доказывает, что производная предельной функции [latex]f(x)[/latex] в точке [latex]x[/latex] существует и равна [latex]\lim_{n \rightarrow \infty }f’_{n}(x)[/latex]. Теорема доказана.