Два подмножества множества натуральных чисел назовем конгруэнтными, если одно получается из другого сдвигом на целое число. (Например, множества четных и нечетных чисел конгруэнтны.) Можно ли разбить множество натуральных чисел на бесконечное число (непересекающихся) бесконечных конгруэнтных подмножеств?
Ответ
Предположим, что задача уже решена. Пусть $A$ — то из множеств разбиения, которое содержит единицу. Остальные множествa разбиения получаются из $A$ сдвигами на некоторые натуральные числа, множество которых, дополненное нулем, мы обозначим через $B$. Пусть для каждого $b\in B$ множество $A_{b}$ — результат сдвига множества $A$ на $b,$ то есть множество всех чисел вида $a+b,$ где $a\in A$. По условию, если $b_{1}\neq b_{2},$ то $A_{b_{1}}\cap A_{b_{2}}=\oslash$ и всякое натуральное число $n$ принадлежит одному из множеств $A_{b},$ то есть каждое натуральное число единственным образом представляется в виде суммы $n=a+b$.
Построение множеств $A$ и $B$ мы осуществим двумя способами.
Первый способ. Пусть множества $A$ и $B$. обладающие свойством $n=a+b$ построены. Поставим в соответствие каждому натуральному числу $n=a+b$ точку плоскости $Oxy$ с координатами $\left ( a;b \right )$.
- Пусть $M$ — множество всех полученных точек плоскости. Множество $M,$ очевидно, обладает следующими свойствами:
- если $A$ — проекция множества $M$ на ось $Ox,$ а $B$ — проекция $M$ на ось $O,y$ то множество $M$ совпадает со всем множеством пар $\left ( a;b \right )$.
- пересечение множества $M$ с каждой прямой $x+y=n$ состоит из единственной точки: в частности, при $n=1$ — это точка $\left ( 1;0 \right )$.
Ясно, что, построив хотя бы одно множество $M$ обладающее свойствами 1) и 2), мы получим нужное разбиение множества натуральных чисел.
Множество $M$ построим как объединение множеств $M_{0}\subset M_{1}\subset M_{2}\subset …\subset M_{n}\subset \ldots,$ которые, в свою очередь, будем строить так:
Пусть $M_{0}=\left \{ \left ( 1;0 \right ) \right \}$. Назовем $n$-ой диагональю прямую $x+y=n$. Точка $\left ( 1;0 \right )$ попадает на первую диагональ: вычеркнем ее и в дальнейшем, строя множества $M_{1}$ будем последовательно вычеркивать диагонали, на которые попадают построенные точки.
Сдвинем множество $M_{0}$ на единицу вправо и положим $M_{1} = \left \{ \left ( 1;0 \right ), \left ( 2;0 \right ) \right \}$ при этом вычеркнем вторую диагональ(Рис.1). Затем сдвинем множество $M_{1}$ на две единицы вверх и присоединим полученные точки к $M_{1}$: это будет множество $M_{2}$: при этом вычеркнем третью и четвертую диагонали.
Множество $M_{2}$ сдвинем на четыре единицы вправо — так, чтобы вычеркнуть следующие четыре диагонали: получим множество $M_{3}$
Вообще. множество $M_{k+1}$ строим так: сдвигаем множество $M_{k}$ на $2^{k}$ единиц вправо или вверх — так, чтобы вычеркнуть диагонали с номерами $2^{k} + 1, 2^{k} + 2, 2^{k+1}$.
Легко видеть, что объединение множеств $M_{0}, M_{1},\ldots M_{n}\ldots$ обладает свойствами 1) и 2).
Второй способ. Как известно всякое натуральное число $n$ представляется в виде $$n=a_{0}\cdot 2^{k}+a_{1}\cdot 2^{k-1}+\ldots+a_{k-1}\cdot 2+a_{k},$$ где $a_{i}$ равно 0 или 1. причем такое представление единственно. На этом основана двоичная запись числа $n$: $n_{2} = \overline{a_{0}a_{1}\ldots a_{k-1}a_{k}}$
Рассмотрим теперь два множества натуральных чисел: множество $A,$ состоящее из чисел, в двоичной записи которых единица находится в нечетных разрядах, и множество $B$ состоящее из 0 и чисел, в двоичной записи которых единица находится в четных разрядах.
Очевидно, любое натуральное $n$ единственным образом представляется в виде суммы $n=a+b$.
Множества $A$ и $B$ обладают свойством $n=a+b$. и поэтому множества $A_{b}$ дают нужное разбиение.
и проведем в ней нормаль к поверхности, выбрав для нее определенное направление (одно из двух возможных). Проведем по поверхности замкнутый контур, начинающийся и заканчивающийся в точке 
, обходящую этот контур, и в каждом из ее положений проведем нормаль того направления, в которое непрерывно переходит нормаль из предыдущей точки. Если после обхода контура нормаль вернется в точке 
, не разрешенным относительно ни одной из переменных (неявное задание). При этом поверхность представляет собой множество всех точек. Например, уравнение 
задает сферу радиуса 
с центром в начале координат. Наконец, поверхность может быть задана параметрически: $$x = \varphi \left ( u,v \right ), y = \psi \left ( u,v \right ), z = \chi \left ( u,v \right ), \forall \left ( u,v \right )\in g,$$ где 
− непрерывные функции в области 
. Переменные $u$ и $v$ называются параметрами.
, ограниченную контуром 
, и выберем одну сторону этой поверхности.
существует замкнутый шар 
некоторого замкнутого круга или полукруга 
на множество 
, при чем если 
центр крута или полукруга 
. Если 
называется краевой точкой множества 
. Множество ![\left [ a,b \right ]](http://s0.wp.com/latex.php?latex=%5Cleft+%5B+a%2Cb+%5Cright+%5D&bg=ffffff&fg=000&s=0 "\left [ a,b \right ]")
функций 
сходиться равномерно в этом сегменте к предельной функции 
, то при любых 
$$\lim_{n\rightarrow \infty }\int_{\alpha }^{\beta }S_{n}(x)dx = \int_{\alpha }^{\beta }S(x)dx$$
найдется такое 
, что при 
для любого 
будет выполняться неравенство $$\left | S(x) — S_{n}(x) \right |< \frac{\varepsilon }{b-a}$$
сходиться равномерно на некотором сегменте 
-ая частичная сумма ряда. Тогда $$\int_{\alpha }^{y}S_{n}(x)dx = \int_{\alpha }^{y}(u_{1}(x)+u_{2}(x)+…+u_n{x}(x))dx$$ 
-ой частной суммой ряда. По условию теоремы последовательность 
частичных сумм ряда сходиться на сегменте 
имеет производную на сегменте ![\left[a,b\right]](http://s0.wp.com/latex.php?latex=%5Cleft%5Ba%2Cb%5Cright%5D&bg=ffffff&fg=000&s=0 "\left[a,b\right]")
, при чем последовательность производных сходиться равномерно на сегменте 
сходиться хотя бы в одной точке 
сегмента 
являющуюся предельной функцией последовательности 
и из равномерной сходимости 
найдется номер 
такой, что $$\mid f_{n+p}(x_{0})- f_{n}(x_{0})\mid<\frac{\varepsilon}{2}, \mid f'_{n+p}(x)- f_{n}(x)\mid<\frac{\varepsilon}{2(b-a)}$$
, всех натуральных 
и для всех 
из сегмента ![\left[f_{n+p}(t)-f_{n}(t)\right]](http://s0.wp.com/latex.php?latex=%5Cleft%5Bf_%7Bn%2Bp%7D%28t%29-f_%7Bn%7D%28t%29%5Cright%5D&bg=ffffff&fg=000&s=0 "\left[f_{n+p}(t)-f_{n}(t)\right]")
при любых фиксированных номерах 
такая, что $$\left | f_{n+p}(x)-f_{n}(x) \right |-\left | f_{n+p}(x_{0})-f_{n}(x_{0}) \right |=\left | f’_{n+p}(\varepsilon )-f’_{n}(\varepsilon ) \right |(x-x_{0})$$
такое, что бы 
-окрестность точки 
множество всех чисел 
, удовлетворяющих условию 
, при 
, условию 
при 
и условию 
при 
и докажем, что последовательность функций аргумента 
и при любых фиксированных номерах 
, теорему Лагранжа. Согласно этой теореме найдется число 
из интервала 
такое, что $$\frac{\left [ f_{n+p}(x+\Delta x) — f_{n}(x+\Delta x) \right ] — \left [ f_{n+p}(x) — f_{n}(x) \right ]}{\Delta x}=$$ $$= f’_{n+p}(x + \Theta \Delta x) — f’_{n}(x + \Theta \Delta x)$$ 
сходится равномерно на множестве 
. Согласно этой теореме функция $$\frac{f(x + \Delta x) — f(x)}{\Delta x}$$
. Теорема доказана.