М685. О конгруэнтных подмножествах

Два подмножества множества натуральных чисел назовем конгруэнтными, если одно получается из другого сдвигом на целое число. (Например, множества четных и нечетных чисел конгруэнтны.) Можно ли разбить множество натуральных чисел на бесконечное число (непересекающихся) бесконечных конгруэнтных подмножеств?

Ответ

Предположим, что задача уже решена. Пусть $A$ — то из множеств разбиения, которое содержит единицу. Остальные множествa разбиения получаются из $A$ сдвигами на некоторые натуральные числа, множество которых, дополненное нулем, мы обозначим через $B$ . Пусть для каждого $b\in B$ множество $A_{b}$ — результат сдвига множества $A$ на $b,$ то есть множество всех чисел вида $a+b,$ где $a\in A$ . По условию, если $b_{1}\neq b_{2},$ то $A_{b_{1}}\cap A_{b_{2}}=\oslash$ и всякое натуральное число $n$ принадлежит одному из множеств $A_{b},$ то есть каждое натуральное число единственным образом представляется в виде суммы $n=a+b$ .

Построение множеств $A$ и $B$ мы осуществим двумя способами.

Первый способ. Пусть множества $A$ и $B$ . обладающие свойством $n=a+b$ построены. Поставим в соответствие каждому натуральному числу $n=a+b$ точку плоскости $Oxy$ с координатами $\left ( a;b \right )$ .

$M$

$M,$

если $A$ — проекция множества $M$ на ось $Ox,$ а $B$ — проекция $M$ на ось $O,y$ то множество $M$ совпадает со всем множеством пар $\left ( a;b \right )$ .
пересечение множества $M$ с каждой прямой $x+y=n$ состоит из единственной точки: в частности, при $n=1$ — это точка $\left ( 1;0 \right )$ .

Ясно, что, построив хотя бы одно множество $M$ обладающее свойствами 1) и 2), мы получим нужное разбиение множества натуральных чисел.

Множество $M$ построим как объединение множеств $M_{0}\subset M_{1}\subset M_{2}\subset …\subset M_{n}\subset \ldots,$ которые, в свою очередь, будем строить так:

Пусть $M_{0}=\left \{ \left ( 1;0 \right ) \right \}$ . Назовем $n$ -ой диагональю прямую $x+y=n$ . Точка $\left ( 1;0 \right )$ попадает на первую диагональ: вычеркнем ее и в дальнейшем, строя множества $M_{1}$ будем последовательно вычеркивать диагонали, на которые попадают построенные точки.

Сдвинем множество $M_{0}$ на единицу вправо и положим $M_{1} = \left \{ \left ( 1;0 \right ), \left ( 2;0 \right ) \right \}$ при этом вычеркнем вторую диагональ(Рис.1). Затем сдвинем множество $M_{1}$ на две единицы вверх и присоединим полученные точки к $M_{1}$ : это будет множество $M_{2}$ : при этом вычеркнем третью и четвертую диагонали.

Множество $M_{2}$ сдвинем на четыре единицы вправо — так, чтобы вычеркнуть следующие четыре диагонали: получим множество $M_{3}$

Вообще. множество $M_{k+1}$ строим так: сдвигаем множество $M_{k}$ на $2^{k}$ единиц вправо или вверх — так, чтобы вычеркнуть диагонали с номерами $2^{k} + 1, 2^{k} + 2, 2^{k+1}$ .

Легко видеть, что объединение множеств $M_{0}, M_{1},\ldots M_{n}\ldots$ обладает свойствами 1) и 2).

Второй способ. Как известно всякое натуральное число $n$ представляется в виде $n=a_{0}\cdot 2^{k}+a_{1}\cdot 2^{k-1}+\ldots+a_{k-1}\cdot 2+a_{k},$ где $a_{i}$ равно 0 или 1. причем такое представление единственно. На этом основана двоичная запись числа $n$ : $n_{2} = \overline{a_{0}a_{1}\ldots a_{k-1}a_{k}}$

Рассмотрим теперь два множества натуральных чисел: множество $A,$ состоящее из чисел, в двоичной записи которых единица находится в нечетных разрядах, и множество $B$ состоящее из 0 и чисел, в двоичной записи которых единица находится в четных разрядах.

Очевидно, любое натуральное $n$ единственным образом представляется в виде суммы $n=a+b$ .

Множества $A$ и $B$ обладают свойством $n=a+b$ . и поэтому множества $A_{b}$ дают нужное разбиение.

Сторона и ориентация поверхности. Односторонние и двусторонние поверхности. Край поверхности.

Определим понятие стороны поверхности. Выберем на гладкой поверхности (замкнутой или ограниченной гладким контуром) точку $M_{0}$ и проведем в ней нормаль к поверхности, выбрав для нее определенное направление (одно из двух возможных). Проведем по поверхности замкнутый контур, начинающийся и заканчивающийся в точке $M_{0}$ . Рассмотрим точку $M$ , обходящую этот контур, и в каждом из ее положений проведем нормаль того направления, в которое непрерывно переходит нормаль из предыдущей точки. Если после обхода контура нормаль вернется в точке $M_{0}$ в первоначальное положение при любом выборе точки $M_{0}$ на поверхности, поверхность называется двусторонней. Если же направление нормали после обхода хотя бы одной точки изменится на противоположное, поверхность называется односторонней. Поверхность может быть задана уравнением $F\left ( x,y,z \right ) = 0$ , не разрешенным относительно ни одной из переменных (неявное задание). При этом поверхность представляет собой множество всех точек. Например, уравнение $x^{2}+y^{2}+z^{2}-R^{2} = 0$ задает сферу радиуса $R$ с центром в начале координат. Наконец, поверхность может быть задана параметрически: $x = \varphi \left ( u,v \right ), y = \psi \left ( u,v \right ), z = \chi \left ( u,v \right ), \forall \left ( u,v \right )\in g,$ где $\psi ,\chi ,\varphi$ − непрерывные функции в области $g$ . Переменные $u$ и $v$ называются параметрами.
На рисунке ниже изображен вектор нормали к поверхности $A$ .

Определение

Совокупность всех точек поверхности с одинаковым направлением нормали называется стороной поверхности.

Дальше введем понятие ориентации поверхности. Рассмотрим незамкнутую гладкую двустороннюю поверхность $S$ , ограниченную контуром $L$ , и выберем одну сторону этой поверхности.

Определение

Назовем положительным направление обхода контура $L$ , при котором движение по контуру происходит против часовой стрелки относительно наблюдателя, находящегося в конечной точке нормали к какой-либо точке поверхности $S$ , соответствующей выбранной стороне поверхности. Обратное направление обхода контура назовем отрицательным.

Определение

Спойлер

Пусть $S$ — ограниченное связное замкнутое множество трехмерного пространства. Пусть для любой точки $M\in S$ существует замкнутый шар $Q$
с центром в этой точке и существует непрерывное взаимно однозначное отображение $r\left ( u,v \right )$ некоторого замкнутого круга или полукруга $K$ на множество $S \cap Q$ , при чем если $\left ( u_{0},v_{0}\right )$ центр крута или полукруга $K$ , то $r\left ( u_{0},v_{0} \right )=M$ . Если $K$ - полукруг, и $\left ( u_{0},v_{0}\right )$ - его центр, то точка $r\left ( u_{0},v_{0} \right ) = M\in S$ называется краевой точкой множества $S$ .Совокупность всех краевых точек множества $S$ называется его краем и обозначается $\partial S$ . Множество $S$ , удовлетворяющее указанным выше условиям, и такое, что его край $\partial S$ не пуст, называется поверхностью с краем.

[свернуть]

Список литературы

Небольшая викторина

Задание 1 из 5

1.
Что такое сторона поверхности?
- Совокупность всех точек поверхности с одинаковым направлением нормали
- Совокупность всех точек на одной стороне
- Совокупность всех точек на одном векторе
Задание 2 из 5

2.
Какие есть способы задания поверхности?
- неявно
- явно
- параметрически
- геометрически
Задание 3 из 5

3.
Если после обхода контура нормаль вернется в точке $M_{0}$ в первоначальное положение при любом выборе точки $M_{0}$ на поверхности, поверхность называется
Задание 4 из 5

4.
Как называется точка $r\left ( u_{0},v_{0} \right ) = M\in S$ , если $K$ - полукруг, и $\left ( u_{0},v_{0}\right )$ - его центр?
Задание 5 из 5

5.
Составьте предложение
- Пусть для любой точки $M\in S$
- существует замкнутый шар $Q$
- с центром в этой точке и существует непрерывное взаимно однозначное отображение
- $r\left ( u,v \right )$ некоторого замкнутого круга или полукруга $K$
- на множество $S \cap Q$
- при чем если $\left ( u_{0},v_{0}\right )$ центр крута или полукруга $K$
- то $r\left ( u_{0},v_{0} \right )=M$

Равномерная сходимость и интегрирование

Теорема (об интегрировании)

Если последовательность непрерывных на сегменте $\left [ a,b \right ]$ функций $s_{1}(x), s_{2}(x),…s_{n}(x),…$ сходиться равномерно в этом сегменте к предельной функции $S(x)$ , то при любых $a\leq \alpha \leq \beta \leq b$ $\lim_{n\rightarrow \infty }\int_{\alpha }^{\beta }S_{n}(x)dx = \int_{\alpha }^{\beta }S(x)dx$

Доказательство. Заметим прежде всего, что в наших условиях предельная функция $S(x)$ является непрерывной, и поэтому интеграл $\int_{\alpha }^{\beta }S(x)dx$

имеет смысл.

Ввиду обусловленной равномерной сходимости последовательности к предельной функции $S(x)$ по любому $\varepsilon < 0$ найдется такое $n_{0}$ , что при $n\geq n_{0}$ для любого $a\leq x\leq b$ будет выполняться неравенство $\left | S(x) — S_{n}(x) \right |< \frac{\varepsilon }{b-a}$

поэтому $\left | \int_{\alpha }^{\beta }S_{n}(x)dx — \int_{\alpha }^{\beta }S(x)dx \right | = \left | \int_{\alpha }^{\beta }(S_{n}(x)-S(x))dx \right | \leq$ $\leq \int_{\alpha }^{\beta }\left | S_{n}(x) — S(x)dx \right |< \int_{\alpha }^{\beta }\frac{\varepsilon }{b-a}dx = \varepsilon \frac{\beta - \alpha }{b-a} \leq \varepsilon$

Таким образом, по произвольному $\varepsilon < 0$ нашлось такое $n_{0}$ , что при $n\geq n_{0}$ $\left | \int_{\alpha }^{\beta }S_{n}(x)dx — \int_{\alpha }^{\beta }S(x)dx \right | < \varepsilon$

а это и означает сходимость.

Теорема (о почленном интегрировании рядов).

Если функциональный ряд $u_{1}(x) + u_{2}(x) + … + u_{n}(x) +…$ сходиться равномерно на некотором сегменте $\left [ a,b \right ]$ , и имеет суммой функцию $S(x)$ , то функциональный ряд интегралов $\int_{\alpha }^{y }u_{1}(x)dx + \int_{\alpha }^{y }u_{2}(x)dx + … +\int_{\alpha }^{y }u_{n}(x)dx + …$

так же сходится равномерно на этом сегменте и имеет суммой функцию $\int_{\alpha }^{y}S(x)dx$

Доказательство. Пусть $S_{n}(x) — n$ -ая частичная сумма ряда. Тогда $\int_{\alpha }^{y}S_{n}(x)dx = \int_{\alpha }^{y}(u_{1}(x)+u_{2}(x)+…+u_n{x}(x))dx$

будет, очевидно, $n$ -ой частной суммой ряда. По условию теоремы последовательность $S_{1}(x), S_{2}(x),…S_{n}(x),…$ частичных сумм ряда сходиться на сегменте $\left [ a,b \right ]$ равномерно. Следовательно, на основании теоремы о предельном переходе под знаком интеграла с переменным верхним пределом последовательность интегралов $\int_{\alpha }^{y}S_{1}(x)dx, \int_{\alpha }^{y}S_{2}(x)dx, … ,\int_{\alpha }^{y}S_{n}(x)dx, …$

так же сходиться и имеет пределом $\int_{\alpha }^{y}S(x)dx$

маленькая викторина

Равномерная сходимость и дифференцирование

Теорема о почленном дифференцировании

Если каждая функция $f_n(x)$ имеет производную на сегменте $\left[a,b\right]$ , при чем последовательность производных сходиться равномерно на сегменте $\left[a,b\right]$ , а сама последовательность $\left\{ f_n(x)\right\}$ сходиться хотя бы в одной точке $x_{0}$ сегмента $\left[a,b\right]$ ,то последовательность $\left\{ f_n(x)\right\}$ сходиться к некоторой предельной функции $f_n(x)$ равномерно на сегменте $\left[a,b\right]$ , причем эту последовательность можно дифференцировать на сегменте $\left[a,b\right]$ почленно, т.е. всюду на сегменте $\left[a,b\right]$ предельная функция имеет производную $f'(x)$ являющуюся предельной функцией последовательности $\left\{ f’_n(x)\right\}$

Доказательство. Докажем сначала, что последовательность $\left\{ f_n(x)\right\}$ сходится равномерно на сегменте $\left[a,b\right]$ . Из сходимости числовой последовательности $\left\{ f_n(x_{0})\right\}$ и из равномерной сходимости $\left\{ f’_n(x)\right\}$ на сегменте $\left[a,b\right]$ следует, что для любого $\varepsilon>0$ найдется номер $N(\varepsilon)$ такой, что $\mid f_{n+p}(x_{0})- f_{n}(x_{0})\mid<\frac{\varepsilon}{2}, \mid f'_{n+p}(x)- f_{n}(x)\mid<\frac{\varepsilon}{2(b-a)}$

для всех $n\geq N(\varepsilon)$ , всех натуральных $p$ и для всех $x$ из сегмента $\left[a,b\right]$ Так как для функции $\left[f_{n+p}(t)-f_{n}(t)\right]$ при любых фиксированных номерах $n$ и $p$ выполнены на сегменте, ограниченном точками $x$ и $x_{0}$ все условия теоремы Лагранжа, то между $x$ и $x_{0}$ найдется такая точка $\varepsilon$ такая, что $\left | f_{n+p}(x)-f_{n}(x) \right |-\left | f_{n+p}(x_{0})-f_{n}(x_{0}) \right |=\left | f’_{n+p}(\varepsilon )-f’_{n}(\varepsilon ) \right |(x-x_{0})$

Из этого равенства и из того, что модуль суммы двух величин не превосходит сумму их модулей, получим $\left | f_{n+p}(x)-f_{n}(x) \right |<\varepsilon$

Это и означает в силу критерия Коши, что последовательность $\left\{ f_n(x)\right\}$ сходиться равномерно на сегменте $\left[a,b\right]$ к некоторой предельной функции $f(x)$

Остается доказать, что эта предельная функция в любой фиксированной точке $x$ сегмента $\left[a,b\right]$ имеет производную.

Фиксируем произвольную точку $x$ сегмента $\left[a,b\right]$ и по ней $\delta>0$ такое, что бы $\delta$ -окрестность точки $x$ целиком содержалась в $\left[a,b\right]$

Обозначим символом $\left \{ \Delta x \right \}$ множество всех чисел $\Delta x$ , удовлетворяющих условию $0 < \left | \Delta x \right | < \delta$ , при $a < x < b$ , условию $0 < \Delta x < \delta$ при $x=a$ и условию $-\delta <\Delta x < 0$ при $x=b$ и докажем, что последовательность функций аргумента $\Delta x$ $\varphi_{n}(\Delta x) = \frac{f_{n}(x + \Delta x) — f_{n}(x)}{\Delta x}$

сходится равномерно на указанном множестве $\left \{ \Delta x \right \}$

Для произвольного $\varepsilon>0$ в силу критерия Коши равномерной сходимости последовательности $\left\{ f’_n(x)\right\}$ найдется номер $N(\varepsilon)$ такой, что $\left | f’_{n+p}(x)-f’_{n}(x) \right | < \varepsilon$

Фиксируем теперь произвольное $\Delta x$ из множества $\left \{ \Delta x \right \}$ и при любых фиксированных номерах $n$ и $p$ применим к функции $\left [ f_{n+p}(t)-f_{n}(t) \right ]$

по сегменту, ограниченному точками $x$ и $\left ( x+\Delta x \right )$ , теорему Лагранжа. Согласно этой теореме найдется число $\Theta$ из интервала $0 < \Theta < 1$ такое, что $\frac{\left [ f_{n+p}(x+\Delta x) — f_{n}(x+\Delta x) \right ] — \left [ f_{n+p}(x) — f_{n}(x) \right ]}{\Delta x}=$ $= f’_{n+p}(x + \Theta \Delta x) — f’_{n}(x + \Theta \Delta x)$

Последнее равенство можно переписать в виде $\varphi _{n+p}(\Delta x) — \varphi _{n}(\Delta x) = f’_{n+p}(x + \Theta \Delta x) — f’_{n}(x + \Theta \Delta x)$

Из этого равенства заключаем, что $\left | \varphi _{n+p}(\Delta x) — \varphi _{n}(\Delta x) \right | < \varepsilon$

В силу критерия Коши последовательность $\left \{ \varphi _{n}(\Delta x) \right \}$ сходится равномерно на множестве $\left \{ \Delta x \right \}$ . Но тогда к этой последовательности можно применить теорему о почленном предельном переходе в точке $\Delta x = 0$ . Согласно этой теореме функция $\frac{f(x + \Delta x) — f(x)}{\Delta x}$

являющаяся предельной функцией последовательности имеет предел в точке $\Delta x = 0$ , причем этот предел можно вычислять почленно, т.е. $\lim_{\Delta x\rightarrow 0 }\frac{f(x+\Delta x) — f(x)}{\Delta x} = \lim_{\Delta x\rightarrow 0 }\left [ \lim_{n\rightarrow \infty } \varphi_{n}(\Delta x) \right ] =$ $=\lim_{n\rightarrow \infty }\left [ \lim_{\Delta x\rightarrow 0 }\varphi_{n}(\Delta x) \right ] = \lim_{n\rightarrow \infty }\left [ \lim_{\Delta x\rightarrow 0 } \frac{f_{n}(x + \Delta x) — f_{n}(x)}{\Delta x} \right ] = \lim_{n\rightarrow \infty }f’_{n}(x)$

Это и доказывает, что производная предельной функции $f(x)$ в точке $x$ существует и равна $\lim_{n \rightarrow \infty }f’_{n}(x)$ . Теорема доказана.

В. А. Ильина и Э. Г. Позняка «Основы математического анализа»
Функциональный ряд на момент 17.06.2016

маленькая викторина

Задание 1 из 4

1.
Определение числового ряда
- числовая последовательность, которая называется последовательностью частичных сумм
- ряд чисел
- каждое последующие число получается из предыдущего
Задание 2 из 4

2.
Признаки сходимости числового ряды :
- признак Дирихле
- признак Даламбера
- признак Лейбнеца
- признак Коши
- признак Лагранжа
Задание 3 из 4

3.
Расположить в таком порядке : признак Даламбера — признак Коши — признак Лейбнеца
- $\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{a_{n+1}}{a_{n}} = D$
- $\lim_{n\rightarrow \infty }\sqrt[n]{a_{n}} = D$
- $\lim_{n\rightarrow \infty }\left | a_{n} \right | = 0$
Задание 4 из 4

4.
Самый популярный ряд в теме «числовые ряды»

Автор: Кирилл Демиденко

М685. О конгруэнтных подмножествах

Ответ

Сторона и ориентация поверхности. Односторонние и двусторонние поверхности. Край поверхности.

Определение

Определение

Определение

Навигация (только номера заданий)

Информация

Результаты

Рубрики

1.

2.

3.

4.

5.

Равномерная сходимость и интегрирование

Теорема (об интегрировании)

Теорема (о почленном интегрировании рядов).

Навигация (только номера заданий)

Информация

маленькая викторина

Результаты

Рубрики

1.

2.

3.

Равномерная сходимость и дифференцирование

Теорема о почленном дифференцировании

Навигация (только номера заданий)

Информация

Результаты

Рубрики

1.

2.

3.

4.