Loading [MathJax]/jax/output/SVG/jax.js

М685. О конгруэнтных подмножествах

Два подмножества множества натуральных чисел назовем конгруэнтными, если одно получается из другого сдвигом на целое число. (Например, множества четных и нечетных чисел конгруэнтны.) Можно ли разбить множество натуральных чисел на бесконечное число (непересекающихся) бесконечных конгруэнтных подмножеств?

Ответ

Предположим, что задача уже решена. Пусть A — то из множеств разбиения, которое содержит единицу. Остальные множествa разбиения получаются из A сдвигами на некоторые натуральные числа, множество которых, дополненное нулем, мы обозначим через B. Пусть для каждого bB множество Ab — результат сдвига множества A на b, то есть множество всех чисел вида a+b, где aA. По условию, если b1b2, то Ab1Ab2= и всякое натуральное число n принадлежит одному из множеств Ab, то есть каждое натуральное число единственным образом представляется в виде суммы n=a+b.

Построение множеств A и B мы осуществим двумя способами.

Первый способ. Пусть множества A и B. обладающие свойством n=a+b построены. Поставим в соответствие каждому натуральному числу n=a+b точку плоскости Oxy с координатами (a;b).

    Пусть M — множество всех полученных точек плоскости. Множество M, очевидно, обладает следующими свойствами:

  1. если A — проекция множества M на ось Ox, а B — проекция M на ось O,y то множество M совпадает со всем множеством пар (a;b).
  2. пересечение множества M с каждой прямой x+y=n состоит из единственной точки: в частности, при n=1 — это точка (1;0).

Ясно, что, построив хотя бы одно множество M обладающее свойствами 1) и 2), мы получим нужное разбиение множества натуральных чисел.

Множество M построим как объединение множеств M0M1M2Mn, которые, в свою очередь, будем строить так:

Пусть M0={(1;0)}. Назовем n-ой диагональю прямую x+y=n. Точка (1;0) попадает на первую диагональ: вычеркнем ее и в дальнейшем, строя множества M1 будем последовательно вычеркивать диагонали, на которые попадают построенные точки.

Сдвинем множество M0 на единицу вправо и положим M1={(1;0),(2;0)} при этом вычеркнем вторую диагональ(Рис.1). Затем сдвинем множество M1 на две единицы вверх и присоединим полученные точки к M1: это будет множество M2: при этом вычеркнем третью и четвертую диагонали.

144
144

Множество M2 сдвинем на четыре единицы вправо — так, чтобы вычеркнуть следующие четыре диагонали: получим множество M3

144
144

Вообще. множество Mk+1 строим так: сдвигаем множество Mk на 2k единиц вправо или вверх — так, чтобы вычеркнуть диагонали с номерами 2k+1,2k+2,2k+1.

Легко видеть, что объединение множеств M0,M1,Mn обладает свойствами 1) и 2).

Второй способ. Как известно всякое натуральное число n представляется в виде n=a02k+a12k1++ak12+ak, где ai равно 0 или 1. причем такое представление единственно. На этом основана двоичная запись числа n: n2=¯a0a1ak1ak

Рассмотрим теперь два множества натуральных чисел: множество A, состоящее из чисел, в двоичной записи которых единица находится в нечетных разрядах, и множество B состоящее из 0 и чисел, в двоичной записи которых единица находится в четных разрядах.

Очевидно, любое натуральное n единственным образом представляется в виде суммы n=a+b.

Множества A и B обладают свойством n=a+b. и поэтому множества Ab дают нужное разбиение.

Сторона и ориентация поверхности. Односторонние и двусторонние поверхности. Край поверхности.

Определим понятие стороны поверхности. Выберем на гладкой поверхности (замкнутой или ограниченной гладким контуром) точку M0 и проведем в ней нормаль к поверхности, выбрав для нее определенное направление (одно из двух возможных). Проведем по поверхности замкнутый контур, начинающийся и заканчивающийся в точке M0. Рассмотрим точку M, обходящую этот контур, и в каждом из ее положений проведем нормаль того направления, в которое непрерывно переходит нормаль из предыдущей точки. Если после обхода контура нормаль вернется в точке M0 в первоначальное положение при любом выборе точки M0 на поверхности, поверхность называется двусторонней. Если же направление нормали после обхода хотя бы одной точки изменится на противоположное, поверхность называется односторонней. Поверхность может быть задана уравнением F(x,y,z)=0, не разрешенным относительно ни одной из переменных (неявное задание). При этом поверхность представляет собой множество всех точек. Например, уравнение x2+y2+z2R2=0 задает сферу радиуса R с центром в начале координат. Наконец, поверхность может быть задана параметрически: x=φ(u,v),y=ψ(u,v),z=χ(u,v),(u,v)g, где ψ,χ,φ− непрерывные функции в области g. Переменные u и v называются параметрами.
На рисунке ниже изображен вектор нормали к поверхности A.
188

Определение

Совокупность всех точек поверхности с одинаковым направлением нормали называется стороной поверхности.

Дальше введем понятие ориентации поверхности. Рассмотрим незамкнутую гладкую двустороннюю поверхность S, ограниченную контуром L, и выберем одну сторону этой поверхности.

Определение

Назовем положительным направление обхода контура L, при котором движение по контуру происходит против часовой стрелки относительно наблюдателя, находящегося в конечной точке нормали к какой-либо точке поверхности S, соответствующей выбранной стороне поверхности. Обратное направление обхода контура назовем отрицательным.

Определение

Спойлер

Список литературы

Небольшая викторина

Равномерная сходимость и интегрирование

Теорема (об интегрировании)

Если последовательность непрерывных на сегменте [a,b] функций s1(x),s2(x),sn(x), сходиться равномерно в этом сегменте к предельной функции S(x), то при любых aαβb limnβαSn(x)dx=βαS(x)dx

Доказательство. Заметим прежде всего, что в наших условиях предельная функция S(x) является непрерывной, и поэтому интеграл βαS(x)dx

имеет смысл.

Ввиду обусловленной равномерной сходимости последовательности к предельной функции S(x) по любому ε<0 найдется такое n0, что при nn0 для любого axb будет выполняться неравенство |S(x)Sn(x)|<εba

поэтому |βαSn(x)dxβαS(x)dx|=|βα(Sn(x)S(x))dx| βα|Sn(x)S(x)dx|<βαεbadx=εβαbaε

Таким образом, по произвольному ε<0 нашлось такое n0, что при nn0 |βαSn(x)dxβαS(x)dx|<ε

а это и означает сходимость.

Теорема (о почленном интегрировании рядов).

Если функциональный ряд u1(x)+u2(x)++un(x)+ сходиться равномерно на некотором сегменте [a,b], и имеет суммой функцию S(x), то функциональный ряд интегралов yαu1(x)dx+yαu2(x)dx++yαun(x)dx+

так же сходится равномерно на этом сегменте и имеет суммой функцию yαS(x)dx

Доказательство. Пусть Sn(x)n-ая частичная сумма ряда. Тогда yαSn(x)dx=yα(u1(x)+u2(x)++unx(x))dx

будет, очевидно, n-ой частной суммой ряда. По условию теоремы последовательность S1(x),S2(x),Sn(x), частичных сумм ряда сходиться на сегменте [a,b] равномерно. Следовательно, на основании теоремы о предельном переходе под знаком интеграла с переменным верхним пределом последовательность интегралов yαS1(x)dx,yαS2(x)dx,,yαSn(x)dx,

так же сходиться и имеет пределом yαS(x)dx

маленькая викторина

Равномерная сходимость и дифференцирование

Теорема о почленном дифференцировании

Если каждая функция fn(x) имеет производную на сегменте [a,b], при чем последовательность производных сходиться равномерно на сегменте [a,b], а сама последовательность {fn(x)} сходиться хотя бы в одной точке x0 сегмента [a,b],то последовательность {fn(x)} сходиться к некоторой предельной функции fn(x) равномерно на сегменте [a,b], причем эту последовательность можно дифференцировать на сегменте [a,b] почленно, т.е. всюду на сегменте [a,b] предельная функция имеет производную f(x) являющуюся предельной функцией последовательности {fn(x)}

Доказательство. Докажем сначала, что последовательность {fn(x)} сходится равномерно на сегменте [a,b]. Из сходимости числовой последовательности {fn(x0)} и из равномерной сходимости {fn(x)} на сегменте [a,b] следует, что для любого ε>0 найдется номер N(ε) такой, что fn+p(x0)fn(x0)∣<ε2,fn+p(x)fn(x)∣<ε2(ba)

для всех nN(ε), всех натуральных p и для всех x из сегмента [a,b] Так как для функции [fn+p(t)fn(t)] при любых фиксированных номерах n и p выполнены на сегменте, ограниченном точками x и x0 все условия теоремы Лагранжа, то между x и x0 найдется такая точка ε такая, что |fn+p(x)fn(x)||fn+p(x0)fn(x0)|=|fn+p(ε)fn(ε)|(xx0)

Из этого равенства и из того, что модуль суммы двух величин не превосходит сумму их модулей, получим |fn+p(x)fn(x)|<ε

Это и означает в силу критерия Коши, что последовательность {fn(x)} сходиться равномерно на сегменте [a,b] к некоторой предельной функции f(x)

Остается доказать, что эта предельная функция в любой фиксированной точке x сегмента [a,b] имеет производную.

Фиксируем произвольную точку x сегмента [a,b] и по ней δ>0 такое, что бы δ-окрестность точки x целиком содержалась в [a,b]

Обозначим символом {Δx} множество всех чисел Δx, удовлетворяющих условию 0<|Δx|<δ, при a<x<b, условию 0<Δx<δ при x=a и условию δ<Δx<0 при x=b и докажем, что последовательность функций аргумента Δx φn(Δx)=fn(x+Δx)fn(x)Δx

сходится равномерно на указанном множестве {Δx}

Для произвольного ε>0 в силу критерия Коши равномерной сходимости последовательности {fn(x)} найдется номер N(ε) такой, что |fn+p(x)fn(x)|<ε

Фиксируем теперь произвольное Δx из множества {Δx} и при любых фиксированных номерах n и p применим к функции [fn+p(t)fn(t)]

по сегменту, ограниченному точками x и (x+Δx), теорему Лагранжа. Согласно этой теореме найдется число Θ из интервала 0<Θ<1 такое, что [fn+p(x+Δx)fn(x+Δx)][fn+p(x)fn(x)]Δx= =fn+p(x+ΘΔx)fn(x+ΘΔx)

Последнее равенство можно переписать в виде φn+p(Δx)φn(Δx)=fn+p(x+ΘΔx)fn(x+ΘΔx)

Из этого равенства заключаем, что |φn+p(Δx)φn(Δx)|<ε

В силу критерия Коши последовательность {φn(Δx)} сходится равномерно на множестве {Δx}. Но тогда к этой последовательности можно применить теорему о почленном предельном переходе в точке Δx=0. Согласно этой теореме функция f(x+Δx)f(x)Δx

являющаяся предельной функцией последовательности имеет предел в точке Δx=0, причем этот предел можно вычислять почленно, т.е. limΔx0f(x+Δx)f(x)Δx=limΔx0[limnφn(Δx)]= =limn[limΔx0φn(Δx)]=limn[limΔx0fn(x+Δx)fn(x)Δx]=limnfn(x)

Это и доказывает, что производная предельной функции f(x) в точке x существует и равна limnfn(x). Теорема доказана.

    Список литературы:

  • В. А. Ильина и Э. Г. Позняка «Основы математического анализа»
  • Функциональный ряд на момент 17.06.2016
  • маленькая викторина