Равномерная сходимость и интегрирование

Теорема (об интегрировании)

Если последовательность непрерывных на сегменте [latex]\left [ a,b \right ][/latex] функций [latex]s_{1}(x), s_{2}(x),…s_{n}(x),…[/latex] сходиться равномерно в этом сегменте к предельной функции [latex]S(x)[/latex], то при любых [latex]a\leq \alpha \leq \beta \leq b[/latex] $$\lim_{n\rightarrow \infty }\int_{\alpha }^{\beta }S_{n}(x)dx = \int_{\alpha }^{\beta }S(x)dx$$

Доказательство. Заметим прежде всего, что в наших условиях предельная функция [latex]S(x)[/latex] является непрерывной, и поэтому интеграл $$ \int_{\alpha }^{\beta }S(x)dx$$

имеет смысл.

Ввиду обусловленной равномерной сходимости последовательности к предельной функции [latex]S(x)[/latex] по любому [latex]\varepsilon < 0[/latex] найдется такое [latex]n_{0}[/latex], что при [latex]n\geq n_{0}[/latex] для любого [latex]a\leq x\leq b[/latex] будет выполняться неравенство $$\left | S(x) — S_{n}(x) \right |< \frac{\varepsilon }{b-a}$$

поэтому $$\left | \int_{\alpha }^{\beta }S_{n}(x)dx — \int_{\alpha }^{\beta }S(x)dx \right | = \left | \int_{\alpha }^{\beta }(S_{n}(x)-S(x))dx \right | \leq $$ $$\leq \int_{\alpha }^{\beta }\left | S_{n}(x) — S(x)dx \right |< \int_{\alpha }^{\beta }\frac{\varepsilon }{b-a}dx = \varepsilon \frac{\beta - \alpha }{b-a} \leq \varepsilon $$

Таким образом, по произвольному [latex]\varepsilon < 0[/latex] нашлось такое [latex]n_{0}[/latex], что при [latex]n\geq n_{0}[/latex] $$\left | \int_{\alpha }^{\beta }S_{n}(x)dx — \int_{\alpha }^{\beta }S(x)dx \right | < \varepsilon $$

а это и означает сходимость.

Теорема (о почленном интегрировании рядов).

Если функциональный ряд [latex]u_{1}(x) + u_{2}(x) + … + u_{n}(x) +…[/latex] сходиться равномерно на некотором сегменте [latex]\left [ a,b \right ][/latex], и имеет суммой функцию [latex]S(x)[/latex], то функциональный ряд интегралов $$\int_{\alpha }^{y }u_{1}(x)dx + \int_{\alpha }^{y }u_{2}(x)dx + … +\int_{\alpha }^{y }u_{n}(x)dx + …$$

так же сходится равномерно на этом сегменте и имеет суммой функцию $$\int_{\alpha }^{y}S(x)dx$$

Доказательство. Пусть [latex]S_{n}(x) — n[/latex]-ая частичная сумма ряда. Тогда $$\int_{\alpha }^{y}S_{n}(x)dx = \int_{\alpha }^{y}(u_{1}(x)+u_{2}(x)+…+u_n{x}(x))dx$$

будет, очевидно, [latex]n[/latex]-ой частной суммой ряда. По условию теоремы последовательность [latex]S_{1}(x), S_{2}(x),…S_{n}(x),…[/latex] частичных сумм ряда сходиться на сегменте [latex]\left [ a,b \right ][/latex] равномерно. Следовательно, на основании теоремы о предельном переходе под знаком интеграла с переменным верхним пределом последовательность интегралов $$\int_{\alpha }^{y}S_{1}(x)dx, \int_{\alpha }^{y}S_{2}(x)dx, … ,\int_{\alpha }^{y}S_{n}(x)dx, …$$

так же сходиться и имеет пределом $$\int_{\alpha }^{y}S(x)dx$$

маленькая викторина

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *