Линейные оболочки и подпространства. Критерий подпространства

Выберем в линейном пространстве K, заданном над полем P, конечное число векторов \vec{e_{1}}, \vec{e_{2}}, ..., \vec{e_{n}}.

Определение

Вектор вида \alpha_{1} \vec{e_{1}}+\alpha_{2}\vec{e_{2}}+...+\alpha_{n}\vec{e_{n}} называется линейной комбинацией векторов \vec{e_{1}}, \vec{e_{2}}, ..., \vec{e_{n}}, где \alpha_{1}, \alpha_{2}, ..., \alpha_{n} \in P.

Определение

Множество всех линейный комбинаций векторов \vec{e_{1}}, \vec{e_{2}}, ..., \vec{e_{n}} называется линейной оболочкой.

Определение

Если непустое подмножество F пространства K само является линейным пространством относительно операций сложения и умножения векторов на скаляр (число), определенных в K, то F называется линейным подпространством (обозначается F \le K).

Теорема (критерий подпространства)

F является линейным подпространством K, если выполняются такие условия:

  1. Если векторы \vec{a} и \vec{b} принадлежат F, то \vec{a} + \vec{b} тоже принадлежат F.
    \forall \vec{a}, \vec{b} \in F: \vec{a} + \vec{b} \in F.
  2. Если вектор \vec{a} принадлежит F, то и \alpha\vec{a} тоже принадлежит F.
    \forall \vec{a} \in F, \forall \alpha \in P: \alpha \vec{a} \in F
Спойлер

Если F линейное подпространство K, значит F — линейное пространство, соответственно оно замкнуто относительно умножения и сложения векторов на скаляры.

Докажем теперь в обратную сторону. \vec{a} \in F. По второму свойству 0\cdot \vec{a}=\vec 0 принадлежит F. Так же по второму свойству любой вектор из F содержит в F противоположный себе вектор -1 \cdot \vec{a}=- \vec{a}. Выходит - \vec{a} + \vec{a}= \vec 0 \in F

[свернуть]

 

Спойлер

\left \{ 0 \right \} — подпространство любого пространства F

f_{n}[x] — подпространство f_{m}[x], если n\le m

[свернуть]
Спойлер

Условие

Является ли линейным подпространством соответствующего векторного пространства следующая совокупность векторов:

все векторы n-мерного векторного пространства, координаты которых целые числа?

Решение

X=\mathbb{R}_{n}

L\subset X

L=\left \{ (x_{1}, x_{2}, ..., x_{n}) | x_{i}\in \mathbb{Z}, i=\overline{1, n}\right \}

\forall \vec{x}, \vec{y} \in L, \forall \alpha, \beta \in \mathbb{R}:

\alpha \vec{x} + \beta \vec{y} \overset{?}{\in L}

Возьмем \alpha=\frac{1}{2} и \beta=1

\vec{x}=(1, 1, ..., 1)\vec{y}=(-1, -1, ..., -1)

\alpha \vec{x} + \beta \vec{y}= (\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, ..., \frac{1}{2})+ (-1, -1, ..., -1)= (-\frac{1}{2}, -\frac{1}{2}, ..., -\frac{1}{2})\notin L \Rightarrow L \not\le X

[свернуть]

Тест

Линейные оболочки и подпространства. Критерий подпространства

Таблица лучших: Линейные пространства

максимум из 10 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных

Источники

Г. С. Белозеров. Конспект лекций по линейной алгебре.

В. В. Воеводин. Линейная алгебра. Издание второе, переработанное и дополненное. Москва «НАУКА» 1980. (стр. 42-43)

А. Г. Курош. Курс высшей алгебры. Издание десятое. Стереотипное. Москва «НАУКА» 1971. (стр. 201-202)

И. В. Проскуряков.  Сборник задач по линейной алгебре. Издание шестое. Стереотипное. Москва «Наука», 1984. (стр. 168-170)

Подгруппы. Критерий подгруппы

Определение

Подмножество H группы G называется подгруппой этой группы (обозначают H \le G), если оно само является группой относительно сужения операции, определенной в группе G.

Теорема (Критерий подгруппы)

Непустое подмножество H группы G будет подгруппой тогда и только тогда, когда h_{1}h_{2}\in H и h_{1}^{-1}\in H для всех h_{1},h_{2} \in H

Обозначается

<G, \ast>группа.

H \subseteq G

H \le G \Leftrightarrow (\forall h_{1}, h_{2}\in H)[h_{1}\ast h_{2}^{-1}\in H]

Спойлер

Пусть H — подгруппа группы G, т. е. Hгруппа  относительно сужения операции, определенной в группе G. Определена алгебраическая операция в H, поэтому h_{1}h_{2}\in H для всех h_{1},h_{2}\in H.

Проверим что единица e_{1} подгруппы H совпадает с единицей e группы G. Ясно, что e_{1}e= ee_{1}= e_{1}, т. к. e_{1} — элемент из G.  В группе G для e_{1} имеется обратный элемент e_{1}^{-1}, то есть e_{1}^{-1}e_{1}= e_{1}e_{1}^{-1}= e. Так как e_{1} — единица в H, то e_{1}e_{1}=e . Умножив обе части последнего равенства  на e_{1}^{-1}, получим: e_{1}^{-1}e_{1}e_{1}= e_{1}^{-1}e_{1} или ee_{1}=e, поэтому e_{1}=e. Таким образом, единицы подгруппы H и группы G совпадают.

Так как H подгруппа, то для каждого h\in H существует в подгруппе H обратный элемент h^{-1}, то есть такой элемент, что h^{-1}h= hh^{-1}= e_{1}= e. Это означает, что h^{-1} является обратным элементом в группе G для элемента h\in H.

Обратно, пусть h_{1}h_{2} и h_{1}^{-1}\in H для всех h_{1}, h_{2}\in H. Тогда алгебраическая операция определенна на H. Она ассоциативна в H, так как ассоциативность справедлива для всех элементов из G. Элемент h^{-1} обратный h \in H также принадлежит H, поэтому h^{-1}h \in H и hh^{-1}. Поскольку h^{-1}h= e= hh^{-1}, то e \in H и H — группа.

[свернуть]

 

Спойлер

<\mathbb{Z}, +>группа,

3\mathbb{Z} \subseteq \mathbb{Z},

Z

3\mathbb{Z} \overset{?}{\le} \mathbb{Z},

 a,b \in 3\mathbb{Z} \Rightarrow a=3m_{1} \wedge b=3m_{2},

-b=-(3m_{2}),

a+(-b)= 3m_{1}+(-3m_{2})= 3m_{1}-3m_{2}=  3(m_{1}-m_{2})= 3m_{3}\in 3\mathbb{Z},

3\mathbb{Z} \le \mathbb{Z}

[свернуть]

Тест

Подгруппы. Критерий подгруппы.

Таблица лучших: Подгруппа

максимум из 10 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных

Источник

Г. С. Белозеров. Конспект лекций по линейной алгебре.

В. С. Монахов. Учебное пособие «Введение в теорию конечных групп и их классов». Гомель 2003 (стр. 20-21)

А. Г. Курош. Курс высшей алгебры. Издание десятое. Стереотипное. Москва «Наука» 1971. (стр. 398-399)

И. В. Проскуряков.  Сборник задач по линейной алгебре. Издание шестое. Стереотипное. Москва «Наука», 1984. (стр. 218-220)

Равномерная непрерывность функции. Теорема Кантора

Определение

Функция f определенна на множестве X\subset R^{n} называется равномерно непрерывной на X, если \forall\varepsilon > 0, \exists\delta = \delta(\varepsilon) > 0, что для любых двух точек x, y \in X, удовлетворяющих условию \rho(x, y) < \delta, выполняется неравенство |f(x)-f(y)|<\varepsilon.

Теорема Кантора

Если функция f определенна и непрерывна на компактном множестве, то она равномерно непрерывна на этом множестве.

Спойлер

Пусть функция f определена и непрерывна на компактном множестве M\subset R^{n}.

\forall x_{0} \in M, \forall \varepsilon' > 0, \exists \delta' = \delta'(x_{0}, \varepsilon')>0

такое, что если x\in M, то\rho(x_{0}, x)<\delta', то |f(x_{0})-f(x)|<\varepsilon'. Выберем произвольное \varepsilon>0 и положим \varepsilon'=\frac{\varepsilon}{2}. Построим для каждой точки x_{0}\in M окрестность

U(x_{0}, \frac{\delta'}{2})= U(x_{0}, \frac{\delta'(x_{0}, \varepsilon')}{2})

Объединение таких окрестностей покрывает множество K. Поскольку K — компактное множества, то из построенного открытого покрытия можно выделить конечное подпокрытие \left \{U(x_{k}, \frac{\delta'_{k}}{2})\right \}_{k=1}^{m} такое, что

K \subset \underset{k=1}{\overset{m}{\bigcup}}U(x_{k}, \frac{\delta'_{k}}{2}).

Положим \delta= min(\frac{\delta'_{1}}{2}, ... , \frac{\delta'_{m}}{2}). Возьмем произвольные точки x, y \in M, для которых \rho<\delta. Поскольку M покрывается системой \left \{U(x_{k}, \frac{\delta'_{k}}{2})\right \}_{k=1}^{m}, то найдется такой номер k_{0}, что x\in U(x_{k_{0}}, \frac{\delta'_{k_{0}}}{2}). Тогда \rho(x_{k_{0}}, x)< \frac{\delta'_{k_{0}}}{2} и \rho(x_{k_{0}}, y) \le \rho(x_{k_{0}}, x) + \rho(x_{k_{0}}, y)< \frac{\delta'_{k_{0}}}{2}+\delta< \delta'_{k_{0}}. Следовательно

|f(x)-f(y)|\le |f(x)-f(x_{k_{0}})| +  |f(x_{k_{0}})-f(y)|< \varepsilon'+ \varepsilon' = \varepsilon

[свернуть]

Тест

Тест по теме: «Равномерная непрерывность функции. Теорема Кантора»

Таблица лучших: Равномерная непрерывность функции. Теорема Кантора

максимум из 8 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных

Источники

Г.М. Фихтенгольц  Курс дифференциального интегрального исчисления т.1 (стр. 370-371)

Г. М. Вартанян. Конспект лекцiй з математичного аналiзу. Одеса 2009 (стр. 11-12).

 

Второй замечательный предел. Следствия

Вторым замечательным пределом называется равенство

\lim_{x\rightarrow 0}\limits (1+x)^{\frac{1}{x}}=e.

Замечательный предел

Спойлер

Будем использовать определение предела по Гейне. Пусть \left \{x_n\right\}_{n=1}^{\infty} — некоторая числовая последовательность со свойством

x_n>0 \forall n\in \mathbb{N}

 \lim_{x\rightarrow 0}\limits x_n = 0.

Согласно принципу Архимеда \forall n \in \mathbb{N} \: \: \exists m_n \in \mathbb{N}, что m_n\leqslant \frac{1}{x_n}<m_n+1. Тогда

(1+\frac{1}{m_n+1})^{m_n}\leqslant(1+x_n)^{\frac{1}{x_n}}\leqslant(1+\frac{1}{m_n})^{m_n+1}.

Поскольку \lim_{n \rightarrow \infty}\limits (1+\frac{1}{n})^{n}=e, то

\lim_{n \rightarrow \infty}\limits (1+\frac{1}{m_n+1})^{m_n}=\lim_{n \rightarrow \infty}\limits (1+\frac{1}{m_n+1})^{m_n+1}\cdot (1+\frac{1}{m_n+1})^{-1}=e \lim_{n \rightarrow \infty}\limits (1+\frac{1}{m_n})^{m_n+1}=\lim_{n \rightarrow \infty}\limits (1+\frac{1}{m_n})^{m_n} \cdot (1+\frac{1}{m_n})=e.

Отсюда, по теореме о трёх последовательностях, имеем

\lim_{n \rightarrow \infty}\limits(1+x_n)^{\frac{1}{x_n}}=e.

Дальше, пусть \left \{x_n\right\}_{n=1}^{\infty} — числовая последовательность со свойством

-1<x_n<0\forall n \in \mathbb{N}

 \lim_{n \rightarrow \infty}\limits (x_n)=0.

Для этой последовательности, имеем

(1+x_n)^{\frac{1}{x_n}}=(1+x_n)^{\frac{-1}{-x_n}}=\frac{1}{(1+x_n)^{-\frac{1}{x_n}}}.

Обозначим

{z}_{n}=-\frac{{x}_{n}}{1+{x}_{n}}.

Тогда {z}_{n}>0 и

\frac{1}{{(1+{x}_{n})^{-\frac{1}{{x}_{n}}}}}= (1-\frac{{x}_{n}}{1+{x}_{n}})^{-\frac{1}{{x}_{n}} \cdot \frac{1+{x}_{n}}{1+{x}_{n}}}= (1+{z}_{n})^{\frac{{z}_{n}+1}{{z}_{n}}}= (1+{z}_{n})^{1+\frac{1}{{z}_{n}}}= (1+{z}_{n})^{\frac{1}{{z}_{n}}} \cdot (1+{z}_{n}).

Таким образом, учитывая первую часть доказательства, получаем

\lim_{n \rightarrow \infty}\limits(1+x_n)^{\frac{1}{x_n}}=e.

Объединяя эти два случая имеем:

\lim_{n \rightarrow \infty}\limits(1+x)^{\frac{1}{x}}=e.

[свернуть]

Спойлер

  1. \lim_{x \rightarrow 0}\limits\frac{ln(1+x)}{x}=1,
  2. \lim_{x \rightarrow 0}\limits\frac{a^{x}-1}{x}=\ln a latex](a>0)[/latex],
  3. \lim_{x \rightarrow 0}\limits\frac{(1+x)^{a}-1}{x}=a.

[свернуть]

Рассмотрим 2 примера.

Спойлер

Найдем предел \lim_{x \rightarrow\infty}\limits(1+\frac{t}{x})^{x}.

Здесь параметр t\in\mathbb{R} — фиксированное число. При вычислении предела он будет рассматриваться как постоянная. Сделаем замену a=\frac{t}{x}, тогда a\overset{x\rightarrow\infty}{\rightarrow}0 и x=\frac{t}{a}. Поскольку показательная функция непрерывна, то можно перейти к пределу под знаком этой функции. Поэтому

\lim_{x \rightarrow\infty}\limits(1+\frac{t}{x})^{x}= \lim_{a \rightarrow0}\limits(1+a)^{\frac{1}{a}\cdot t}= (\lim_{a \rightarrow0}\limits(1+a)^{\frac{1}{a}})^{t}= e^{t}

[свернуть]
Спойлер

Найдем предел \lim_{x \rightarrow\infty}\limits(\frac{x+1}{x+3})^{2x+1}

\lim\limits_{x \rightarrow\infty}(\frac{x+1}{x+3})^{2x+1}= \lim\limits_{x \rightarrow\infty}(1-\frac{2}{x+3})^{(-\frac{x+3}{2}) \cdot (-\frac{2}{x+3})\cdot(2x+1)}= \lim\limits_{x \rightarrow\infty}e^{-\frac{4x+2}{x+3}}= e^{-4}= \frac{1}{e^{4}}

[свернуть]

Тест

Замечательный предел

Таблица лучших: Замечательный предел

максимум из 6 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных

Источники

Г. М. Вартанян. Конспект лекцiй з математичного аналiзу. Одеса 2009 (стр. 26-27).

Б. П. Демидович. Cборник задач и упражнений по математическому анализу (стр 60-63).