\usepackage{amsmath}

Запишем определение показательной функции комплексной переменной: $$e^{a+i\varphi}=e^a(\cos\varphi + i\sin\varphi);$$ при $a=0$, формула принимает следующий вид: $$e^{i\varphi}=\cos\varphi + i\sin\varphi \quad — формула\:Эйлера.$$

Разложим $e^{i\varphi}$ в ряд Тейлора в окрестности точки $0$(ряд Маклорена): $$e^{i\varphi} = 1 + \frac{i\varphi}{1!} + \frac{(i\varphi)^2}{2!} + \frac{(i\varphi)^3}{3!} + \ldots \quad .$$ Зная, что $$i^1 = i, \quad i^2 = -1, \quad i^3 = -i, \quad i^4 = 1,$$ перепишем наш ряд: $$e^{i\varphi} = 1 + \frac{i\varphi}{1!} -\frac{\varphi^2}{2!} -\frac{i\varphi^3}{3!} + \frac{\varphi^4}{4!} + \frac{i\varphi^5}{5!} \ldots \quad .$$ Сгруппируем. Сначала запишем все чётные степени $\varphi$ и единицу, а затем все нечетные степени, из которых, предварительно, вынесем мнимую единицу $i$ за скобку. Таким образом, у нас получается: $$e^{i\varphi} = \underbrace{\left( 1 -\frac{\varphi^2}{2!} + \frac{\varphi^4}{4!} -\frac{\varphi^6}{6!} + \ldots \right)}_{\cos\varphi} + i \underbrace{\left( \frac{\varphi}{1!} -\frac{\varphi^3}{3!} + \frac{\varphi^5}{5!} -\frac{\varphi^7}{7!} + \ldots \right)}_{\sin\varphi}$$ Заметим, что первая скобка соответствует разложению функции $\cos\varphi,$ а вторая — $\sin\varphi$. В конечном итоге, имеем: $$e^{i\varphi}=\cos\varphi + i\sin\varphi.$$ Что и требовалось доказать.

Из данной формулы можно выразить $\cos\varphi \;и\; \sin\varphi$. Для этого запишем саму формулу Эйлера, а так же формулу Эйлера от переменной $(-\varphi)$. Получаем систему:
$$\begin{equation*} \begin{cases} \cos\varphi + i \sin\varphi = e^{i \varphi} \\ \cos\varphi -i \sin\varphi = e^{-i \varphi} \end{cases} \end{equation*}$$ Складываем и вычитаем данные выражения. В конечном итоге, имеем: $$\cos\varphi = \frac{e^{i\varphi} + e^{-i\varphi}}{2};$$ $$\sin\varphi = \frac{e^{i\varphi} -e^{-i\varphi}}{2i};$$ Эти две формулы так же носят название «формулы Эйлера».

Заметим, что $\cos\varphi + i\sin\varphi = e^{i\varphi}$.

Существует частный случай формулы Эйлера $(при \: \varphi = \pi)$. $$e^{i\pi} = \underbrace{\cos\pi}_{-1} + \underbrace{i\sin\pi}_{0}.$$ Перенесём $(-1)$ в левую часть с противоположным знаком и получим: $$e^{i\pi} + 1 =0.$$ Её называют самой красивой формулой в математике, так как в ней присутствуют самые важные постоянные из разных её областей. Таким образом, $0 \; и\; 1$ относятся к арифметике, $i$ (мнимая единица) — к алгебре, $\pi$ — к геометрии, $e$ — к математическому анализу.