Ф1349. Об упругих ударах, периоде малых колебаний

Задача из журнала «Квант» (1992 год, 5 выпуск)

Условие

На гладкий вертикальный стержень насажены тяжелая шайба массой $M$ и легкая шайба массой $m = \frac{M}{1000}$. Легкой шайбе сообщают скорость, равную $v$ и направленную так, как показано на рисунке. На какой высоте над подставкой может находится тяжелая шайба, не смещаясь заметно вверх или вниз? Каким будет период малых колебаний такого «поршня», если его сместить из этого равновесного положения? Все удары считать абсолютно упругими.

Решение

Понятно, что тяжелая шайба (тело) удерживается на некоторой высоте $H$ благодаря тому, что между ней и горизонтальной плоскостью «прыгает» легкая шайба (частица). В равновесном состоянии должно выполнятся условие $$Mg = 2mv\nu \approx 2mv \frac{v}{2H} = \frac{mv^2}{H},$$ где $\nu = \frac{v}{2H}$ — число ударов в секунду шайб друг о друга. Отсюда получаем $$H = \frac{mv^2}{Mg}.$$

Рассмотрим теперь случай, когда наш «поршень» смещен из равновесного положения. Пусть в некоторый момент тело движется вниз со скоростью $V \ll v$. Тогда после каждого удара частица увеличивает свою скорость на $2V$. Таким образом, за время $t$ тело, пройдя путь $Vt$, совершит работу $$A = \frac{1}{2}m(v + 2\nu Vt)^2 — \frac{1}{2}mv^2 \approx 2mv\nu Vt,$$ приводящую к тому, что скорость частицы теперь равна $v + 2\nu Vt$, а действующая на «поршень» сила — $$F = \frac{m}{H}(v + 2\nu Vt)^2 \approx Mg(1 + \frac{2Vt}{H}).$$ Для малых колебаний справедливо равенство $$F = — kx.$$ В нашем случае $$x = Vt \quad и \quad k = \frac{2Mg}{H},$$ откуда для периода колебаний получаем $$T = 2\pi \sqrt\frac{M}{k} = 2\pi\sqrt\frac{H}{2g} = 2\pi\frac{v}{g}\sqrt\frac{m}{2M}.$$

А.Андрианов, М.Цыпин

Ф1349. Об упругих ударах, периоде малых колебаний: 2 комментария

    1. Вы согласны, что рисунок сильно не похож?
      Точку в конце названия не ставят.
      Разметка в которой абзацы вставляются в другие абзацы или предложение состоит из нескольких абзацев недопустимы.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *