Если [latex]\lim_{x\rightarrow a }f(x)=0[/latex], то функция [latex]f(x)[/latex] называется бесконечно малой при [latex]x\rightarrow a[/latex].

Свойства

1. Сумма (разность) конечного числа бесконечно малых функций при [latex]x\rightarrow a[/latex] есть бесконечно малая функция при [latex]x\rightarrow a[/latex]

Доказательство
Пусть [latex]f_{1}(x),f_{2}(x),..,f_{n}(x)[/latex] бесконечно малые функции при [latex]x\rightarrow a[/latex]. Тогда существуют числа [latex]\delta _{1},\delta _{2},..,\delta _{n}[/latex] и число [latex]\varepsilon >0[/latex] такие что
[latex]|x-a|<\delta _{1},|x-a|<\delta _{2},..,|x-a|<\delta _{n}[/latex] (1)
что влечет за собой условия
[latex]|f_{1}(x)|<\frac{\varepsilon }{n},|f_{2}(x)|<\frac{\varepsilon }{n},..,|f_{n}(x)|<\frac{\varepsilon }{n}[/latex] (2).
Если [latex]\delta =\min\begin{Bmatrix}\delta _{1};\delta _{2};..;\delta _{n}\end{Bmatrix}[/latex], то условие [latex]|x-a|<\delta [/latex] усиливает группу условий (1) что влечет за собой группу условий (2). Следовательно
[latex]\\|f_{1}(x)+f_{2}(x)+..+f_{n}(x)|\leqslant |f_{1}(x)|+|f_{2}(x)|+..+|f_{n}(x)|\\|f_{1}(x)|+|f_{2}(x)|+..+|f_{n}(x)|<\sum_{1}^{n}\frac{\varepsilon }{n}=\varepsilon\\|f_{1}(x)+f_{2}(x)+..+f_{n}(x)|<\varepsilon [/latex]

2. Произведение бесконечно малой функции [latex]f(x)[/latex] на ограниченную [latex]g(x)[/latex] в некоторой проколотой окрестности точки [latex]a[/latex] есть бесконечно малая функция при [latex]x\rightarrow a[/latex]

Доказательство
Так как функция [latex]g(x)[/latex] ограничена, то для [latex]x[/latex] удовлетворяющих условию
[latex]|x-a|<\delta _{1}[/latex] (1)
существует число
[latex]C:|g(x)|<C[/latex] (2)
Так как функция [latex]f(x)[/latex] бесконечно малая, то существует некоторая окрестность [latex]\delta _{2}[/latex] и число
[latex]\varepsilon >0[/latex] для которых выполняются условия
[latex]|x-a|<\delta _{2}[/latex] (3)
и
[latex]|f(x)|<\frac{\varepsilon}{C}[/latex] (4)
Выберем [latex]\delta=\min\begin{Bmatrix}\delta _{1};\delta _{2}\end{Bmatrix}[/latex]. Тогда условие [latex]|x-a|<\delta [/latex] более сильное чем (1) и (3) и поэтому оно влечет за собой условия (2) и (4).
Следовательно [latex]|f(x)g(x)|=|f(x)||g(x)|<\frac{\varepsilon }{C}C =\varepsilon [/latex]

3. Произведение конечного числа бесконечно малых функций при [latex]x\rightarrow a[/latex] есть бесконечно малая функция при [latex]x\rightarrow a[/latex]

Доказательство
Так как любая бесконечно малая функция [latex]f(x)[/latex] при [latex]x\rightarrow a[/latex] будет ограничена в некоторой [latex]\delta [/latex] окрестности точки [latex]a[/latex], то доказательство сводится к доказательству свойства 2.

Литература

1. Тер-Киркоров А.М., Шабунин М.И., Курс математического анализа, физмат-лит, 2001. стр. 83

Следующая тема →

Свойства пределов, связанные с алгебраическими операциями

Если функции [latex]f(x)[/latex] и [latex]g(x)[/latex] имеют конечные пределы в точке [latex]a[/latex], причем [latex]\lim_{x\rightarrow a}f(x)=A[/latex] и [latex]\lim_{x\rightarrow a}g(x)=B[/latex] то:

1. [latex]\lim_{x\rightarrow a}(f(x)+g(x))=A+B[/latex]

Доказательство
Так как функции [latex]f(x)[/latex] и [latex]g(x)[/latex] имеют предел в точке [latex]a[/latex], то при [latex]x\rightarrow a[/latex] величины [latex]h_{f}(x)=A-f(x)[/latex] и [latex]h_{g}(x)=B-g(x)[/latex] будут бесконечно малыми. Отсюда, согласно свойствам бесконечно малых [latex]h_{f}+h_{g}=(A+B)-(f(x)+g(x))[/latex] также будет бесконечно малой величиной. Что в свою очередь означает, что [latex]\lim_{x\rightarrow a}(f(x)+g(x))=A+B[/latex]

2. [latex]\lim_{x\rightarrow a}(f(x)g(x))=AB[/latex]

Доказательство
Так как функции [latex]f(x)[/latex] и [latex]g(x)[/latex] имеют предел в точке [latex]a[/latex], то при [latex]x\rightarrow a[/latex] величины [latex]h_{f}(x)=A-f(x)[/latex] и [latex]h_{g}(x)=B-g(x)[/latex] будут бесконечно малыми. Поэтому [latex]g(x)=A-h_{f}(x)[/latex] и [latex]g(x)=B-h_{g}(x)[/latex]. Отсюда
[latex]\\f(x)g(x)=(A-h_{f})(B-h_{g})\\f(x)g(x)=AB-Ah_{g}-Bh_{f}+h_{f}h_{g}\\AB-f(x)g(x)=Ah_{g}+Bh_{f}-h_{f}h_{g}[/latex]
Согласно свойствам бесконечно малых, величина в правой части — бесконечно малая. Что в свою очередь означает, что [latex]\lim_{x\rightarrow a}(f(x)g(x))=AB[/latex]

3. [latex]\lim_{x\rightarrow a}(\frac{f(x)}{g(x)})=\frac{A}{B}[/latex], причем [latex]B\neq 0[/latex]

Доказательство
Условие [latex]\lim_{x\rightarrow a}(\frac{f(x)}{g(x)})=\frac{A}{B}[/latex] эквивалентно тому, что разность [latex]\frac{A}{B}-\frac{f(x)}{g(x)}[/latex]
бесконечно малая величина при [latex]x\rightarrow a[/latex]. Покажем, что это утверждение имеет место. Приведем к общему знаменателю, получим [latex]\frac{Ag(x)-Bf(x)}{Bg(x)}[/latex]. Рассмотрим предел числителя дроби.
[latex]\\\lim_{x\rightarrow a}(Ag(x)-Bf(x))\\A\lim_{x\rightarrow a}g(x)-B\lim_{x\rightarrow a}f(x)\\AB-BA=0\: \Rightarrow \frac{A}{B}-\frac{f(x)}{g(x)}=0[/latex]
Что в свою очередь означает, что [latex]\lim_{x\rightarrow a}(\frac{f(x)}{g(x)})=\frac{A}{B}[/latex]

Свойства пределов, связанные с неравенствами

1. Теорема о двух милиционерах

Если [latex]\exists \delta > 0:\forall x\in \dot{U}_{\delta }(a)[/latex] выполняются неравенства [latex]g(x)\leqslant f(x)\leqslant h(x)[/latex] и если [latex]\lim_{x\rightarrow a}g(x)= \lim_{x\rightarrow a}h(x)=A[/latex] то [latex]\exists \lim_{x\rightarrow a}f(x)=A[/latex].
Доказательство
Воспользуемся определением предела по Гейне. Пусть [latex]\begin{Bmatrix}x_{n}\end{Bmatrix}[/latex] — последовательность из [latex]\dot{U}_{\delta }(a)[/latex], причем [latex]\lim_{x\rightarrow \infty }x_{n}=a[/latex]. Тогда выполняются условия [latex]g(x_{n})\leqslant f(x_{n})\leqslant h(x_{n})[/latex] и [latex]\lim_{n\rightarrow \infty}g(x_{n})= \lim_{n\rightarrow \infty}h(x_{n})=A[/latex]. Тогда в силу свойств пределов последовательностей [latex]\lim _{n\rightarrow \infty }f(x_{n})=A[/latex]. Следовательно [latex]\lim _{x\rightarrow a }f(x)=A[/latex].
Теорему можно проиллюстрировать следующим графиком:


2. Если [latex]\exists\delta >0:\forall x\in \dot{U}_{\delta }(a)[/latex] выполняется неравенство [latex]f(x)\leqslant g(x)[/latex] и если[latex]\lim_{x\rightarrow a}f(x)=A[/latex], [latex]\lim_{x\rightarrow a}g(x)=B[/latex], то [latex]A\leqslant B[/latex].

Доказательство
Воспользуемся определением предела по Гейне. Пусть [latex]\begin{Bmatrix}x_{n}\end{Bmatrix}[/latex] — последовательность из [latex]\dot{U}_{\delta }(a)[/latex], тогда числа [latex]A[/latex] и [latex]B[/latex] будут пределами последовательности [latex]\begin{Bmatrix}x_{n}\end{Bmatrix}_{1}^{\infty }[/latex] т.е. [latex]\lim_{n\rightarrow \infty }f(x_{n})=A[/latex] и [latex]\lim_{n\rightarrow \infty }g(x_{n})=B[/latex] Тогда в силу свойств пределов последовательностей [latex]A\leqslant B[/latex].

Литература

1. Тер-Киркоров А.М., Шабунин М.И., Курс математического анализа, физмат-лит, 2001. стр. 81-84

Следующая тема →

Бесконечные пределы в конечной точке

Проколотой окрестностью точки [latex]a[/latex] называется:

[latex]\dot{U}_{\delta }(a)=(a-\delta ;a)\cup (a;a+\delta ).[/latex]

Пусть функция [latex]f(x)[/latex] определена в некоторой проколотой окрестности точки [latex]a.[/latex] Говорят, что [latex]f(x)[/latex] имеет бесконечный предел в этой точке [latex](\lim\limits_{x\rightarrow a}f(x)= \infty),[/latex] если:

[latex]\forall \varepsilon >0 \: \exists \delta>0 :\forall x\in\dot{U}_{\delta }(a):\: |f(x)|>\varepsilon.[/latex]

В этом случае функцию называют бесконечно большой при [latex]x\rightarrow a.[/latex] Данный общий случай можно разделить на два частных:

[latex]\lim\limits_{x\rightarrow a}f(x)= +\infty\Leftrightarrow \forall \varepsilon >0 \: \exists \delta>0 :\forall x\in\dot{U}_{\delta }(a):\: f(x)>\varepsilon[/latex]

и, соответственно

[latex]\lim\limits_{x\rightarrow a}f(x)= -\infty \Leftrightarrow \forall \varepsilon >0 \: \exists \delta>0 :\forall x\in\dot{U}_{\delta }(a):\: f(x)<-\varepsilon.[/latex]

Пример 1

Дана функция [latex]f(x)=\frac{1}{x}:[/latex]

Найти предел при [latex]x\rightarrow 0.[/latex]

Пределы на бесконечности

Число [latex]A[/latex] называют пределом функции [latex]f(x)[/latex] на бесконечности [latex](\lim\limits_{x\rightarrow \infty }f(x)=A),[/latex] если

[latex]\forall \varepsilon >0\: \exists \delta _{\varepsilon }>0:\forall |x|>\delta _{\varepsilon }:\: |f(x)-A|<\varepsilon.[/latex]

Отсюда, очевидно, следуют определения предела на [latex]+\infty:[/latex]

[latex]\lim\limits_{x\rightarrow +\infty }f(x)=A\Leftrightarrow \forall \varepsilon >0\: \exists \delta _{\varepsilon }>0:\forall x >\delta _{\varepsilon }:\: |f(x)-A|<\varepsilon[/latex]

и на [latex]-\infty:[/latex]

[latex]\lim\limits_{x\rightarrow -\infty }f(x)=A\Leftrightarrow \forall \varepsilon >0\: \exists \delta _{\varepsilon }>0:\forall x<-\delta _{\varepsilon }:\: |f(x)-A|<\varepsilon.[/latex]

Абсолютно аналогично определяется бесконечный предел на бесконечности:

[latex]\lim\limits_{x\rightarrow \infty }f(x)=\infty \Leftrightarrow \forall \varepsilon >0\: \exists \delta _{\varepsilon }>0:\forall |x|>\delta _{\varepsilon }:\: |f(x)|>\varepsilon[/latex]
[latex]\lim\limits_{x\rightarrow \infty }f(x)=+ \infty \Leftrightarrow \forall \varepsilon >0\: \exists \delta _{\varepsilon }>0:\forall |x|>\delta _{\varepsilon }:\: f(x)>\varepsilon[/latex]
[latex]\lim\limits_{x\rightarrow \infty }f(x)=- \infty \Leftrightarrow \forall \varepsilon >0\: \exists \delta _{\varepsilon }>0:\forall |x|>\delta _{\varepsilon }:\: f(x)<-\varepsilon[/latex]
[latex]\lim\limits_{x\rightarrow -\infty }f(x)=\infty \Leftrightarrow \forall \varepsilon >0\: \exists \delta _{\varepsilon }>0:\forall x<-\delta _{\varepsilon }:\: |f(x)|>\varepsilon[/latex]
[latex]\lim\limits_{x\rightarrow +\infty }f(x)=\infty \Leftrightarrow \forall \varepsilon >0\: \exists \delta _{\varepsilon }>0:\forall x>\delta _{\varepsilon }:\: |f(x)|>\varepsilon[/latex]

Пример 2

Рассмотрим функцию [latex]f(x)=\ln x^{2}:[/latex]

Литература

1. Тер-Киркоров А.М., Шабунин М.И., Курс математического анализа, физмат-лит, 2001 г., стр. 79-80
2. Демидович Б.П., Сборник задач и упражнений по математическому анализу, физмат-лит, 1966 г., стр. 50

Лимит времени: 0

Навигация (только номера заданий)

0 из 6 заданий окончено

Вопросы:

1. 1
2. 2
3. 3
4. 4
5. 5
6. 6

Информация

Тест

Вы уже проходили тест ранее. Вы не можете запустить его снова.

Тест загружается...

Вы должны войти или зарегистрироваться для того, чтобы начать тест.

Вы должны закончить следующие тесты, чтобы начать этот:

Результаты

Правильных ответов: 0 из 6

Ваше время:

Время вышло

Вы набрали 0 из 0 баллов (0)

Средний результат
Ваш результат

Рубрики

1. Математический анализ 0%

Ваш результат был записан в таблицу лидеров

Загрузка

Имя: E-Mail:

Капча:

максимум из 17 баллов

Место	Имя	Записано	Баллы	Результат
Таблица загружается
Нет данных

1. 1
2. 2
3. 3
4. 4
5. 5
6. 6

1. С ответом
2. С отметкой о просмотре

1. Задание 1 из 6

   1.

   
   Сопоставьте записи в кванторах с определениями:

   Элементы сортировки

   • \(\forall \varepsilon >0\: \exists \delta >0:\forall x \in \dot{U}_{\delta }(a): |f(x)|>\varepsilon\)
   • \(\forall \varepsilon >0\: \exists \delta >0:\forall x>\delta: |f(x)-A|<\varepsilon\)
   • \(\forall \varepsilon >0\: \exists \delta >0:\forall x \in \dot{U}_{\delta }(a): f(x)>\varepsilon\)
   • \(\forall \varepsilon >0\: \exists \delta >0:\forall x>\delta: \left |f(x) \right |>\varepsilon\)

   • Функция бесконечно большая при \( x\rightarrow a \)

   • Предел функции равен \(A\) при \(x\rightarrow +\infty\)

   • Предел функции равен \(+\infty\) при \(x\rightarrow a\)

   • Функция бесконечно большая при \(x\rightarrow +\infty\)

   Правильно
   

   Неправильно
   
2. Задание 2 из 6

   2.

   
   Проколотой \(\delta \)-окрестностью точки \(a\) называется:

   • \((x-\delta )\cup (x+\delta )\), где \(x\in (a-\delta;a+\delta)\)
   • \((a-\delta )\cup (a+\delta )\)
   • \(\bigcup_{1}^{n}(x_{i-1}:x_{i})\), где \(x_{0}=a-\delta\) и \(x_{n}=a+\delta\)
   Правильно
   

   Неправильно
   
3. Задание 3 из 6

   3.

   
   Проанализируйте график функции \(|e^{2x+2}+1|-1\):
   

   • функция \(f(x)\) ограничена на всей числовой оси
   • функция \(f(x)\) ограничена в некоторой окрестности точки \(-1\)
   • \(\lim\limits_{x\rightarrow -\infty }f(x)=2\)
   • функция \(f(x)\) не имеет предела при \(x\rightarrow +\infty\)
   • предел функции \(f(x)\) при \(x\rightarrow +\infty\) равен \(+\infty\)
   Правильно
   

   Неправильно
   
4. Задание 4 из 6

   4.

   
   Функция, удовлетворяющая условию \( \forall x_{1},x_{2}:x_{1}<x_{2}:f(x_{1})<f(x_{2}) \) называется:
   Правильно
   

   Неправильно
   
5. Задание 5 из 6

   5.

   
   Заполните пропуски.

   • Функция имеет (бесконечный) предел при \(x\rightarrow a\), если для (любого, всякого) \(\varepsilon \) (существует, есть) \( \delta \), что для всех \(x\) из \((a-\delta ;a)\cup (a;a+\delta )\) \(|f(x)|>\) (эпсилон, епсилон)
   Правильно
   

   Неправильно
   
6. Задание 6 из 6

   6.

   
   Расположите пределы функции \(f(x)=\frac{-x}{6x^{2}-7}\)в таком порядке:
   \(x\rightarrow-\infty \), \(x\rightarrow-0 \), \(x\rightarrow+0 \), \(x\rightarrow+\infty \):

   • +0
   • \(+\infty \)
   • \(-\infty \)
   • -0
   Правильно
   

   Неправильно
   

Определения

Односторонний предел по Коши

Число [latex]A^{‘}[/latex] называют левосторонним пределом функции [latex]f(x)[/latex] в точке [latex]a:[/latex]

[latex]A^{‘}=\lim\limits_{x\rightarrow a-0} f(x),[/latex]

если

[latex]\forall \varepsilon >0\: \: \exists\delta _{\varepsilon }>0\: \:\forall x:a-\delta _{\varepsilon }<x<a:|f(x)-A^{‘}|<\varepsilon[/latex]

Аналогично, число [latex]A^{»}[/latex] называют правосторонним пределом функции [latex]f(x)[/latex] в точке [latex]a:[/latex]

[latex]A^{»}=\lim\limits_{x\rightarrow a+0}f(x),[/latex]

если

[latex]\forall \varepsilon >0\: \: \exists\delta _{\varepsilon }>0\: \:\forall x:a<x<a+\delta _{\varepsilon }:|f(x)-A^{»}|<\varepsilon[/latex]

Односторонний предел по Гейне

Число [latex]A^{‘}[/latex] называют левосторонним пределом функции [latex]f(x)[/latex] в точке [latex]a:[/latex]

[latex]A^{‘}=\lim\limits_{x\rightarrow a-0} f(x),[/latex]

если

[latex]\forall \left \{ x_{n} \right \}_{n=1 }^{\infty }:(\forall k \in \mathbb{N}:x_{k}

Аналогично, число [latex]A^{»}[/latex] называют правосторонним пределом функции [latex]f(x)[/latex] в точке [latex]a:[/latex]

1. Тер-Киркоров А.М., Шабунин М.И., Курс математического анализа, физмат-лит, 2001. стр. 77-79
2. Кудрявцев Л.Д., Курс математического анализа, 2003, т.1. стр. 185-189

Лимит времени: 0

Навигация (только номера заданий)

0 из 4 заданий окончено

Вопросы:

1. 1
2. 2
3. 3
4. 4

Информация

Тест

Вы уже проходили тест ранее. Вы не можете запустить его снова.

Тест загружается...

Вы должны войти или зарегистрироваться для того, чтобы начать тест.

Вы должны закончить следующие тесты, чтобы начать этот:

Результаты

Правильных ответов: 0 из 4

Ваше время:

Время вышло

Вы набрали 0 из 0 баллов (0)

Средний результат
Ваш результат

Рубрики

1. Математический анализ 0%

Ваш результат был записан в таблицу лидеров

Загрузка

Имя: E-Mail:

Капча:

максимум из 10 баллов

Место	Имя	Записано	Баллы	Результат
Таблица загружается
Нет данных

1. 1
2. 2
3. 3
4. 4

1. С ответом
2. С отметкой о просмотре

1. Задание 1 из 4

   1.

   
   Функция \(f(x)\) называется непрерывной слева, если

   • \(\exists \lim\limits_{x\rightarrow a-0}f(x)=f(a)\)
   • \(\exists \lim\limits_{x\rightarrow a+0}f(x)=f(a)\)
   • \(\forall x\in (a-\delta_{0})\: \lim\limits_{x\rightarrow a}=f(a)\)
   • \(\forall x\in (a+\delta_{0})\: \lim\limits_{x\rightarrow a}=f(a)\)
   Правильно
   

   Неправильно
   
2. Задание 2 из 4

   2.

   
   Сопоставьте записи в кванторах с определениями:

   Элементы сортировки

   • \(\forall \varepsilon >0\: \: \exists\delta _{\varepsilon }>0\: \:\forall x:a-\delta _{\varepsilon }<x<a:|f(x)-A|<\varepsilon\)
   • \(\forall \left \{ x_{n} \right \}_{n=1 }^{\infty }:(\forall k \in \mathbb{N}:x_{k}<a )\vee \lim\limits_{n\rightarrow \infty}x_{n}=a\Rightarrow \lim\limits_{n\rightarrow \infty}\left \{ f(x_{n}) \right \}_{n=1 }^{\infty }=A\)
   • \(\forall \varepsilon >0\: \: \exists\delta _{\varepsilon }>0\: \:\forall x:a<x<a+\delta _{\varepsilon }:|f(x)-A|<\varepsilon\)
   • \(\forall \left \{ x_{n} \right \}_{n=1 }^{\infty }:(\forall k \in \mathbb{N}:x_{k}>a )\vee \lim\limits_{n\rightarrow \infty}x_{n}=a\Rightarrow \lim\limits_{n\rightarrow \infty}\left \{ f(x_{n}) \right \}_{n=1 }^{\infty }=A\)

   • Определение левостороннего предела по Коши

   • Определение левостороннего предела по Гейне

   • Определение правостороннего предела по Коши

   • Определение правостороннего предела по Гейне

   Правильно
   

   Неправильно
   
3. Задание 3 из 4

   3.

   
   Заполните пропуски.

   • Функция \(f(x)\) имеет предел в точке \(a\) тогда и только тогда, когда существуют (равные, одинаковые) между собой (односторонние) пределы в этой точке.
   Правильно
   

   Неправильно
   
4. Задание 4 из 4

   4.

   
   Найти односторонние пределы функции \(f(x)=\frac{1}{x}\) при \(x\rightarrow 0\):

   • Правый предел = \(+\infty\)
   • Левый предел = \(-\infty\)
   • Правый предел = \(-\infty\)
   • Левый предел = \(+\infty\)
   Правильно
   

   Неправильно