Условие

Окружности $S_1$ и $S_2$ касаются внешним образом в точке $F$ . Прямая $l$ касается $S_1$ и $S_2$ в точках $A$ и $B$ соответственно. Прямая, параллельная прямой $l$ , касается $S_2$ в точке $C$ и пересекает $S_1$ в точках $D$ и $E$ . Докажите, что а) точки $A$ , $F$ и $C$ лежат на одной прямой; б) общая хорда окружностей, описанных около треугольников $ABC$ и $BDE$ , проходит через точку $F$ .

Решение а) Первое решение

Так как касательные к окружности $S_2$ в точках $B$ и $C$ параллельны, то $BC$ — ее диаметр, и ∠BFC=90°. Докажем, что и ∠AFB=90°. Проведем через точку $F$ общую касательную к окружностям, пусть она пересекает прямую $l$ в точке $K$ . Из равенства отрезков касательных, проведенных к окружности из одной точки, следует, что треугольники $AKF$ и $BKF$ равнобедренные. Следовательно,
∠AFB=∠AFK+∠KFB=∠FAB+∠FBA=180°/2=90°

Решение а) Второе решение

Рассмотрим гомотетию с центром $F$ и коэффициентом, равным $-r_2/r_1$ , где $r_1$ и $r_2$ — радиусы окружностей $S_1$ и $S_2$ . При этой гомотении $S_1$ переходит в $S_2$ , а прямая $l$ — касательная к $S_1$ — переходит в $S_2$ . Следовательно, точка $A$ переходит в точку $C$ , поэтому точка $F$ лежит на отрезке $AC$ .

Решение б)

Ниже мы покажем, что центр окружности $BDE$ находится в точке $A$ . Поскольку центр окружности $ABC$ есть середина $AC$ (∠ABC=90°), а (см. первое решение п. а)), отсюда будет следовать, что $BF$ есть перпендикуляр, опущенный из общей точки окружностей $BDE$ и $ABC$ на прямую, соединяющею их центры. А это и значит, что прямая $BF$ содержит их общую хорду.

Итак, нам достаточно доказать, что $AD=AE=AB$ . Первое из этих равенств очевидно(ибо касательная к $S_1$ в точке $A$ параллельна $DE$ ). Пусть $r_1$ и $r_2$ — радиусы $S_1$ и $S_2$ . Опуская перпендикуляр $AP$ на $DE$ , найдем, что $AP=BC=2r_2$ , и по теореме Пифагора для треугольников $APD$ и $O_1PD$ , где $O_1$ — центр $S_1$ $PD^2=O_1D^2-O_1P^2=r_1^2-(2r_2-r_1)^2=4r_1r_2-4r_2^2$ $AD^2=AP^2+PD^2=4r_1r_2$

Но легко найти, что общая касательная $AB$ окружностей $S_1$ и $S_2$ равна $2\sqrt{r_1r_2}$ .

А. Калинин, В. Дубровский

Определение

Если $x_0=0$ и существует $f^{(n)}(0)$ , то формула Тейлора принимает вид:

(1)

$f(x)=\sum\limits_{k=0}^{n}\frac{f^{(k)}(0)}{k!}x^k+\underset{x\to 0}{\circ(x^n)}$ .

Формулу (1) называют формулой Маклорена.

Замечание 1. Пусть функция $f(x)$ бесконечно дифференцируема на интервале $(-l, l).$ Если эта функция является четной, то её производная — нечетная функция, и, наоборот, производная нечетной функции — четная функция.
$\triangle$ Пусть $f(x)$ — четная функция, тогда:
$f(-x)=f(x)$ , $x\in(-a, a)$ .
Дифференцируя это тождество, получаем
$-f'(-x)=f'(x),$ $x\in(-a, a)$ .
Это означает, что $f'(x)$ — нечетная функция. Аналогично рассматривается случай, когда $f(x)$ — нечетная функция. $\blacktriangle$
Отсюда следует, что для нечетной функции $f$ выполняютcя условия $f^{(2k)}(0)=0$ , $k\in \mathbb{N}$ , а для четной функции $f$ — условия $f^{(2k-1)}(0)=0$ , $k\in \mathbb{N}$ , так как любая непрерывная нечетная функция принимает при $x=0$ значение нуль.
Поэтому формулу (1) для бесконечно дифференцируемой четной функции можно записать в виде:

(2)

$f(x)=\sum\limits_{k=0}^n\frac{f^{(2k)}(0)}{(2k)!}x^{2k}+\underset{x\to0}{\circ(x^{2n+1})}$ ,

а для нечетной функции — в виде:

(3)

$f(x)=\sum\limits_{k=0}^n\frac{f^{(2k+1)}(0)}{(2k+1)!}x^{2k+1}+\underset{x\to0}{\circ(x^{2n+2})}$ .

Разложения основных функций

а) Показательная функция. Если $f(x)=e^x$ , то $f(0)=1$ и $f^{(n)}(0)=1$ при любом $n$ . Поэтому формула (1) для функции $e^x$ записывается в виде

(4)

$e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\dots+\frac{x^n}{n!}+\underset{x\to 0}{\circ(x^n)}$ ,

или

$e^x=\sum\limits_{k=0}^n\frac{x^k}{k!}+\underset{x\to 0}{\circ(x^n)}$ .

б) Гиперболические функции. Так как $f(x)=\sinh x$ — нечетная функция, $f^{(2k+1)}(x)=\cosh x$ , $f^{(2k+1)}(0)=1$ при $k=0, 1, 2,\dots$ , то по формуле (3) получаем

(5)

$\sinh x=x+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}+\dots+\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}+\underset{x\to 0}{\circ(x^{2n+2})}$ ,

или

$\sinh x=\sum\limits_{k=0}^n\frac{x^{2k+1}}{(2k+1)!}+\underset{x\to 0}{\circ(x^{2n+2})}$ .

Аналогично по формуле (2) находим

(6)

$\cosh x=1+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}+\dots+\frac{x^{2n}}{(2n)!}+\underset{x\to 0}{\circ(x^{2n+1})}$ ,

или

$\cosh x=\sum\limits_{k=0}^n\frac{x^{2k}}{(2k)!}+\underset{x\to 0}{\circ(x^{2n+1})}$ .

Замечание 2. Так как $\sinh x=\frac{e^x-e^{-x}}{2}$ , $\cosh x=\frac{e^x+e^{-x}}{2}$ , то формулы (5) и (6) можно получить, используя равенство (4) и равенство $e^{-x}=\sum\limits_{k=0}^n\frac{(-1)^kx^k}{k!}+\underset{x\to 0}{\circ(x^n)}$ .

в) Тригонометрические функции. Функция $f(x)=\sin x$ является нечетной,

$f^{(2n+1)}(x)=\sin (x+\frac{\pi}{2}(2n+1))$ ,

откуда

$f^{(2n+1)}(0)=\sin (\frac{\pi}{2}+\pi n)=\cos\pi n=(-1)^n$ .

Поэтому по формуле (3) находим

(7)

$\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}+\dots+(-1)^n \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}+\underset{x\to 0}{\circ(x^{2n+2})}$ ,

или

$\sin x=\sum\limits_{k=0}^n(-1)^k\frac{x^{2k+1}}{(2k+1)!}+\underset{x\to 0}{\circ(x^{2n+2})}$ .

Аналогично, $f(x)=\cos x$ — четная функция, $f^{(2n)}(0)=\cos (\frac{\pi}{2}2n)=(-1)^n$ , и по формуле (2) получаем

(8)

$\cos x=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}+\dots+(-1)^n \frac{x^{2n}}{(2n)!}+\underset{x\to 0}{\circ(x^{2n+1})}$ ,

или

$\cos x=\sum\limits_{k=0}^n(-1)^k\frac{x^{2k}}{(2k)!}+\underset{x\to 0}{\circ(x^{2n+1})}$ .

Замечание 3.Используя формулу (7)

$\sin x\approx x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}+\dots+(-1)^n \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}$

Для 2 членов разложения: $\sin x\approx x-\frac{x^3}{3!}$
Для 3 членов разложения: $\sin x\approx x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}$
Для 4 членов разложения: $\sin x\approx x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}$

Как видно по графику, для достижения точности, достаточной для решения большинства практических задач, можно ограничиться 4-5 членами ряда.

г) Степенная функция. Пусть $f(x)=(1+x)^\alpha$ , где $\alpha \in \mathbb{R}$ . Тогда $f^{(k)}(x)=\alpha(\alpha-1)\dots(\alpha-(k-1))(1+x)^{\alpha-k}$ , откуда получаем $f^{(k)}(0)=\alpha(\alpha-1)\dots(\alpha-(k-1))$ . Тогда по формуле (1) получим

(9)

$(1+x)^\alpha=1+\sum\limits_{k=1}^n\frac{\alpha(\alpha-1)\dots(\alpha-(k-1))}{k!}x^k+\underset{x\to 0}{\circ(x^n)}$ .

Отметим важные частные случаи формулы (9).

(10)

$\frac{1}{1-x}=1+x+x^2+\dots+x^n+\underset{x\to 0}{\circ(x^n)}$ ,

или

$\frac{1}{1-x}=\sum\limits_{k=0}^nx^k+\underset{x\to 0}{\circ(x^n)}$ .
(11)

$\frac{1}{1+x}=1-x+x^2+\dots+(-1)^nx^n+\underset{x\to 0}{\circ(x^n)}$ ,

или

$\frac{1}{1+x}=\sum\limits_{k=0}^n(-1)^kx^k+\underset{x\to 0}{\circ(x^n)}$ .

д) Логарифмическая функция. Если $f(x)=\ln(1+x)$ , то $f(0)=0$ , $f^{(k)}(x)=\frac{(-1)^{k-1}(k-1)!}{(1+x)^k}$ , $f^{(k)}(0)=(-1)^{k-1}(k-1)!$ , и по формуле (1) находим

(12)

$\ln(1+x)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}+\dots+\frac{(-1)^{n-1}}{n}x^n+\underset{x\to 0}{\circ(x^n)}$ ,

или

$\ln(1+x)=\sum\limits_{k=1}^n\frac{(-1)^{k-1}x^k}{k}+\underset{x\to 0}{\circ(x^n)}$ .

Заменяя в формуле (12) $x$ на $-x$ , получаем

(13)

$\ln(1-x)=-x-\frac{x^2}{2}-\frac{x^3}{3}-\dots-\frac{x^n}{n}+\underset{x\to 0}{\circ(x^n)}$ ,

или

$\ln(1-x)=-\sum\limits_{k=1}^n\frac{x^k}{k}+\underset{x\to 0}{\circ(x^n)}$ .

Примеры

Разложить по формуле Тейлора в окрестности точки $x_0=0$ до $\circ(x^n)$ функцию $f(x)$ , если $f(x)=\frac{1}{\sqrt{1+x}}:$

Спойлер

$f(x)=\frac{1}{\sqrt{1+x}}=(1+x)^{-\frac{1}{2}}$ . Применяя формулу (9) при $\alpha=-\frac{1}{2}$ , получаем:

$(1+x)^{-\frac{1}{2}}=1+\sum\limits_{k=1}^n\frac{-\frac{1}{2}(-\frac{1}{2}-1)\dots(-\frac{1}{2}-(k-1))}{k!}x^k+\underset{x\to 0}{\circ(x^n)}$ = $1+\sum\limits_{k=1}^n\frac{(-1)^k\frac{1}{2}\frac{3}{2}\frac{5}{2}\dots(\frac{1+2(k-1)}{2}}{k!}x^k+\underset{x\to 0}{\circ(x^n)}$ = $1+\sum\limits_{k=1}^n\frac{(-1)^k}{2^k}\frac{1\cdot 3\cdot 5\dots(2k-1)}{k!}x^k+\underset{x\to 0}{\circ(x^n)}$

Обозначим $(2k-1)!!=1\cdot 3\dots(2k-1)$ , тогда:

$\frac{1}{\sqrt{1+x}}=1+\sum\limits_{k=1}^n\frac{(-1)^k(2k-1)!!}{2^kk!}x^k+\underset{x\to 0}{\circ(x^n)}$

[свернуть]
Разложить по формуле Тейлора в окрестности точки $x_0=0$ до $\circ(x^n)$ функцию $f(x)$ , если $f(x)=\ln\frac{x-5}{x-4}:$

Спойлер

Используя равенство

$f(x)=\ln\frac{x-5}{x-4}=\ln 5-\ln 4+ln (1-\frac{x}{5})-\ln (1-\frac{x}{4})$

и формулу (13), находим:

$\ln\frac{x-5}{x-4}=\ln 5-\ln 4-\sum\limits_{k=1}^n\frac{x^k}{5^kk}+\sum\limits_{k=1}^n\frac{x^k}{4^kk}$ = $\ln \frac{5}{4}+\sum\limits_{k=1}^n\frac{x^k}{k}(\frac{1}{4^k}-\frac{1}{5^k})+\underset{x\to 0}{\circ(x^n)}$

[свернуть]
Разложить по формуле Маклорена до $\circ(x^{2n+1})$ функцию $f(x)$ , если $f(x)=\cos^4x:$

Спойлер

Используя равенство $\cos^2 x=\frac{1}{2}+\frac{\cos 2x}{2}$ , получаем:

$\cos^4 x=\frac{1}{4}(1+2\cos 2x+\frac{1+\cos 4x}{2})=\frac{3}{8}+\frac{1}{2}\cos 2x+\frac{1}{8}\cos 4x$ ,

откуда по формуле (8) находим:

$\cos^4 x=\frac{3}{8}+\frac{1}{2}\sum\limits_{k=0}^n\frac{(-1)^k2x^{2k}}{(2k)!}+\frac{1}{8}\sum\limits_{k=0}^n\frac{(-1)^k4x^{2k}}{(2k)!}$ = $\frac{3}{8}+\sum\limits_{k=0}^n\frac{(-1)^k2^{2k-1}}{(2k)!}(1+2^{2k-2})x^{2k}+\underset{x\to 0}{\circ(x^n)}$

[свернуть]

Литература

Лысенко З.М. Конспект лекций по математическому анализу. Тема «Разложение основных элементарных функций по формуле Тейлора»
Тер-Крикоров А. М., Шабунин М. И. Курс математического анализа: Учеб. пособие для вузов. — 3-е изд., исправл. — М.: ФИЗМАТ-ЛИТ, 2001. с. 162-169

Разложения некоторых элементарных функций по формуле Маклорена

Тесты для самоконтроля

Таблица лучших: Разложения некоторых элементарных функций по формуле Маклорена

максимум из 90 баллов
Место	Имя	Записано	Баллы	Результат
Таблица загружается
Нет данных

Автор: Юлия Стоева

M1452. Общая касательная к касающимся внешним образом окружностям

Условие

Решение а) Первое решение

Решение а) Второе решение

Решение б)

Разложения некоторых элементарных функций по формуле Маклорена

Определение

Разложения основных функций

Примеры

Литература

Разложения некоторых элементарных функций по формуле Маклорена

Навигация (только номера заданий)

Информация

Результаты

Рубрики

1.

2.

Элементы сортировки

3.

4.

Таблица лучших: Разложения некоторых элементарных функций по формуле Маклорена

Средний результат
Ваш результат