Коэффициенты Тейлора, ряд Тейлора

Определение

Если функция $f$ определена в некоторой окрестности точки $x_{0}$ и является бесконечно дифференцируемой (имеет в данной точке производные всех порядков), то степенной ряд вида $$\sum\limits_{n=0}^{\infty}a_{n}\left(x-x_{0}\right)^n$$ называется рядом Тейлора функции $f$ в окрестности точки $x_{0}$, где числа $$a_{n}=\frac{{f}^{\left(n \right)}\left(x_{0} \right)}{n!} \;\;\; \left(n=0,1,2,\ldots \right)$$ это коэффициенты Тейлора функции $f$ в окрестности точки $x_{0}$.

Спойлер

Представим в виде ряда Тейлора функцию $$f\left(x \right)=\begin{cases}&e^{\frac{-1}{x^{2}}},\;\;x\neq0\\&0,\;\;x=0\end{cases}$$

Найдем производные функции вне нуля: $${f}^{\left(1\right)}\left(x \right)=e^{\frac{-1}{x^{2}}}\cdot \frac{2}{x^{3}},$$ $${f}^{\left(2\right)}\left(x \right)=\left(\frac{4}{x^{6}}-\frac{6}{x^{4}} \right)e^{\frac{-1}{x^{2}}},$$ $$\ldots$$ $${f}^{\left(k\right)}\left(x\right)=e^{\frac{-1}{x^{2}}}Q_{3k}\left(\frac{1}{x}\right).$$

Рассмотрим производные функции в нуле. Докажем по индукции, что $${f}^{\left(k\right)}\left(0 \right)=0 \;\;\; \forall k \in N.$$ Имеем,

  1. ${f}^{\left(1\right)}\left(0 \right)=\lim\limits_{ n \to 0}\frac{e^{\frac{-1}{x^{2}}}}{x}=0.$
  2. ${f}^{\left(n\right)}\left(0 \right)=0 \;\;\; \forall n \in N.$
  3. ${f}^{\left(n+1\right)}\left(0 \right)=$$\lim\limits_{ n \to 0}\frac{{f}^{n}\left(x \right)-{f}^{n}\left(0 \right)}{x}=$$\lim\limits_{ n \to 0}\frac{1}{x}e^{\frac{-1}{x^{2}}}Q_{3k}\left(\frac{1}{x} \right)=$$0.$

Следовательно, для данной функции коэффициенты формулы Тейлора в точке $x_{0}$ равны нулю. Но, с другой стороны, $f\left(x \right)=e^{\frac{-1}{x^{2}}}\neq0,\;\;\; x\neq0$. Таким образом, функция не представима в виде своего ряда Тейлора.

[свернуть]

Сходимость ряда Тейлора к функции

Пусть функция $f\left(x\right)$ бесконечно дифференцируема в точке $x_{0}$. Поставим ей в соответствие формулу Тейлора: $$f\left(x\right)=\sum\limits_{n=0}^{n}\frac{{f}^{\left(n\right)}\left(x_{0}\right)}{n!}\left(x-x_{0}\right)^{n}+r_{n}\left(x\right),$$ где $r_{n}\left(x \right)$ — остаток в формуле Тейлора. Обозначим, $$S_{n}\left(x\right)=\sum\limits_{n=0}^{n}\frac{{f}^{\left(n \right)}\left(x_{0} \right)}{n!}\left(x-x_{0}\right)^{n},$$ где $S_{n}\left(x\right)$— частичная сумма данного ряда Тейлора данной функции. Следовательно, можем записать равенство: $$f\left(x \right)=S_{n}\left(x \right)+r_{n}\left(x \right).$$ Тогда для того, чтобы $\lim\limits_{ n \to \infty}s_{n}\left(x \right)=f\left(x\right)$, функция $f\left(x\right)$ на заданном интервале должна быть равной сумме своего ряда Тейлора.

Таким образом, для сходимости ряда Тейлора функции $f\left(x\right)$ к функции $f\left(x\right)$ на некотором интервале необходимо и достаточно , чтобы для всех $x$ из этого интервала ее остаточный член в формуле Тейлора стремился к нулю: $$\lim\limits_{ n \to \infty}r_{n}\left(x \right)=0. $$

Литература

Коэффициенты Тейлора

Предлагаю пройти Вам данный тест на закрепление материала по данной статье.


Таблица лучших: Коэффициенты Тейлора

максимум из 3 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных

Разложения некоторых элементарных функций по формуле Маклорена

Определение

Если [latex]x_0=0[/latex] и существует [latex]f^{(n)}(0)[/latex], то формула Тейлора принимает вид:

(1)

[latex]f(x)=\sum\limits_{k=0}^{n}\frac{f^{(k)}(0)}{k!}x^k+\underset{x\to 0}{\circ(x^n)}[/latex].

Формулу (1) называют формулой Маклорена.

Замечание 1. Пусть функция [latex]f(x)[/latex] бесконечно дифференцируема на интервале [latex](-l, l).[/latex] Если эта функция является четной, то её производнаянечетная функция, и, наоборот, производная нечетной функции — четная функция.
[latex]\triangle[/latex]Пусть [latex]f(x)[/latex] — четная функция, тогда:
[latex]f(-x)=f(x)[/latex], [latex]x\in(-a, a)[/latex].
Дифференцируя это тождество, получаем
[latex]-f'(-x)=f'(x),[/latex] [latex]x\in(-a, a)[/latex].
Это означает, что [latex]f'(x)[/latex] — нечетная функция. Аналогично рассматривается случай, когда [latex]f(x)[/latex] — нечетная функция.[latex]\blacktriangle [/latex]
Отсюда следует, что для нечетной функции [latex]f[/latex] выполняютcя условия [latex]f^{(2k)}(0)=0[/latex], [latex]k\in \mathbb{N}[/latex], а для четной функции [latex]f[/latex] — условия [latex]f^{(2k-1)}(0)=0[/latex], [latex]k\in \mathbb{N}[/latex], так как любая непрерывная нечетная функция принимает при [latex]x=0[/latex] значение нуль.
Поэтому формулу (1) для бесконечно дифференцируемой четной функции можно записать в виде:

(2)

[latex]f(x)=\sum\limits_{k=0}^n\frac{f^{(2k)}(0)}{(2k)!}x^{2k}+\underset{x\to0}{\circ(x^{2n+1})}[/latex],

а для нечетной функции — в виде:

(3)

[latex]f(x)=\sum\limits_{k=0}^n\frac{f^{(2k+1)}(0)}{(2k+1)!}x^{2k+1}+\underset{x\to0}{\circ(x^{2n+2})}[/latex].

Разложения основных функций

а) Показательная функция. Если [latex]f(x)=e^x[/latex], то [latex]f(0)=1[/latex] и [latex]f^{(n)}(0)=1[/latex] при любом [latex]n[/latex]. Поэтому формула (1) для функции [latex]e^x[/latex] записывается в виде

(4)

[latex]e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\dots+\frac{x^n}{n!}+\underset{x\to 0}{\circ(x^n)}[/latex],

или

[latex]e^x=\sum\limits_{k=0}^n\frac{x^k}{k!}+\underset{x\to 0}{\circ(x^n)}[/latex].

б) Гиперболические функции. Так как [latex]f(x)=\sinh x[/latex] — нечетная функция, [latex]f^{(2k+1)}(x)=\cosh x[/latex], [latex]f^{(2k+1)}(0)=1[/latex] при [latex]k=0, 1, 2,\dots[/latex], то по формуле (3) получаем

(5)

[latex]\sinh x=x+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}+\dots+\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}+\underset{x\to 0}{\circ(x^{2n+2})}[/latex],

или

[latex]\sinh x=\sum\limits_{k=0}^n\frac{x^{2k+1}}{(2k+1)!}+\underset{x\to 0}{\circ(x^{2n+2})}[/latex].

Аналогично по формуле (2) находим

(6)

[latex]\cosh x=1+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}+\dots+\frac{x^{2n}}{(2n)!}+\underset{x\to 0}{\circ(x^{2n+1})}[/latex],

или

[latex]\cosh x=\sum\limits_{k=0}^n\frac{x^{2k}}{(2k)!}+\underset{x\to 0}{\circ(x^{2n+1})}[/latex].

Замечание 2. Так как [latex]\sinh x=\frac{e^x-e^{-x}}{2}[/latex], [latex]\cosh x=\frac{e^x+e^{-x}}{2}[/latex], то формулы (5) и (6) можно получить, используя равенство (4) и равенство [latex]e^{-x}=\sum\limits_{k=0}^n\frac{(-1)^kx^k}{k!}+\underset{x\to 0}{\circ(x^n)}[/latex].

в) Тригонометрические функции. Функция [latex]f(x)=\sin x[/latex] является нечетной,

[latex]f^{(2n+1)}(x)=\sin (x+\frac{\pi}{2}(2n+1))[/latex],

откуда

[latex]f^{(2n+1)}(0)=\sin (\frac{\pi}{2}+\pi n)=\cos\pi n=(-1)^n[/latex].

Поэтому по формуле (3) находим

(7)

[latex]\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}+\dots+(-1)^n \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}+\underset{x\to 0}{\circ(x^{2n+2})}[/latex],

или

[latex]\sin x=\sum\limits_{k=0}^n(-1)^k\frac{x^{2k+1}}{(2k+1)!}+\underset{x\to 0}{\circ(x^{2n+2})}[/latex].

Аналогично, [latex]f(x)=\cos x[/latex] — четная функция, [latex]f^{(2n)}(0)=\cos (\frac{\pi}{2}2n)=(-1)^n[/latex], и по формуле (2) получаем

(8)

[latex]\cos x=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}+\dots+(-1)^n \frac{x^{2n}}{(2n)!}+\underset{x\to 0}{\circ(x^{2n+1})}[/latex],

или

[latex]\cos x=\sum\limits_{k=0}^n(-1)^k\frac{x^{2k}}{(2k)!}+\underset{x\to 0}{\circ(x^{2n+1})}[/latex].

Замечание 3.Используя формулу (7)

[latex]\sin x\approx x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}+\dots+(-1)^n \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}[/latex]

Для 2 членов разложения: [latex]\sin x\approx x-\frac{x^3}{3!}[/latex]
Для 3 членов разложения: [latex]\sin x\approx x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}[/latex]
Для 4 членов разложения: [latex]\sin x\approx x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}[/latex]
sin
Как видно по графику, для достижения точности, достаточной для решения большинства практических задач, можно ограничиться 4-5 членами ряда.

г) Степенная функция. Пусть [latex]f(x)=(1+x)^\alpha[/latex], где [latex]\alpha \in \mathbb{R}[/latex]. Тогда [latex]f^{(k)}(x)=\alpha(\alpha-1)\dots(\alpha-(k-1))(1+x)^{\alpha-k}[/latex], откуда получаем [latex]f^{(k)}(0)=\alpha(\alpha-1)\dots(\alpha-(k-1))[/latex]. Тогда по формуле (1) получим

(9)

[latex](1+x)^\alpha=1+\sum\limits_{k=1}^n\frac{\alpha(\alpha-1)\dots(\alpha-(k-1))}{k!}x^k+\underset{x\to 0}{\circ(x^n)}[/latex].

Отметим важные частные случаи формулы (9).

  1. (10)

    [latex]\frac{1}{1-x}=1+x+x^2+\dots+x^n+\underset{x\to 0}{\circ(x^n)} [/latex],

    или

    [latex]\frac{1}{1-x}=\sum\limits_{k=0}^nx^k+\underset{x\to 0}{\circ(x^n)}[/latex].
  2. (11)

    [latex]\frac{1}{1+x}=1-x+x^2+\dots+(-1)^nx^n+\underset{x\to 0}{\circ(x^n)} [/latex],

    или

    [latex]\frac{1}{1+x}=\sum\limits_{k=0}^n(-1)^kx^k+\underset{x\to 0}{\circ(x^n)}[/latex].

д) Логарифмическая функция. Если [latex]f(x)=\ln(1+x)[/latex], то [latex]f(0)=0[/latex], [latex]f^{(k)}(x)=\frac{(-1)^{k-1}(k-1)!}{(1+x)^k}[/latex], [latex]f^{(k)}(0)=(-1)^{k-1}(k-1)![/latex], и по формуле (1) находим

(12)

[latex]\ln(1+x)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}+\dots+\frac{(-1)^{n-1}}{n}x^n+\underset{x\to 0}{\circ(x^n)} [/latex],

или

[latex]\ln(1+x)=\sum\limits_{k=1}^n\frac{(-1)^{k-1}x^k}{k}+\underset{x\to 0}{\circ(x^n)}[/latex].

Заменяя в формуле (12) [latex]x[/latex] на [latex]-x[/latex], получаем

(13)

[latex]\ln(1-x)=-x-\frac{x^2}{2}-\frac{x^3}{3}-\dots-\frac{x^n}{n}+\underset{x\to 0}{\circ(x^n)} [/latex],

или

[latex]\ln(1-x)=-\sum\limits_{k=1}^n\frac{x^k}{k}+\underset{x\to 0}{\circ(x^n)}[/latex].

Примеры

  1. Разложить по формуле Тейлора в окрестности точки [latex]x_0=0[/latex] до [latex]\circ(x^n)[/latex] функцию [latex]f(x)[/latex], если [latex]f(x)=\frac{1}{\sqrt{1+x}}:[/latex]
    Спойлер

    [latex]f(x)=\frac{1}{\sqrt{1+x}}=(1+x)^{-\frac{1}{2}}[/latex]. Применяя формулу (9) при [latex]\alpha=-\frac{1}{2}[/latex], получаем:

    [latex](1+x)^{-\frac{1}{2}}=1+\sum\limits_{k=1}^n\frac{-\frac{1}{2}(-\frac{1}{2}-1)\dots(-\frac{1}{2}-(k-1))}{k!}x^k+\underset{x\to 0}{\circ(x^n)}[/latex] = [latex]1+\sum\limits_{k=1}^n\frac{(-1)^k\frac{1}{2}\frac{3}{2}\frac{5}{2}\dots(\frac{1+2(k-1)}{2}}{k!}x^k+\underset{x\to 0}{\circ(x^n)}[/latex] = [latex]1+\sum\limits_{k=1}^n\frac{(-1)^k}{2^k}\frac{1\cdot 3\cdot 5\dots(2k-1)}{k!}x^k+\underset{x\to 0}{\circ(x^n)}[/latex]

    Обозначим [latex](2k-1)!!=1\cdot 3\dots(2k-1)[/latex], тогда:

    [latex]\frac{1}{\sqrt{1+x}}=1+\sum\limits_{k=1}^n\frac{(-1)^k(2k-1)!!}{2^kk!}x^k+\underset{x\to 0}{\circ(x^n)} [/latex]

    [свернуть]
  2. Разложить по формуле Тейлора в окрестности точки [latex]x_0=0[/latex] до [latex]\circ(x^n)[/latex] функцию [latex]f(x)[/latex], если [latex]f(x)=\ln\frac{x-5}{x-4}:[/latex]
    Спойлер

    Используя равенство

    [latex]f(x)=\ln\frac{x-5}{x-4}=\ln 5-\ln 4+ln (1-\frac{x}{5})-\ln (1-\frac{x}{4})[/latex]

    и формулу (13), находим:

    [latex]\ln\frac{x-5}{x-4}=\ln 5-\ln 4-\sum\limits_{k=1}^n\frac{x^k}{5^kk}+\sum\limits_{k=1}^n\frac{x^k}{4^kk}[/latex] = [latex]\ln \frac{5}{4}+\sum\limits_{k=1}^n\frac{x^k}{k}(\frac{1}{4^k}-\frac{1}{5^k})+\underset{x\to 0}{\circ(x^n)} [/latex]

    [свернуть]
  3. Разложить по формуле Маклорена до [latex]\circ(x^{2n+1})[/latex] функцию [latex]f(x)[/latex], если [latex]f(x)=\cos^4x:[/latex]
    Спойлер

    Используя равенство [latex]\cos^2 x=\frac{1}{2}+\frac{\cos 2x}{2}[/latex], получаем:

    [latex]\cos^4 x=\frac{1}{4}(1+2\cos 2x+\frac{1+\cos 4x}{2})=\frac{3}{8}+\frac{1}{2}\cos 2x+\frac{1}{8}\cos 4x[/latex],

    откуда по формуле (8) находим:

    [latex]\cos^4 x=\frac{3}{8}+\frac{1}{2}\sum\limits_{k=0}^n\frac{(-1)^k2x^{2k}}{(2k)!}+\frac{1}{8}\sum\limits_{k=0}^n\frac{(-1)^k4x^{2k}}{(2k)!}[/latex] = [latex]\frac{3}{8}+\sum\limits_{k=0}^n\frac{(-1)^k2^{2k-1}}{(2k)!}(1+2^{2k-2})x^{2k}+\underset{x\to 0}{\circ(x^n)} [/latex]

    [свернуть]

Литература

Разложения некоторых элементарных функций по формуле Маклорена

Тесты для самоконтроля


Таблица лучших: Разложения некоторых элементарных функций по формуле Маклорена

максимум из 90 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных