Автор: Иван Чеповский

Геометрическая интерпретация комплексного числа

Задана плоскость. Зададим на ней декартову систему координат.

геометрическая интерпретация комплексного числа

Данная плоскость называется комплексной. Ось [latex]x[/latex] называется вещественной, а ось [latex]y[/latex] — мнимой. На данном рисунке видно, что геометрически комплексное число представляет из себя вектор. Между алгебраической и геометрической интерпретациями комплексного числа существует биекция [latex]z=\left(a,b\right)=[/latex] [latex]a+bi \leftrightarrow M\left(a,b\right)[/latex]

Определение 1

Модулем комплексного числа [latex]z=a+bi[/latex] называется корень разности квадратов его действительной и мнимой частей.
[latex]\left|z\right|=[/latex] [latex]\sqrt{a^{2}+b^{2}}=[/latex] [latex] \sqrt{\left(\mathrm{Re}\ z\right)^{2}-\left(\mathrm{Im}\ z\right)^{2}}[/latex], [latex]\left|z\right| \geq 0[/latex]
[latex]\left|z\right| = 0 \Leftrightarrow z=0[/latex]

Определение 2

Расстояние между двумя векторами на комплексной плоскости вычисляется по формуле:
[latex]\left|z_{1}-z_{2}\right|=[/latex] [latex]\left|\left(x_{1}+iy_{1}\right)-\left(x_{2}+iy_{2}\right)\right|=[/latex] [latex] \sqrt{\left(x_{1}-x_{2}\right)^{2}+\left(y_{1}-y_{2}\right)^{2}}[/latex]

Определение 3

Величина угла, который образует вектор, изображающий данное комплексное число на комплексной плоскости с вещественной осью называется аргументом этого комплексного числа [latex]\left(\mathrm{Arg}\ z\right)[/latex]. Угол, отсчитываемый от оси против часовой стрелки считается положительным, а по часовой — отрицательным.

аргумент

[latex]\mathrm{Arg}\ z = \mathrm{arg}\ z + 2\pi k[/latex], [latex]k\in\mathbb Z[/latex], [latex]0\leq \mathrm{arg}\ z < 2\pi[/latex], где [latex]\mathrm{arg}\ z[/latex] - главное значение аргумента комплексного числа.

Пример 1

Задание:
Изобразите графически [latex]1\leq \left|z+1-2i\right|< 2[/latex] Решение:
[latex]1\leq \left|z+1-2i\right|=[/latex] [latex]\sqrt{\left(x+1\right)^{2}+\left(y-2\right)^{2}}<2[/latex] Ответ:
пример 1

Пример 2

Задание:
Изобразите графически [latex]\frac{\pi}{6}\leq \mathrm{arg}\ z<\frac{\pi}{3}[/latex] Ответ:
пример 2

Литература:

  1. Белозеров Г.С. Конспект лекций
  2. Кострикин А.И. Введение в алгебру. Часть I. Основы алгебры. М.:Физико-математическая литература, 2004, стр. 169-170
  3. Фаддеев Д.К. Лекции по алгебре. М.:Наука, 1984, стр. 31-33

Геометрическая интерпретация комплексных чисел (лекции)

Тест на знание темы: «Геометрическая интерпретация комплексных чисел»


Таблица лучших: Геометрическая интерпретация комплексных чисел (лекции)

максимум из 7 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных

Понятие абстрактного линейного пространства

Материал лекций по теме: «Абстрактные линейные пространства»

Задача №1

Рассмотрим задачу, в которой множество над числовым полем является абстрактным линейным пространством.

Условие задачи

Дано множество симметричных матриц [latex]S=\{A \in M_{2}\left(\mathbb R \right) \mid [/latex]\(\ \)[latex]A^{t}=A \}[/latex]. Проверить, является ли данное множество абстрактным линейным пространством над полем [latex]\mathbb R[/latex]?

Спойлер

Чтобы решить данную задачу нужно проверить выполнение всех трех групп аксиом на данном множестве [latex]S[/latex].

  1. По теореме об аддитивной группе матриц [latex]\left(S,+ \right)[/latex] — абелева группа. Таким образом, первая группа аксиом выполняется.
  2. Проверим выполнение свойств для данного отображения [latex]\bullet:\mathbb R \times S \rightarrow S[/latex]
    • [latex]E \cdot A=A,[/latex]\(\ \)[latex] \forall A \in S[/latex]
      [latex]\begin{Vmatrix} 1& 0\\ 0& 1\end{Vmatrix} \cdot \begin{Vmatrix} a_{1}& a_{2}\\ a_{2}& a_{1}\end{Vmatrix}=[/latex]\(\ \)[latex]\begin{Vmatrix} a_{1}& a_{2}\\ a_{2}& a_{1}\end{Vmatrix}[/latex]
    • [latex]\alpha \left(\beta A \right)=[/latex]\(\ \)[latex]\left(\alpha \beta \right)A,[/latex]\(\ \)[latex] \forall A \in S, [/latex]\(\ \)[latex]\forall \alpha,\beta \in \mathbb R[/latex]
      [latex]\alpha\left(\beta \cdot \begin{Vmatrix} a_{1}& a_{2}\\ a_{2}& a_{1}\end{Vmatrix} \right)=[/latex]\(\ \)[latex]\alpha \cdot \begin{Vmatrix} \beta a_{1}& \beta a_{2}\\ \beta a_{2}& \beta a_{1}\end{Vmatrix}=[/latex]\(\ \)[latex]\begin{Vmatrix} \alpha \beta a_{1}& \alpha \beta a_{2}\\ \alpha \beta a_{2}& \alpha \beta a_{1}\end{Vmatrix}=[/latex]\(\ \)[latex]\left(\alpha \beta \right)\begin{Vmatrix} a_{1}& a_{2}\\ a_{2}& a_{1}\end{Vmatrix}[/latex]

    Таким образом, вторая группа аксиом выполняется.

  3. Проверим выполнение третьей группы аксиом:
    • [latex]\alpha \left(A + B \right)=[/latex]\(\ \)[latex]\alpha A + \alpha B,[/latex]\(\ \)[latex] \forall \alpha \in \mathbb R,[/latex]\(\ \)[latex] \forall A, B \in S[/latex]
      [latex]\alpha \left(\begin{Vmatrix} a_{1}& a_{2}\\ a_{2}& a_{1}\end{Vmatrix} + \begin{Vmatrix} b_{1}& b_{2}\\ b_{2}& b_{1}\end{Vmatrix}\right)=[/latex]\(\ \)[latex]\alpha \begin{Vmatrix} a_{1}+b_{1}& a_{2}+b_{2}\\ a_{2}+b_{2}& a_{1}+b_{1}\end{Vmatrix}=[/latex]\(\ \)[latex]\begin{Vmatrix} \alpha \left(a_{1}+b_{1} \right)& \alpha \left(a_{2}+b_{2} \right)\\ \alpha \left(a_{2}+b_{2} \right)& \alpha \left(a_{1}+b_{1} \right)\end{Vmatrix}=[/latex]\(\ \)[latex]\begin{Vmatrix} \alpha a_{1}+\alpha b_{1}& \alpha a_{2}+\alpha b_{2}\\ \alpha a_{2}+\alpha b_{2}& \alpha a_{1}+\alpha b_{1}\end{Vmatrix}=[/latex]\(\ \)[latex]\begin{Vmatrix} \alpha a_{1}& \alpha a_{2}\\ \alpha a_{2}& \alpha a_{1}\end{Vmatrix} + \begin{Vmatrix} \alpha b_{1}& \alpha b_{2}\\ \alpha b_{2}& \alpha b_{1}\end{Vmatrix}=[/latex]\(\ \)[latex]\alpha \begin{Vmatrix} a_{1}& a_{2}\\ a_{2}& a_{1}\end{Vmatrix} + \alpha \begin{Vmatrix} b_{1}& b_{2}\\ b_{2}& b_{1}\end{Vmatrix}[/latex]
    • [latex]\left(\alpha + \beta \right)A=[/latex]\(\ \)[latex]\alpha A + \beta A, [/latex]\(\ \)[latex]\forall \alpha,\beta \in \mathbb R,[/latex]\(\ \)[latex] \forall A \in S[/latex]
      [latex]\left(\alpha + \beta \right)\begin{Vmatrix} a_{1}& a_{2}\\ a_{2}& a_{1}\end{Vmatrix}=[/latex]\(\ \)[latex]\begin{Vmatrix} \left(\alpha + \beta \right) a_{1}& \left(\alpha + \beta \right) a_{2}\\ \left(\alpha + \beta \right) a_{2}& \left(\alpha + \beta \right) a_{1}\end{Vmatrix}=[/latex]\(\ \)[latex]\begin{Vmatrix} \alpha a_{1}+\beta a_{1}& \alpha a_{2}+\beta a_{2}\\ \alpha a_{2}+\beta a_{2}& \alpha a_{1}+\beta a_{1}\end{Vmatrix}=[/latex]\(\ \)[latex]\begin{Vmatrix} \alpha a_{1}& \alpha a_{2}\\ \alpha a_{2}& \alpha a_{1}\end{Vmatrix} + \begin{Vmatrix} \beta a_{1}& \beta a_{2}\\ \beta a_{2}& \beta a_{1}\end{Vmatrix}=[/latex]\(\ \)[latex]\alpha \begin{Vmatrix} a_{1}& a_{2}\\ a_{2}& a_{1}\end{Vmatrix} + \beta \begin{Vmatrix} a_{1}& a_{2}\\ a_{2}& a_{1}\end{Vmatrix}[/latex]

    Таким образом, третья группа аксиом выполняется.

[latex]\Rightarrow[/latex] множество симметричных матриц является абстрактным линейным пространством над полем [latex]\mathbb R.[/latex]

[свернуть]

Теперь рассмотрим задачи, в которых множество над числовым полем не является абстрактным линейным пространством.

Задача №2

Условие задачи

Дано множество [latex]F=\{f\left(x\right) \in \mathbb R\left[x\right]\mid [/latex]\(\ \)[latex] \deg f\left(x\right)=n\}[/latex]. Проверить, является ли данное множество над полем [latex]\mathbb R[/latex] абстрактным линейным пространством?

Спойлер

Проверим выполнение всех трех групп аксиом на данном множестве [latex]F[/latex].

Здесь очевидно, что данное множество относительно операции «+» не является группой, так как операция «+» не является БАО на множестве [latex]F[/latex] (не выполняется условие замкнутости, так как сумма многочленов степени n в результате может оказаться многочленом меньшей степени). [latex]\Rightarrow[/latex] множество [latex]F[/latex] над полем [latex]\mathbb R[/latex] не является абстрактным линейным пространством и выполнение следующих групп аксиом можно не проверять.

[свернуть]

Задача №3

Условие задачи

Дано множество [latex]T=\{f\left(x\right)\in \mathbb R\left[x\right]\mid [/latex]\(\ \)[latex] \deg f\left(x\right)\leqslant n \wedge [/latex]\(\ \)[latex] a_{i}>0, i=\overline{1,n}\}[/latex], где [latex]a_{i}[/latex] — коэффициенты при переменных. Проверить, является ли данное множество над полем [latex]\mathbb R[/latex] абстрактным линейным пространством?

Спойлер

Проверим выполнение всех трех групп аксиом на данном множестве [latex]T[/latex].

В данном случае это множество также не является группой относительно операции «+», так как коэффициенты многочленов являются положительными, а значит, что обратного, а отсюда и нейтрального элементов у данного множества нет. [latex]\Rightarrow[/latex] множество [latex]T[/latex] над полем [latex]\mathbb R[/latex] не является абстрактным линейным пространством и выполнение следующих групп аксиом также можно не проверять.

[свернуть]

Литература:

  1. Лекции Г.С. Белозерова
  2. Кострикин А.И. Введение в алгебру. Часть II. Линейная алгебра. М.:Физико-математическая литература, 2000, стр. 18
  3. Проскуряков И.В. Сборник задач по линейной алгебре. М.:Наука, 1978, стр. 166-174

Абстрактные линейные пространства

Тест для проверки знаний по теме: «Абстрактные линейные пространства»

Таблица лучших: Абстрактные линейные пространства

максимум из 3 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных

Понятие абстрактного линейного пространства. Простейшие следствия из аксиом

Определение

Пусть [latex]X\neq \varnothing[/latex], [latex]\mathbb P[/latex] — поле. [latex]\left(X,\mathbb P \right)[/latex] называется абстрактным линейным пространством, если выполняются следующие три группы аксиом:

  1. На [latex]X[/latex] задана БАО (бинарная алгебраическая операция) «+», относительно которой [latex]\left(X,+ \right)[/latex] — абелева группа.
  2. Задано отображение: [latex]\bullet:\mathbb P \times X \rightarrow X[/latex] такое, что:
    • [latex]1 \cdot x=[/latex]\(\ \)[latex]x, \forall x\in X,[/latex]
    • [latex]\alpha \left(\beta x \right)=[/latex]\(\ \)[latex]\left(\alpha\beta \right)x,[/latex]\(\ \)[latex] \forall x\in X,[/latex]\(\ \)[latex] \forall \alpha, \beta \in \mathbb P.[/latex]
    • [latex]\alpha\left(x_{1}+x_{2} \right)=[/latex]\(\ \)[latex]\alpha x_{1} + \alpha x_{2}, [/latex]\(\ \)[latex]\forall \alpha \in \mathbb P,[/latex]\(\ \)[latex] \forall x_{1}, x_{2} \in X,[/latex]
    • [latex]\left(\alpha + \beta \right)x=[/latex]\(\ \)[latex]\alpha x + \beta x,[/latex]\(\ \)[latex] \mathcal{8} \alpha , \beta \in \mathbb P, [/latex]\(\ \)[latex]\mathcal{8} x \in X.[/latex]

Элементы поля [latex]\mathbb P[/latex] называются скалярными, а множество [latex]X[/latex] называется носителем векторов.

Следствия из аксиом

  1. [latex]\alpha \cdot 0=0, \forall \alpha \in \mathbb P[/latex]
    Спойлер

    [latex]\alpha \cdot 0=[/latex]\(\ \)[latex]\alpha \left(0 + 0 \right)=[/latex]\(\ \)[latex]\alpha \cdot 0 + \alpha \cdot 0 \mid + \left(-\alpha \cdot 0 \right)[/latex]
    [latex]\alpha \cdot 0 + \left(-\alpha \cdot 0 \right)=[/latex]\(\ \)[latex]\left(\alpha \cdot 0 + \alpha \cdot 0 \right) + \left(-\alpha \cdot 0 \right)[/latex]
    [latex]0=[/latex]\(\ \)[latex]\alpha \cdot 0 + \left(\alpha \cdot 0 + \left(-\alpha \cdot 0 \right)\right)=[/latex]\(\ \)[latex]\alpha \cdot 0[/latex]

    [свернуть]
  2. [latex]0 \cdot x=0, \forall x \in X[/latex]
    Спойлер

    Доказывается по аналогии со следствием 1.

    [свернуть]
  3. [latex]\left(-\alpha \right)x=[/latex]\(\ \)[latex]-\left(\alpha x \right), \forall \alpha \in \mathbb P, \forall x \in X[/latex]
    Спойлер

    [latex]\left(-\alpha \right)x + \alpha x=[/latex]\(\ \)[latex]\left(\left(-\alpha \right) + \alpha\right)x=[/latex]\(\ \)[latex]0 \cdot x=[/latex]\(\ \)[latex]0 \Rightarrow \left(-\alpha \right)x=[/latex]\(\ \)[latex]-\left(\alpha x \right)[/latex]

    [свернуть]
  4. [latex]\left(-1 \right)x=-x, \forall x \in X[/latex]
    Спойлер

    Доказывается по аналогии со следствием 3.

    [свернуть]
  5. [latex]\left(\alpha — \beta \right)x=[/latex]\(\ \)[latex]\alpha x — \beta x, \forall \alpha,\beta \in \mathbb P, \forall x \in X[/latex]
    Спойлер

    [latex]\left(\alpha + \left( -\beta\right)\right)x=[/latex]\(\ \)[latex]\alpha x + \left(-\beta x\right)=[/latex]\(\ \)[latex]\alpha x + \left(-\beta \right)x=[/latex]\(\ \)[latex]\alpha x — \beta x[/latex]

    [свернуть]
  6. [latex]\alpha \left(x — y \right)=[/latex]\(\ \)[latex]\alpha x — \alpha y, \forall x,y \in X, \forall \alpha \in \mathbb P[/latex]
    Спойлер

    Доказывается по аналогии со следствием 5.

    [свернуть]
  7. [latex]\alpha x=[/latex]\(\ \)[latex]0 \Leftrightarrow \alpha =[/latex]\(\ \)[latex]0 \vee x=[/latex]\(\ \)[latex]0, \forall \alpha \in \mathbb P, \forall x \in X[/latex]
    Спойлер

    [latex]\alpha x=[/latex]\(\ \)[latex]0 \Rightarrow[/latex] Пусть [latex]\alpha \neq 0[/latex]
    [latex]x=[/latex]\(\ \)[latex]1 \cdot x=[/latex]\(\ \)[latex]\left(\frac{1}{\alpha}\alpha \right)x=[/latex]\(\ \)[latex]\frac{1}{\alpha}\left(\alpha x \right)=[/latex]\(\ \)[latex]\frac{1}{\alpha}\cdot 0=[/latex]\(\ \)[latex]0[/latex]

    [свернуть]
  8. [latex]\alpha x=[/latex]\(\ \)[latex]\alpha y \wedge \alpha \neq 0 \Rightarrow x=[/latex]\(\ \)[latex]y, \forall \alpha \in \mathbb P, \forall x,y \in X[/latex]
    Спойлер

    [latex]\alpha x=[/latex]\(\ \)[latex]\alpha y \Rightarrow \alpha x — \alpha y=0 \Rightarrow \alpha \left(x — y \right)=[/latex]\(\ \)[latex]0 \Rightarrow x — y=[/latex]\(\ \)[latex]0 \Rightarrow x=y[/latex]

    [свернуть]
  9. [latex]\alpha x=[/latex]\(\ \)[latex]\beta y \wedge x \neq y \Rightarrow \alpha =[/latex]\(\ \)[latex] \beta, \forall \alpha,\beta \in \mathbb P, \forall x,y \in X[/latex]
    Спойлер

    Доказывается по аналогии со следствием 8.

    [свернуть]

Примеры:

  1. Пространства направленных отрезков, в частности, [latex]V_{1}, V_{2}, V_{3}[/latex]
  2. [latex]\left(X, \mathbb P \right), X = M_{m\times n}\left(\mathbb P \right)[/latex]
  3. [latex]\left(X, \mathbb P \right),X = \mathbb P \left[x \right][/latex]
  4. [latex]\left(X, \mathbb R \right), X = C_{\left[-1;1 \right]}[/latex]
  5. [latex]\left(\mathbb C, \mathbb R \right), X=\mathbb C, \mathbb P=\mathbb R[/latex]
  6. [latex]\left(\mathbb P, \mathbb P \right), X=\mathbb P, \mathbb P=\mathbb P[/latex]

Литература:

  1. Белозеров Г.С. Конспект лекций
  2. Кострикин А.И. Введение в алгебру. Часть II. Линейная алгебра. М.:Физико-математическая литература, 2000, стр. 11-13
  3. Фаддеев Д.К. Лекции по алгебре. М.:Наука, 1984, стр. 301

Тест по теме "Абстрактные линейные пространства"

Тест для проверки знаний по теме: «Абстрактные линейные пространства»

Таблица лучших: Тест по теме "Абстрактные линейные пространства"

максимум из 3 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных

Порядок группы

Порядок группы

Пусть [latex]\left(G,*\right)[/latex] — группа, если [latex]G[/latex] — конечное множество, то порядком группы называется число элементов [latex]G[/latex] и обозначается [latex]\left|G \right|[/latex] или [latex]\mathrm{card}[/latex] [latex]G[/latex]. Если [latex]G[/latex] — бесконечно, то порядок бесконечен.

Порядок элемента группы

Пусть [latex]\left(G,*\right)[/latex] — произвольная группа и [latex]a[/latex] — некоторый ее элемент. Имеются две возможности:

  1. Все степени элемента [latex]a[/latex] различны, то есть [latex]m\neq n[/latex] [latex]\Rightarrow[/latex] [latex]a^{m} \neq a^{n}[/latex]. В этом случае говорят, что элемент [latex]a\in G[/latex] имеет бесконечный порядок.
  2. Имеются совпадения [latex]a^{m}=a^{n}[/latex] при [latex]m\neq n[/latex]. Если, например, [latex]m>n[/latex], то [latex]a^{m-n}=e[/latex], то есть существуют положительные степени элемента [latex]a\in G[/latex], равные единичному элементу. Пусть [latex]q\ -[/latex] наименьший положительный показатель, для которого [latex]a^{q}=e.[/latex] Тогда говорят, что [latex]a[/latex] — элемент конечного порядка [latex]q[/latex].

В конечной группе [latex]\left(G,*\right)[/latex] все элементы будут конечного порядка.

Порядок группы с циклическими подгруппами

Пусть [latex]\left(G,*\right)[/latex] — данная группа. Любой ее элемент порождает некоторую циклическую подгруппу. Если [latex]\left(G,*\right)[/latex] — конечная группа, то и все ее циклические подгруппы конечны. Порядок группы [latex]\left(G,*\right)[/latex] делится на порядок ее любой подгруппы, в частности, на порядок любой циклической подгруппы. Этот порядок равен порядку образующего элемента. Таким образом, верна следующая теорема.

Теорема

Порядок конечной группы делится на порядок любого ее элемента.

Спойлер

Пусть [latex]\left(G,*\right)[/latex] — конечная группа порядка [latex]m[/latex] и [latex]a[/latex] — некоторый ее элемент порядка [latex]k[/latex]. Тогда [latex]m=kl[/latex] (при целом [latex]l[/latex]) и [latex]a^{m}=(a^{k})^{l}=e[/latex]. Следовательно, верно следующее предположение:
Любой элемент конечной группы при возведении в степень порядка группы дает единичный элемент.
Следовательно, порядок конечной группы делится на порядок любого ее элемента.
[latex]\blacksquare[/latex]

[свернуть]

Примеры:

  1. Пусть [latex]\left(G,+ \right)[/latex] — группа, где [latex]G=\left\{1,2,3,4 \right\}[/latex]. Найти порядок группы.
    Ответ: [latex]\left|G \right|=4[/latex]
  2. Пусть [latex]\left(G,* \right)[/latex] — группа, где [latex]G=\mathbb N[/latex]. Найти порядок группы.
    Ответ: [latex]\left|G \right|=\infty[/latex]

Литература:

  1. Белозеров Г.С. Конспект лекций
  2. Фаддеев Д.К. Лекции по алгебре. М.:Наука, 1984, стр. 247
  3. Кострикин А.И. Введение в алгебру. Часть I. Основы алгебры. М.:Физико-математическая литература, 2000, стр. 142-143

Порядок группы

Тест для проверки знаний по теме «Порядок группы»

Таблица лучших: Порядок группы

максимум из 4 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных