Автор: Иван Чеповский

Задана плоскость. Зададим на ней декартову систему координат.

Данная плоскость называется комплексной. Ось $x$ называется вещественной, а ось $y$ — мнимой. На данном рисунке видно, что геометрически комплексное число представляет из себя вектор. Между алгебраической и геометрической интерпретациями комплексного числа существует биекция $z=\left(a,b\right)=$ $a+bi \leftrightarrow M\left(a,b\right)$

Определение 1

Модулем комплексного числа $z=a+bi$ называется корень разности квадратов его действительной и мнимой частей.
$\left|z\right|=$ $\sqrt{a^{2}+b^{2}}=$ $\sqrt{\left(\mathrm{Re}\ z\right)^{2}-\left(\mathrm{Im}\ z\right)^{2}}$, $\left|z\right| \geq 0$
$\left|z\right| = 0 \Leftrightarrow z=0$

Определение 2

Расстояние между двумя векторами на комплексной плоскости вычисляется по формуле:
$\left|z_{1}-z_{2}\right|=$ $\left|\left(x_{1}+iy_{1}\right)-\left(x_{2}+iy_{2}\right)\right|=$ $\sqrt{\left(x_{1}-x_{2}\right)^{2}+\left(y_{1}-y_{2}\right)^{2}}$

Определение 3

Величина угла, который образует вектор, изображающий данное комплексное число на комплексной плоскости с вещественной осью называется аргументом этого комплексного числа $\left(\mathrm{Arg}\ z\right)$. Угол, отсчитываемый от оси против часовой стрелки считается положительным, а по часовой — отрицательным.

$\mathrm{Arg}\ z = \mathrm{arg}\ z + 2\pi k$, $k\in\mathbb Z$, $0\leq \mathrm{arg}\ z < 2\pi$, где $\mathrm{arg}\ z$ - главное значение аргумента комплексного числа.

Пример 1

Задание:
Изобразите графически $1\leq \left|z+1-2i\right|< 2$ Решение:
$1\leq \left|z+1-2i\right|=$ $\sqrt{\left(x+1\right)^{2}+\left(y-2\right)^{2}}<2$ Ответ:

Пример 2

Задание:
Изобразите графически $\frac{\pi}{6}\leq \mathrm{arg}\ z<\frac{\pi}{3}$ Ответ:

Литература:

1. Белозеров Г.С. Конспект лекций
2. Кострикин А.И. Введение в алгебру. Часть I. Основы алгебры. М.:Физико-математическая литература, 2004, стр. 169-170
3. Фаддеев Д.К. Лекции по алгебре. М.:Наука, 1984, стр. 31-33

Задача №1

Рассмотрим задачу, в которой множество над числовым полем является абстрактным линейным пространством.

Условие задачи

Дано множество симметричных матриц $S=\{A \in M_{2}\left(\mathbb R \right) \mid$$\ $$A^{t}=A \}$. Проверить, является ли данное множество абстрактным линейным пространством над полем $\mathbb R$?

Теперь рассмотрим задачи, в которых множество над числовым полем не является абстрактным линейным пространством.

Задача №2

Условие задачи

Дано множество $F=\{f\left(x\right) \in \mathbb R\left[x\right]\mid$$\ $$\deg f\left(x\right)=n\}$. Проверить, является ли данное множество над полем $\mathbb R$ абстрактным линейным пространством?

Задача №3

Условие задачи

Дано множество $T=\{f\left(x\right)\in \mathbb R\left[x\right]\mid$$\ $$\deg f\left(x\right)\leqslant n \wedge$$\ $$a_{i}>0, i=\overline{1,n}\}$, где $a_{i}$ — коэффициенты при переменных. Проверить, является ли данное множество над полем $\mathbb R$ абстрактным линейным пространством?

Литература:

1. Лекции Г.С. Белозерова
2. Кострикин А.И. Введение в алгебру. Часть II. Линейная алгебра. М.:Физико-математическая литература, 2000, стр. 18
3. Проскуряков И.В. Сборник задач по линейной алгебре. М.:Наука, 1978, стр. 166-174

Определение

Пусть $X\neq \varnothing$, $\mathbb P$ — поле. $\left(X,\mathbb P \right)$ называется абстрактным линейным пространством, если выполняются следующие три группы аксиом:

1. На $X$ задана БАО (бинарная алгебраическая операция) «+», относительно которой $\left(X,+ \right)$ — абелева группа.
2. Задано отображение: $\bullet:\mathbb P \times X \rightarrow X$ такое, что:
   • $1 \cdot x=$$\ $$x, \forall x\in X,$
   • $\alpha \left(\beta x \right)=$$\ $$\left(\alpha\beta \right)x,$$\ $$\forall x\in X,$$\ $$\forall \alpha, \beta \in \mathbb P.$
3. • $\alpha\left(x_{1}+x_{2} \right)=$$\ $$\alpha x_{1} + \alpha x_{2},$$\ $$\forall \alpha \in \mathbb P,$$\ $$\forall x_{1}, x_{2} \in X,$
   • $\left(\alpha + \beta \right)x=$$\ $$\alpha x + \beta x,$$\ $$\mathcal{8} \alpha , \beta \in \mathbb P,$$\ $$\mathcal{8} x \in X.$

Элементы поля $\mathbb P$ называются скалярными, а множество $X$ называется носителем векторов.

Следствия из аксиом

1. $\alpha \cdot 0=0, \forall \alpha \in \mathbb P$
   
   Спойлер

   $\alpha \cdot 0=$$\ $$\alpha \left(0 + 0 \right)=$$\ $$\alpha \cdot 0 + \alpha \cdot 0 \mid + \left(-\alpha \cdot 0 \right)$
   $\alpha \cdot 0 + \left(-\alpha \cdot 0 \right)=$$\ $$\left(\alpha \cdot 0 + \alpha \cdot 0 \right) + \left(-\alpha \cdot 0 \right)$
   $0=$$\ $$\alpha \cdot 0 + \left(\alpha \cdot 0 + \left(-\alpha \cdot 0 \right)\right)=$$\ $$\alpha \cdot 0$

   [свернуть]
2. $0 \cdot x=0, \forall x \in X$
   
   Спойлер

   Доказывается по аналогии со следствием 1.

   [свернуть]
3. $\left(-\alpha \right)x=$$\ $$-\left(\alpha x \right), \forall \alpha \in \mathbb P, \forall x \in X$
   
   Спойлер

   $\left(-\alpha \right)x + \alpha x=$$\ $$\left(\left(-\alpha \right) + \alpha\right)x=$$\ $$0 \cdot x=$$\ $$0 \Rightarrow \left(-\alpha \right)x=$$\ $$-\left(\alpha x \right)$

   [свернуть]
4. $\left(-1 \right)x=-x, \forall x \in X$
   
   Спойлер

   Доказывается по аналогии со следствием 3.

   [свернуть]
5. $\left(\alpha — \beta \right)x=$$\ $$\alpha x — \beta x, \forall \alpha,\beta \in \mathbb P, \forall x \in X$
   
   Спойлер

   $\left(\alpha + \left( -\beta\right)\right)x=$$\ $$\alpha x + \left(-\beta x\right)=$$\ $$\alpha x + \left(-\beta \right)x=$$\ $$\alpha x — \beta x$

   [свернуть]
6. $\alpha \left(x — y \right)=$$\ $$\alpha x — \alpha y, \forall x,y \in X, \forall \alpha \in \mathbb P$
   
   Спойлер

   Доказывается по аналогии со следствием 5.

   [свернуть]
7. $\alpha x=$$\ $$0 \Leftrightarrow \alpha =$$\ $$0 \vee x=$$\ $$0, \forall \alpha \in \mathbb P, \forall x \in X$
   
   Спойлер

   $\alpha x=$$\ $$0 \Rightarrow$ Пусть $\alpha \neq 0$
   $x=$$\ $$1 \cdot x=$$\ $$\left(\frac{1}{\alpha}\alpha \right)x=$$\ $$\frac{1}{\alpha}\left(\alpha x \right)=$$\ $$\frac{1}{\alpha}\cdot 0=$$\ $$0$

   [свернуть]
8. $\alpha x=$$\ $$\alpha y \wedge \alpha \neq 0 \Rightarrow x=$$\ $$y, \forall \alpha \in \mathbb P, \forall x,y \in X$
   
   Спойлер

   $\alpha x=$$\ $$\alpha y \Rightarrow \alpha x — \alpha y=0 \Rightarrow \alpha \left(x — y \right)=$$\ $$0 \Rightarrow x — y=$$\ $$0 \Rightarrow x=y$

   [свернуть]
9. $\alpha x=$$\ $$\beta y \wedge x \neq y \Rightarrow \alpha =$$\ $$\beta, \forall \alpha,\beta \in \mathbb P, \forall x,y \in X$
   
   Спойлер

   Доказывается по аналогии со следствием 8.

   [свернуть]

Примеры:

1. Пространства направленных отрезков, в частности, $V_{1}, V_{2}, V_{3}$
2. $\left(X, \mathbb P \right), X = M_{m\times n}\left(\mathbb P \right)$
3. $\left(X, \mathbb P \right),X = \mathbb P \left[x \right]$
4. $\left(X, \mathbb R \right), X = C_{\left[-1;1 \right]}$
5. $\left(\mathbb C, \mathbb R \right), X=\mathbb C, \mathbb P=\mathbb R$
6. $\left(\mathbb P, \mathbb P \right), X=\mathbb P, \mathbb P=\mathbb P$

Литература:

1. Белозеров Г.С. Конспект лекций
2. Кострикин А.И. Введение в алгебру. Часть II. Линейная алгебра. М.:Физико-математическая литература, 2000, стр. 11-13
3. Фаддеев Д.К. Лекции по алгебре. М.:Наука, 1984, стр. 301

Порядок группы

Пусть $\left(G,*\right)$ — группа, если $G$ — конечное множество, то порядком группы называется число элементов $G$ и обозначается $\left|G \right|$ или $\mathrm{card}$ $G$. Если $G$ — бесконечно, то порядок бесконечен.

Порядок элемента группы

Пусть $\left(G,*\right)$ — произвольная группа и $a$ — некоторый ее элемент. Имеются две возможности:

1. Все степени элемента $a$ различны, то есть $m\neq n$ $\Rightarrow$ $a^{m} \neq a^{n}$. В этом случае говорят, что элемент $a\in G$ имеет бесконечный порядок.
2. Имеются совпадения $a^{m}=a^{n}$ при $m\neq n$. Если, например, $m>n$, то $a^{m-n}=e$, то есть существуют положительные степени элемента $a\in G$, равные единичному элементу. Пусть $q\ -$ наименьший положительный показатель, для которого $a^{q}=e.$ Тогда говорят, что $a$ — элемент конечного порядка $q$.

В конечной группе $\left(G,*\right)$ все элементы будут конечного порядка.

Порядок группы с циклическими подгруппами

Пусть $\left(G,*\right)$ — данная группа. Любой ее элемент порождает некоторую циклическую подгруппу. Если $\left(G,*\right)$ — конечная группа, то и все ее циклические подгруппы конечны. Порядок группы $\left(G,*\right)$ делится на порядок ее любой подгруппы, в частности, на порядок любой циклической подгруппы. Этот порядок равен порядку образующего элемента. Таким образом, верна следующая теорема.

Теорема

Порядок конечной группы делится на порядок любого ее элемента.

Примеры:

1. Пусть $\left(G,+ \right)$ — группа, где $G=\left\{1,2,3,4 \right\}$. Найти порядок группы.
   Ответ: $\left|G \right|=4$
2. Пусть $\left(G,* \right)$ — группа, где $G=\mathbb N$. Найти порядок группы.
   Ответ: $\left|G \right|=\infty$

Литература:

1. Белозеров Г.С. Конспект лекций
2. Фаддеев Д.К. Лекции по алгебре. М.:Наука, 1984, стр. 247
3. Кострикин А.И. Введение в алгебру. Часть I. Основы алгебры. М.:Физико-математическая литература, 2000, стр. 142-143