Геометрическая интерпретация комплексного числа

Задана плоскость. Зададим на ней декартову систему координат.

Данная плоскость называется комплексной. Ось [latex]x[/latex] называется вещественной, а ось [latex]y[/latex] — мнимой. На данном рисунке видно, что геометрически комплексное число представляет из себя вектор. Между алгебраической и геометрической интерпретациями комплексного числа существует биекция [latex]z=\left(a,b\right)=[/latex] [latex]a+bi \leftrightarrow M\left(a,b\right)[/latex]

Определение 1

Модулем комплексного числа [latex]z=a+bi[/latex] называется корень разности квадратов его действительной и мнимой частей.
[latex]\left|z\right|=[/latex] [latex]\sqrt{a^{2}+b^{2}}=[/latex] [latex] \sqrt{\left(\mathrm{Re}\ z\right)^{2}-\left(\mathrm{Im}\ z\right)^{2}}[/latex], [latex]\left|z\right| \geq 0[/latex]
[latex]\left|z\right| = 0 \Leftrightarrow z=0[/latex]

Определение 2

Расстояние между двумя векторами на комплексной плоскости вычисляется по формуле:
[latex]\left|z_{1}-z_{2}\right|=[/latex] [latex]\left|\left(x_{1}+iy_{1}\right)-\left(x_{2}+iy_{2}\right)\right|=[/latex] [latex] \sqrt{\left(x_{1}-x_{2}\right)^{2}+\left(y_{1}-y_{2}\right)^{2}}[/latex]

Определение 3

Величина угла, который образует вектор, изображающий данное комплексное число на комплексной плоскости с вещественной осью называется аргументом этого комплексного числа [latex]\left(\mathrm{Arg}\ z\right)[/latex]. Угол, отсчитываемый от оси против часовой стрелки считается положительным, а по часовой — отрицательным.

[latex]\mathrm{Arg}\ z = \mathrm{arg}\ z + 2\pi k[/latex], [latex]k\in\mathbb Z[/latex], [latex]0\leq \mathrm{arg}\ z < 2\pi[/latex], где [latex]\mathrm{arg}\ z[/latex] - главное значение аргумента комплексного числа.

Пример 1

Задание:
Изобразите графически [latex]1\leq \left|z+1-2i\right|< 2[/latex] Решение:
[latex]1\leq \left|z+1-2i\right|=[/latex] [latex]\sqrt{\left(x+1\right)^{2}+\left(y-2\right)^{2}}<2[/latex] Ответ:

Пример 2

Задание:
Изобразите графически [latex]\frac{\pi}{6}\leq \mathrm{arg}\ z<\frac{\pi}{3}[/latex] Ответ:

Литература:

1. Белозеров Г.С. Конспект лекций
2. Кострикин А.И. Введение в алгебру. Часть I. Основы алгебры. М.:Физико-математическая литература, 2004, стр. 169-170
3. Фаддеев Д.К. Лекции по алгебре. М.:Наука, 1984, стр. 31-33